Γεωμετρία και τέχνη

1. ΓΔΩΜΔΣΡIΑ ΚΑΗ ΣEΥΝΖ
2013-14
4Ο ΓΕΛ ΧΑΝΙΩΝ

2. Τα καζεκαηηθά αλ θνηηαρηνύλ ζσζηά
ραξαθηεξίδνληαη από ύςηζηε νκνξθηά-κηα
νκνξθηά ςπρξή θαη απζηεξή ζαλ εθείλε ησλ
γιππηώλ, πνπ δελ απεπζύλεηαη ζηηο
αζζελέζηεξεο πιεπξέο ηεο θύζεο καο, πνπ ηεο
ιείπνπλ ε γνεηεία ηεο δσγξαθηθήο θαη ηεο
κνπζηθήο, θη όκσο αγλή θαη ηθαλή γηα κηα
απξόζβιεηε ηειεηόηεηα ,ηέηνηα πνπ κόλν ηα
κεγαιύηεξα έξγα ηέρλεο έρνπλ λα δείμνπλ…
Bertrand Russel

3. ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ

ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
Σηα καζεκαηηθά θαη ηελ ηέτλε, δύο ποζόηεηες έτοσλ
αλαιογία τρσζής ηοκής αλ ο ιόγος ηοσ αζροίζκαηος
ηοσς προς ηε κεγαιύηερε ποζόηεηα είλαη ίζος κε ηο
ιόγο ηες κεγαιύηερες ποζόηεηας προς ηε κηθρόηερε.
Εθθραζκέλο αιγεβρηθά:


όποσ ηο γράκκα θ αληηπροζωπεύεη ηελ τρσζή ηοκή.

5. ΢ΖΜΔΗΟ ΦΤΓΖ΢
Γλσζηηθή πξνζέγγηζε ηνπ ζεκείνπ θπγήο
Σηε δσγξαθηθή όινη γλσξίδνπκε πόζν ζεκαληηθό είλαη ην
ζεκείν θπγήο σο έλλνηα θαη σο δνκηθό ζηνηρείν. Όκσο ην
ζεκείν θπγήο έρεη θαη γλσζηηθά ραξαθηεξηζηηθά, ηα νπνία είλαη
πνιύ ρξήζηκα ζηνλ ρώξν ηεο δηδαζθαιίαο. Όπσο ην ζεκείν
θπγήο αλήθεη ζηε ζεσξία πξννπηηθήο, ε νπνία ήηαλ άγλσζηε
αθόκα θαη ζηε βπδαληηλή επνρή θαη αλαθαιύθζεθε κεηαμύ
άιισλ από ηνλ Leonardo da Vinci ζηελ πεξίνδν ηεο ηηαιηθήο
αλαγέλλεζεο, δελ κπνξνύκε λα ην ζεσξήζνπκε σο έλα
απιντθό εξγαιείν. Μηα παξαηήξεζε αξθεί γηα λα αλαδείμεη ηνλ
ξόιν ηνπ ζεκείνπ θπγήο ζ’ έλαλ πίλαθα: ην ζεκείν θπγήο δελ
αλήθεη απαξαίηεηα ζηνλ πίλαθα.

7. ΛONΑ ΚIΖΑ

Έλα από ηα πηο θεµηζµέλα θαη αµθηιεγόµελα
έργα ηοσ Λεολάρληο Νηα Βίληζη είλαη θαη ε
«Μόλα Λίδα». Ο Νηα Βίληζη δωγράθηζε ηο
πρόζωπο ηες Μόλα Λίδα ώζηε ασηό λα τωράεη
ηέιεηα ζε έλα τρσζό ορζογώληο θαη δόµεζε ηολ
σπόιοηπο πίλαθα γύρω από ηο πρόζωπο
τωρίδοληάς ηολ επίζες ζε τρσζά ορζογώληα

11. Ξ AΜΘΠΩΟΞΡ ΢ΞΣ ΒΘ΢ΠΞYΒΘΞΣ
Ο Άλζρωπος ηοσ Βηηρούβηοσ είλαη έλα δηάζεµο
ζτέδηο µε ζσλοδεσηηθές ζεµεηώζεης ηοσ Λεολάρληο
Νηα Βίληζη, ποσ θηηάτηεθε περίποσ ηο 1490 ζε έλα
από ηα εµεροιόγηά ηοσ. Απεηθολίδεη µία γσµλή
αληρηθή θηγούρα ζε δύο αιιειοθαισπηόµελες
ζέζεης µε ηα µέιε ηοσ αλεπησγµέλα θαη ζσγτρόλως
εγγεγραµµέλε ζε έλα θύθιο θαη έλα ηεηράγωλο.

