Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Chuyen de mu logarit

2,608 views

Published on

  • Be the first to comment

Chuyen de mu logarit

  1. 1. × SlideShare is part of LinkedIn. Your continued use means you agree to our integrated LinkedIn Terms of Service. Updates 0 Updates 0 GửiSearch Upload Go Pro Explore ► Thi ► Thi Dai Học ► Đại Học ► Học Toán Share Email Embed Liked × Save Show more 9 phuong phap giai pt mua logarit 107 views Like Chuyên Đề: PT - HPT 534 views Like [Mathvn.com] tuyen tap de dh 2002- 2012 theo chu de 419 views Like [Mathvn.com] tuyen tap de dh 2002- 2012 theo chu de 972 views Like Ham so mu va logarit 587 views Like Apply for ACCA with LSBF lsbf.org.uk/ACCA Get £100 off each ACCA paper. Save up to £1,400 - Learn more! × Related More
  2. 2. Khảo Sát Hàm Số Có Lời Giải 12501 views Like Thi thử toán thuận thành 1 bn 2012 lần 2 1088 views Like [Mathvn.com] cac chu de ltdh - van- phu-quoc 4650 views Like Phương trình lượng giác nâng cao - Luyện Thi Đại Học 7615 views Like Thi thử toán hồng quang hd 2012 lần 2 k d 1800 views Like Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath 2095 views Like Toán DH (THPT Lê Lợi) 1700 views Like Viettug vietex-doc-phamthithanh-p 103 views Like 19de12 hk1 13-14 168 views Like 2thi thu dh khoi a vinh phuc lan 1 www.mathvn.com 257 views Like Thi thử toán hồng quang hd 2012 lần 2 k a 1283 views Like 4 khao sat- ham_so_www.mathvn.com 374 views Like
  3. 3. Chuyen de-so-phuc-ltdh-nt long- www.mathvn.com 396 views Like K2pi.net --ms ebook release 72 views Like Od10 ncc5 phan2- www.mathvn.com 281 views Like 19de12 hk1 09-10-mathvn.com 424 views Like Chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - VipLam.Net 5155 views Like Viet pt-mat-phang-nt long - www.mathvn.com 571 views Like Thi thử (Minh Khai) Toán A lần 3 2012 2 1233 views Like Chuyen de-luyen-thi-dh-2012 1896 views Like [Www.toan capba.net] chuyen-de- luyen-thi-dh-2012-tran-anh-tuan 523 views Like 200 cau khao sat ham so 4102 views Like Đề thi thử Đại học mốn Toán- Khối A- Năm 2013 trường Chuyên Vĩnh Phúc… 5276 views Like Tai lieu on thi tn thpt mon toan www.mathvn.com 640 views Like
  4. 4. Tich phan ham nhi phan thuc 699 views Like Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com. 538 views Like 2. dap an de thi thu dai hoc nam 2012 truong thpt phanboi chau de gui ngay 3...… 1036 views Like Phương trình - bất phương trình và hệ phương trình 369 views Like 200 cau khao sat ham so 3113 views Like Một số bất đẳng thức hình học luận văn của thầy hoàng ngọc quang… 5533 views Like Chuyen phuong trinh mu logarit day du 219 views Like De thi hoc ki i toan 12 co loi giai 2010-2011 - truonghocso.com 3395 views Like [ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012 48 views Like [Giasunhatrang.edu.vn]80 bt-logarit 679 views Like 19 cach giai cho bat dang thuc - levietthuat.com 269 views Like
  5. 5. 118 ‹ › /259 Liked Share Follow Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com Tweet 0 0 by Nguyen Thu, Người mẫu, Model ( Khỏa Thân, Nude) at Playboy magazine on Nov 06, 2013 504 views Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com - xem full tại http://levietthuat.com/chuyen-de-mu-logarit- on-thi-dai-hoc.html 2Like No comments yet Cau Con
  6. 6. 1 day ago 1 month ago Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com Document Transcript 1. ThS. Lê Văn Đoàn Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng) 07/2013 Email: vandoan_automobile@yahoo.com.vn 2. www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1 B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3 Các thí dụ ................................................................................................... 3 Bài tập tương tự ......................................................................................... 16 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25 Các thí dụ ................................................................................................... 25 Bài tập tương tự ......................................................................................... 67 Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77 Các thí dụ ................................................................................................... 77 Bài tập tương tự ......................................................................................... 88 C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92 Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92 Các thí dụ ................................................................................................... 93 Bài tập tương tự ......................................................................................... 124 Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138 Các thí dụ ................................................................................................... 138 Bài tập tương tự ......................................................................................... 154 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164 Các thí dụ ................................................................................................... 165 Bài tập tương tự ......................................................................................... 175 D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180 Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180 Các thí dụ ................................................................................................... 180 Bài tập tương tự ......................................................................................... 192 Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197 Các thí dụ ................................................................................................... 197 Bài tập tương tự ......................................................................................... 206 Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216 Các thí dụ ................................................................................................... 216 Bài tập tương tự ......................................................................................... 226 E – Bài toán chứa tham số mũ – Subscribe to commentsPost Comment 2 Likes P.a. Tuấn Hoài Nhỏ at Cựu Học Sinh Thpt Eah'leo
  7. 7. logarit ................................................................................ 230 Các thí dụ ................................................................................................... 231 Bài tập tương tự ......................................................................................... 250 www.DeThiThuDaiHoc.com 3. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý. a x = bx b ax a n = a.a.a...a n số a a x + y = a x .a y a x−y = ax ay y ⇒ a −n = y = ay a =a x y u (x) 0 = 1 ⇒ x 0 = 1, ∀u (x) x ≠ 0 1 an x n x a x .bx = (a.b) a.n b = n ab n ( ) ( ) a x.y = a x x am = m m ( ) n a = an Công thức logarit: Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0 . b = loga b − loga c c loga b = x ⇔ b = a x loga lg b = log b = log10 b α log b khi α lẻ a loga bα = α loga b khi α chẳn (logarit thập phân) ln b = loge b , (e = 2, 718...) log (logarit tự nhiên hay log nepe) aα b= 1 loga b α loga 1 = 0, loga a = 1 b = loga a b loga (b.c) = loga b + loga c b=a loga b Công thức đổi cơ số loga b = loga b = logc b a logc a ln b 1 , loga b = logb a ln a logb c log a =c b logab c = Hàm số mũ – logarit và đạo hàm a/ Hàm số mũ y = a x , (a > 0, a ≠ 1) . Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 1 - 1 1 1 + loga c logb c 4. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Tập giá trị: T = (0, +∞) . ● Khi hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến. Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. Dạng đồ thị: 1 1 O O b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1) . Tập xác định: D = (0, +∞) . Tập giá trị: T = » . ● Khi : hàm số đồng biến. Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến. Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Dạng đồ thị 1 O O 1 c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp ' (x ) = α.x α ' α−1 , (x > 0) (a ) = a .ln a x ' ( ) ⇒ uα = α.uα−1 .u ' ' ( ) x ' (e ) = e x Đạo hàm hàm số hợp ⇒ a u = a u .u '. ln u x ⇒ eu = eu .u ' ' ( ) 1 (log x ) = x ln a ' a ' (ln x) = 1 , (x > 0) x ( ⇒ loga u ' ) = uu'a ln ' ⇒ (ln u) = u' u www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 2 - Ths. Lê Văn Đoàn 5. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Đưa về cùng cơ số: Phương trình mũ: Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng Với thì . . Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: . Bất phương trình mũ: Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng Nếu thì . . Nếu thì . Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì . Logarit hóa: . Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp. II – CÁC THÍ DỤ 2x +3 Thí dụ 1. 4 Giải phương trình: x +8 3.243 x+8 = 1 x+2 .9 9 (∗) Bài giải tham khảo x ≠ −8 ● Điều kiện: . x ≠ −2 1 4 ● Ta có: 1 4 3 = 3 4 ; 243 = 35 ; 9 = 32 ; 2x +3 5 x +8 (∗) ⇔ 3 .3 ⇔3 ⇔ 1 2x +3 +5 4 x +8 −2 1 = 3−2 nên: 9 x +8 2 x +2 = 3 .3 x +8 −2+2 x +2 =3 2x + 3 1 = −2 + 2 x + 8 + 5 x+8 x + 2 4 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 3 - 6. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 41x 2 + 102x − 248 = 0 ⇔ x = −4 ∨ x = 62 . 41 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −4 ∨ x = Thí dụ 2. 3 Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3 6x +7 3x−1 3 3 9 4 27 = 62 . 41 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có: 1 3 3 3 3 3 3 3 (∗) ⇔ 3 ⇔ 16 (3x−1) 9 3x−1 =3 1 2 1 1 1 2 1 2 3 6x +7 16 3 3 23 = 3 3 3 3.3 3 = 3 9 và 3 3 9 4 27 = 3 32.3 4 = 3 24 . 23 (6x +7) 24 16 23 (3x − 1) = 24 (6x + 7) 9 ⇔ x=− 611 . 30 ● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − Thí dụ 3. Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x 2 +3x−78 611 . 30 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 2 4x +2 .5.54x +2 = 5.102x 2 +3x−78 2 ⇔ 5.104x +2 = 5.102x +3x−78 ⇔ 4x + 2 = 2x2 + 3x − 78 ⇔x= 1 ± 641 . 4 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = Thí dụ 4. 1 ± 641 . 4 Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 4 - 7. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ 5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x ⇔ 3x.9 = 2x.4 3 x 3 −2 ⇔ = . 2 2 ⇔ x = −2 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 . Thí dụ 5. Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 5x + 5x 5x 3x 3x + 2 = 3.3x + + 2 5 3 5 3 1 1 1 1 ⇔ 5x 1 + + = 3x 3 + +
