Com es planteja i es resol un problema de Progrmació Lineal

1. PROGRAMACIÓ LINEAL
A tenir en compte:
Conceptes previs
•La recta està més inclinada
1 Equació d'una recta al pla
quan major és el valor de m.
• Forma implícita: Ax + By + C = 0.
•• Forma explícita: y = el mateix
Totes les rectes amb mx + b
pendent són paral·leles.α
• m - pendent = tg
• b - ordenada a l'origen
•Feix de rectes paral·leles:
• Exemple:
donada una recta y = mx+b totes
les rectes y = mx + k on k∈R
formen un feix de rectes
paral·leles.
1

2. PROGRAMACIÓ LINEAL
Conceptes previs
2 Tall de dues rectes
Analíticament. S'apliquen els mètodes de resolució de sistemes
d'equacions
Exemple:
. y = −x + 3
 Per igualació − x + 3 = 3x − 1 ⇒ 4 x = 4 ⇒ x = 1 ⇒ y = 2
 y = 3x − 1
•Gràficament, es representen les dues rectes i es busca el punt de tall
2

3. PROGRAMACIÓ LINEAL
Conceptes previs
3 Inequació lineal
Exemple: una recta y = mx+b, la seva gràfica divideix el
Donada A partir de
lapla en dos semiplans els punts dels quals compleixen
gràfica de y = 3x-1 i
agafant el puntinequacions: y ≤ mx + b, y ≥ mx + b.
les següents (0,0),
Per reconèixer la ⇒
substituint 0>3·0-1 inequació de cada semiplà només cal
0 substituir les coordenades d'un punt ,que no estigui a la
> -1, tenim
localitzantsl’equació de la recta i veure quina de les dues
recta, en el dos
semiplans: és compleix.
inequacions
3

4. PROGRAMACIÓ LINEAL
Conceptes previs
4 Sistemes d'inequacions lineals
Exemple:  y > 3x − 1

La resolució>d'un3sistema d'inequacions lineals equival a
 y −x +
trobar la zona del pla que compleix totes les
inequacions.
Caldrà representar els semiplans corresponents a cada
desigualtat i veure la zona comuna a tots els semiplans:
4

5. PROGRAMACIÓ LINEAL
Formulació general.
Formulació d'un problema de programació lineal.
Maximització: de programació lineal és un problema d'optimització
Possibles solucions:
Un problema
Per d'una funció que està sotmesa a unsla R.F. ( Només quan la
n variables i òptims interiors a restriccions de desigualtats.
•No hi ha m restriccions:
Si la funció aconstant).= Crestriccions són+...+Cnxn.
F.O. és 1optimitzar) i les 1x1+c2x2+c3x3 lineals, estem parlant
F.O. f(x ,x2,...,xn
de •Els òptimslineal. en les arestes i els vèrtex de la R.F.
programació estan
Cal•conèixer:
a11x1 + ........ + a1n xn ≤ r1
m Restriccions:  òptims també ho són tots els punts
Si dos vèrtex són.............................................

de l'aresta que els (F.O.): és la funció a optimitzar.
La funció objectiu uneix.
a
•Si un punt d'una m11x1 és òptimmn xn ≤ n són tots
+ ........ + a possibles
La regió factible(R.F.): conjunt de lestambérhosolucions i
aresta
que ve donada per la regió intersecció de totes les
els restriccions. de no negativitat xi ≥ 0 ∀i= 1,...., n
n restriccions
punts de l'aresta.
Minimització convex: ∀x, y ∈ R.F ., λx + (1 − λ ) y ∈ F i tancat: conté a tots els
És
•GENERALITZANT: restriccions que són ≥ , si no ho fossin es
Tot igual menys les ∀λ ∈ [ 0,1]
multiplica punts frontera
per -1.
5

6. PROGRAMACIÓ LINEAL
Resolució d'un problema de programació lineal per
dues variables.
Trobada la funció objectiu i la regió factible, la resolució consisteix en:
•Gràficament: cal interpretar que la optimització de la F.O., equival a
•Analíticament:
trobar, d'entre el feix de rectes definides pel pendent d'aquesta, la que té una
• ordenada els vèrtex de la regió factible: punts
major Trobar a l'origen, tot passant pels vèrtex de la R.F.. Això té molt a
veure amb les inclinacions de la F.O. i les rectes restriccions del problema.
Per això cal: de les inequacions restriccions del
de tall
problema.
•Trobar el pendent de la F.O.
•Substituir les coordenades dels vèrtex en la
•Trobar els pendents de les restriccions. quin optimitza la
funció objectiu per veure
funció.
•Esbrinar entre quins pendents està el pendent de la F.O.
•El vèrtex intersecció d'aquestes dues inequacions ens optimitza la F.O.
6

7. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
1 Un problema de dieta:
Suposem que una persona per cobrir les seves necessitats nutritives necessita
tres tipus d'elements: glucosa, proteïnes i vitamina A. Suposem també que
la dieta d'una persona consta només de dos aliments I i II, els preus i els
continguts dels quals venen indicats en la taula següent:
Aliment I Aliment II
Preu pe unitat 0'6 1'00
Glucosa 10 gr/unitat 4 gr/unitat
Proteïna 5 gr/unitat 5 gr/unitat
Vitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitat
Es considera que una persona per anar ben alimentada ha de consumir com a
mínim 20 grs de glucosa, 20 grs de proteïnes i 12 grs de vitamina A.
Quina és la combinació dels dos elements que cobreix les necessitats diàries i
produeix el mínim cost ?. 7

