1. Учебное пособие для 7 класса
общеобразовательных учреждений
с русским языком обучения
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
Минск «Народная асвета» 2011
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
4. Уважаемые друзья!
Данное учебное пособие предназначено для изучения
школьного курса геометрии. В предыдущих классах уже
состоялось ваше знакомство с некоторыми геометриче-
скими фигурами и их свойствами. Сейчас вы продолжи-
те изучение свойств геометрических фигур, что будет спо-
собствовать развитию логического и пространственного
мышления, умений анализировать информацию, использо-
вать полученные знания для решения различных задач.
Изучение геометрии обусловлено тем, что геометрические
знания находят применение в различных областях деятель-
ности человека, необходимы при строительстве архитектур-
ных сооружений и создании художественных произведений.
Изучение геометрии поможет увидеть красоту математи-
ки, будет способствовать более успешному изучению дру-
гих школьных предметов, для усвоения которых необходи-
ма геометрическая интуиция и навыки логических рассуж-
дений.
В учебном пособии уделено внимание иллюстративному
материалу, изображениям геометрических фигур как сред-
ству развития навыков чтения графических моделей и фор-
мирования понятий о геометрических фигурах и их моделях.
С целью развития пространственных представлений система-
тически рассматриваются плоские геометрические фигуры,
расположенные в различных плоскостях.
Зарисовки геометрической графики, иллюстративный ма-
териал учебного пособия помогут увидеть эстетический по-
тенциал предмета, будут способствовать раскрытию творче-
ских возможностей и пробуждению интереса к изучению гео-
метрии, во многом являющейся мерой красоты окружающего
мира, произведений архитектуры и живописи. Известный ар-
хитектор XX в. Л. Корбюзье (1887—1965) отмечал, что «в
основе художественных впечатлений человека лежит геоме-
трия, которая приводит к математическому порядку и гармо-
нии рвущиеся за пределы случайного современное искусство
и современную мысль».
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
6. Геометрия — неотъемлемая
составляющая общей культуры,
а геометрические методы служат
одним из инструментов познания
мира, способствуют формирова-
нию научных представлений об
окружающем пространстве, рас-
крытию гармонии и совершенства Вселенной. На протяже-
нии столетий считалось, что геометрия является частью
общего образования, не связанного с приобретением опре-
деленной профессии, что овладение геометрическими зна-
ниями необходимо всякому образованному человеку.
Сооружения архитекторов древности, произведения жи-
вописи художников эпохи Возрождения подтверждают точку
зрения французского математика и философа Блеза Паскаля
(1623—1662), который так характеризовал значение геоме-
трии: «Того, кто владеет геометрией, эта наука продвигает
настолько далеко, что он оказывается вооруженным совер-
шенно новой силой». Благодаря внутреннему совершенству
и удивительной универсальности геометрических закономер-
ностей геометрия является одним из ярких проявлений
красоты в математике. Она обладает огромной эстетиче-
ской привлекательностью, имеет тесные связи с искусством.
Именно ролью геометрии в раскрытии секретов искусства
определяется интерес к геометрии многих творцов пре-
красного.
Величественная архитектура греческого храма
«Парфенон» и неповторимая фреска итальянского худож-
ника эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452—1519)
«Тайная вечеря» — яркие примеры из многообразия произ-
ведений архитектуры и живописи. Они убеждают в том, что
геометрия в определенном смысле относится к искусству, а
гармония, присущая многочисленным шедеврам архитек-
туры и живописи, созданным человеком на протяжении
тысячелетий, является результатом умелого примене-
ния геометрических знаний.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
7. Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
§ 1. Возникновение геометрии.
Предмет геометрии
Слово «геометрия» происходит от греческих
слов geЂ — Земля и metreo — измеряю, что озна-
чает «землемерие». Возникновение и развитие гео-
метрии были обусловлены необходимостью решать
различные практические задачи, а дошедшие до со-
временников исторические сведения говорят о том,
что истоки геометрии находились в Древнем Египте.
Изготовление орудий труда, измерение земельных
участков, строительство храмов и пирамид требо-
вало геометрических знаний, позволяющих выпол-
нять сложные чертежные и измерительные работы.
Многочисленные памятники письменности сви-
детельствуют о том, что уже около 4000 лет на-
зад египтяне имели значительный запас геометри-
ческих сведений, первоначально представлявших
собой набор правил, позволяющих измерять пло-
щади земельных участков, вычислять объемы сосу-
дов, решать задачи, возникающие в процессе стро-
ительных работ. Сохранившиеся до наших времен
и поражающие своим величием храмы и гробницы
египетских фараонов (рис. 1) служат убедительным
подтверждением высокого уровня геометрических
знаний древних египтян.
Развитие мореплавания и торговли привело к
тому, что накопленные египтянами сведения о свой-
ствах фигур стали в начале VI в. до н. э. достояни-
ем ученых Древней Греции. Одним из тех, кто внес
огромный вклад в формирование геометрической на-
уки, был древнегреческий философ Фалес (ок. 625—
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
8. Гл а в а 1, § 18
547 до н. э.). Его многочисленные путешествия спо-
собствовали освоению знаний, которыми владели
цивилизации Древнего Вавилона и Египта. Если в
Древнем Египте геометрия носила прикладной харак-
тер, то благодаря ученым Древней Греции она посте-
пенно становилась математической теорией, способ-
ствующей открытию новых геометрических фактов.