  8. 8. 5 25 3 9 ⇔ 31 x 31 .5 = .3x 25 9 x 2 5 25 5 ⇔ = = 3 2 9 ⇔ x = 2. ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Thí dụ 6. Giải phương trình: ( 17 + 4 2x−1 3x ) = ( 17 − 4 ) x−1 x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có: (∗) ⇔ ⇔ ( ( 17 + 4 17 + 4 )( 2x−1 3x ) = ) 17 − 4 = 1 ⇒ ( − 17 + 4 ) ( ) 17 − 4 = 1 ( 17 + 4 ) = ( −1 17 + 4 ) . x−1 x +1 2x − 1 x −1 =− 3x x +1 ⇔ 5x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1± 5 . 6 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1− 5 1+ 5 ∨ x= . 6 6 Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là a Ta có: a.b = 1 ⇒ b = f ( x) =b g( x) với a.b = 1 . 1 f ( x) −g(x ) = a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a ⇔ f (x ) = −g (x ) . a www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 5 - 8. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 7. (∗) Giải phương trình: 2x+2 − 2x+1 − 1 = 2 x+1 + 1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4.2 x − 2.2x − 1 = 2.2x + 1 ⇔ 2.2 x − 1 = 2.2 x − 1 2.2x − 1 ≥ 0 ⇔ 2.2x − 1 = 2.2 x − 1 x 2.2 − 1 = −2.2 x + 1 x 1 2 ≥ = 2−1 ⇔ 2 x 4.2 = 2 x ≥ − 1 ⇔ x 2 = 1 = 2−1 2 ⇔ x = −1 . ● Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 . Thí dụ 8. Giải phương trình: x−1 ( x + 2) x−3 = ( x + 2) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . (∗) ⇔ (x + 2) − 1 x − 1 − (x − 3) = 0 x + 1 = 0 ⇔ x − 1 = x − 3 x = −1 ⇔ x − 3 ≥ 0 2 x − 1 = x − 6x + 9 x = −1 ⇔ x ≥ 3 x = 5 ∨ x = 2 x = −1 ⇔ . x = 5 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 5 . Thí dụ 9. Giải phương trình: (x 2 ) +3 x2 −5x +4 ( x +4 ) = x2 + 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 6 - (∗) Ths. Lê Văn Đoàn 9. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ (x 2 + 3 − 1 x 2 − 5x + 4 − (x + 4) = 0 ) 2 x + 3 − 1 = 0 (VN) ⇔ 2 x − 5x + 4 = x + 4 x + 4 ≥ 0 2 ⇔ x − 5x + 4 = x + 4 2 x − 5x + 4 = −x − 4 (VN) x ≥ −4 ⇔ x = 0 ∨ x = 6 ⇔ x = 0 ∨ x = 6. ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 6 . Thí dụ 10. 2 (∗) Giải phương trình: 2x−3 = 3x −5x+6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 2 2x−3 = log 3 3 x −5x +6 ( ) ⇔ (x − 3) log2 2 = x 2 − 5x + 6 log2 3 ⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2 3 = 0 ⇔ (x − 3) . 1 − (x − 2) log2 3 = 0 x − 3 = 0 ⇔ 1 − (x − 2) log2 3 x = 3 . ⇔ x = log3 2 + 2 = log3 18 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 ∨ x = log3 18 . Thí dụ 11. Giải phương trình: 52x 4 −5x2 +3 −7 x2 − 3 2 =0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 5 2x 4 −5x2 + 3 − log5 7 x2 − 3 2 =0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn 10. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 3 ⇔ 2x 4 − 5x 2 + 3 log5 5 − x 2 − log 5 7 = 0 2 ( ) ) x ( ⇔ 2 x2 − 1 2 3 3 − − x 2 − log5 7 = 0 2 2 3 ⇔ x2 − . 2 x 2 − 1 − log5 7 = 0 2 ( ) x2 = 3 2 ⇔ log5 7 2 +1 x = 2 2 3 x − = 0 ⇔ ⇔ 2 2 2 x − 1 − log5 7 = 0 ( ) ● Vậy phương trình có các nghiệm là x = ± Thí dụ 12. 2 x = ± 6 2 . 1 2 log5 175 x = ± 2 6 1 ∨ x=± 2 log5 175 . 2 2 (∗) Giải phương trình: 2x −4.52−x = 1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 (2 x2 −4 ) .52−x = log2 1 2 ⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = 0 ⇔ x2 − 4 + (2 − x ) log2 5 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 5 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2 − log2 5) = 0 x = 2 ⇔ . x = −2 + log2 5 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = −2 + log2 5 . Thí dụ 13. 2 Giải phương trình: 2x −2x = 3 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 2 2x −2x = log2 3 2 ⇔ x 2 − 2x.log2 2 = log2 3 − log2 2 ⇔ x2 − 2x + 1 − log2 3 = 0 (1) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 8 - 11. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x = 1 − log 3 2 ∆ ' = 1 − (1 − log2 3) = log2 3 > 0 ⇒ . x = 1 + log2 3 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 − log2 3 ∨ x = 1 + log2 3 . Thí dụ 14. Giải phương trình: 5 x.8 x−1 x = 500 (∗) Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . (∗) ⇔ 5x.2 3 x−1 x = 53.22 3x−3 5x 2 x ⇔ 3. 2 5 2 ⇔ 5x−3.2 ⇔ 5x−3.2 =1 3x−3 −2 x x−3 x =1 (1) =1 ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (1) ⇔ log x−3 5x−3.2 x = log 1 5 5 ⇔ log5 5x−3 + log5 2 ⇔ (x − 3) + x−3 x =0 x−3 log5 2 = 0 x 1 ⇔ (x − 3) 1 + log 5 2 = 0 x x = 3 ⇔ 1 + 1 log 2 = 0 5 x x = 3 ⇔ 1 1 x = − log 2 5 x = 3 . ⇔ x = − log5 2 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 . Thí dụ 15. 2 Giải phương trình: 3x −2.4 2x−3 x = 18 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 9 -
  9. 9. 12. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . ● Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được: 2x−3 2 ∗) ⇔ log 3 3x −2.4 x = log 3 18 ( 2 ⇔ log 3 3x −2 + log 3 4 ( ) ⇔ x 2 − 2 + log 3 2 2x−3 x 4x−6 x = log 3 18 = log 3 9.2 4x − 6 log 2 = log 9 + log 2 3 ⇔ x2 − 2 + 3 3 x ( ) 4x − 6 ⇔ x2 − 2 + x log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0 ( ) 4x − 6 ⇔ x2 − 4 + − 1 log 3 2 = 0 x ( ) ( ) ⇔ x2 − 4 + 3x − 6 log3 2 = 0 x ⇔ (x − 2)(x + 2) + 3 ( x − 2) x log 3 2 = 0 3 ⇔ (x − 2) x + 2 + log 3 2 = 0 x x = 2 ⇔ 2 x + 2x + 3 log3 2 = 0 : VN ⇔ x = 2. ● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 . x Thí dụ 16. Giải phương trình: 8 x+2 = 4.34−x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −2 . 3x x +2 (∗) ⇔ 222 = 34−x ⇔2 3x −2 x +2 = 34−x x −4 ⇔ 2 x +2 = 3 4 −x (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 10 - Ths. Lê Văn Đoàn 13. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x−4 (1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x ⇔ x−4 = (4 − x ) log2 3 x +2 ⇔ x−4 + (x − 4) log2 3 = 0 x +2 1 ⇔ ( x − 4 ) + log2 3 = 0 x + 2 x − 4 = 0 ⇔ 1 x + 2 = − log2 3 x = 4 . ⇔ x = −2 − log2 3 ● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 4 ∨ x = −2 − log2 3 . 2 Thí dụ 17. 1 9x −17 x+11 1 7−5x Giải bất phương trình: ≥ 2 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 9x 2 − 17x + 11 = 7 − 5x 2 ⇔ 9x2 − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ (3x − 2) ≤ 0 ⇔x= 2 . 3 ● V ậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình. 3 x Thí dụ 18. 2x 1 > 3 x +1 Giải bất phương trình: 9 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ −1 . (∗) ⇔ 3 −2x >3 ⇔ −2x > ⇔ 2x x +1 2x x +1 2x2 + 4x <0 x +1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 11 - 14. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn x < −2 . ⇔ −1 < x < 0 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) . Thí dụ 19. ( Giải bất phương trình: 10 + 3 ) x−3 x−1 < ( 10 − 3 ) x +1 x +3 (∗) Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 Bài giải tham khảo x − 1 ≠ 0 x ≠ 1 ● Điều kiện: ⇔ . x + 3 ≠ 0 x ≠ −3 ● Ta có: (∗) ⇔ ( ⇔ ⇔ ( 10 + 3 10 + 3 ) x−3 x−1 )( ) 10 − 3 = 1 ⇔ < ( − 10 + 3 ) ( ) 10 − 3 = 1 ( 10 + 3 ) = ( −1 10 + 3 ) . x +1 x +3 x−3 x +1 <− x −1 x+3 2x 2 − 10 (x − 1)(x + 3) <0 −3 < x < − 5 ⇔ . 1 < x < 5 ( ) ( ) ● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ −3; − 5 ∪ 1; 5 . Thí dụ 20. Giải bất phương trình: 3x+1 + 5x+2 ≥ 3x +2 + 5x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 25.5 x − 5.5x > 9.3x − 3.3x ⇔ 20.5 x > 6.3x x 5 3 ⇔ > 3 10 ⇔ x > log 5 3 3 . 10 3 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 5 ; +∞ . 3 10 Thí dụ 21. Giải bất phương trình: 4 x + 4 x+1 + 4 x+2 > 9 x + 9x +1 + 9x+2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 12 - (∗) 15. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4 x + 4.4 x + 42.4 x > 9 x + 9.9x + 92.9 x ⇔ 4 x.21 > 9 x.91 x 4 91 91 ⇔ < ⇔ x > log 4 . 9 21 21 9 91 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 4 ; +∞ . 9 21 Thí dụ 22. 1 Giải bất phương trình: 2 x2 −2x (∗) ≤ 2x−1 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 1 x2 −2x 2 ⇔ 2− x2 −2x ≤ 2x−1 ≤ 2x−1 ⇔ − x2 − 2x ≤ x − 1 x 2 − 2x ≥ 1 − x ⇔ 1 − x ≤ 0 1 − x > 0 ⇔ 2 ∨ 2 2 ⇔ x ≥ 2. x − 2x ≥ 0 x − 2x ≥ (1 − x ) ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 2; +∞) . Thí dụ 23. Giải bất phương trình: 2.3x − 2 x+2 ≤1 3 x − 2x (∗) Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001 Bài giải tham khảo x 3 ● Điều kiện: 3 − 2 ≠ 0 ⇔ 3 ≠ 2 ⇔ ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 . 2 x x x x ● V ới x < 0 ⇔ 3 x − 2 x < 0 . 2.3x − 4.2 x ≥ 3x − 2 x (∗) ⇔ x < 0 3x ≥ 3.2x ⇔ x < 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 13 - 16. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn x 3 ≥ 3 ⇔ 2 x < 0 3 x ≥ log 3 ⇔ 2 ⇒ x ∈ ∅ . x < 0 ● V ới x > 0 ⇔ 3 x − 2 x > 0 . 2.3x − 4.2 x ≤ 3x − 2 x (∗) ⇔ x > 0 3x ≤ 3.2x ⇔ x > 0 x 3 ≤ 3 ⇔ 2 x > 0 x ≤ log 3 2 ⇔ 2 x > 0 ⇔ 0 < x ≤ log2 3 . 2 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log2 2x2 + x +1 Thí dụ 24. 1 Giải bất phương trình: x2 + 2 3 . 2 1−x 1 ≤ x 2 + 2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ x 2 1 + − 1 . 2x 2 + x + 1 − (1 − x ) ≤ 0 2 ( ) 1 ⇔ x 2 − 2x2 + 2x ≤ 0
  10. 10. 2 ( ) 1 1 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪ ; +∞ . 2 2 1 1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) ∪ − ; 0 ∪ ; +∞ . 2 2 Thí dụ 25. Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 14 - 17. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 52x−1 < log5 7 3−x ⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7 ⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1 ⇔ x (2 + log5 7 ) < 3 log5 7 + 1 ⇔x< 1 + 3 log5 7 2 + log5 7 . 1 + 3 log5 7 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; 2 + log5 7 Thí dụ 26. 2 (∗) Giải bất phương trình: 5x −5x+6 ≥ 2x−3 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . ● Lấy logarit cơ số 5 hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 5 5x −5x +6 ≥ log5 2 x −3 ⇔ x2 − 5x + 6 ≥ (x − 3) log5 2 ⇔ (x − 2)(x − 3) − (x − 3) log5 2 ≥ 0 ⇔ (x − 3) (x − 2) − log5 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) (do : log 5 2 < 1 ⇒ x = 2 − log5 2 < 3) . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) . Thí dụ 27. 2 Giải bất phương trình: 49.2x > 16.7 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 x x (∗) ⇔ 2 4 > 7 2 2 7 2 ⇔ 2x −4 > 7 x−2 (1) ● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: (1) ⇔ log 2 2 2x −4 > log2 7 x−2 ⇔ x2 − 4 > (x − 2) log2 7 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 15 - 18. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2 log2 7 − 4 > 0 Ths. Lê Văn Đoàn (2) 2 2 Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2 7 − 4) = (4 − log2 7) > 0 . x = log2 7 + (4 − log2 7 ) = 2 1 2 , ( x1 > x 2 ) . ⇒ log2 7 − (4 − log2 7 ) 7 x = = log2 7 − 2 = log2 2 2 4 (2) ⇔ x < log 2 7 ∨ x >2. 4 7 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; log2 ∪ (2; +∞) . 