15. Ξ ΢ΞIΤΞΡ ΢ΗΡ ΑΓIΑΡ ΢ΠAΟΕΖΑΡ ΢ΗΡ ΙΑΟEΚΑ ΡΘΝ΢IΜΑ

17. ΙΑΟEΚΑ ΡΘΝ΢IΜΑ –Η ΡΤΞΚH ΢ΩΜ ΑΘΗΜΩΜ

18. ΓΕΩΛΕ΢ΠΘΙΕΡ ΦΞΠΛΕΡ ΙΑΘ Ρ΢ΗΜ BYZANTINH AΓΘΞΓΠΑΦΘΑ
ΒΣΖΑΜ΢ΘΜΗAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAΑΓΘΞΓΠΑΦΘΑAA

20. ΑΚΟΜΑ ΚΑΗ ΢ΣΖΝ
ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΗΚΖ...


21. ΑΗΘΟΤ΢Α ΣΩΝ ΑΓΑΛΜΑΣΩΝ(ΒΑΣΗΚΑΝO)

22. ΠΑΡΘΔΝΩΝΑ΢

Πολλέσ από τισ αναλογίεσ του Παριενϊνα
φέρονται να εμφανίζουν την χρυςθ
αναλογία.Η πρόςοψη του
Παριενϊνα, καιϊσ και τα ςτοιχεία τησ
πρόςοψησ αυτοφ λέγεται από κάποιουσ ότι
οριοιετθιηκαν από οριογϊνια με χρυςέσ
αναλογίεσ. Άλλοι μελετητέσ αρνοφνται ότι οι
Έλληνεσ είχαν κάποια αιςιητικθ ςυςχέτιςη
με τη χρυςθ αναλογία

23. ΠΑΡΘΔΝΩΝΑ΢-ΜΔΓΑΛΔIΟ ΣΖ΢
ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΗΚΖ΢

31. FRACTALS
(ΛΑΣΗΝΗΚΑ : FRACTIO = ΘΡΑΤ΢ΜΑ, ΚΟΜΜΑΣΗ)
 Τα
fractals απνηεινύλ γελίθεπζε ησλ
θιαζηθώλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ
θαη πξνθύπηνπλ θπξίσο από
καζεκαηηθνύο ηύπνπο.

32. ΦΡΑΚΣΑΛΗΚΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ

Χαξαθηεξηζηηθό ησλ fractals είλαη ην γεγνλόο
όηη δελ ππαθνύνπλ ζηνπο θαλόλεο ηεο
επθιείδεηαο γεσκεηξίαο.

Καηά ηε κεγέζπλζή ηνπο ζε νπνηαδήπνηε
θιίκαθα, επαλαιακβάλεηαη ζπλερώο ε ίδηα
δνκή. Καηαζθεπάδνληαη κε επαλαιεπηηθέο
αιγνξηζκηθέο δηαδηθαζίεο

33. ΠΩ΢ ΢ΥΖΜΑΣΗΕΟΝΣΑΗ;

Τα fractals απνηεινύλ γελίθεπζε ησλ
θιαζηθώλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ θαη
πξνθύπηνπλ θπξίσο από καζεκαηηθνύο
ηύπνπο.

36. ΚΑΗ Ζ ΦΤ΢Ζ ΑΚΟΛΟΤΘΔΗ ΣΖΝ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ
ΦΡΑΚΣΑΛ



...

37. Οκάδα: Καζεηίλεο

38. ΣΑ FRACTALS ΢ΣΖ ΦΤ΢Ζ
Fractal ζπλαληάκε θαη γύξσ καο ζηε
θύζε.
 Χαξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα είλαη : ην
κπξόθνιν, νη ληθάδεο ρηνληνύ, ηα
αηκνθόξα αγγεία, ηα θνρύιηα θαη ηα
θύιια.


44. Ξέξνπλ νη κέιηζζεο γεσκεηξία;
Kη όκσο νη θεξύζξεο ηνπο έρνπλ
ζρήκα
θαλνληθνύ
εμαγώλνπ,
εμνηθνλνκώληαο
ρώξν θαη κέιη.

45. Σηελ θαηλνκεληθή ηπραηόηεηα ηνπ θπζηθνύ θ

46. FRACTALS ΢ΣΖΝ
ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΗΚΖ
Αθόκα θαη πνιιά θηίξηα παξνπζηάδνπλ
επηξξνέο από ηε κνξθή ησλ fractals.
 Απνηεινύληαη ,δειαδή, από
επαλαιακβαλόκελα κέξε.