Дальнейшее развитие науки подтвердило догад-
ку о том, что многие принципы, на которых базиру-
ется мироздание, выражаются языком математики
и что геометрия является ее важной частью, служит
ключом к открытию различных законов природы.
Особую роль в развитии геометрии как науки
сыграл древнегреческий ученый Евклид, который
жил в Александрии в III в. до н. э. Его величайшая
заслуга состояла в систематизации накопленного к
тому времени богатейшего геометрического мате-
риала и придании изложению геометрии довольно
совершенной логической формы. Основываясь на
воззрениях древнегреческого ученого Аристотеля
(ок. 384—322 до н. э.), Евклид осуществил доста-
точно логически строгое построение геометрии.
Итогом геометрических исследований, проведен-
Рис. 1 Евклид
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
9. Введение в геометрию 9
ных ученым, стал научный труд, состоящий из
15 книг, под общим названием «Начала», который,
по мнению физика XX в. А. Эйнштейна (1879—
1955), дал человечеству «уверенность для всей его
последующей деятельности».
Треугольник, квадрат, круг (рис. 2, а), пирами-
да, куб, шар (рис. 2, б) — все это примеры зна-
комых вам геометрических фигур. Они далеко не
исчерпывают того многообразия геометрических
фигур, которые служат предметом изучения геоме-
трии. Курс геометрии включает в себя два раздела:
планиметрию (лат. planum — плоскость и греч.
metreo — измеряю) и стереометрию (греч. stere-
os — пространственный и греч. metreo — измеряю).
В планиметрии в основном изучаются свойства
плоских фигур, т. е. фигур, все точки которых ле-
жат в одной плоскости (см. рис. 2, а).
Предметом изучения стереометрии являются не
только плоские фигуры, расположенные в простран-
стве, но также пространственные фигуры, т. е. та-
кие фигуры, не все точки которых лежат в одной
плоскости (см. рис. 2, б). Пространственные фигуры
могут иметь и более сложную форму. Примерами
служат фигуры, изображенные на рисунке 2, в.
а) б) в)
Рис. 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
10. Зарождение геометрии в истории
общества относится к глубокой древ-
ности и обусловлено не только необ-
ходимостью решения различных прак-
тических задач, возникавших в про-
цессе строительства жилищ и хра-
мов, но и постоянным стремлением
человека к познанию гармонии и
красоты мира. Владение геометри-
ческими знаниями имело исключи-
тельное значение на всех этапах его
деятельности, было одним из фак-
торов, способствующих успешному развитию цивили-
зации.
Поэтому не удивительно, что истоки геометрии находятся
в глубинах веков, а первые геометрические понятия и све-
дения восходят к доисторическим временам. Сама природа
являлась источником геометрических форм, и активное
познание ее способствовало формированию представлений о
свойствах геометрических фигур, накоплению и систематиза-
ции геометрических знаний.
Первенство в исследовании свойств геометрических фи-
гур и становлении науки геометрии принадлежит мыслите-
лям Древней Греции, которые изучили знания цивилизаций
Вавилона и Египта, систематизировали известные к тому вре-
мени геометрические сведения и подвергли их логическому
анализу. Отличительная особенность древнегреческой науки
состояла в том, что она не только привела в систему геоме-
трические факты, но и, что особенно важно, поставила во-
прос об осмыслении и формировании логической строгости
геометрических понятий и выводов, о возможности и необ-
ходимости применения геометрии для объяснения явлений
природы. Научная деятельность мыслителей Древней
Греции способствовала превращению геометрии в мате-
матическую теорию. Их исследования стали подведением
итогов достижений в области геометрических знаний многих
ученых древности, величайшим представителем которых был
математик и философ Пифагор (ок. 580—500 до н. э.).
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
11. § 2. Плоские и пространственные фигуры
1. Плоские фигуры. Предметом изучения геоме-
трии являются свойства плоских и пространствен-
ных фигур.
Что такое геометрическая фигура? В окружаю-
щем мире существует множество различных мате-
риальных предметов: жилые дома, детали машин,
украшения из дерева и металла, природные мине-
ралы и т. д. Геометрия изучает не физические свой-
ства этих предметов (например, цвет, массу, мате-
риал, из которого сделан предмет, и т. д.), а их фор-
му и взаимное расположение.
Отвлекаясь от физических свойств предмета,
мы приходим к абстрактному понятию геометри-
ческой фигуры, которая представляет собой любое
множество точек.
Например, страница книги дает представление
о геометрической фигуре, которая называется пря-
моугольником; комната имеет форму прямоуголь-
ного параллелепипеда; гробницы египетских фара-
онов построены в виде пирамид. Другими словами,
различные предметы окружающего нас мира пред-
ставляют собой физические модели геометрических
фигур, а геометрические фигуры являются мыслен-
ными образами, к которым мы приходим, если при-
нимаем во внимание только форму и размеры пред-
метов.