4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 1. Giải các phương trình sau 1/ 32x+1 = 0,25.128x−1 . 2/ x 3 3 3 = 1 81 ĐS: x = 14 . 2x−3 ĐS: x = − . 16 . 13 −2 ± 19 . 5 3/ 2 x 3 4 x x 0,125 = 3 0,25 . 4/ 2.3 x +1 − 6.3 x −1 − 3 x = 9 . ĐS: x = 1 . 5/ 1 2x.5x−1 = .102−x . 5 ĐS: x = 1 . 6/ 8 x+1 = 0,25. 2x−1 ĐS: x = 7x ( ) 2 ĐS: x = 1 ∨ x = . 2 . 7 −x 2 = . 8 7/ 0,125.42x−3 8/ 2x.5 x = 0,1. 10x−1 . 9/ ( )( ) ( ) 10/ 2 5 11/ 22x +x+5 = 82x+1 . 12/ 2x+1.4 x−1. 5 ( x 2 x 3 x−1 2 ĐS: x = 6 . ) 4 ĐS: x = x2 −1 4 =2 2x−1 2x . 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = −3 ∨ x = x 25 125 . = . 64 8 ĐS: x = 3 . 2 1 1−x 8 ĐS: x = 2 ∨ x = = 16 x . ĐS: x = 2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 16 - 1 . 2 1 . 3 19. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 2x . 3x = 216 . 13/ Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: x = 6 . 25 . 2 14/ 5 x.8 x +1 = 100 . ĐS: x = log 40 15/ 2x+1.32x +3 = 63x +1 . ĐS: x = log12 9 . 16/ 9 17/ 5 18/ 5 19/ 5 3 20/ 1 2 21/ 4 x +1.3x −3.5x +1 = 22/ 3 x −1 = 6 x.2−x.3 x +1 . 23/ 2x.3x +1 = = 38x−2 . ĐS: x = 2 . 7 = 125x . ĐS: x = 3 . 5 = 253x−4 . ĐS: x = 7 . 5 3x −1 2x−3 4x −6 x2 +2x−11 x +1 9 . 25 x +7 1 . 2 9 5 = . 3 7 ĐS: x = 2 ∨ x = − . 2 1−2x = 2. ĐS: x = 9 . 20 60 . 27 ĐS: x = 1 . 2 ĐS: x = −2 . x +2 ( ) 3 ĐS: x = 0 . . 1 3 24/ 25/ 3 17 x − 16 2 x +1 5x. = 1 9 3 x +1 ĐS: x = − . 8 x = 100 . 5 3 ∨ x =1 ∨ x =− . 4 4 ĐS: x = 2 ∨ x = − log5 10 . x 26/ 27/ x (0, 6) 2x2 −24 .5 3 2 = .9x −12 . 5 2 2 6 .2 29/ 3 4 30/ 5 3 x−1 x +1 x +1 =4 x +1 . ĐS: x = 53 . 7 ĐS: x = 2x+1 . 3 42x−1 .8 3−x = 2 2.0,125 . 28/ ĐS: x = ±2 3 . 3 . 2 8 4 x 9 . = . 3 16 ĐS: x = −1 ∨ x = 4 . x2 +x−1 9 . 25 ĐS: x = − = 1. www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 17 - 3 ∨ x = 1. 2 20. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 4x−2 31/ x +1 1 27 x−1 = .81 x +2 . 9 32/ 16 x+2 1 Bài tập 2. − ĐS: x = 3 ∨ x = 2 . 11 3x−19 1 x−2 2 ĐS: x = −1 ∨ x = = 0,25.2 x −4 . 5 . 2 Giải các phương trình sau 1/ 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 3 x + 3 x +3 + 3 x +1 . ĐS: x = 0 . 2/ 3x +1 + 3x−2 − 3x−3 + 3 x−4 = 750 . ĐS: x = 5 . 3/ 2x + 2x−1 + 2x−2 = 3x + 3x−2 − 3 x−1 . ĐS: x = 2 . 4/ 4 x + 4 x−2 + 4 x +1 = 3x +2 − 3x−2 . ĐS: x = log 4 3 2 2 2 2 1280 . 729 5/ 2x −1 + 2x +2 = 3x + 3x −1 . ĐS: x = ± 3 . 6/ 3x−1 + 3x + 3x +1 = 9477 . ĐS: x = 7 . 7/ 22x +5 − 3 8/ 1 1 3.4 x + .9x+2 = 6.4 x+2 − .9x+1 . 3 2 9/ 9x − 2 x+ x+ 3 2 9 2 =3 =2 x+ 1 2 x+ 7 2 3 ĐS: x = − . 2 − 4x +4 . − 32x−1 . ĐS: x = log 9 4 ĐS: x = log 9 2 10/ 3 x + 3 x +1 + 3 x +2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 . ĐS: x = log 3 5 x+ 1 2 x 11/ 5 12/ Bài tập 3. Ths. Lê Văn Đoàn 2x−2 −9 = 3 4−x − 3 −x − 1 2 1 = 32 −5 −x x− 1 2 ĐS: x = . − 2−2x−1 . 62 . 21 9 2 . 4 31 . 16 3 . 2 3 ĐS: x = − . 2 Giải các phương trình sau 1 ĐS: x = − . 3 3x 1/ ( 2/ (5 + 2 6 ) 3/ (3 + 2 2 ) 3−2 2 ) = 3+2 2. 3x +1 5x +8 ( ) ( ) = 5−2 6 x +1 = 3−2 2 . 7 ĐS: x = − . 8 2x +8 . ĐS: x = −3 . 3x 3 −4x 4/ (3 − 2 2 ) = 3+2 2 . ĐS: x = 1 ∨ x = www.DeThiThuDaiHoc.com
  11. 11. Page - 18 - −3 ± 21 . 6 21. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 5/ 6/ 7/ x −1 ( ) 5 +2 ( 82 − 9 ( ( = ) x−3 x−1 145 + 12 = ) 5 −2 ( 2x +1 4 x−3 ) 82 + 9 ( = 3x +1 x ) ĐS: x = 1 ∨ x = −2 . . x +1 x +3 145 − 12 ( ĐS: x = ± 5 . . 4x +3 2x−1 ) ( 9/ 226 + 25 2x +5 10/ Bài tập 4. ĐS: x = ± 2 . 2 . ĐS: x = ± 10 . 10 ĐS: x = ± 13 . 2 (7 + 48 2x−1 x2 −2x +9 ) 2x−7 ( = 7 − 48 ) . ĐS: x = 2 . Giải các phương trình sau 3x−7 1 1 − x +2 x−2 2 ĐS: x = 1/ 16 = 0,25.2 x −4 . 2/ 1 3 3/ 2 4/ 2 2 5/ 6/ 4x −4 + 4 x +x−12 = 42x +x−16 + 1 . 2−x Bài tập 5. . 2x +1 2x−5 6 + 35 = 6 − 35 . = ) x 3x−1 8/ 226 − 25 ) x −1 x +1 Ths. Lê Văn Đoàn ( ( 4−x +3 1 = 99 + 9 x−3 x +1 ) ) 1 x +3 2 x x = ĐS: x = 6 . 1 .4 2 x ĐS: x = 1 . . 2 x −1 = 4. x x + 3 x x 4 − 4 3 2 . 1 1 x +5 5 ( 27 ) 5 5 ∨ x = −1 . 2 ĐS: x = 9 . = 4 37 . ĐS: x = 10 . 2 2 ĐS: x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = ±2 . Giải các phương trình sau x2 −x−5 1/ (x + 2) 2/ ( 2x − x 2 3/ ( x − x2 x +10 = ( x + 2) . ĐS: x = −1 ∨ x = 5 . x−1 ) = 1. ĐS: x = 1 . x−2 ) = 1. ĐS: x = 2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 19 - 22. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x2 −1 4/ 5/ (x + 1) 6/ (2 + x − x ) 7/ ( x − 3) 8/ (x 9/ ( 10/ (x 2 − x +1 11/ (x 2 − 2x + 2 12/ 3 13/ Bài tập 6. (x x−3 2 ) −x +1 x −3 sin x 3x2 −5x +2 x2 − 5x + 4 ) x−1 ( − 2 + x − x2 ( 2− 3 cos x ) x2 −4 4− x 2 9−x2 x2 + x−4 ) = x2 − 6x + 9 ) ) (x − 1) ĐS: x = 0 ∨ x = 3 . 4−x2 ) − 2x + 2 x2 −x ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 . = 1. 2 2 = 1. Ths. Lê Văn Đoàn . . ĐS: x = 1± 5 π ∨ x= . 2 6 ĐS: x = 4 ∨ x = 5 . ĐS: x = 1 ∨ x = ±2 . = 1. 5 ± 13 ∨ x = −2 . 2 = 1. ĐS: x = = x2 − x + 1 . ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 ∨ x = ± − 3 x2 − 2x + 2 = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = ± 3 = (x − 1) x−1 4 5 . 3 ĐS: x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1 + 3 3 . . 2 = (x − 3) . ĐS: x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 . Giải các phương trình sau 2 1/ 2x −4 = 5x−2 . 2/ 5x −5x+6 = 2x−3 . 3/ 3x −4x = 2x−4 . 4/ 8 x.5x −1 = 5/ 3x.4 6/ 3x −2.4 7/ 3x.2x = 1 . 8/ 2x.5x = 10 . 9/ 3x.2 x +2 = 6 . 10/ 8 3x+6 = 36.32+x . ĐS: x = 2 ∨ x = log2 2 x−1 x 2 ĐS: x = 4 ∨ x = log 3 2 . 1 . 8 ĐS: x = −1 ∨ x = 1 − log5 8 . ĐS: x = 2 ∨ x = − log 3 2 . = 18 . 2x−3 x 5 . 4 ĐS: x = 3 ∨ x = log5 50 . 2 2 15 . 2 ĐS: x = 2 . = 18 . 2 ĐS: x = 0 ∨ x = − log2 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = −1 − log5 2 . 3x ĐS: x = 1 . x ĐS: x = −4 ∨ x = log2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 20 - 3 . 4 23. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 11/ 4.9x−1 = 3.2 x x +2 2x +1 2 www.MATHVN.com ĐS: x = . = 36.32−x . Ths. Lê Văn Đoàn 3 . 2 ĐS: x = 4 ∨ x = −2 − log3 2 . 12/ 8 13/ 2x −2x.3x = 3 . 2 ĐS: x = 1 ∨ x = log2 2 . 3 14/ 3x.8 x+1 = 36 . ĐS: x = 2 ∨ x = log2 3 . 2 15/ 5x −2.2 x+1 = 4 . ĐS: x = 2 ∨ x = log5 2 . 5 16/ 52x−1 = 7 3−x . ĐS: x = 4 log175 5 . 17/ 5 18/ x 19/ x 4 .5 3 = 5 20/ 4 21/ x log x = 1000x 2 . 22/ x 23/ 7 24/ 57 = 7 5 . 2 x 3x 3−log5 x 4 lg x 4 x log ĐS: x = 5 . = 25x . = 16002 . x log x 5 ĐS: x = 40 ∨ x = ĐS: x = . ĐS: x = x =x 1 ∨ x = 1000 . 10 ĐS: x = 2 ∨ x = = 32 . log2 (5x)−1 25 1 ∨ x= 45. 5 ĐS: x = 10±4 . = 100 . log2 x −4 1 . 10 log5 7 1 . 32 ĐS: x = 125 ∨ x = . x 1 . 5 ĐS: x = log 7 (log5 7 ) . 5 2x−1 5 . 2 25/ 5x.2 x +1 = 50 . 26/ 9.x 27/ 5x−1.22x −x+1 = 10.8x . 1 ĐS: x = 2 ∨ x = − log2 5 . 2 28/ 4.9x−1 = 3 22x +1 . ĐS: x = 3 . 2 29/ 4x − 3 ĐS: x = 3 . 2 log9 x ĐS: x = 2 ∨ x = log2 = x2 . ĐS: x = 9 . 2 x− 1 2 =3 x+ 1 2 − 22x−1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 21 - 24. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 4x +1 30/ 31/ Bài tập 7. 2 5 Ths. Lê Văn Đoàn 2 5. ĐS: x = 2 4 log7 + 3 5 −2 − log7 3x +2 1 = 7 www.MATHVN.com . 8 3log3 5 ± 9log2 5 +16 + log3 5 3 3 ĐS: . 2 2 3x −4 = 3 125.125x . Giải các bất phương trình sau x−1 x ĐS: (−∞; −13 ∪ (−1; 0 ∪ 2; +∞) . 1/ 4 x+2 ≤ 0,25.32 x −2 . 2/ (0, 3) 3/ 1 3 4/ 8 5/ 2x −3x−4 < 3x −3x−4 . 6/ 1 4x −15x+13 1 4−3x . < 2 2 7/ 2 2+5x 25 . < 5 4 8/ 1 2 9/ 5x − 3x +1 ≥ 2 5x−1 − 3x−2 . ĐS: x ∈ 3; +∞) . 10/ 7 x − 5 x +2 < 2.7 x−1 − 118.5 x−1 . ĐS: x ∈ (−∞;2) . 11/ 2 x +2 − 2 x +3 − 2 x +4 > 5 x +1 − 5 x +2 . ĐS: x ∈ (0; +∞) . 12/ 3 13/ 62x+3 ≤ 2x+7.33x−1 . ĐS: x ∈ 4; +∞) . 14/ 7.3x+1 + 5x+3 ≤ 3x+4 + 5x+2 . ĐS: x ∈ (−∞; −1 . 15/ 2x+2 + 5x+1 ≤ 2x + 5x+2 . 3 ĐS: x ∈ log 5 ; +∞ . 2 20 16/ 2 x−1.3 x +2 > 36 . ĐS: x ∈ (log6 8; +∞) . 2x2 −3x +6 8x 1 ĐS: x ∈ −∞; ∪ (1; +∞) . 2 < 0, 00243 . x +2 ĐS: x ∈ −2;7 ) . > 3−x . ĐS: x ∈ (2; +∞) . > 4096 . 2 2 ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) . 2 3 ĐS: x ∈ » . 2 6x−5 x6 −2x3 +1 5 1 ĐS: x ∈ −∞; − ∪ ; +∞ . 16 2 1−x 1 < 2 ( x +3 x −1 −3 ĐS: x ∈ (−∞;1) {0} . . ) x −2 ĐS: x ∈ 0; 4 . ≤ 11 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 22 - 25. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 17/ ( x +1 ) 2 +1 ≥ ( ) 2
  12. 12. −1 x2 −2x +1 18/ (2 + 3 ) 1 19/ 2 2 −1 − 5 −1 + 5 ĐS: ; ∪ (1; +∞) . 2 2 . x2 −2x−1 ( + 2− 3 ) ≤ 4 . ĐS: x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . 2− 3 2x−1 ≤ 2x−1 . ĐS: x ∈ 2; +∞) . 1 x2 −2x 1 20/ x x−1 Ths. Lê Văn Đoàn 1 ĐS: x ∈ −∞; . 3 ≥ 2 3x+1 . x2 +2 21/ Bài tập 8. ĐS: x ∈ (−1;1) . 2 0,2 x −1 > 25 . Giải bất phương trình: ( 5 −2 ) x−1 x +1 ≤ ( x−1 5 +2 ) . Cao đẳng sư phạm kỹ thuật Vinh năm 2001 ĐS: x ∈ −2; −1) ∪ 1; +∞) . Bài tập 9. Giải bất phương trình: 2x−1 + 4x − 6 > 4. x −2 ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ (4; +∞) . Bài tập 10. Giải bất phương trình: 4 x + 2x − 4 ≤ 2. x −1 Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1997 1 ĐS: x ∈ ;1 . 2 Bài tập 11. x ( ) Giải bất phương trình: x2 + x + 1 < 1 . ĐS: x ∈ (−∞; −1) . x− x−1 Bài tập 12. Giải bất phương trình: 3 x2 −2x 1 ≥ 3 . Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1997 ĐS: x ∈ (2; +∞) . Bài tập 13. Giải bất phương trình: 6x2 + 3 x .x + 31+ x < 2.3 x .x 2 + 3x + 9 . 3 ĐS: x ∈ 0;1) ∪ ; +∞ . 2 Bài tập 14. 2 2 2 Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x +1 + 3.2x > x2 .2x + 8x + 12 . Đại học Dược Hà Nội năm 1997 ( ) ( ĐS: x ∈ − 2; −1 ∪ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 23 - ) 2; 3 . 26. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Bài tập 15. Giải bất phương trình: 4x2 + 3 x .x + 31+ Bài tập 16. Ths. Lê Văn Đoàn Giải bất phương trình: 3x −4 + x2 − 4 3x −2 ≥ 1 . ≤ 2x 2 .3 x + 2x + 6 . Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa 3 ĐS: x ∈ 0; log2 2 ∪ ; +∞ . 3 2 2 ( x ) Đại học Sư Phạm Vinh khối A, B năm 2000 ĐS: x ≥ 2 ∨ x ≤ −2 . Bài tập 17. Giải bất phương trình: 2 −3x2 − 5x + 2 + 2x > 3x.2x. −3x 2 − 5x + 2 + (2x ) 3x . Đại học Y Thái Bình năm 2001 ĐS: −1 < x ≤ Bài tập 18. 1 . 3 ( ) Giải bất phương trình: x 4 − 8.e x−1 > x x2 .e x−1 − 8 . Đại học Xây Dựng năm 2001 ĐS: x < −2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 24 - 27. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Dạng 2. Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Loại 1: Loại 2: Chia hai vế cho Loại 3: rồi đặt ẩn phụ với (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất). . Đặt . Loại 4: Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ t vẫn còn x. Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số. II – CÁC THÍ DỤ ( ) Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 1: P a Thí dụ 28. f (x ) t = a f (x ), t > 0 . =0 ⇔ P (t ) = 0 Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . x (∗) ⇔ (3 ) 2 2 ( ) ⇔ 3x − 5.3x + 6 = 0 − 5.3x + 6 = 0 (∗ ∗) t = 2 (N ) ● Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: (∗ ∗) ⇔ t2 − 5t + 6 = 0 ⇔ t = 3 (N) t = 3x = 2 x = log 2 3 . ⇔ ⇔ x =1 t = 3x = 3 ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x = log3 2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 25 - 28. