Maths 18-01-23

Мини-курс «Сравнения по модулю»,
7-11 класс
Занятие №2
Максимов Дмитрий Васильевич
Онлайн-школа
Foxford.ru 2017/2018
Максимов Д.В., dimax.pro Сравнения по модулю Занятие №2

Взаимно простые числа
Напомним, что два целых числа a и b мы
называем взаимно простыми, если у них нет
никакого общего натурального делителя кроме
единицы. Мы пишем (a, b) = 1

Теорема
Два целых числа a и b взаимно просты в том и
только в том случае, когда существуют такие
k, m ∈ Z, что ak + bm = 1

Задача
Докажите, что если (a, c) = 1 и (b, c) = 1 (где
a, b, c ∈ Z, то (ab, c) = 1. Иными словами, если
два целых числа взаимно просты с третьим, то их
произведение тоже взаимно просто с ним.

Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число a > 1 можно разложить
на простые множители, и такое разложение
единственно, если не считать разложений,
получающихся перестановкой сомножителей.

Каноническое разложение.
В разложении на простые множители (которое
существует по основной теореме арифметики),
простые множители могут повторяться. Мы их
собираем вместе и записываем в виде степеней.
Получается разложение
A = p1
a1
p2
a2
. . . pm
am
Сомножители pk
в этом разложении называются
примарными.

Делимость.
Пусть A и B — два натуральных чисел. Тогда
число A делится на число B в том и только в том
случае, когда степени всех простых чисел в
каноническом разложении числа A не меньше
степеней соответствующих простых чисел в
каноническом разложении числа B. (Здесь мы
полагаем, что если простого числа нет в
каноническом разложении, то его степень равна
0).

Степень.
Пусть A — натуральное число и
A = p1
a1
p2
a2
. . . pm
am
— его каноническое
разложение. Тогда число A является точно n-ой
степенью (то есть представимо в виде A = an
для
некоторого натурального a) в том и только в том
случае, когда все показатели ak делятся на n.

НОД и НОК.
Пусть даны два целых числа A и B. Наибольшим
общим делителем этих чисел называется
наибольшее натуральное число d, на которое оба
этих числа делятся. Пишут d = (A, B).
Наименьшим общим кратным чисел A и B
называется наименьшее натуральное число K,
которое делится на оба числа A и B. Пишут
K = [A, B].

Выражение НОДа и НОКа.
Пусть A = p1
a1
p2
a2
. . . pm
am
и B = p1
b1
p2
b2
. . . pm
bm
.
Тогда
(A, B) = p
min(a1,b1)
1 p
min(a2,b2)
2 . . . pmin(am,bm)
m
[A, B] = p
max(a1,b1)
1 p
max(a2,b2)
2 . . . pmax(am,bm)
m
Отсюда вытекает, что (A, B) · [A, B] = 1.

Количество делителей.
Пусть A — натуральное число и
A = p1
a1
p2
a2
. . . pm
am
— его каноническое
разложение. Тогда у числа A ровно
(a1 + 1)(a2 + 1) . . . (am + 1) натуральных
делителей.

Алгоритм Евклида.
Пусть a ≡ b (mod m). Тогда (a, m) = (b, m). Это
наблюдение дает нам второй способ поиска НОДа
— заменять число на его остаток по модулю
второго числа.

Напоминание.
Два целых числа a и b называются сравнимыми
по модулю m ∈ N, если они дают одинаковые
остатки от деления на m. Мы будем писать
a ≡ b (mod m).

Простейшие свойства.
1. a ≡ a (mod m) при любом m ∈ N.
2. Если a ≡ b (mod m), то b ≡ a (mod m).
3. Если a ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m), то
a ≡ c (mod m).

Дальнейшие свойства.
4. Если a ≡ b (mod m), и k ∈ Z, то
ka ≡ kb (mod m).
5. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то
a + c ≡ b + d (mod m)
6. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то
ac ≡ bd (mod m)
7. Если a ≡ b (mod m) то an
≡ bn
(mod m).

Как насчет деления?
Верно ли такое свойство: если ka ≡ kb (mod m),
то a ≡ b (mod m)? Если нет, то как его исправить
на верное?

Задача.
Докажите, что (2n
− 1)n
− 3 делится на 2n
− 3.

Полная система вычетов.
Пусть m ∈ N. Набор целых чисел x1, x2, . . . , xm
называется полной системой вычетов по модулю
m, если они попрано не сравнимы по модулю m.
Например, годятся числа 1, 2, . . . , m.

Два свойства полной системы вычетов.
Пусть m ∈ N.
1. Если x1, x2, . . . , xm — полная система вычетов
по модулю m и k ∈ Z, то x1 + k, x2 + k, . . . , xm + k
— тоже полная система вычетов по модулю m.
2. Если x1, x2, . . . , xm — полная система вычетов
по модулю m и k ∈ Z, (k, m) = 1 то
kx1, kx2, . . . , kxm — тоже полная система вычетов
по модулю m.

Приведенная система вычетов.
Пусть m ∈ N. Набор целых чисел x1, x2, . . . , xr
называется приведенной системой вычетов по
модулю m, если они попрано не сравнимы по
модулю m, взаимно просты с m и, самое главное,
— это наибольший набор с такими свойствами.
Количество вычетов в приведенной системе
обозначается часто 𝜙(m) и называется функцией
Эйлера. Для простого p в приведенной системе
вычетов ровно p − 1 элемент.

Свойство приведенной системы вычетов.
Если x1, x2, . . . , xr — приведенная система вычетов
по модулю m и k ∈ Z, (k, m) = 1 то
kx1, kx2, . . . , kxr — тоже приведенная система
вычетов по модулю m.

Уравнение.
Тем самым мы доказали следующее: если
(a, m) = 1, то уравнение ax ≡ b (mod m)
разрешимо. В частности это означает, что по
простому модулю для любого ненулевого вычета a
существует вычет a′
такой, что aa′
≡ 1 (mod p)

Теорема Вильсона.
Пусть p ∈ P. Тогда (p − 1)! + 1 делится на p.

Китайская теорема об остатках.
Пусть дан набор попрано взаимно простых
натуральных чисел m1, m2, . . . , mk и набор целых
чисел b1, b2, . . . .bk. Тогда система
x ≡ b1 (mod m1) x ≡ b2 (mod m2) . . . x ≡ bk (mod mk)
разрешима, и решение единственно по модулю
M = m1m2 . . . mk.

Задача.
Докажите, что для любого натурального N
найдется N последовательных целых чисел,
каждое из которых не является никакой степенью
(кроме первой).

До встречи!
Максимов Д.В.
Онлайн-школа Фоксфорд

Maths 18-01-23

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Maths 18-01-23

Similar to Maths 18-01-23 (12)

Maths 18-01-23