Апельсин и шарик в шарикоподшипнике
(рис. 3, а) дают представление о шаре, а теннисный
шарик и футбольный мяч являются физическими
моделями геометрической фигуры, которая называ-
ется сферой (поверхность шара).
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
12. 12
Простейшими (основными) геометрическими
фигурами являются точка, прямая и плоскость.
Мыслится, что у точки нет никаких размеров, пря-
мая не имеет толщины и ширины, простирается не-
ограниченно в обе стороны, а плоскость не имеет
толщины, представляется идеально ровной, глад-
кой и неограниченной во всех направлениях.
а) б) в)
Рис. 3
Туго натянутая нить дает представление о ча-
сти прямой, а гладкая поверхность письменного
стола или оконного стекла — о части плоскости.
Примерами геометрических фигур, которые назы-
ваются многоугольниками, служат, например, фи-
гуры, изображенные на рисунке 3, б, в.
Многообразие геометрических фигур очень вели-
ко. Любые известные геометрические фигуры могут
служить основой для конструирования новых фи-
гур.
Например, если от прямоугольного листа бумаги
отрезать две равные части, имеющие форму прямо-
угольника, как показано на рисунке 4, а, б, то мы
получим модель геометрической фигуры, напоми-
нающей букву «Т» (рис. 4, в).
Гл а в а 1, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
13. Введение в геометрию 13
а) б) в)
Рис. 4
Если есть несколько плоских фигур, то из них с
помощью объединения или пересечения можно по-
лучить другие фигуры.
Объединение нескольких фигур — это фигура,
которая состоит из всех точек данных фигур.
Например, на рисунке 5, а изображены фигуры,
каждая из которых представляет собой объедине-
ние двух прямоугольников.
Пересечение нескольких фигур — это фигура,
состоящая из всех общих точек данных фигур.
Например, на рисунке 5, б изображены четырех-
угольник и прямоугольник, которые являются пе-
ресечением прямоугольника и квадрата.
а) б)
Рис. 5
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
14. 14
2. Пространственные фигуры. Плоские геоме-
трические фигуры могут быть использованы также
для конструирования различных пространственных
фигур.
Например, страницы книги представляют собой
модели прямоугольников (рис. 6, а). На рисунке
6, б, в изображена пространственная фигура, обра-
зованная тремя прямоугольниками с одной общей
стороной.
а) б) в)
Рис. 6
Рассмотрим другие примеры моделей простран-
ственных фигур.
Пусть из листа бумаги вырезана узкая полоска,
имеющая форму прямоугольника. Склеим меньшие
края этой полоски, как показано на рисунке 7, а.
Тогда мы получим модель пространственной геоме-
трической фигуры, которая изображена на рисунке
7, а.
Если же указанную полоску предварительно «пе-
рекрутить» (это более удобно сделать, если полоска
достаточно длинная и узкая), а затем склеить ее
меньшие края, то получим модель пространствен-
ной фигуры, которая называется листом Мёбиуса
Гл а в а 1, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
15. Введение в геометрию 15
(рис. 7, б). Мотивы указанной поверхности нашли
художественное воплощение в графике голландско-
го художника М. К. Эшера (рис. 7, в).
а) б) в)
Рис. 7
Рассмотрим еще один пример. Прямоугольную
полоску бумаги разделим на четыре равные ча-
сти, имеющие форму прямоугольника (рис. 8, а).
Перегнем полоску по отрезкам, разделяющим ее на
части, и склеим меньшие края (см. рис. 8, а). После
склеивания мы получим модель пространственной
геометрической фигуры, которая изображена на ри-
сунке 8, б, в.
а) б) в)
Рис. 8
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
16. 16
Другими примерами пространственных фигур
являются геометрические тела. Наглядное пред-
ставление о геометрическом теле дает часть про-
странства, которую занимает какое-либо физиче-
ское тело.
Примером еще одной пространственной фи-
гуры, с которой вы уже знакомы, является пря-
моугольный параллелепипед. Поверхность пря-
моугольного параллелепипеда образована шестью
прямоугольниками, которые называются его гра-
нями. Ребрами прямоугольного параллелепипеда
называются стороны прямоугольников, а их вер-
шины — вершинами прямоугольного параллелепи-
педа.
Представление о форме прямоугольного парал-
лелепипеда дают модели, которые получаются при
распиливании модели куба, например, сделанной
из дерева, на две части, как показано на рисунке
9, а. Каждая из этих частей представляет собой мо-
дель прямоугольного параллелепипеда, который из-
ображен на рисунке 9, б. Элементы многих архитек-
турных сооружений имеют форму параллелепипеда
(рис. 9, в).
а) б) в)
Рис. 9
Гл а в а 1, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
17. Введение в геометрию 17
Заметим, что куб служит примером прямоуголь-
ного параллелепипеда, у которого все грани — ква-
драты.
Куб и прямоугольный параллелепипед — при-
меры геометрических фигур, называемых много-
гранниками.