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Thí dụ 29. Giải phương trình: 72x 100x x = 6. (0, 7) + 7 Ths. Lê Văn Đoàn (∗) Đại học An Ninh Nhân Dân khối D, G năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 7 2x x − 6. 7 − 7 = 0 (∗) ⇔ 10 10 x t = 7 > 0 10 ⇔ 2 t − 6t − 7 = 0 7 x x = −1 (L) ∨ t = 7 = 7 ⇔ t= 10 10 ( N) ⇔ x = log0,7 7 ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = log 0,7 7 . Thí dụ 30. Giải phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . (∗) ⇔ 2.2 2x + 15.2x − 8 = 0 2 ( ) ⇔ 2. 2x + 15.2 x − 8 = 0 t = 2 x > 0 ⇔ 2 2t + 15t − 8 = 0 x t = 2 1 ⇔ t = 2 t = −8 ⇔ 2x = (N ) (L ) 1 = 2−1 ⇔ x = −1 . 2 ● Vậy phương trình có nghiệm là x = −1 . Thí dụ 31. Giải phương trình: 4.4 x − 9.2x +1 + 8 = 0 (∗) Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4.2 2x − 18.2x + 8 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 26 - 29. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t = 2 x > 0 ⇔ 2 4t − 18t + 8 = 0 x x = 2 2 = 4 ⇔ x 1 ⇔ . 2 = x = −1 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 ∨ x = 2 . Thí dụ 32. x ( Giải phương trình: 7 + 4 3 x ) + (2 + 3 ) (∗) =6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . x 2 2+ 3 + 2+ 3 (∗) ⇔ ) 2 x ⇔ 2+ 3 + 2+ 3 ) x t = 2 + 3 > 0 ⇔ ⇔ 2 t + t − 6 = 0 t = 2 + 3 t = 2 + 3 ( ) ( ( ) ( ( x −6 = 0 x −6 = 0 ( ( ) x ) ) =2 x ⇔ x = log = −3 (L) ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = log (2+ 3 ) Thí dụ 33. x ( Giải phương trình: 7 + 5 2 ) +( (2 + 3 ) 2. x )( 2 −5 3+2 2 ) ( +3 1+ 2 x ) +1− 2 = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 3x (∗) ⇔ (1 + 2 ) ( + )( 2x 2 −5 1+ 2 ) ( +3 1+ 2 x ) +1− 2 = 0 x t = 1 + 2 > 0 ⇔ t3 + 2 − 5 t2 + 3t + 1 − 2 = 0 ( ( ) ) t = 1 + 2 ⇔ 2 (t − 1) t + ( x ) ( >0 2 − 4 t + 2 − 1 = 0 ) x t = 1 + 2 > 0 1+ 2 t = 1 ⇔ ⇔ 1 + 2
  13. 13. t = 1 + 2 1+ 2 t = 3 − 2 2 ( ) ( ( ( x ) ) ) x x =1 x = 0 = 1 + 2 ⇔ x = 1 . x = −2 = 3−2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 27 - 2. (∗) 30. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Vậy phương trình có ba nghiệm là x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1 . n ( ( ) ) Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra 1 + 2 , (n ∈ Z) với n = 1 ⇒ 1 + 2 , ( ) ( ) với n = 2 ⇒ 3 + 2 2 , với n = 3 ⇒ 7 + 5 2 . Theo kinh nghiệm của tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa căn) và không phải là cặp nghịch đảo của nhau (a.b = 1) thì ta nên sử X ( dụng máy tính bỏ túi để tìm, chẳng hạn như 1 + 2 ) và lúc đó, tôi sẽ CALC những số nguyên X ∈ » như 2, 3, 4, … rồi sử dụng công thức c (a ) b Thí dụ 34. Giải phương trình: 4 b ( ) = a bc = a c x −2 để nhận ra ẩn số phụ. + 16 = 10.2 (∗) x −2 Đại học Hàng Hải năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . t = 2 x−2 > 0 ∗) ⇔ 2 ( t − 10t + 16 = 0 t = 2 x−2 > 0 ⇔ ⇔ t = 8 ∨ t = 2 2 2 x−2 x−2 x −2 = 3 ⇔ ⇔ x −2 = 1 =2 =8 x = 11 x = 3 . ● So với tập xác định, phương trình có hai nghiệm : x = 3 ∨ x = 11 . Thí dụ 35. (∗) Giải phương trình: 22x+2 + 3.2x − 1 = 0 Đại học Thủy Sản năm 1997 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2 (∗) ⇔ 4.(2x ) ⇔ 2x = t = 2 x > 0 t = 2 x > 0 −3 + 17 x + 3.2 − 1 = 0 ⇔ 2 ⇔ t = 4.t + 3t − 1 = 0 4 t = −3 − 17 4 17 − 3 17 − 3 ⇔ x = log2 = log2 4 4 ● Vậy nghiệm phương trình là: x = log2 Thí dụ 36. Giải phương trình: 9x 2 + x−1 ( ( (L) ) 17 − 3 − 2 . ) 17 − 3 − 2 . 2 (∗) − 10.3x +x−2 + 1 = 0 Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 28 - 31. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Tập xác định: D = » . ( ) − 10 .3x2 + x−1 + 1 = 0 2 x2 + x −1 (∗) ⇔ 3 3 t = 3x2 + x −1 > 0 ⇔ ⇔ 3t2 − 10t + 3 = 0 x2 + x − 1 = 1 ⇔ 2 ⇔ x + x − 1 = −1 x2 + x −1 = 3 = 31 t = 3 1 x2 + x −1 = = 3−1 t = 3 3 x = 1 ∨ x = −2 . x = 0 ∨ x = −1 ● Vậy phương trình có 4 nghiệm là x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 . 2 Thí dụ 37. 1 1 x 1 x Giải phương trình: + 3. 3 3 +1 (∗) = 12 Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Ban khoa học xã hội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . 1 1 1 1 x t = 3 1 2. x 1 x (∗) ⇔ 3 + 3 − 12 = 0 ⇔ t = 3 > 0 ⇔ t = −4 2 t + t − 12 = 0 (N ) (L ) 1 1 x 1 ⇔ = 3 ⇔ = log 1 3 = −1 ⇔ x = −1 . 3 x 3 ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 . Thí dụ 38. (∗) Giải phương trình: 32x+5 − 36.3x+1 + 9 = 0 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x +1 + 9 = 0 t = 3x +1 > 0 x +1 3x +1 = 1 x = −1 >0 t = 3 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x +1 ⇔ . 27t − 36t + 9 = 0 t = 1 ∨ t = 1 = 3−1 3 x = −2 3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 . Thí dụ 39. Giải phương trình: 5x +1 − 52−x = 124 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 29 - (∗) 32. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn t = 5x > 0 t = 5 x > 0 x ⇔ 2 (∗) ⇔ 5.5 − x − 124 = 0 ⇔ 25 5 5t − − 124 = 0 5t − 124t − 25 = 0 t 25 x t = 5 = 25 (N) ⇔ ⇔ x = 2. t = 5x = − 1 L ( ) 5 ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 2 . Thí dụ 40. Giải phương trình: 5 x − 51− x (∗) +4=0 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (∗) ⇔ 5 x 5 − 5 x +4=0 x x t = 5 > 0 t = 5 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ t − 5 + 4 = 0 t + 4t − 5 = 0 t ⇔5 x t = 5 t = 5 x =1 x = −5 ( N) (L) = 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 . ● Vậy phương trình có một nghiệm x = 0 . Thí dụ 41. (∗) Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 3 ( 2 1−x ) ( ⇔ 31−x − 2.3.31−x − 27 = 0 2 ) − 6.31−x − 27 = 0 1− x t = 31−x = −3 L >0 ( ) ⇔ 1 − x = 2 ⇔ x = −1 . t = 3 ⇔ 2 ⇔ 1− x t − 6t − 27 = 0 = 9 (N ) t = 3 ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = −1 . Thí dụ 42. Giải phương trình: 4 x− x2 −5 − 12.2x−1− x2 −5 +8=0 (∗) Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002 Bài giải tham khảo x ≤ − 5 ● Điều kiện: x − 5 ≥ 0 ⇔ . x ≥ 5 2 (∗) ⇔ 2x− 2 x 2 −5 x− − 6.2 x 2 −5 +8=0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 30 - 33. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 t = 2 x − x −5 > 0 ⇔ ⇔ t2 − 6.t + 8 = 0 2 x − x − 5 = 1 ⇔ ⇔ x − x2 − 5 = 2 x− 2 x− 2 x 2 −5 2 x −5 Ths. Lê Văn Đoàn =2 =4 2 x − 5 = x −1 x2 − 5 = x − 2 x ≥ 1 x − 1 ≥ 0 x = 3 2 2 x = 3 x − 5 = (x − 1) . ⇔ ⇔ x ≥ 2 ⇔ x = 9 x − 2 ≥ 0 4 2 9 2 x =
  14. 14. x − 5 = (x − 2) 4 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x = Thí dụ 43. 2 Giải phương trình: 2x 2 −x − 22+ x−x = 3 9 ∨ x = 3. 4 (∗) Đại học khối D năm 2003 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 2 x 2 −x ( − x 2 −x − 4.2 1 2 ⇔ 2x −x − 4. 2 2 x −x ) −3 = 0 −3 = 0 t = 2x2 −x > 0 ⇔ 1 t − 4. − 3 = 0 t 2 t = 2 x − x > 0 ⇔ 2 ⇔ t − 3t − 4 = 0 x2 − x = −1 (L) t = 2 ⇔ x2 − x = 2 ⇔ x2 − x 2 t = 2 =4=2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 2 . Thí dụ 44. Giải phương trình: 9sin 2 x 2 + 9cos x =6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . Cách giải 1. Đặt ẩn phụ với 1 ẩn. 1−cos2 x (1) ⇔ 9 ⇔ 9 9 cos2 x 2 + 9cos 2 x =6 + 9cos x − 6 = 0 (2) 2 ● Đặt : t = 9cos x , (1 ≤ t ≤ 9) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 31 - (1) x = −1 . x = 2 34. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (2) ⇔ Ths. Lê Văn Đoàn 9 + t−6 = 0 t ⇔ t2 − 6t + 9 = 0 2 ⇔ t = 3 ⇔ 9cos 2 ⇔ 32 cos x x =3 = 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 Cách giải 2. Đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình. u = 9sin2 x ● Đặt: , (1 ≤ u, v ≤ 9) . 2 v = 9cos x u + v = 6 (1) ⇔ u.v = 9sin2 x.9cos2 x = 9sin2 x+cos2 x = 9 ⇔u=v=3 ⇔ 9sin 2 2 x = 9cos 2 ⇔ 32 cos x x =3 = 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 Cách giải 3. Phương pháp ước lượng hai vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). 2 ● Ta có: 9sin ● x 2 + 9cos Cauchy x 2 2 ≥ 2 9sin x.9cos 2 Dấu " = " xảy ra khi: 9sin x 2 = 9cos x x = 2. 9 = 6 . ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = 1 Thí dụ 45. Giải phương trình: 4 cot2 x +2 sin2 x −3 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ ») . (∗) ⇔ 4 cot2 x + 2.2 cot2 x 1 − 3 = 0 do : 1 + cot2 x = 2 sin x cot2 x ≥1 t = 2 ⇔ 2 t + 2t − 3 = 0 t = 2cot2 x ≥ 1 ⇔ t = 1 ∨ t = −3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 32 - π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 35. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 ⇔ 2cot x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn =1 ⇔ cot2 x = 0 ⇔ cot x = 0 ⇔ x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 ● So với điều kiện, phương trình có một tập nghiệm: x = Thí dụ 46. Giải phương trình: 41−2 sin 2 x 2 + 9.4−2 cos x π + kπ, (k ∈ ») . 2 (1) =5 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 4 −1+2 cos2 x 2 ⇔ 42 cos 4 2 + 9.4−2 cos x − 5 = 0 x + 9 4 2 cos2 x −5 = 0 t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16 ( ) ⇔ t 9 + −5 = 0 4 t t = 42 cos2 x ⇔ 2 t − 20t + 36 = 0 t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16 ( ) ⇔ t = 18 (L) ∨ t = 2 (N) 2 ⇔ 42 cos Thí dụ 47. x = 2 ⇔ 2 cos2 x = 1 1 π ⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ») . 2 2 3 Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 27.3 3x + 27 81 + 81.3x + x = 103 3x 3 3 1 1 ⇔ 27. 33x + 3x + 81. 3x + x = 103 3 3 ● Đặt t = 3x + (1) 1 Cauchy 1 ≥ 2 3 x. x = 2 . x 3 3 3 1 1 1 1 1 ⇒ t = 3x + x = 33x + 3.32x. x + 3.3x. 2x + 3x ⇒ 33x + 3x = t3 − 3t . 3 3 3 3 3 3 (1) ⇔ 27 (t 3 ) − 3t + 81t = 103 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 33 - 36. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ t3 = Ths. Lê Văn Đoàn 103 27 ⇔ t = 3x + 1 10 = >2 x 3 3 y = 3x > 0 ⇔ 2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0 (N ) y = 3x = 3 ⇔ x = ±1 . y = 3x = 1 3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 48. 3 Giải phương trình: 27 x − 271−x − 16 3x − x + 6 = 0 3 (∗) Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 27 x − 27 3 − 16 3x − x + 6 = 0 x 27 3 ● Đặt t = 3x − (1) ⇔ t 3 (1) 3 3 27 ⇒ t3 = 3x − x ⇒ 27 x − x = t3 + 9t . x 3 3 27 − 7t + 6 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = −3 . ● V ới t = 1 ⇒ 3 x − 3 1 + 13 1 + 13 = 1 ⇔ 3x = ⇔ x = log 3 . x 2 2 3 ● V ới t = 2 ⇒ 3 x − 3 = 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 . 3x ● Với t = −3 ⇒ 3x − 3 = −3 ⇔ 3 x = x 3 21 − 3 21 − 3 ⇔ x = log 3 . 2 2 ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 1 ∨ x = log 3 Thí dụ 49. 1 Giải phương trình: 23x − 6.2 x − 2 3(x−1) + 12 =1 2x 21 − 3 1 + 13 ∨ x = log 3 . 2 2 (1) Đại học Y Hà Nội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (1) ⇔ 2 3x − 6.2 x − 8 12 + x −1 = 0 3x 2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 34 - 37. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ 2x 8 2 − − 6 2x − x − 1 = 0 3 x 2 2 3 ( ) 3 ( ) ⇒ t3 = 2x (∗) ( ) ● Đặt t = 2x − Ths. Lê Văn Đoàn 2 . 2x 2 ( ) − 3. 2 x . 2 4 + 3.2x. x 2 2x 2 ( ) − 8 3 (2 ) x 3 ( ) ⇒ 2x − 8 3 (2 ) x = t3 + 6t . t3 + 6t − 6t = 1 (∗) ⇔ x 2 t = 2 − 2x t = 1 x 2 = −1 (L) ⇔ x = 1 . ⇔ ⇔ x 2 x t = 2 − 2 = 2 2x ● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 . Thí dụ 50. ( ) Giải phương trình: log5 5x − 4 = 1 − x (∗) Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2003 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 5x − 4 > 0 . Cách giải 1. Đặt ẩn phụ. (∗) ⇔ 5 x − 4 = 51−x ⇔ 5x − 5. 1 −4 = 0 5x t = 5x > 0 t = 5 x = −1 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x = 1. x t − 4t − 5 = 0 t = 5