8. Aliment I Aliment II Mínims
Preu pe unitat 0'6 1'00
9 Optimització - Exemples_
Glucosa 10 gr/unitat 4 gr/unitat 20 gr.
Proteïna 5 gr/unitat 5 gr/unitat 20 gr.
Vitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitat 12 gr.
Incògnites x y
Resolució:
Assignació de variables: x - quantitat de l'aliment I que pren diàriament.
y - quantitat de l'aliment II que pren diàriament.
Funció objectiu: C(x,y) = 0'6 x + 1'00 y
Restriccions
10 x + 4 y ≥ 20 (1) Glu cos a
(Necessitats 
de nutrició 5 x + 5 y ≥ 20 (2) Pr oteïnes

diària) 2 x + 6 y ≥ 12 (3) Vita min a A
x ≥ 0 ( 4)

y ≥ 0
 (5)
Regió factible:
8

9. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
1 Un problema de dieta
Resolució analítica:Com es compleixen les condicions d'un
problema de programació lineal, hem de buscar la solució
entre les vèrtex de la regió factible.
Els vèrtex són:
A(6,0) → C(A) = 3'6 €
B(3,1) → C(B) = 2'8 €
C(0'667,0'333) → C(C) = 3'77 €
D(0,5) → C(D) = 5 €
Solució: El cost es fa mínim en B(3,1), caldrà prendre 3 unitat de l'aliment
I i 1 de l'aliment II per obtenir un cost mínim de 2'8 €.
9

10. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
1 Un problema de dieta
Resolució gràfica:En forma
explícita obtenim els pendents:
F.O. y = -0'6x + C
(1)y = -2'5x + 5
(2)y = -x + 4
(3)y = -0'33x + 2
Comparant-les m(2)<mF.O.<m(3),
el vèrtex determinat per aquestes
dues restriccions ens proporciona la dieta amb cost mínim:
Es pot veure al gràfic que de tot el feix de rectes paral·leles de la F.O.la que té
una ordenada a l'origen més petita és la que passa pel punt B(3,1).
Solució: el cost es fa mínim en B(3,1). Cal prendre 3unitats de l'aliment I 101 de
i

11. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
2 Un problema de producció.
Una empresa produeix dos tipus de productes "Normal" i “Super” en una
planta que consta de tres departaments: selecció, muntatge i
empaquetament. Els equips de cada departament poden treballar 8 hores
diàries. El procés de producció es pot resumir de la forma següent:
(1)El producte "Normal" és primerament seleccionat i després
empaquetat. Cada tona d'aquest producte necessita 1/2 hora de
selecció i 1/3 d'hora per l'empaquetat.
(2)El producte "Super" primerament es munta i després
s'empaqueta, necessitant cada tona 1 hora de muntatge i 2/3 d'hora
d'empaquetat.
El nivell de producció global de l'empresa ha de ser com a mínim de 3 tones
diàries.
Finalment els productes "Normal" i "Super" són venuts i l'empresa n'obté un
benefici net de 40 $ i 30 $ respectivament per tona.
Quina combinació de producte haurà de produir l'empresa per tal de
11
maximitzar el benefici total (brut) ?.

12. 9 Optimització - Exemples_
Resolució:
Assignació de variables: x - tones per dia del producte “Normal”.
y - tones per dia del producte “Super”.
Funció objectiu: B(x,y) = 40 x + 30 y
1
Restriccions  2 x + 0 y ≤ 8 (1) Selecció x ≤ 16
(Hores 
0 x + 1 y ≤ 8 (2) Muntatge y ≤8
diàries 1
 x + 2 y ≤ 8 (3) Empaquetatge x + 2 y ≤ 24
necessàries) 3
 3
x + y ≥ 3 (4) Nivell producció diària x + y ≥ 3
x ≥ 0 (5)

y ≥ 0
 ( 6)
Regió factible
12

13. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
2 Un problema de producció
Resolució analítica:
Els vèrtex són: A(3,0) → B(A) = 120 $
B(16,0) →B(B) = 640 $
C(16,4) → B(C) = 760 $
D(8,8) → B(D) = 560 $
E(0,8) → B(E) = 240 $
F(0,3) → B(F) = 90 $
Solució: El benefici és màxim en C(16,4), caldrà produir 16 tones del
producte “Normal” i 4 del producte “Super” per obtenir un benefici
màxim de 760 $.
13

14. PROGRAMACIÓ LINEAL
Exemples
2 Un problema de producció
Resolució gràfica: En forma explícita
obtenim els pendents:
F.O. y = -1'33 x + B
(3) y = -0'5 x + 12
(4) y = -x + 3
• Comparant observem que mF.O.<m(4), la qual cosa ens indica que la inclinació
de la F.O. es menor que la de les restriccions(3) i (4), la qual cosa ens diu que
el vèrtex C ens proporciona el benefici màxim:
• Es pot veure al gràfic que de tot el feix de rectes paral·leles de la F.O.la que
té una ordenada a l'origen més gran és la que passa pel punt C(16,4).
Solució: el benefici és màxim en C(16,4). Cal produir 16 tones del producte
“Normal” i 4 del producte “Super” per obtenir un benefici màxim de 760 $.14