Многогранники представляют собой наиболее
простые геометрические тела в пространстве, ана-
логично тому, как многоугольники — наиболее про-
стые фигуры на плоскости. С геометрической точ-
ки зрения многогранники — это часть пространства,
ограниченная некоторым числом многоугольни-
ков — гранями многогранника. Стороны и верши-
ны граней называются ребрами и вершинами мно-
гогранника. Грани многогранника образуют про-
странственную фигуру, которая называется по-
верхностью многогранника. Таким образом, на-
пример, прямоугольный параллелепипед можно
рассматривать как часть пространства, ограничен-
ную шестью прямоугольниками. Этот многогранник
представляет собой пространственную фигуру, ана-
логичную прямоугольнику на плоскости.
Реальные объекты, имеющие форму различных
многогранников, довольно разнообразны. Напри-
мер, форму прямоугольного параллелепипеда име-
ют спичечный коробок, книга, комната, многоэтаж-
ный дом с горизонтальной крышей.
Фантазия и творчество помогут вам сконстру-
ировать модели многогранников более сложной
формы.
Например, если от деревянного бруска, имею-
щего форму прямоугольного параллелепипеда, от-
пилить два меньших брусочка, каждый из кото-
рых имеет форму прямоугольного параллелепипеда
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
18. 18
(рис. 10, а, б), то в результате получится модель
многогранника, изображенного на рисунке 10, в.
а) б) в)
Рис. 10
3. Прямая призма. Количество примеров много-
гранников очень велико. Некоторые из многогран-
ников имеют специальное название, например, вы-
деляются многогранники, которые называются пря-
мыми п-угольными призмами.
Прямая п-угольная призма — это многогран-
ник, поверхность которого образована многоуголь-
никами, два из которых — равные между собой
п-угольники (основания призмы), а остальные п гра-
ней являются прямоугольниками (боковые грани).
Ребрами прямой n-угольной призмы называются
стороны прямоугольников, а их вершины называ-
ются вершинами прямой призмы.
Другими словами можно сказать, что прямая
n-угольная призма — это часть пространства, огра-
ниченная двумя равными n-угольниками и n пря-
моугольниками. Примерами предметов, имеющих
форму прямой призмы, служат, например, огранен-
ные карандаш, шляпка болта, гайка и др.
Представление о форме прямой призмы дают, на-
пример, модели, которые получаются в результате
Гл а в а 1, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
19. Введение в геометрию 19
распиливания деревянного бруска, имеющего фор-
му прямоугольного параллелепипеда, вдоль ребра,
как показано на рисунке 11, а.
При этом получаются две модели, одна из кото-
рых представляет собой модель прямой пятиуголь-
ной призмы, а другая — модель прямой треуголь-
ной призмы (рис. 11, б).
На рисунке 11, в изображена прямая пятиуголь-
ная призма ABCDFA1B1C1D1F1, основаниями которой
служат пятиугольники ABCDF и A1B1C1D1F1, пря-
моугольник AA1B1B — одна из боковых граней этой
призмы, а точки А, B, C, D, F и А1, B1, C1, D1, F1 —
вершины этой призмы.
а) б) в)
Рис. 11
Прямоугольный параллелепипед — пример пря-
мой четырехугольной призмы, основаниями кото-
рой являются прямоугольники.
Разные виды производственной деятельности че-
ловека связаны с использованием моделей геоме-
трических фигур.
Например, многие детали, которые используют-
ся в машиностроительном или мебельном производ-
стве, имеют форму геометрических фигур, в част-
ности некоторых многогранников.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
20. Различные рисунки и чер-
тежи находят применение во
многих областях науки, тех-
ники, а также в изобразитель-
ном искусстве и архитектуре.
История свидетельствует, что
египетские пирамиды, храмы
Древней Греции и Рима были
построены по изображениям,
которые являются прообраза-
ми современных чертежей.
Свет и тень натолкнули
древнего человека на мысль о том, что теневой силуэт может
передавать характерные признаки предмета и в определенной
степени заменить оригинал. Художник эпохи Возрождения
Леонардо да Винчи отмечал, что «первая картина состояла
из одной линии, которая окружала тень человека, отброшен-
ную солнцем на стену». Леонардо да Винчи был не только
художником, но и математиком, механиком и инженером.
В трактате «О многообразии» (1505) ученый изложил геоме-
трический материал, необходимый в скульптуре, зодчестве и
строительном искусстве.
Итальянские художники и архитекторы внесли особый
вклад в создание теории изображений. Ими была разработа-
на теория перспективы, позволяющая строить изображения,
создающие наиболее полную иллюзию окружающей действи-
тельности.
Геометрия и искусство тесно связаны уже на самом
раннем этапе становления человеческого мышления.
Использование геометрических закономерностей в архитек-
туре и живописи было началом пути, на котором одновре-
менно происходило зарождение искусства и геометрических
представлений. Взаимопроникновение геометрии и искус-
ства — один из механизмов интеллектуального развития
человека и его творческих способностей, что подтвержда-
ется многочисленными примерами произведений искусства,
созданными творцами прекрасного в процессе развития ци-
вилизации.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
21. § 3. Изображение фигур
В процессе изучения свойств геометрических фи-
гур в качестве иллюстраций рассматриваются их
различные изображения (графические модели) в
тетради или на плоскости доски, что позволяет из-
учать геометрию более наглядно и доступно.