  15. 15. = 5 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . Cách giải 2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. ● Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (∗) . ( ) ● Hàm số f (x) = log5 5x − 4 : là hàm số đồng biến. ● Hàm số g (x) = 1 − x : là hàm số nghịch biến. ● Do đó , x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (∗) . Thí dụ 51. ( ) Giải phương trình: x + log2 9 − 2x = 3 (∗) Đại học Huế khối A, B – Hệ chuyên ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 9 − 2x > 0 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 35 - 38. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ log (9 − 2 ) = 3 − x x 2 ⇔ 9 − 2x = 23−x ⇔ 2x + 8 −9 = 0 2x t2 − 9t + 8 = 0 2 x = 1 t = 1 ∨ t = 8 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x ⇔ . x t = 2 x > 0 t = 2 > 0 2 =8 x = 3 ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = 0 ∨ x = 3 . Thí dụ 52. Giải phương trình: log x log3 9x − 6 ) = 1 ( (∗) Đại học Dân Lập Đông Đô khối A, V năm 2001 Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1 ● Điều kiện: log 3 9x − 6 > 0 . x 9 − 6 > 0 ( (∗) ⇔ log (9 3 x ) ) −6 = x ⇔ 9x − 6 = 3x x x t = 3 > 0 t = 3 = 3 (N) ⇔ x = 1 . ⇔ 2 ⇔ t − t − 6 = 0 t = 3 x = − 2 (L ) ● So với điều kiện, nghiệm x = 1 không thỏa. Vậy phương trình vô nghiệm. Thí dụ 53. ( ) (∗) Giải phương trình: log 3 9x+1 − 4.3x − 2 = 2x + 1 Đại học Dân Lập Phương Đông năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 9 x +1 − 4.3 x − 2 > 0 . (∗) ⇔ 9 x +1 − 4.3x − 2 = 32x+1 ⇔ 9.32x − 3.32x − 4.3x − 2 = 0 ⇔ 6.32x − 4.3 x − 2 = 0 x t = 3 > 0 ⇔ 2 ⇔ 6t − 4t − 2 = 0 x t = 2 = 1 t = 2x = − 1 3 (N) ⇔ x = 0. L) ( ● Thay x = 0 vào điều kiện, điều kiện thỏa. Vậy nghiệm phương trình là x = 0 . Thí dụ 54. Giải phương trình: 5.32x−1 − 7.3x−1 + 1 − 6.3x + 9x +1 = 0 (1) Đại học Hồng Đức khối A năm 2001 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 36 - 39. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (1) ⇔ ⇔ ( 1 − 6.3x + 3.3x 2 (1 − 3.3 ) x ⇔ 1 − 3.3x = = 2 ) = 7 x 5 x .3 − . 3 3 3 Ths. Lê Văn Đoàn 2 ( ) 7 x 5 x .3 − . 3 3 3 2 ( ) 7 x 5 x .3 − . 3 3 3 2 ( ) (2) ● Đặt t = 3 x > 0 7 5 (2) ⇔ 1 − 3t = 3 t − 3 t 2 7 7 5 2 0 ≤ t ≤ t− t ≥ 0 7 0 ≤ t ≤ 3 5 3 5 1 7 5 2 2 ⇔ 1 − 3t = t − t ⇔ 5t − 16t + 3 = 0 ⇔ t = ∨ t=3 5 3 3 2 5t − 2t − 3 = 0 3 1 − 3t = 5 t2 − 7 t t = 1 ∨ t = − 5 3 3 x 1 3 = t = 1 x = log 1 3 ⇔ 5 ⇔ 5 ⇔ 5. x t=1 x=0 3 = 1 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 ∨ x = log3 Thí dụ 55. Giải bất phương trình: 2x + 23−x ≤ 9 1 . 5 (1) Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998 Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 x + 8 −9 ≤ 0 2x x t = 2 > 0 ⇔ 2 t − 9t + 8 ≤ 0 t = 2x > 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 8 ⇔ 1 ≤ 2x ≤ 8 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; 3 . 2 Thí dụ 56. Giải phương trình: 9 x2 −2x 1 2x−x − 2 ≤3 3 (1) Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 37 - 40. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (1) ⇔ 9 x2 −2x ( 2 2 − 2.3x −2x − 3 ≤ 0 ⇔ 3x −2x 2 ) − 2.3 x2 −2x −3 ≤ 0 (2) 2 ● Đặt: t = 3x −2x > 0 . t > 0 (2) ⇔ t 2 − 2t − 3 ≤ 0 t > 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 0 < t ≤ 3. 2 ● Với 0 < t ≤ 3 ⇒ 0 < 3x −2x ≤ 3 ⇔ x2 − 2x ≤ 1 ⇔ x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 1 − 2; 1 + 2 . Thí dụ 57. 1 1 > 3 − 1 1 − 3x−1 Giải bất phương trình: x (1) Bài giải tham khảo 3 x − 1 ≠ 0 3x ≠ 1 x ≠ 0 ● Điều kiện: ⇔ x−1 ⇔ 1 − 3x−1 ≠ 0 3 ≠ 1 x ≠ 1 (1) ⇔ 3 ⇔ x 1 1 − >0 − 1 1 − 3x−1 1 − 3x−1 − 3x + 1 (3 x )( − 1 1 − 3x−1 ) >0 3x − 3x 3 ⇔ >0 x x 1 − 3 3 −1 3 2− ( (2) ) ● Đặt t = 3 x > 0 . t > 0 t > 0 4 2− t 3 ⇔ t− (2) ⇔ 3 >0 2 >0 t (t − 1) 1 − (t − 1)(4 − t) 3 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 38 - Ths. Lê Văn Đoàn 41. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 0 < x < log 3 1 < 3x < 3 1 < t < 3 3 2 . ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ t>4 4 < 3x x > log 3 4 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log 3 Thí dụ 58. x Giải bất phương trình: 2 − 21− x 3 ∪ (log 3 4; +∞) . 2 (1) <1 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (1) ⇔ 2 x − 2 2 (2) <1 x ● Đặt t = 2 x . Do x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 . t ≥ 1 t ≥ 1 2) ⇔ ⇔ 2 ( 2 t − < 1 t − t − 2 < 0 t ⇔1≤ t<2 ⇔1≤2 x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 1. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) . Thí dụ 59. Giải bất phương trình: 3.9 x 2 −2x −x − 49.3 x 2 −2x −x −1 ≤6 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x2 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 . x2 −2x −x (1) ⇔ 3.9 ● Đặt t = 3 − 7.3 x2 −2x −x x2 −2x −x ≤6 (2) > 0. t > 0 (2) ⇔ 3t
  16. 16. 2 − 7t − 6 ≤ 0 t > 0 ⇔ 2 − ≤ t ≤ 3 3 ⇔ t≤3 ⇔ 3 x2 −2x −x ≤3 ⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 x − 2x ≥ 0 1 − ≤ x ≤ 0 x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 . 4 2 2 x≥2 x − 2x ≤ (x + 1) x ≥ −1 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 39 - (1) 42. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ − ; 0 ∪ 2; +∞) . 4 Thí dụ 60. Giải bất phương trình: 25 x +5<5 x +1 +5 x (∗) Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm 1998 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 ⇒ Tập xác định: D = 0; +∞) . (∗) ⇔ (5 x 2 ) − 6.5 x +5<0 x t = 5 > 0 ⇔ 2 t − 6t + 5 < 0 t = 5 x > 0 ⇔ 1 < t < 5 ⇔1< t<5 ⇔1<5 x <5 ⇔ 0 < x <1 ⇔ 0 < x < 1. ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;1) . Thí dụ 61. 8 + 21+x − 4 x + 21+x > 5 Giải bất phương trình: (1) Cao đẳng Giao Thông năm 2004 Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 ( ) 8 + 2.2 x − 2x > 5 − 2.2x t = 2 x > 0 ⇔ 8 + 2t − t2 > 5 − 2.t t > 0 t > 0 5 − 2t < 0 ⇔ ∨ 5 − 2t ≥ 0 2 2 2 8 + 2t − t ≥ 0 8 + 2t − t > (5 − 2t) t > 0 t > 0 5 5 ⇔ t > ∨ t ≤ 2 2 −2 ≤ t ≤ 4 1 < t < 17 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 40 - 43. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ Ths. Lê Văn Đoàn 5 5 < t≤4 ∨ 1< t≤ 2 2 ⇔1< t≤4 ⇔ 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0<x ≤2 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2 . Thí dụ 62. ( 2 )( 2 ) ( Giải phương trình: 2x − 2 < 2x + 2 1 − 2x − 1 ) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . ● Đặt: t = 2x − 1, (t ≥ 0) ⇒ t2 = 2 x − 1 ⇒ 2 x = t2 + 1 . (∗) ⇔ (t 2 ( 2 ) ( 2 ) + 1 − 2 < t2 + 1 + 2 (1 − t) 2 ) ( 2 ) ⇔ t2 − 1 < t2 + 3 (t − 1) 2 ( ) 2 ( ) 2 ⇔ (t − 1)(t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0 2 2 ⇔ (t − 1) (t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0 2 2 2 ⇔ (t − 1) (t + 1) − (t + 3) < 0 2 ⇔ (t − 1) (2t − 2) < 0 3 ⇔ 2 (t − 1) < 0 ⇔ t < 1 . ● V ới t < 1 ⇒ 2 x − 1 < 1 ⇔ 2 x < 2 ⇔ x < 1 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) . Thí dụ 63. x ( Giải phương trình: 9 3 + 11 2 ) x ( +2 5+2 6 ) −2 ( x 3− 2 ) (∗) <1 Bài giải tham khảo x x 3 9 3 + 11 2 = 3 + 2 = 3 + 2 x 2 x 2 x ● Nhận thấy rằng: 5 + 2 6 = 3 + 2 = 3 + 2 x x 3+ 2 3− 2 = 3+ 2 3− ( ( ( ) ( ) ( )( ) ) ) ( www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 41 - ( ( x ) 3 ) )( . x 2 =1 ) 44. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Đặt t = x ( 3+ 2 ) >0⇒ ( x 3− 2 ) = 1 . t 3 t + 2t2 − 2 1 < 1 t (∗) ⇔ x t = 3 + 2 > 0 ( ) t4 + 2t3 − t − 2 < 1 x ⇔ t = 3 + 2 > 0 ( ) (t − 1)(t + 2) t2 + t + 1 < 0 ⇔ x t = 3 + 2 > 0 ( ( ) ) −2 < t < 1 ⇔ t = 3 + 2 ( x ) >0 ⇔ 0< t<1 x ( ⇔ 2+ 3 ) <1 ⇔ x < 0. ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) . Thí dụ 64. Giải phương trình: 5 x + 2.5x 52x − 4 >3 5 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 52x − 4 > 0 ⇔ 2x > log5 4 ⇔ x > log5 2 . ● Đặt u = 5 x > 0 . (∗) ⇔ u + ⇔ u2 + ⇔ 2u u2 − 4 >3 5 4u2 4u2 + > 45 u2 − 4 u2 − 4 u2 u2 + 4. > 45 u2 − 4 u2 − 4 u2 t = >0 ⇔ u2 − 4 2 t + 4t − 45 > 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 42 - Ths. Lê Văn Đoàn 45. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn u2 t = >0 ⇔ u2 − 4 t > 5 ⇔ u2 u2 − 4 >5 ⇔ u2 > 5 u2 − 4 ⇔ u 4 − 25u2 + 100 > 0 ⇔ u 2 > 20 ∨ u 2 < 5 ⇔ u > 20 ∨ u < 5 ⇔ 5x > 20 ∨ 5x < 5 ⇔ x > log5 20 ∨ x < 1 . 2 1 ● So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ log5 2; ∪ log5 20; +∞ . 2 ( ) f (x ) 2.f x 2.f x Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 2: α.a ( ) + β. (a.b ) + λ.b ( ) = 0 . Chia hai vế cho b → PP Thí dụ 65. 2.f (x ) a f (x ) > 0 (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất). , rồi đặt ẩn phụ t = b (∗) Giải phương trình: 8 x + 18 x = 2.27 x Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2x 3x 3 3 (∗) ⇔ 1 + 2 = 2. 2 x x 3 x >0 3 > 0 3 t = t = = 1 ⇔ x = 0. 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ t= 3 2 3 2 2 2t − t − 1 = 0 2t − t − 1 = 0 ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 0 . Thí dụ 66. (∗) Giải phương trình: 6.4 x − 13.6x + 6.9x = 0 Đại học Dân Lập Bình Dương năm 2001 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 43 - 46. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x Ths. Lê Văn Đoàn 2x 3 3 (∗) ⇔ 6 − 13. 2 + 6. 2 = 0 x 3 > 0 t = 2 ⇔ ⇔ 2 6.t − 13t + 6 = 0 x 2 3