49. ΚΤΒΗ΢ΜΟ΢
Ο όξνο θπβηζκόο ρξεζηκνπνηήζεθε γηα πξώηε
θνξά από ηνλ Γάιιν θξηηηθό ηέρλεο Λνπί Βσζέι
(Louis Vauxcelles) ην 1908. Καηόπηλ ηνλ
δαλείζηεθαλ θαη νη ίδηνη νη δεκηνπξγνί ηνπ
θπβηζκνύ.
Οη θπβηζηέο δσγξάθνη ζπιιακβάλνπλ ηνλ θόζκν
κέζσ ηεο γεσκεηξηθήο δνκήο ηνπ αληηθεηκέλνπ.
Απεηθνλίδνπλ ηηο έλλνηεο θαη ηηο ηδέεο ησλ
πξαγκάησλ.
Υαξαθηεξηζηηθά ηνπ θπβηζκνύ είλαη νη θαζαξέο
θόξκεο , ην πεξίγξακκα , ηα γεσκεηξηθά
ζρήκαηα.

50. Οη θπβηζηέο δσγξάθνη:
* Βιέπνπλ θαη δσγξαθίδνπλ ην αληηθείκελν από πνιιέο
κεξηέο ηαπηόρξνλα. Γηάθνξεο όςεηο από πνιιέο νπηηθέο
γσλίεο.
* Καηαξγνύλ ην ρώξν. Γελ ππάξρεη κπξνο – πίζσ, πάλσ –
θάησ, κέζα – έμσ. Πνιιαπιέο πξννπηηθέο. Ζ θόξκα θαη ν
ρώξνο κέζα ζηνλ νπνίν ππάξρεη ζπγρένληαη. ΢πγρένληαη
αθόκε θαη ηα ίδηα ηα αληηθείκελα κεηαμύ ηνπο.
* Υξεζηκνπνηνύλ ηελ επαλάιεςε ηεο θόξκαο , γεγνλόο
πνπ δίλεη ηελ αίζζεζε ηεο θίλεζεο.
* Αθαηξώληαο ηα επηκέξνπο ζηνηρεία , αλαιύνπλ θαη
θηάλνπλ ζηα δνκηθά ζηνηρεία ηνπ αληηθεηκέλνπ. Όκσο ε
αθαίξεζε ζηνλ θπβηζκό δελ είλαη κηα απζαίξεηε αθαίξεζε.
΢ηεξίδεηαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα. Γνκή ηνπ νξαηνύ
θαηλνκέλνπ.

51. ΚΥΒΙΣΜΟΣ

Σηα έξγα ηέρλεο θπβηζηώλ ηα αληηθείκελα
ρσξίδνληαη, αλαιύνληαη, θαη ζπλζέηνληαη μαλά ζε κηα
αθεξεκέλε κνξθή - αληί νη θαιιηηέρλεο λα απνδίδνπλ
ηα αληηθείκελα από κηα ζπγθεθξηκέλε γσλία, ηα
δηαηξνύλ ζε πνιιαπιέο απόςεηο, βιέπνληαο έηζη
ηαπηόρξνλα πνιιέο δηαθνξεηηθέο δηαζηάζεηο ή όςεηο
ησλ αληηθεηκέλσλ. Σπρλά νη επηθάλεηεο ησλ όςεσλ, ή
ηα πιάλα, ηέκλνληαη ζε γσλίεο πνπ δελ έρνπλ θάπνην
αλαγλσξίζηκν βάζνο.

55. PICASSO PABLO- GUERNICA 1937

57. ΗΑΠΩΝΗΚΖ ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΗΚΖ

60. ΦΑΡΑΚΤΙΚΑ ΤΟΥ ESCHER
Σα έξγα ηνπ βαζίδνληαη ζε λόκνπο ηεο
ζπκκεηξίαο, ηεο ζεσξίαο ζπλόισλ, ηεο
πξννπηηθήο, ηεο ηνπνινγίαο, ηεο
θξπζηαιινγξαθίαο.
<< …στόσορ μος είναι να αυςπνίσω την
αποπία και την έκπληξη στο νος των
θεατών>>

69. ΣΑ ΠΛΑΣΩΝΗΚΑ ΢ΣΔΡΔΑΠΤΡ, ΓΖ, ΑΖΡ, ΢ΤΜΠΑΝ, ΤΓΩΡ

70. ΜΟΥΣΙΚΗ
Η ςχϋςη μεταξύ μουςικόσ και μαθηματικών
εύναι ϋνα θϋμα που γοητεύει τουσ
επιςτόμονεσ εδώ και εκατοντϊδεσ χρόνια.
Πριν
από
2000
χρόνια
ο
Πυθαγόρασ,
ςύμφωνα
με
αναφορϋσ, ανακϊλυψε ότι ευχϊριςτα
μουςικϊ
διαςτόματα
μπορούν
να
περιγραφούν χρηςιμοποιώντασ απλϋσ
αναλογύεσ.

