Predely nepreryvnost funkcij

1. Пределы. Непрерывность
функций
Автор: Королёв Иван, 11 «А» класс
Руководитель: Степанищева Зоя Григорьевна

2. Введение
Цель работы:
1. Совершенствовать уровень своей математической подготовки.
2. Овладеть некоторыми вопросами математического анализа.
Задачи исследования:
1. Изучить определения и свойства предела, непрерывность
функции.
2. Выработать навыки нахождения пределов, построения графи-
ков разрывных функций.
Актуальность темы:
Изучение данной темы предусматривает межпредметную связь
математики и физики. Понятие предела непосредственно связано с ос-
новными понятиями математического анализа – производная, инте-
грал и др.

3. Предел переменной величины
Пределом переменной величины х называется постоянное число
а, если для каждого наперед заданного произвольно малого положи-
тельного числа ε можно указать такое значение переменной х, что все
последующие значения будут удовлетворять неравенству |х–а|<ε.
Если число а есть предел переменной величины х, то пишут: lim x=a.
В терминах геометрических определение предела может быть
сформулировано следующим образом: постоянное число а есть пре-
дел переменной х, если для любой наперед заданной как угодно малой
окрестности с центром в точке а и радиусом ε найдется такое значе-
ние х, что все точки, соответствующие последующим значениям пере-
менной, будут находиться в этой окрестности:
0 а
2ε
х ε

4. Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к
пределу.
Пример 1. Доказать, что переменная хn=1+ имеет предел, равный
единице.
Составим разность между переменной и ее пределом: |хn–
1|=|(1+ )–1|= . Для любого ε все последующие значения перемен-ной,
начиная с номера n, где n > , будут удовлетворять условию |хn–1|
<ε, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что переменная wn
=(-1)n
при неогра-ниченном
возрастании n не имеет предела.
Действительно, при возрастании n, переменная wn
не стремится ни
к какому числу, попеременно принимая значения 1 и –1, т. е. не
имеет предела.
Предел переменной величины
n
1
n
1
n
1
ε
1

5. Предел функции
Пределом функции ƒ(х) при х→а называется число b, если для
любого положительного ε можно указать такое положительное
число δ, что для любого х, удовлетворяющего неравенству |х–а|<δ,
выполняется неравенство|f(x)–b|<ε. В этом случае пишут:
ƒ(х)= b.
Если х→а и х<а, то употребляют запись ƒ(х)=b1; если же
х→а, но х>а, то пишут ƒ(х)=b2. Числа b1 и b2 называются соот-
ветственно левым и правым пределом функции у=ƒ(х).
lim
аx→
lim
0аx −→
lim
0аx +→

6. Предел функции
y=ƒ(х)
2ε
b+ε
b-ε
b
a-δ a+δa
М

7. Основные свойства пределов
Свойство 1. Предел суммы нескольких переменных равен
сумме пределов этих переменных:
lim(a1+a2+…+an)= lim a1+lim a2+…+lim an.
Свойство 2. Предел произведения нескольких переменных
равен произведению пределов этих переменных:
lim(a1∙a2∙…∙an)= lim a1∙lim a2∙…∙lim an.
Свойство 3. Предел частного двух переменных равен част-
ному пределов этих переменных, если предел знаменателя отли-
чен от нуля: lim = , если lim b≠0.
Свойство 4. Предел степени равен пределу основания, воз-
веденного в степень предела показателя: lim ab
=(lim a)limb
.
b
a
b
a
lim
lim

8. Основные свойства пределов
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Далее я решил привести некоторые часто встречающиеся типы
примеров, рассмотренных мной в ходе работы:
1.
2.
1
x
xsin
lim
0x
=
→
( ) ea1
x
1
1 a
1
limlim
0a
x
x
=+=





+
→∞→
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( ) 3
2
1xx1x
1x1x
1x1x1xx
1x1xx1x
1x
1x
33 21x33 2
33 23
1x
3
1x
limlimlim =
++−
+−
=
+−++
+++−
=
−
−
→→→
( )
( )
2
1n
n2
1nn
n2
n...321
1n2...531
limlimlim
n
2
nn
=
+
=
+
=
++++
−++++
∞→∞→∞→

9. Основные свойства пределов
3.
4.
( )( )
=














+
−
+=





+
−
+=





+
−
−+
−
−
+
−−
→→→
1x1x3
2x2
2x2
1x3
1x
1
1x
1
1x3
2x2
1
1x3
2x2
1
1x3
1x5
limlimlim
1x1x1x
( )
( )
( )
eee
1x3
1x2
1x31x
1x2
limlim
1x1x
==
+
+
+−
−
→





→
=
( ) ( )( )
( ) =
−++
−++−−+
=−−+
∞→∞→ 1x1x
1x1x1x1x
1x1x
22
2222
x
22
x
limlim
0
2
0
1x1x
2
22
2
22
2
x
1
x
x
x
1
x
x
x
2
x22x
limlim ==
−++
=
−++
=
∞→∞→

10. Основные свойства пределов
5.
6.
Пусть и=2+а, а→0.
=
⋅⋅⋅
=
−
⋅
=
− →→→
2
x2
2
x
2
x
0x0x0x sin2
xcoscossin2x2
xcos1
xcosxsinx2
1xsec
xsinx2
limlimlim
414cosxcos4
sin
cosxcos
4
sin
cosxcosx2
2
x
0x2
x
2
x
2
x
0x2
x
2
x
0x
limlimlim =⋅=⋅=
⋅
=
⋅
=
→→→
( )
( )( )
( ) ( )
4
1
2
1
4
1
2
1
2u2u
2u
2
4u
2u 22u
1
22u
1
22u
1
limlimlimlim
2u2u2u
2
2u
=





+=





+
+−
−
=










+
−
− −−−
−
→→→→
0
2
1
2
1
2a
1
2
limlim
0a
a
1
0a
==





→→

11. Непрерывность функций
Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена
в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции
при х→х0, равный значению самой функции в этой точке. Функция на-
зывается непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в
каждой точке этой области. Точка х0, принадлежащая области опреде-
ления функции, называется точкой разрыва, если в этой точки нару-
шается условие непрерывности. Если существуют конечные левый и
правый пределы функции в точке х0, а функции определена в этой
точке, но эти три числа не равны между собой, то точка х0 называется
точкой разрыва I рода. Точки разрыва, не являющиеся точками разры-
ва I рода, называются точками разрыва II рода.

12. 1
2
-2 -1 0 1 2 3
0
Непрерывность функций
Пример 1. Рассмотрим функцию





≤≤−
<<
<≤−
=
4x2,2x
2x1,x
1х1,х
)x(f
2
1x)x(f
1x)x(f
limlim
limlim
01x01x
2
01x01х
==
==
+→+→
−→−→
( ) 02x)x(f
2x)x(f
limlim
limlim
02x02x
02x02x
=−=
==
+→+→
−→−→

13. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Непрерывность функций
Данная функция имеет
разрыв в точке х=3. Рассмот-
рим односторонние пределы:
Функция имеет конечный
предел слева, предел же справа
является бесконечным. Точка
х=3 будет точкой разрыва II
рода.
3x
1
5)x(f −=
∞==
+→−→
)x(f;0)x(f limlim
03x03x
Пример 2. Определить точки разрыва функции