  17. 17. = 3 2 ⇔ x = ±1 . x 3 3 = 2 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 67. (∗) Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 5 2x 5 x (∗) ⇔ 3 + 3 − 2 = 0 t = 1 t2 + t − 2 = 0 x t = −2 5 x = 1 ⇔ x = 0. ⇔ ⇔ ⇔ x t = 5 > 0 3 5 >0 3 t = 3 ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 . Thí dụ 68. Giải phương trình: 1 x 2.4 + 1 x 6 = 1 x 9 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . 1 1 4 x 6 x (∗) ⇔ 2. 9 + 9 − 1 = 0 2 1 x 2 x + 2 − 1 = 0 ⇔ 2. 3 3 x 2 x = −1 t = 3 t = 2 > 0 3 ⇔ ⇔ x 2 1 2t2 + t − 1 = 0 t = = 3 2 (L ) x 2 1 1 ⇔ = ⇔ x = log 2 . 3 2 2 3 ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = log 2 3 Thí dụ 69. Giải phương trình: 9x + 6x = 22x +1 1 . 2 (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 44 - 47. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 9 x + 6x − 2.4 x = 0 2x x 3 3 ⇔ + 2 2 x t = 3 > 0 x 3 2 = 1 ⇔ x = 0. − 2 = 0 ⇔ ⇔ 2 t = 1 t = −2 ( L ) ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 . Thí dụ 70. (∗) Giải phương trình: 3.8 x + 4.12x − 18 x − 2.27 x = 0 Đại học khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 3 x 3 2x 3x − − 2. 3 = 0 (∗) ⇔ 3 + 4. 2 2 2 x 3 > 0 t = 2 ⇔ ⇔ 3 3 2t + t − 4t − 3 = 0 x 3 = 3 t = 2 2 ⇔ x = 1. x 3 t = 2 = − 1 ( L) ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 . Thí dụ 71. 2 Giải phương trình: 42x − 2.4 x 2 +x + 42x = 0 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 4 ( 2x2 −2x 2 ⇔ 4 x −x 2 − 2.4 x −x + 1 = 0 (chia hai vế cho 42x > 0 ) 2 ) − 2.4 x2 −x +1 = 0 t = 4 x2 −x > 0 2 ⇔ 2 ⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ t − 2t + 1 = 0 x = 0 . x = 1 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 2 . Thí dụ 72. Giải phương trình: 4 3 x + 5 +1 + 2.2 3 x +5 + x = 2.4 x (∗) Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 45 - 48. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ 4 3 3 x +5 +1 ⇔ 4.2 3 2.2 x +5 +x −2 = 0 22x + 4x x +5 −x + 2.2 ( ⇔ 4.4 ) 2 3 Ths. Lê Văn Đoàn x +5 −x 3 x +5 −x + 2.2 3 −2 = 0 x +5 −x 2 3 x+5 −x = t > 0 ⇔ 2 ⇔ 4t + 2t − 2 = 0 −2 = 0 3 2 x+5−x = t = 1 = 2−1 2 3 x+5−x 2 = t = −1 (L) ⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x −1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 . ⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 . ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3 . Thí dụ 73. 2 Giải phương trình: 22x +1 − 9.2x 2 +x + 22x +2 = 0 (∗) Đại học Thủy Lợi cơ sở II – Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . 2x2 (∗) ⇔ 2.2 2 − 9.2 x +x + 4.22x = 0 2 2 ⇔ 2.22x −2x − 9.2x −x + 4 = 0 ⇔ 2.2 ( 2 x2 −x ) 2 − 9.2x −x + 4 = 0 x 2 −x >0 t = 2 ⇔ 2 ⇔ 2t − 9t + 4 = 0 x2 − x = 2 ⇔ 2 ⇔ x − x = −1 x 2 −x = 4 2 2 x 2 − x = 1 2 x = −1 . x = 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = −1 ∨ x = 2 . Thí dụ 74. Giải phương trình: 4 log2 2x −x log2 6 = 2.3 log2 4x2 (∗) Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2001 Bài giải tham khảo x > 0 ● Điều kiện: ⇔ x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) . x ≠ 0 (∗) ⇔ 4 1+ log2 x −6 log2 x −6 ⇔ 4.4 log2 x − 2.3 2 log2 2x =0 log2 x − 2.9 1+log2 x =0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 46 - 49. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ 4.4 log2 x −6 log2 x 3 ⇔ 4 − 2 log2 x − 18.9 log2 x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn =0 2 log2 x 3 − 18. =0 2 18t2 + t − 4 = 0 log x ⇔ 2 t = 3 >0 2 log x 3 2 4 = t = 2 9 ⇔ log2 x 3 1 t = =− 2 2 (N ) (L ) ⇔ log2 x = −2 ⇔x= 1 . 4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = Thí dụ 75. Giải bất phương trình: 32x + 4 + 45.6x − 9.22x +2 ≤ 0 1 . 4 (∗) Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây năm 2005 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 81.9 x + 45.6x − 36.4 x ≤ 0 2x x 3 3 ⇔ 81. + 45. − 36 ≤ 0 2 2 x 3 >0 t = 2 ⇔ 2 81t + 45t − 36 ≤ 0 t > 0 ⇔ −1 ≤ t ≤ 4 9 4 9 ⇔0<t≤ x 3 4 ⇔ 0< < 2 9 ⇔ x
  18. 18. ≤ log 3 2 4 = −2 . 9 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 47 - 50. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 . Thí dụ 76. (∗) Giải bất phương trình: 9 x − 10.6x + 6.4 x > 0 Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998 Bài giải tham khảo 2 x x 3 3 ∗) ⇔ − 10. + 6 > 0 ( 2 2 x t = 3 > 0 2 ⇔ 2 t − 10t + 6 > 0 t > 0 ⇔ t < 5 − 19 ∨ t > 5 + 19 x x 3 3 ⇔ < 5 − 19 ∨ > 5 + 19 2 2 ( ⇔ x < log 3 5 − 19 ) ( ) ∨ x > log 3 5 + 19 . 2 2 ● Vậy tập nghiệm cần tìm là x ∈ −∞; log 3 5 − 19 ∪ log 3 5 + 19 ; +∞ . 2 2 ( 1 Thí dụ 77. 1 1 Giải phương trình: 9.25 x − 16.15 x ≥ 25.9 x ) (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≠ 0 . 2 1 5 x 5 x (1) ⇔ 9. 3 − 16. 3 − 25 ≥ 0 (2) 1 5 x ● Đặt t = > 0 . 3 t > 0 2) ⇔ 2 ( 9t − 16t − 25 ≥ 0 t > 0 t ≤ −1 25 ⇔ ⇔ t≥ 9 25 t≥ 9 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 48 - ( ) 51. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 1 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 2 5 x 25 5 ⇔ ≥ = 3 9 3 ⇔ 1 1 1 − 2x 1 ≥ 2 ⇔ −2 ≥ 0 ⇔ ≥0⇔0<x≤ . x x x 2 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ 0; . 2 Thí dụ 78. Giải phương trình: 2x + 4.5x − 4 < 10x (1) Bài giải tham khảo (1) ⇔ 2 x − 10x + 4.5x − 4 < 0 ( ) ( ) ⇔ 2x 1 − 5x − 4 1 − 5x < 0 ( )( ) ⇔ 1 − 5x 2x − 4 < 0 1 − 5 x < 0 x 2 − 4 > 0 ⇔ ⇔ 1 − 5 x > 0 x 2 − 4 < 0 5x x 2 x 5 2x >1 x > 2 ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) . <1 x < 0 <4 >4 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) . Thí dụ 79. Giải bất phương trình: 8.3x + x +9 x +1 ≥ 9x (∗) Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . (∗) ⇔ 8.3 x+ x ⇔ 8.3 x −x + 9.3 ( ) ⇔ 9.3 2 + 9.32 x −x x ≥ 32x ( x −x + 8.3 x −x 2 ) ≥1 −1 ≥ 0 t = 3 x −x > 0 ⇔ 2 9t + 8t − 1 ≥ 0 t = 3 x −x > 0 ⇔ 1 t ≤ −1 ∨ t ≥ 9 ⇔ t=3 x −x ≥ 1 = 3−2 9 ⇔ x − x ≥ −2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 49 - 52. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ x ≥ x −2 x − 2 ≤ 0 x − 2 ≥ 0 ⇔ ∨ 2 x ≥ 0 x ≥ x − 4x + 4 x ≥ 2 ⇔ 0≤x ≤2 ∨ 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ 0≤ x ≤2 ∨ 2≤ x ≤4. ⇔ 0≤ x ≤ 4. ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ 0; 4 . Thí dụ 80. Giải bất phương trình: 2.3 x +4 x 4 +9 x+ 1 2 ≥9 (1) x Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 0 . x +4 x (1) ⇔ 2.3 ⇔ 2. 3 ⇔ 2.3 x +4 x 32 4 + 3.9 + 3. x x− x ● Đặt t = 3 4 x 9 4 9 + 3.9 x− x 4 4 ≥9 x (chia hai vế cho 9 x ) x x ≥1 x− x (2) ≥1 > 0. t = 3 4 x − x > 0 2) ⇔ 2 ( 3t + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t≥ 4 1 ⇔ 3 x− 3 x ≥ 3−1 ⇔ 4 x − x ≥ −1 x − 4 x −1 ≤ 0 ⇔ ⇔ 4 x≤ 1+ 5 2 ⇔0≤x≤ 7+3 5 . 2 7 + 3 5 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; 2 Thí dụ 81. Giải bất phương trình: 32x − 8.3x+ x +4 − 9.9 x +4 >0 (1) Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, D năm 2000 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 50 - 53. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn ● Điều kiện: x ≥ −4 . (1) ⇔ 3 ⇔ 2x − 8.3x+ 32x 3 − 8. 2 x +4 ( 2 x − x +4 ⇔3 ) ● Đặt t = 3x− x +4 − 9.9 3x+ x+4 3 2 x +4 − 8.3x− x +4 x+4 >0 (Chia hai vế cho 9 −9> 0 x +4 x +4 ) (2) −9 > 0 > 0. t = 3 x − x + 4 > 0 (2) ⇔ t2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t>9 ⇔ 3 x− x +4 > 32 ⇔ x− x+4 >2 ⇔ x +4 < x +2 x > −2 x + 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x > 0. 2 (x + 2) > x + 4 x + 3x > 0 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0; +∞) . Thí dụ 82. ( ) (∗) Giải bất phương trình: log2 7.10x − 5.25x > 2x + 1 Đại học Thủy Sản năm 1999 Bài giải tham khảo x 10 5 5 ● Điều kiện: 7.10 − 5.25 > 0 ⇔ 7.10 > 5.25 ⇔ > ⇔ x < log 10 . 25 7 7 25 x (∗) ⇔ 7.10 x x x x − 5.25x > 22x +1 (Chia hai vế cho 4 x ) ⇔ 7.10 x − 5.25 x − 2.4 x > 0 2 x x 5 − 5. 5 − 2 > 0 ⇔ 7. 2 2 x t = 5 > 0 2 ⇔ − 2 5t + 7t − 2 > 0 x t = 5 > 0 2 ⇔ 2 < t<1 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 51 - 54. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn x 2 5 ⇔ < <1 5 2 ⇔ −1 < x < 0 . ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ (−1; 0) . Thí dụ 83. Giải bất phương trình: 4 x − 3.2x+ x 2 −2x −3 − 41+ x 2 −2x
  19. 19. −3 >0 (1) Cao đẳng khối A, B, D năm 2011 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x2 − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 . (∗) ⇔ 2 2x − 3.2x.2 ⇔ 1 − 3.2 x2 −2x−3 x2 −2x−3 −x x2 −2x−3 − 4.22 x2 −2x−3 −x − 4.22 >0 >0 (chia hai vế cho 22x ) t = 2 x2 −2x−3 −x > 0 ⇔ 2 4t + 3t − 1 < 0 t = 2 x2 −2x−3 −x > 0 ⇔ −1 < t < 1 4 ⇔ 0<2 x2 −2x−3 −x < 1 4 ⇔ x 2 − 2x − 3 − x < −2 ⇔ x 2 − 2x − 3 < x − 2 x − 2 > 0 2 7 ⇔ x − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ 3≤x< . 2 2 x − 2x − 3 < x 2 − 4x + 4 7 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: x ∈ 3; . 2 Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 3: a PP Đặt t = a → Thí dụ 84. f (x ) Giải phương trình: ( ⇒b f (x ) x f (x ) = f (x ) = c với a.b = 1 1 . t ) +( 2 −1 +b x ) 2 +1 −2 2 = 0 (∗) Đại học khối B năm 2007 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 52 - 55. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ● Ta có: ( ● Đặt t = )( ) 2 −1 ( 2 +1 = 1 ⇔ x ) 1 (∗) ⇔ t + t − 2 x )( ) 2 −1 x ( 2 +1 > 0 ⇒ x ( 2 +1 Ths. Lê Văn Đoàn = 1x = 1 . 1 = . t ) 2 −1 2 = 0 ⇔ t2 − 2 2 + 1 = 0 ( ( t = 2 + 1 ⇔ ⇔ t = 2 − 1 x ) 2 + 1) x = 1 . ⇔ x = −1 = 2 −1 2 +1 = 2 +1 x ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 85. x ( Giải phương trình: 2 + 3 x ) ( + 2− 3 ) (1) =4 Đại học Tổng Hợp Tp. HCM khối D năm 1994 – Đại học Quốc Gia Tp. HCM năm 1996 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . ( )( ( ) x x ( ● Ta có : 2 + 3 . 2 − 3 = 1 ⇔ 2 + 3 ● Đặt t = 2 + 3 (1) ⇔ t + ) x ( > 0 ⇒ 2− 3 ) 1 = 4 ⇔ t2 − 4t + 1 = 0 ⇔ t = x ) ( . 2− 3 1 x (2 + 3 ) = ) = 1x = 1 . 1 > 0. t t = 2 + 3 > 0 N ( ) t = 2 − 3 > 0 ( N) x ( ) ( ) ● Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 = 2 + 3 ⇔ x = 1. −x ● Với t = 2 − 3 ⇒ 2 − 3 = 2 − 3 ⇔ x = −1 . ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 86. 3 x x 5 + 2 6 + 3 5 − 2 6 = 10 Giải phương trình: (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . ● Ta có: 3 5 + 2 6 3 5 − 2 6 = x 3 (5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 1 . x x 1 ⇒ 3 5 + 2 6 . 3 5 − 2 6 = 1x = 1 ⇔ 3 5 − 2 6 = . x 3 5−2 6 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 53 - 56. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit x Ths. Lê Văn Đoàn x 1 ● Đặt t = 3 5 + 2 6 > 0 ⇒ 3 5 − 2 6 = . t t = 5 + 2 6 > 0 N ( ) t = 5 − 2 6 > 0 (N ) (∗) ⇔ t + 1 − 10 = 0 ⇔ t2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t x t = 3 5 + 2 6 = 5 + 2 6 x = 3 . ⇔ ⇔ x 3 x = −3 t = 5 + 2 6 = 5 − 2 6 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 ∨ x = 3 . Thí dụ 87. x ( Giải phương trình: 5 − 21 ) x ( + 7 5 + 21 ) (∗) = 2x + 3 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . ( )( ) x ( x ) ( ● Nhận xét: 5 + 21 . 5 − 21 = 4 ⇔ 5 + 21 . 5 − 21 x ( ● Đặt: t = 5 + 21 (∗) ⇔ ) ( ) = 4x . 4x > 0. t x > 0 ⇒ 5 − 21 ) = 4x + 7.t = 2x +3 t ⇔ 7t2 − 8.2x t + 4 x = 0 ( ∆ ' = 16.4 x − 7.4 x = 9.4 x = 3.2x x 2 ) x x t = 4.2 + 3.2 = 2x > 0 7 ⇒ 2x t = >0 7 (N ) x x ( ● Với t = 2 ⇒ 5 + 21 ( =2 ⇔ x 2x 2 = ⇔ = 7 ⇔ x = log 2 7 . 5 + 21 7 5+ 21 ) 2x ● Vớ i t = ⇒ 5 + 21 7 x = 1 ⇔ x = 0. 5 + 21 2 x ) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = log 2 5+ 21 Thí dụ 88. (N ) sin x ( Giải phương trình: 8 + 3 7 ) ( + 8−3 7 sin x ) = 16 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 54 - (∗) 7. . 57. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( )( ( ) ) sin x ( ● Ta có : 8 + 3 7 . 8 − 3 7 = 1 ⇔ 8 + 3 7 sin x ● Đặt t = 8 + 3 7 (∗) ⇔ t + sin x ( > 0 ⇒ 8−3 7 1 = 16 ⇔ t2 − 16t + 1 = 0 ⇔ t Ths. Lê Văn Đoàn ) = sin x ) . (8 − 3 7 ) 1 ⇒ 8−3 7 t ( = 1sin x = 1 . − sin x ) t = 8 + 3 7 > 0 N ( ) t = 8 − 3 7 > 0 (N) sin x ( ● Vớ i t = 8 + 3 7 ⇒ 8 + 3 7 ) = 8 + 3 7 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = − sin x ( ● Vớ i t = 8 − 3 7 ⇒ 8 − 3 7 ) = t. π + k2π, (k ∈ ») . 2 π = 8 − 3 7 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + lπ, (l ∈ ») . 2 ● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x = π π + k2π ∨ x = − + l π, (k, l ∈ ») . 2 2 f (x ) g (x ) f (x )+g (x ) =a a .a f (x ) g (x ) Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 4: α.a + a f (x ) + β.a +b =0 . f (x )−g (x ) =a g (x ) a f (x ) u = a đưa về phương trình tích số hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ. Đặt → v = a g (x ) PP Thí dụ 89. 2 Giải phương trình: 2x +x − 4.2x 2 −x − 22x + 4 = 0 (∗) Đại học khối D năm 2006 Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích số 2 u = 2x2 +x > 0 2 u 2x +x ● Đặt ⇒ = 2x = 2 x −x . 2x v 2 v = 2 > 0 u (∗) ⇔ u − 4. v − v + 4 = 0 ⇔ uv − v2 − 4u + 4v = 0 ⇔ v ( u − v ) − 4 (u − v ) = 0 ⇔ (u − v )(v − 4) = 0 2x2 + x = 22x x 2 + x = 2x u = v x = 0 ⇔ ⇔ 2x ⇔ ⇔ . 2 = 4 2x = 2 v = 4 x = 1 Cách giải 2. Đưa về phương trình tích số www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 55 - 58. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com 2 2 (∗) ⇔ 2x .2x −