При изображении плоских фигур остаются не-
изменными их форма, величины углов, параллель-
ность отрезков, отношение длин параллельных от-
резков и отрезков, лежащих на одной прямой.
Например, при изучении свойств квадрата мож-
но рассматривать любое изображение из тех, кото-
рые даны на рисунке 12, а.
Изображать пространственные фигуры несколь-
ко сложнее. Например, если мы рассмотрим модель
куба, выполненную из дерева, то увидим, что все ре-
бра куба равны между собой, а все грани представ-
ляют собой равные квадраты. На рисунке же некото-
рые грани куба изображаются параллелограммами
и не все отрезки, изображающие ребра куба, имеют
равные длины (рис. 12, б). Прямые углы рассмат-
риваемой модели изображаются разными углами, а
невидимые ребра нарисованы штриховой линией.
а) б)
Рис. 12
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
22. 22
Такие правила изображения пространственных
фигур являются оправданными. Действительно,
заметим, что тень листа бумаги, имеющего фор-
му квадрата, в зависимости от его расположения
относительно солнечных лучей, имеет различную
форму. В одних случаях тень имеет форму прямо-
угольника, в других — параллелограмма. Если, на-
пример, на модель куба, одна из граней которого
параллельна поверхности стола, солнечные лучи
будут падать строго вертикально, то тень указан-
ной грани, которая получается на поверхности сто-
ла, будет иметь форму квадрата.
Грани куба — это квадраты, лежащие в разных
плоскостях, расположенных в пространстве, одни
грани мы изображаем в виде квадратов, другие — в
виде параллелограммов, что позволяет получить
представление о кубе.
Для более полного представления о простран-
ственных фигурах некоторые отрезки фигур из-
ображаются штриховой линией. Подкрепим необ-
ходимость изображения некоторых отрезков штри-
ховой линией следующим примером. Представим,
что от модели куба, выполненной из дерева, отпи-
лен уголок, как изображено на рисунке 13, а.
а) б) в)
Рис. 13
Гл а в а 1, § 3
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
23. Введение в геометрию 23
Предположим, что полученная после отпилива-
ния уголка часть модели куба расположена так, что
срез нам не виден. Если невидимые ребра получен-
ной модели не нарисованы штриховыми линиями,
то изображение, данное на рисунке 13, б, не дает
полного представления о фигуре (например, можно
предположить, что это есть изображение куба или
фигуры, образованной тремя параллелограммами).
Нарисовав невидимые отрезки штриховыми лини-
ями (рис. 13, в), мы получим достоверное представ-
ление о форме фигуры (всей фигуры, а не только о
видимой части).
Подчеркнем, что изображение фигуры зависит от
ее расположения в пространстве. Например, пусть
дана фигура (часть квадрата), изображенная на ри-
сунке 14, а. Если она является частью грани куба,
тогда она может быть изображена, как показано на
рисунке 14, б, в.
а) б) в)
Рис. 14
В процессе изучения геометрии в школе при из-
ображении геометрических фигур, расположенных
в пространстве, учитывается, что на изображениях
фигур сохраняется параллельность отрезков, а
также отношение длин параллельных отрезков
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
24. 24
и длин отрезков, на которые точка разбивает
отрезок.
Например, если точка О является серединой ре-
бра АВ куба, то при любом изображении куба точ-
ка О есть середина отрезка, изображающего ребро
куба (рис. 15, а, б, в).
а) б) в)
Рис. 15
Рассмотрим еще один пример. Пусть на рисунке
16, а изображена развертка куба, а точки A, B, C,
D — середины соответствующих сторон квадрата.
Тогда на изображении куба, поверхность которого
можно «склеить» (рис. 16, б), пользуясь данной раз-
верткой, точки А, B, C, D являются серединами со-
ответствующих ребер куба (рис. 16, в).
а) б) в)
Рис. 16
Гл а в а 1, § 3
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
25. 25
а) б) в)
Рис. 17
Пусть на развертке куба указаны отрезки OA, OB
и AB, где точки A и B — середины сторон соответ-
ствующих квадратов (рис. 17, а). Тогда соответству-
ющие отрезки на гранях куба будут изображаться
так, как показано на рисунке 17, б, причем точки A и
B — середины отрезков, изображающих ребра куба.
Заметим, что при одном изображении куба
(рис. 17, б) отрезок OA изображается штриховой ли-
нией. При другом изображении куба все три отрезка
могут изображаться сплошной линией (рис. 17, в).
Задачи к § 3
1. На рисунке 18, а изображена развертка куба,
точки E и F — середины сторон квадрата. На ри-
а) б) в)
Рис. 18
Введение в геометрию
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
26. 26
сунке 18, б, в изображен куб, модель поверхности
которого можно склеить, пользуясь данной разверт-
кой. Верно ли, что точки E и F на рисунке 18, б, в
должны быть серединами отрезков, изображающих
ребра куба?