71. MOZZART EFFECT
Aπό ηελ αξραία Eιιάδα ήηαλ γλσζηή ε ζηελή ζρέζε κεηαμύ
καζεκαηηθώλ θαη κνπζηθήο. Oη Ππζαγόξεηνη πάζρηδαλ λα βξνπλ
ηηο ζρέζεηο κεηαμύ αξκνλίαο θαη αξηζκώλ, ελώ θαιύηεξα ηα
θαηάθεξε ν κεγάινο θπζηθόο Douglas Hoffstader, πνπ ζην βηβιίν
ηνπ «Godel, Escher, Bach» αλαθάιπςε ηελ θνηλή γξακκή
ζθέςεο ηνπ καζεκαηηθνύ Kurt Godel, ηνπ γξαθίζηα M. C.
Escher, θαη ηνπ ζπλζέηε Γηόραλ Σεκπάζηηαλ Μπαρ. Γλσζηό ήηαλ
επίζεο από παιηά όηη ηα παηδηά πνπ έρνπλ θιίζε ζηελ κνπζηθή
δείρλνπλ εμαηξεηηθέο ηθαλόηεηεο ζηα καζεκαηηθά θαη ην
αληίζηξνθν (π.ρ. Aτλζηάηλ)...
Έλαο θπζηθόο όκσο πνπ ηα ηειεπηαία ρξόληα αζρνιείηαη κε ηελ
ιεηηνπξγία ηνπ εγθεθάινπ, ιέεη όηη ε κνπζηθή έρεη θαη
παηδαγσγηθό ξόιν ζηα καζεκαηηθά. Eθείλνη πνπ αθνύλ
Mόηζαξη, ηζρπξίδεηαη, παξνπζηάδνπλ κεγαιύηεξεο ηθαλόηεηεο
ζηα καζεκαηηθά θαη ηελ ινγηθή ζθέςε.

72. Για τον Πυθαγόρα η μουσική και τα
μαθηματικά γίνεται άςκηςη με ςκοπό την
υπέρβαςη των ςωματικϊν περιοριςμϊν και την
κάιαρςη τησ ψυχθσ, για να μπορέςει η
τελευταία να απελευιερωιεί από τον κφκλο
τησ μετενςάρκωςησ και να φτάςει τελικά ςτη
ιεότητα από την οποία προέρχεται

73. Μηα από ηηο αλαθαιύςεηο ηνπ ήηαλ θαη
ην κνλόρνξδν.
Είλαη ην πξώην επηζηεκνληθό κνπζηθό
όξγαλν ζηελ ηζηνξία. Πξόθεηηαη γηα όξγαλν
κειέηεο ησλ κνπζηθώλ δηαζηεκάησλ ζε
ζρέζε κε ηηο αλαινγίεο ησλ κεθώλ ησλ
ρνξδώλ πνπ ηηο παξάγνπλ.

74. ΜΑΘΖΣΔ΢ ΣΖ΢ ΠΟΤ ΢ΤΝΔΡΓΑ΢ΣΖΚΑΝ ΓΗΑ
ΑΤΣΖΝ ΣΖΝ ΔΡΓΑ΢ΗΑ...
G-artists :Καγηαδάθε Αζελά, Κνξνπηζέλθν
Ινπιία, Μαξθεηάθε Μαξία Μνπιαθάθε
Αλαζηαζία
 Dalides : Μαξακπνπηάθε Νηθνιέηα, Μαξηλάθε
Αγγειηθή, Μνπληνθαιάθε Ισάλλα, Μνπζηάθα
Κπξηαθή


75. 
Αλώλπκνη : Λεβεληάθε
Γεσξγία, Μπεκπιηδάθε
Αλησλία, Παπαδνπιάθεο
Νηθόιανο, Πεληαξάθε Αξγπξή, Σαιεβνπξάθεο
Βαζίιεηνο

Οη θαζεηίλεο : Καθαηζάθε Αζελά, Κακίι
Μίζηνξ, Κνθνγηαλλάθε Μαξία, Κσζηήο
Πέηξνο, Μαξθαλησλάθεο Πέηξνο