  20. 20. 2x.2x − 4. 2x +4=0 2x x x2 2 2 − 2 = 0 ⇔ 2x 2x − 2x − 4 2x ( ) 2 4 ⇔ 2x − 2x 2x − x = 0 2 ( ) x x2 2 2 = 2 x = x ⇔ x = 0 . ⇔ x ⇔ x 4 4 = 4 x = 1 2 = x 2 Thí dụ 90. Giải phương trình: 25.2x − 10x + 5x = 25 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 25.2 x − 25 − 2x.5x + 5x = 0 ( ) ( ) ⇔ 25 2x − 1 − 5x 2x − 1 = 0 ( )( ) ⇔ 2x − 1 25 − 5 x = 0 2 x − 1 = 0 2 x = 1 x = 0 ⇔ ⇔ x ⇔ . x 25 − 5 = 0 5 = 25 x = 2 ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 2 . Thí dụ 91. (∗) Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 3.3 (4 + 5 ) − 5 (5 x ( x )( x ) +4 =0 ) ⇔ 5x + 4 3.3 x − 5 = 0 5x + 4 = 0 : Vô nghiêm do 5x + 4 > 0, ∀x ∈ » ⇔ x 3.3 − 5 = 0 ⇔ 3x = 5 5 ⇔ x = log3 . 3 3 ● Vậy phương trình có một nghiệm: x = log3 Thí dụ 92. Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 5 . 3 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 56 - Ths. Lê Văn Đoàn 59. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x) (∗) ⇔ 2x 2 ( ) − 3 1 − 4.3x .x − 6.3x + 1 = 0 ( ) ( ) ( x x = 3 − 12.3 ⇒ 3 − 12.3 x x = + 12.3x − 1 x = 1 =1 4 2 ⇔ x − 12.3 + 1 3x = 1 − x = 1 − 6.3x 6 6 4 2 ) ∆ = 9 1 − 8.3x + 16.9x − 8 −6.3x + 1 = 144.9x − 24.3 x + 1 = 12.3x − 1 (1) ● Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1) Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » . Hàm số y = 1 x − nghịch biến ∀x ∈ » . 6 6 ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . 2 Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử (∗) ⇔ 2x 2 − 3x + 1 + 6.3x. (2x − 1) = 0 1 ⇔ 2 (x − 1) x − + 6.3x. (2x − 1) = 0 2 ( ⇔ (2x − 1) x − 1 + 6.3x ) x = 1 2 =0⇔ 3 x = 1 − x 6 6 (1) ● Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1) Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » . Hàm số y = 1 x − nghịch biến ∀x ∈ » . 6 6 ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = Thí dụ 93. Giải phương trình : 4x2 + x.3 x + 31+x = 2x2 .3 x + 2x + 6 1 . 2 (∗) Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ (4x 2 ) ( ) ( ) − 2x 2 .3x + x.3 x − 2x + 3.3x − 6 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 57 - 60. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( ) ( ) ( Ths. Lê Văn Đoàn ) ⇔ 2x2 2 − 3 x − x 2 − 3 x − 3 2 − 3x = 0 ( )( ) ⇔ 2 − 3x 2x 2 − x − 3 = 0 x 3 2 − 3 = 0 ⇔ 2 ⇔ x = log 3 2 ∨ x = −1 ∨ x = . 2 2x − x − 3 = 0 ● Vậy phương trình có ba nghiệm là x = −1 ∨ x = log3 2 ∨ x = Thí dụ 94. ( ) Giải phương trình: x 2 .5x−1 − 3x − 3.5x−1 x + 2.5x−1 − 3x = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x) (∗) ⇔ 5 .x x 2 ( ) − 5.3x − 3.5x .x + 2.5x − 5.3x = 0 ( ∆ = 5.3 x − 3.5x 2 ) ( x = −1 3 ⇔ ⇒ x = −2 + 5. 5 ● ) ( − 4.5x. 2.5 x − 5.3 x = 5.3x − 5x x = −1 x x +2 3 = 5 5 2 ) (1) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 . x 3 Hàm số f (x ) = nghịch biến ∀x ∈ » . 5 Hàm số g (x ) = 1 2 x + đồng biến ∀x ∈ » . 5 5 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử (∗) ⇔ (x 2 ) + 3x + 2 .5x − 5 (x + 1).3x = 0 x = −1 ⇔ (x + 1) (x + 2).5x − 5.3x = 0 ⇔ 3 x x +2 = 5 5 ● Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 . x 3 Hàm số f (x ) = nghịch biến ∀x ∈ » . 5 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 58 - (1) 3 . 2 (∗) 61. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Hàm số g (x ) = Ths. Lê Văn Đoàn 1 2 x + đồng biến ∀x ∈ » . 5 5 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) ● Thí dụ 95. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 . Giải phương trình: 5cos 2 x (∗) = sin x Bài giải tham khảo ● ● Tập xác định D = » . 2 Ta có: cos2 x ≥ 0 ⇔ 5cos 5cos2 x ≥ 1 2 0 ≥ 5 ⇔ 5cos x = sin x . sin x ≤ 1 x cos2 x = 1 cos2 x = 0 π 5 ⇒ ⇔ ⇔ x = + kπ, sin x = 1 sin x = 1 2 ● Thí dụ 96. Vậy phương trình có một tập nghiệm: x = Giải phương trình: sin1999 x + cos1999 x = 1 (k ∈ » ) . π + kπ, 2 (k ∈ » ) . (∗) Đại học Y Tp. Hồ Chí Minh năm 1999 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 1 − sin 1999 x − cos1999 x = 0 ⇔ sin2 x + cos2 x − sin2 x sin1997 x − cos2 x cos1997 x = 0 ( ) ( ) ⇔ sin 2 x 1 − sin1997 x + cos2 x 1 − cos1997 x = 0 sin2 x 1 − sin1997 x ≥ 0 ● Ta có: 2 cos x 1 − cos1997 x ≥ 0 ( ( ) ) (1) (2) sin2 x 1 − sin1997 x = 0 ● Từ (1), (2) ⇒ 2 cos x 1 − cos1997 x = 0 ( ( ) ) x = k2π sin x = 0 cos x = 0 ⇔ ∨ ⇔ . x = π + k2π cos x = 1 sin x = 1 2 ● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x = k2π ∨ x = Thí dụ 97. Giải phương trình: 4 sin 2 x 2 + 4 cos x = 6 + cos 2x (1) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 59 - π + k2π . 2
  21. 21. 62. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Xét hàm số: f (x ) = 6 + cos 2x . (2) Ta có: −1 ≤ cos 2x ≤ 1 ⇔ 5 ≤ 6 + cos 2x ≤ 7 2 ● Xét hàm số: g (x ) = 4 sin x 2 + 4 cos x 2 = 4 sin x ( 2 + 2 Đặt t = 4sin x , 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ 40 ≤ 4sin Khi đó, g (x ) được viết lại là g (t) = t + g ' (t) = 1 − 4 4 x sin2 x ) ≤ 41 Hay t ∈ 1; 4 . 4 , ∀t ∈ 1; 4 . t t = −2 ∉ 1; 4 4 t2 − 4 . = . Cho g ' (t) = 0 ⇔ 2 2 1; 4 t = 2 ∈ t t g (1) = 5 max g (t) = max g (x ) = 5 g 2 = 4 ⇒ 1;4 ⇒ ( ) . min g (t) = min g (x ) = 4 g 4 = 5 1;4 ( ) Hay 4 ≤ 4sin 2 x 2 + 4 cos x ( 3) ≤5 2 sin2 x + 4 cos x = 6 + cos 2x 4 ● Từ (1), (2), (3) ⇒ 6 + cos 2x ≥ 5 2 2 sin x 4 + 4 cos x ≤ 5 cos 2x = −1 6 + cos 2x = 5 ⇔ sin2 x ⇔ sin2 x = 0 cos2 x 4 2 +4 =5 cos x = 1 ∨ π 2 cos x = 0 ⇔ x = + kπ , (k ∈ ») . 2 2 sin x = 1 ● Vậy phương trình đã cho có một tập nghiệm: x = Thí dụ 98. 4 x + 2x − 2 >0 4 x − 2x − 2 Giải bất phương trình: π + kπ , ( k ∈ » ) . 2 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (2 (∗) ⇔ (2 x x )( + 1)(2 )>0⇔ 2 2 − 2) + 2 2x − 1 x x x 2 x < 1 x < 0 > 0 ⇔ x ⇔ . −2 2 > 2 x > 1 −1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) . Thí dụ 99. 2 2 2 Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x +1 + 3.2 x > x2 .2x + 8x + 12 (∗) Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 60 - 63. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn ● Tập xác định D = » . (∗) ⇔ 4x 2 2 2 2 + 2x.2x + 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0 ( ) ( ) ( ) ⇔ 2x (2 − 4) + 3 (2 − 4) − x (2 − 4) > 0 ⇔ (2 − 4)(2x + 3 − x ) > 0 ⇔ f (x ) = (2 − 4)(x 2 2 2 ⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 .2x > 0 x2 x2 x2 x2 2 x2 2 2 ) (1) − 2x − 3 < 0 2x2 − 4 = 0 x = ± 2 x 2 = 2 ● Cho 2 ⇔ ⇔ . x − 2x − 3 = 0 x = −1 ∨ x = 3 x = −1 ∨ x = 3 ● Bảng xét dấu x −1 − 2 −∞ 2 2x − 4 x 2 − 2x − 3 + f ( x) 0 + + − − + 0 0 + 0 − − 0 3 2 + +∞ + − 0 0 + − 0 + ( ) ( ● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ − 2; −1 ∪ Thí dụ 100. ( 2 ) ) 2; 3 . (∗) Giải bất phương trình: 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 − 1 ≥ 0 Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 3 x2 −4 ( ) (1) + x 2 − 4 .3x−2 ≥ 1 3x2 −4 ≥ 1 + 2 ● Nếu x ≥ 2 ⇒ 2 ⇔ 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 ≥ 1 x−2 x − 4 .3 ≥ 0 ( ( ) ) Do đó (1) luôn đúng với x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm của bất phương trình. 3x2 −4 < 1 ⊕ 2 ● Nếu x < 2 ⇒ 2 ⇔ 3x −4 + x 2 − 4 .3x−2 < 1 x−2 x − 4 .3 < 0 ( ( ) ) Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) . Thí dụ 101. Giải phương trình: 4 x 2 −3x +2 + 4x 2 + 6x + 5 = 42x 2 + 3x + 7 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 61 - +1 (∗) 64. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 2 2 2 2 (∗) ⇔ 4x −3x +2 + 42x +6x +5 = 4x −3x +2.42x +6x +5 + 1 Ths. Lê Văn Đoàn (1) u = 4 x2 −3x +2 > 0 ● Đặt . v = 42x2 +6x +5 > 0 (1) ⇔ u + v = uv + 1 ⇔ (u − 1)(1 − v) = 0 ⇔ u =1 ∨ v =1 ⇔ 4x 2 −3x +2 = 1 ∨ 42x 2 + 6x + 5 =1 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 ∨ 2x2 + 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = −1 ∨ x = −5 . ● Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = ±1 ∨ x = 2 ∨ x = −5 . Thí dụ 102. Giải phương trình: 4x 2 +x 2 (x +1) 2 + 21−x = 2 (∗) +1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ 2 2x2 +2x ⇔ 22x 2 +2x 2 2 + 21−x = 2 x +2x+1 + 1 2 + 21−x − 2x 2 +2x +1 −1 = 0 (1) u = 22x2 +2x > 0 2 ● Đặt ⇔ u.v = 2x +2x+1 . 1−x2 v = 2 >0 (1) ⇔ u + v − uv − 1 = 0 ⇔ (u − 1) − v (u − 1) = 0 ⇔ (u − 1)(1 − v) = 0 u = 22x2 +2x = 1 ⇔ ⇔ 2 v = 21−x = 1 2 2x + 2x = 0 ⇔ x = 0 . 1 − x 2 = 0 x = ±1 ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 1 . Thí dụ 103. ( Giải phương trình: 2 + 2 log2 x ) ( + x. 2 − 2 log2 x ) = 1 + x2 (∗) Đại học Quốc Gia Hà Nội – Học Viện Ngân Hàng năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 1 . ● Đặt: log2 x = t ⇒ x = 2t ⇒ x2 = 4 t . (∗) ⇔ (2 + 2 t t ) + 2 (2 − 2 ) t = 1 + 4t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 62 - 65. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ( ⇔ 2+ 2 t ) t t + 2 2 − 2 = 1 + 2 2 + 2 2 − 2 ( ) ( )( a = 2 + 2 ⇔ a + b = 1 + a b với b = 2 2 − 2 t Ths. Lê Văn Đoàn t t t ( ) ( ( ) ( )( ( ) ) ) ⇔ a t − 1 + b t − a tb t = 0 ( ) ⇔ a t − 1 − bt a t − 1 = 0 ) ⇔ a t − 1 1 − bt = 0 a t = 1 ⇔ t ⇔ t = 0 ⇔ log2 x = 0 ⇔ x = 1 . b = 1 ● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 . Thí dụ 104. Giải phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x (∗) Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » . (∗) ⇔ (8.3 ( x ) ( ) − 24 + 3.2x − 2x.3x = 0 ) ( )( ) ) ⇔ 8 3x − 3 − 2x 3x − 3 = 0 ( ⇔ 3 x − 3 8 − 2x = 0 3x − 3 = 0 x = 1 ⇔ ⇔ . x 8 − 2 = 0 x = 3 ● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 ∨ x = 3 . Thí dụ 105.