2. На рисунке 19, а, б изображен куб. Точки О, Е,
F, K — середины ребер куба. Верно ли, что точки О,
Е, F, K на сторонах квадрата соответствующей раз-
вертки куба должны быть серединами сторон ква-
драта (рис. 19, в)?
а) б) в)
Рис. 19
3. На рисунке 20, а, б изображен прямоугольный
параллелепипед и отрезки на одной из его граней,
точки O и F — середины ребер. На рисунке 20, в
а) б) в)
Рис. 20
Гл а в а 1, § 3
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
27. Введение в геометрию 27
изображена развертка данного прямоугольного па-
раллелепипеда. Верно ли, что точки O и F — се-
редины сторон соответствующего прямоугольника
развертки?
4. На рисунке 21, а изображена развертка куба и
на одном из ее квадратов — фигура, имеющая фор-
му буквы «Т», причем точки A и B делят сторону
квадрата на три равных отрезка. Верно ли, что точ-
ки A и B на рисунке 21, б, в должны делить отре-
зок, изображающий ребро соответствующего куба,
на три равные части?
а) б) в)
Рис. 21
5. Длина ребра кубика равна 1 см. Сколько та-
ких кубиков нужно для того, чтобы составить из
них куб, имеющий длину ребра 3 см?
6*. Окрашенную модель куба с длиной ребра
4 см распили вдоль ребер на кубики с длиной ре-
бра 1 см. Сколько среди полученных кубиков:
а) окрашенных с трех сторон; б) окрашенных с двух
сторон?
7*. Имеется 35 равных кубиков. Как составить
из них два кубика?
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
28. 28
8*. Поверхность куба образована равными ква-
дратами. Приведите пример многогранника, по-
верхность которого также образована равными ква-
дратами, но который не является кубом.
Вопросы к первой главе
1. Чем было обусловлено возникновение и раз-
витие геометрии?
2. Что является предметом изучения геометрии?
3. Что понимается под геометрической фигу-
рой?
4. В чем состоит различие между геометрической
фигурой и ее физической моделью?
5. Охарактеризуйте плоские и пространственные
фигуры. В чем их отличие?
6. Приведите примеры геометрических фигур,
представляющих собой многоугольники.
7. Приведите примеры геометрических фигур,
которые являются многогранниками.
8. Верно ли, что прямоугольный параллелепипед
является прямой призмой?
9. Могут ли все грани прямой призмы быть пря-
моугольниками?
10. С какой целью невидимые отрезки фигур на
рисунке изображаются штриховой линией?
11. Верно ли, что на изображениях геометриче-
ских фигур сохраняется параллельность отрезков?
12. Сохраняется ли на изображениях фигур от-
ношение длин параллельных отрезков и отношение
длин отрезков, на которые точка разбивает отрезок?
Гл а в а 1, § 3
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
30. Глава 2
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. Взаимное расположение точек и прямых
1. Точки и прямые на плоскости. На уроках ма-
тематики в предыдущих классах и в главе 1 вы уже
познакомились со свойствами некоторых геометри-
ческих фигур. Теперь вы приступаете к системати-
ческому изучению геометрии.
Как уже отмечалось ранее, основными геометри-
ческими фигурами являются точка, прямая, пло-
скость. Представление об этих фигурах вы уже
имеете.
Например, туго натянутая нить дает представле-
ние о части прямой, страница книги или грань пря-
моугольного параллелепипеда — о части плоскости
(рис. 22, а, б, в).
а) б) в)
Рис. 22
Точки обозначаются заглавными буквами латин-
ского алфавита А, В, С, …, а прямые — строчными
буквами a, b, c, … или двумя заглавными буквами
AB, CD и т. д.
Если точка A принадлежит прямой b, то говорят,
что прямая b проходит через точку A. Это записыва-
ют так: A ∈ b (читают следующим образом: «Точка
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
31. Начальные сведения 31
A принадлежит прямой b», «Точка A лежит на пря-
мой b» или «Прямая b проходит через точку A»).
Еслиточка Aнепринадлежитпрямойb,тоговорят,
что прямая b не проходит через точку A. В этом слу-
чае используется запись A ∉ b (читают: «Точка A не
принадлежит прямой b», «Точка A не лежит на пря-
мой b» или «Прямая b не проходит через точку A»).
Например, на рисунке 23, а изображены точка
C — вершина квадрата и точка T, не лежащие на
прямой l (C ∉ l, T ∉ l), проходящей через вершины
A и D квадрата (A ∈ l, D ∈ l). На рисунке 23, б, в из-
ображена прямая l, проходящая через вершины O
и F куба (O ∈ l, F ∈ l).
а) б) в)
Рис. 23
В курсе геометрии понятия «точка», «прямая» и
«плоскость» относятся к основным понятиям и при-
нимаются без определений, другие геометрические
понятия определяются через основные. К основным
понятиям относятся также понятия «принадле-
жать» и «лежать между». Свойства геометрических
фигур устанавливаются путем логических рассуж-
дений на основе некоторых утверждений (аксиом),
которые принимаются без доказательств. Аксиомы
выражают основные свойства геометрических фи-
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
32. 32
гур, которые соответствуют формам и отношениям,
наблюдаемым в окружающем пространстве.