  22. 22. Giải phương trình: 22x − 2x + 6 = 6 (∗) Bài giải tham khảo x u = 2 > 0 ● Đặt ⇒ v2 = u + 6 . v = u + 6 > 6 u2 = v + 6 (∗) ⇔ v2 = u + 6 ⇔ u 2 − v2 = − (u − v) ⇔ (u − v)(u + v + 1) = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 63 - 66. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn u − v = 0 . ⇔ u + v + 1 = 0 u = 3 ● Với u = v ⇒ u2 − u − 6 = 0 ⇔ ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8 . u = −2 ● Với u + v + 1 = 0 ⇒ u 2 + u − 5 = 0 u = −1 + 21 2 ⇔ ⇔ 2x = u = −1 − 21 2 21 − 1 21 − 1 ⇔ x = log2 . 2 2 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 8 ∨ x = log2 Thí dụ 106. Giải phương trình: 8 2 x −1 +1 + 2x x 2 +2 = 18 2 x −1 + 21−x + 2 21 − 1 . 2 (∗) Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 8 2 x −1 +1 + 1 1− x 2 +1 = 18 2 x −1 (1) + 21−x + 2 x −1 +1 u = 2 ● Đặt ⇒ u.v = 2x −1 + 1 . 21−x + 1 = 2x −1 + 21−x + 2 = u + v . 1− x v = 2 +1 ( )( ) 8 + 1 = 18 u + 8v = 18 u = v = 2 (1) ⇔ u v u + v ⇔ u + v = uv ⇔ 9 u + v = uv u = 9 ⇒ v = 8 2x −1 + 1 = 2 ● Với u = v = 2 ⇒ 1−x ⇔ x = 1. 2 +1= 2 x−1 + 1 = 9 2 9 ● Với u = 9 ∧ v = ⇒ 1−x 9 ⇔ x = 4. 2 8 +1= 8 ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 ∨ x = 4 . Thí dụ 107. Giải bất phương trình: 6x + 2x +2 ≥ 4.3x + 22x (∗) Bài giải tham khảo u = 3x > 0 ● Đặt . v = 2 x > 0 (∗) ⇔ uv + 4v − 4u − v2 ≥ 0 ⇔ (u − v)(v − 4) ≥ 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 64 - 67. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn u − v ≥ 0 u − v ≤ 0 ⇔ ∨ v − 4 ≥ 0 v − 4 ≤ 0 x x x x 3 ≥ 2 3 ≤ 2 ⇔ x ∨ x 2 ≥ 4 2 ≤ 4 x ≥ 0 x ≤ 0 ⇔ ∨ x ≥ 2 x ≤ 2 ⇔ x≥2 ∨ x≤0 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0 ∪ 2; +∞) . Thí dụ 108. Giải bất phương trình: 2x + 2x + 1 < 22x +1 + 4x + 2 (∗) Bài giải tham khảo 1 ● Điều kiện: 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2 (∗) ⇔ 2x + 2x + 1 < 2.22x + 2 (2x + 1) (1) x u = 2 > 0 ● Đặt . v = 2x + 1 ≥ 0 (1) ⇔ u + v < 2 2u2 + 2v2 ( ⇔ (u + v) < 2u2 + 2v2 ) 2 ⇔ (u − v ) > 0 ⇔u≠v ⇔ 2x ≠ 2x + 1 ⇔ 22x ≠ 2x + 1 ⇔ 2x ≠ 0 ∨ 2x ≠ 1 ⇔x≠0 ∨ x≠ 1 2 1 ⇔ x ∈ (−∞; +∞) 0; . 2 1 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ − ; +∞ 0; . 2 2 Thí dụ 109. Giải bất phương trình: 2x + log5 2 5x − 1 + 5x − 3 ≥ 5 Bài giải tham khảo www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 65 - − 2.5x +1 + 16 (∗) 68. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit (∗) ⇔ 5x − 1 + 5x − 3 ≥ 2.52x − 10.5x +1 + 16 2 ( ) ( ) ⇔ 5x − 1 + 5x − 3 ≥ 2 5x − 3 + 2 5x − 1 (1) ● Điều kiện: 5x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . u = 5x − 1 ≥ 0 ● Đặt . v = 5 x − 3 (1) ⇔ u + v ≥ 2u2 + 2v2 ⇔ 2u2 + 2v2 ≤ u + v u + v ≥ 0 ⇔ u + v)2 ≥ 2u2 + 2v2 ( u + v ≥ 0 ⇔ 2 (u − v) ≤ 0 ⇔u=v ⇔ 5x − 1 = 5x − 3 x 5 − 3 ≥ 0 ⇔ x 5 − 1 = 5x − 3 5x ≥ 3 ⇔ 2x x 5 − 7.5 + 10 = 0 ⇔ x = 1. ● Vậy bất phương trình có nghiệm x = 1 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 66 - Ths. Lê Văn Đoàn 69. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 20. Giải các phương trình sau 1/ 25x − 30.5 x + 125 = 0 . 2/ 3x − 8.3 2 + 15 = 0 . 3/ 4x +2 − 9.2x +2 + 8 = 0 . ĐS: x = ±1 . 4/ 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0 . ĐS: x = − 5/ 8 x + 2x = 5. 4x − 2 ĐS: x = 1 ∨ x = log2 6/ ( 7/ (3 + 2 2 ) 8/ 32x +2x+1 − 28.3x +x + 9 = 0 . 9/ 9x −1 − 36.3x −3 + 3 = 0 . 10/ 2sin 11/ 4cot x + 2 sin 12/ 81sin 13/ 4 3+2 cos x − 7.41+cos x − 2 = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . x 2 ĐS: x = 2 ∨ x = log 3 25 . 2 x 7+4 3 ) ( =2 2 ) ( 2 −1 + 3 . +2 = 0. 2 2 x ĐS: x = 0 . x ) 2 2 ĐS: x = log x sin2 x 14/ 25 15/ 4sin 16/ 2 ĐS: x = ±1 ∨ x = ± 2 . ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 −3 = 0. 2 x ĐS: x = π + kπ, (k ∈ ») . 2 x 81 cos2 x 17/ 9 18/ 4sin 2 x 2 x cos2 x 2 + 2cos sin2 x x + 81cos + 25 x = 30 . ĐS: S = ∅ . cos2 x sin2 x = 26 . ĐS: x = 2 x 2π + k2π, (k ∈ ») . 3 π + kπ, (k ∈ ») . 2 x = kπ ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 82 . x = kπ ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 10 . + 41+cos ĐS: x = ± x = kπ ĐS: , (k ∈ » ) . x = π + kπ 2 = 5. + 81 +9 2. ĐS: x = 1 ∨ x = −2 . 1 2 2 +1 = 6. 2 + 4.2cos 2 3 + 39 . 2 x −3 2− 3 x 3 ∨ x = −1 . 2 = 10 . ĐS: x = www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 67 - π kπ + , (k ∈ » ) . 4 2 70. Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 19/ e6x − 3.e 3x + 2 = 0 . 20/ 4 21/ 4x+ 22/ 9 23/ 4x+ x2 −2 − 5.2x−1+ 24/ 4 x− x2 −5 − 12.2x−1− 25/ ( 3) + ( 3) 26/ 1 4 27/ 1 6 28/ x 32x = 2. (0, 3) + 3 . x 100 x−2 x2 −2 − 5.2x−1+ x2 −2x −x − 7.3 x 5 x−2 + 16 = 10.2 ĐS: x = = 6. x2 −2x −x−1 = 2. − 6 = 0. x2 −5 Ths. Lê Văn Đoàn 1 ln 2 ∨ x = 0 . 3 ĐS: x = 3 ∨ x = 11 . . x2 −2 x2 −2 www.MATHVN.com + 8 = 0. ĐS: x = 2 . 1 ĐS: x = − . 4 ĐS: x = 3 . 2 ĐS: x = 3 ∨ x = 9 . 4 x−10 10 − 84 = 0 . ĐS: x = 20 . x−2 4 . 9 = 25−x + 9 . ĐS: x = log2 =
  23. 23. 65−2x − 12 . ĐS: x = 3 − log12 6 . x−3 29/ 3 2 Bài tập 21. 3 = 4 x−4 − 7 . 3−x 2 30/ ĐS: x = log 10 3 . 8x − 2 3x +3 x ĐS: x = log2 112 . ĐS: x = 3 ∨ x = log6 8 . + 12 = 0 . Giải các phương trình sau 1/ 3 x +2 + 3−x − 10 = 0 . ĐS: x = −2 ∨ x = 0 . 2/ 2x+2 − 22−x − 15 = 0 . ĐS: x = 2 . 3/ e2x − 4e−2x = 3 . ĐS: x = ln 2 . 4/ 3 x − 31− x +4 = 0. ĐS: x = log2 3 5/ 5 x − 51− x + 4 = 0. ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 6/ 2x −x − 22+x−x = 3 . 7/ 101+x − 101−x = 99 . 8/ 51+x − 51−x = 24 . 9/ 5.2 10/ 3.2 2 2 2 2 3 x−1 x +1 ĐS: x = ±1 . 2 ĐS: x = ±1 . − 3.25−3x + 7 = 0 . − 8.2 x −1 2 ) 7 −2 . ĐS: x = −1 ∨ x = 2 . 2 x−1 ( ĐS: x = 1 . +4 = 0. ĐS: x = 9 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 68 - 71. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 11/ 4 x +1 + 2x+4 = 2x+2 + 16 . ĐS: x = 0 . 12/ −8 x + 2.4 x + 2 x − 2 = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 . 13/ 8 x − 3.4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 14/ 24x + 2.23x + 8.2x − 16 = 0 . ĐS: x = log2 15/ 27 16/ 42x + 23x+1 + 2x +3 − 16 = 0 . x− 2 3 − 9x−1 = 2.32x−1 − 2.33x−1 . 5 −1 . ) ( 5 −1 . ĐS: x = 0 . ĐS: x = log2 3x x +1 ( ) x 1 1 + 8. + 3.2x +3 = 125 − 24. . 2 2 17/ 8 18/ 23x + 19/ 1 53x + 27 3x + 5−x + 9.5x = 64 . 5 20/ 23x − 1 325 x + 22x + 1 = .2 . x 16 2 ĐS: x = ±1 . ĐS: x = log2 8 1 = 6 2x − x−1 + 1 . 23x 2 15 ± 161 . 8 ĐS: x = 0 ∨ x = log5 2 . ĐS: x = 1 . x 21/ 9 2x−2 10 + 4 2 = . 4 ĐS: x = 3 . 22/ ĐS: x = log 3 23/ 27 x + 2 = 3. 3 3x+1 − 2 . 2 x +4 = 2 25/ 32x+1 = 3x +2 + 1 − 6.3x + 32x+2 . ĐS: x = log3 26/ 5.32x−1 − 7.3x−1 + 1 − 6.3 x + 9x +1 = 0 . ĐS: x = log3 17 − 1 . 2 ĐS: x = 0 . 24/ Bài tập 22. 32x + 3x + 5 = 5 . ( ) 2 x2 +1 2 ( ) 2 x2 +2 + 2 2 + 2x +6 + 64 . ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 . Giải các phương trình sau 1/ 3.9x + 7.6x − 6.4 x = 0 . ĐS: x = −1 . 2/ 25 x + 10 x = 22x +1 . ĐS: x = 0 . 3/ 4.22x − 6x = 18.32x . ĐS: x = −2 . 4/ 8.3 5/ 32 x +4 + 45.6x − 9.22 x +2 = 0 . x +4 x +9 4 x +1 = 9 x. ĐS: x = 16 . ĐS: x = −2 . www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 69 - (6 + 3 33 ). 3 1 ∨ x = log3 . 5 5 72. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit Ths. Lê Văn Đoàn 6/ x = π + kπ cos x−sin x−lg7 4 1 2sin x−2cos x+1 2sin−2cos x+1 2 − +5 = 0 . ĐS: x = k2π . 10 3π + k2π x = 2 7/ 64.9x − 84.12 x + 27.16x = 0 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2 . 8/ 125 x + 50 x = 23x +1 . ĐS: x = 0 . 9/ 22x +1 − 9.2x +x + 22x+2 = 0 . 10/ 4.3x − 9.2x = 5.6 2 . 2 2 ĐS: x = −1 ∨ x = 2 . x 1 x 1 x ĐS: x = 4 . 1 x 11/ 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 . ĐS: x = ±1 . 12/ 23x + 2x.32x − 2.33x = 0 . ĐS: x = 0 . 13/ 4 − 1 x − +6 1 x − =9 1 x ĐS: x = − log 1+ . 5 2 x +1 x +6 x +1 x = 2.9 x +1 x ĐS: x = −1 . 14/ 4 15/ 32x +6x−9 + 4.15x +3x−5 = 3.52x +6x−9 . 2 . 2 2 + 9−x 2 +2x +1 2 16/ 25−x 17/ Bài tập 23. +2x +1 2 3 . 2 = 34.15−x +2x . 6.32x − 13.6 x + 6.22x = 0 . ĐS: x = −4 ∨ x = 1 . HD: Chia : 92x−x 2 x = 0 ⇒ x = 2 . x = 1 ± 3 ĐS: x = ±1 . Giải các phương trình sau x2 x2 1/ (2 + 3 ) + (2 − 3 ) 2/ (5 + 3/ 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10 . 4/ 6. 5/ ( x 24 ) + (5 − = 4. x 24 ) x x ) 5 +1 −2 5 − 21 x ) ĐS: x = ±1 . = 10 . x ( ĐS: x = ±1 . ( ( x ) = 2x+2 . 5 −1 + 7. 5 + 21 x ) = 2 x +3 . ĐS: x = ±2 . ĐS: x = 0 . ĐS: x = 0 ∨ x = − log 5+ 2 x x 6/ 3 3 + 8 + 3 3 − 8 = 6 . 7/ 7 + 4 3 sin x ĐS: x = ±3 . sin x + 7 −4 3 = 4. ĐS: x = www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 70 - π + kπ, (k ∈ ») . 2 21 7. 73. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit tan x 8/ ( 9/ ( 10/ ) (2 + 3 ) 8+3 7 ) π + kπ, (k ∈ ») . 4 ĐS: x = ± π + kπ, (k ∈ ») . 4 ĐS: x = ± π + kπ, (k ∈ ») . 4 ) ( tan x + 5−2 6 cot x ĐS: x = ± = 10 . ( tan x 5+2 6 = 16 . tan x + 8−3 7 ) cot x ( ) + 2− 3 1−2 sin2 x = 4. 2 cos2 −1 11/ (2 + 8 ) ( 12/ 3 3 3 + 8 + 3− 8 −6 = 0. 13/ (2 − 3 ) + (2 + 3 ) 14/ 2 + 3 + 2 − 3 = 4. 15/ (2 + 3) + (7 + 4 3)(2 − 3) 16/ ( 17/ ( 18/ (2 cos 72 ) + (2 cos 36 ) 19/ (26 + 15 3) + 2(7 + 4 3) − 2(2 − 3) 20/ 7 + 3 5 + 7. 7 − 3 5 = 8 . 2 2 + 3− 8 x ) ĐS: x = ±3 . ĐS: x = ±1 . = 14 . x x ĐS: x = ±2 . x x ) x ( + 9. 4 − 6 x ) ) = 8 + 4 3 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . = 10x +1 . ĐS: x = 0 . x ( − 3. 2 − 3 x o o ) +2 = 0. ĐS: x = 0 . = 3. x x 2 t − 3t + 1 = 0 HD: . x t = 2 cos 72o > 0 ( x = 1 . ĐS: x = 0 . x x ĐS: x = 0 ∨ x = log 7+3 22/ ( 2 (2 + 3 ) 24/ ( ( ) ) + 2− 3 + 16. 2 − 3 x 3+ 5 x2 −2x−1 ( x 23/ ) 7. x 6 − 35 + 6 + 35 = 12 . (x−1) 5 2 21/ ) ) x x 2+ 3 kπ , (k ∈ » ) . 2 x x 7+4 3 ĐS: x = = 6. x x 4+ 6 Ths. Lê Văn Đoàn ( + 16. 3 − 5 ĐS: x = ±2 . 4 = . ĐS: x = 1 ∨ x = 1 ± 2 . 2− 3 x = 22x . = 2 x +3 . x ) ĐS: x = 1 . ĐS: x = log 3+ 5 4. 2 x 25/ (5 − 21) ( + 7. 5 + 21 x ) = 2 x +3 . ĐS: x = 0 ∨ x = log 5+ 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 71 - 1 . 21 7 74. www.MATHVN.com Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit 26/ ( 27/ ( 28/ 29/ 7+4 3 ) 7+4 3 ( 9 −2 5) ( ( + 6. 2 − 3 x+1− 1−x x2 +1 ) −7 = 0. ( + 7−4 3 x2−2x+1 ) ĐS: x = ± 3 . x+1− 1−x = 7 . ĐS: x = ± 9 +2 5 + −2 x2−2x+1 3 . 2 = 10 +2 5 . ĐS: x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2 . ( 5 −2) x− x2 ) 5 +1

×