Утверждение, которое обосновывается путем
логических рассуждений, называется теоремой, а
само обоснование — доказательством. Доказать
теорему — это значит путем рассуждений обосно-
вать, что она следует из некоторых аксиом или ра-
нее доказанных теорем.
Взаимное расположение точек и прямых на пло-
скости характеризуют следующие основные свой-
ства (аксиомы):
А1. Каждой прямой принадлежат по крайней
мере две точки.
А2. Существуют по крайней мере три точки, не
принадлежащие одной прямой.
А3. Через любые две точки плоскости проходит
единственная прямая, каждая точка которой при-
надлежит плоскости1
.
Прямая, которая проходит через точки A и B,
обозначается AB или ВА.
Например, на рисунке 24, а изображена прямая
OF, которая проходит через точки O и F, а на рисун-
а) б) в)
Рис. 24
1
Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «две прямые» и
т. д., будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны.
Гл а в а 2, § 1
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
33. Начальные сведения 33
ке 24, б, в показана прямая AC, которая проходит
через вершины A и C куба и лежит в той же пло-
скости, что и грань ABCD куба.
2. Пересекающиеся и параллельные прямые.
Рассмотрим понятия пересекающихся и параллель-
ных прямых.
Определение. Две прямые называются пере-
секающимися, если они имеют одну общую точку.
Если прямые a и b пересекаются в точке O, то это
обозначается так: O = a b (читают: «Прямые a и b
пересекаются в точке O»).
Например, на рисунке 25, а изображены пря-
мые KE и TF, которые проходят через вер-
шины прямоугольника и пересекаются в точке
P (P = TF KE).
На рисунке 25, б изображены прямые AC и BD,
которые проходят через вершины куба и пересека-
ются в точке O (O = AC BD).
а) б) в)
Рис. 25
Определение. Две прямые называются па-
раллельными, если они лежат в одной плоскости
и не пересекаются.
Параллельные прямые l1 и l2 обозначаются так:
l1 l2 (читают: «Прямая l1 параллельна пря-
мой l2»).
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
34. Гл а в а 2, § 134
Например, на рисунке 25, в изображены парал-
лельные прямые BC и AD (BC AD).
Теорема. Если две прямые плоскости имеют
общую точку, то она единственная.
Доказательство.
Пусть две прямые a и b имеют общую точку O.
Докажем, что других общих точек эти прямые не
имеют. Допустим, что прямые a и b имеют еще одну
общую точку O1. Тогда получается, что через точки
O и O1 проходят две прямые a и b. Но этого быть
не может, так как по аксиоме A3 через две точки
проходит единственная прямая. Таким образом,
наше предположение неверно, и прямые a и b име-
ют единственную общую точку.
Теорема доказана.
Вопросы к § 1
1. Сформулируйте аксиомы взаимного располо-
жения точек и прямых.
2. Какие прямые называются пересекающи-
мися?
3. Какие прямые называются параллельными?
4. Сколько общих точек могут иметь две пря-
мые?
Задачи к § 1
9. На рисунке 26, а изображены прямые и точки.
а) Назовите прямые, которые проходят через точ-
ку A.
б) Назовите прямые, пересекающиеся в точке C.
в) Верно ли, что точка A лежит на прямой BC?
10. На рисунке 26, б изображены прямые и точ-
ки. а) Назовите прямые, которые проходят через
точку В. б) Верно ли, что точка О не лежит на пря-
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
35. Начальные сведения 35
мой АС? в) Назовите точку пересечения прямых ВО
и AD. г) Верно ли, что прямые АХ и BD пересека-
ются в точке X?
11. На рисунке 26, в изображен куб и прямые,
проходящие через его вершины. а) Назовите грань
куба, в плоскости которой лежит прямая AB1.
б) Назовите точку пересечения прямых DF и D1C1.
в) Верно ли, что прямые DF и CC1 пересекаются в
точке C1?
а) б) в)
Рис. 26
12. Рассмотрите рисунок 27, а. а) Назовите точку
пересечения прямых OF и AC. б) В какой точке пе-
ресекаются прямые BF и AC? в) Верно ли, что пря-
мые FT и AB пересекаются в точке O?
а) б) в)
Рис. 27
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
36. Гл а в а 2, § 136
13. Рассмотрите рисунок 27, б. а) Назовите точку
пересечения прямых KF и AB. б) В какой точке пе-
ресекаются прямые OR и DK? в) Верно ли, что пря-
мые SC и AT пересекаются в точке B?
14. На рисунке 27, в дано изображение паралле-
лепипеда. а) Назовите грань, в плоскости которой
лежит прямая BD. б) В какой точке пересекаются
прямые B1O и D1C1? в) Верно ли, что прямые A1O и
CC1 пересекаются в точке C1?
15. Проведите прямые a и b, пересекающиеся в
точке O, и прямые c и d, которые пересекаются в
точке S и пересекают прямые a и b соответственно в
точках A1, B1 и A2, B2. Постройте точку пересечения
прямых A1B2 и A2B1.
16. Рассмотрите рисунок 28, а. а) Назовите пря-
мые, которые не проходят через точку O. б) Верно
ли, что: C ∉ AB; C ∈ AO? в) Назовите точку пере-
сечения прямых OC и AB.
17. Рассмотрите рисунок 28, б. а) Назовите пря-
мые, которые не проходят через точку B. б) Верно
ли, что: C ∉ AB; B ∉ AD? в) Назовите точку пере-
сечения прямых DO и CB, CO и AB. г) В какой точ-
ке пересекаются прямые CO и BF?
а) б) в)
Рис. 28
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
37. Начальные сведения 37
18. Рассмотрите рисунок 28, в. а) Назовите точ-
ку пересечения прямых AS и CD. б) В какой точке
пересекаются прямые OE и BF? в) Верно ли, что
прямая DE пересекается с прямой OC в точке A?
г) Какие прямые проходят через точку A?
19. Отметьте пять точек A, B, C, D и F, каждые
три из которых не лежат на одной прямой. Через
каждые две точки проведите прямые. Сколько та-
ких прямых получается?
20. Рассмотрите рисунок 29, а. а) Назовите пря-
мые, которые проходят через точку F. б) Верно
ли, что прямые BE и OP пересекаются в точ-
ке T? в) В какой точке пересекаются прямые OT
и KP?
21. Выполните рисунок 29, б в тетради.
а) Отметьте точку P, в которой пересекаются пря-
мые AB и CD. б) Укажите точки пересечения пря-
мой PO с прямыми BC и AD. в) В какой точке пе-
ресекаются прямые OC и BP?
а) б)
Рис. 29
22. Сколько прямых определяется четырьмя точ-
ками? Сделайте рисунки для каждого случая.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
38. Гл а в а 2, § 138
23. Рассмотрите рисунок 30, а. а) Назовите точ-
ку пересечения прямых BO и AD. б) Верно ли, что
точка B не лежит на прямой OF? в) Верно ли, что
прямые CO и AF пересекаются в точке D?
24. Рассмотрите рисунок 30, б. а) Назовите точ-
ку пересечения прямых SL и PE. б) Верно ли, что:
Q ∉ ST; S ∈ BL? в) В какой точке пересекаются пря-
мые PE и FT? г) Верно ли, что прямые FT и SQ пе-
ресекаются в точке A?
25. Выполните рисунок 30, в в тетради. Проведите
прямую, которая проходит через точки пересечения
прямых AE, DB и BF, EC.
а) б) в)
Рис. 30
26. Рассмотрите рисунок 31, а. а) Назовите точку
пересечения прямых FT и SK. б) Верно ли, что пря-
мые TE и SK пересекаются в точке L? в) В какой
точке пересекаются прямые SF и BL? г) Верно ли,
что: S ∉ PA; E ∈ LT?
27. Выполните рисунок 31, б в тетради. а) От-
метьте точку O пересечения прямых AC и DB.
б) Укажите точку, в которой прямая DO пересекает
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
39. Начальные сведения 39
прямую SP. в) В какой точке пересекаются прямые
DC и SB?
28. Сколько точек пересечения могут иметь че-
тыре попарно пересекающиеся прямые? Для каж-
дого случая сделайте рисунок.
29. Можно ли провести прямую, не проходящую
через точку O, так, чтобы она пересекала одновре-
менно прямые OA, OB, OC, OD и OF (рис. 32, а)?
30. На рисунке 32, б изображена треугольная
призма и прямые, лежащие в плоскости боковой
грани CC1B1B. а) В какой точке пересекаются пря-
мые CB и TB1? б) Верно ли, что прямые TO и CC1
пересекаются в точке F? в) Назовите точку пересе-
чения прямых OB и TS.
а) б)
Рис. 31
а) б)
Рис. 32
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
40. 40
31*. Проведите на плоскости через шесть точек
четыре прямые так, чтобы на каждой прямой ле-
жало по три точки.
32*. Проведите на плоскости через десять точек
пять прямых так, чтобы на каждой прямой лежало
по четыре точки.
33*. Можно ли через четыре точки провести
шесть прямых так, чтобы прямые пересекались в
данных точках и через каждую точку проходили
три прямые?
Гл а в а 2, § 1
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
41. § 2. Сравнение и измерение отрезков.
Окружность и круг
1. Отрезок. В практической деятельности для
определения расстояния между пунктами находят
длину отрезка, соединяющего рассматриваемые
пункты. Если не принимать во внимание физиче-
ские свойства предметов, то многие из них дают
представление об отрезках, например карандаши,
балки различных металлических конструкций
и т. д.
Рассмотрим понятие отрезка. Для определения
отрезка воспользуемся основным свойством (аксио-
мой) расположения точек на прямой, которое фор-
мулируется следующим образом:
А4. Из трех точек на прямой единственная
точка лежит между двумя другими.
Пусть на прямой q лежат три точки A, B и C
(рис. 33, а). Точка C лежит между точками A и
B. Можно говорить также, что точки A и B лежат
по разные стороны от точки C или что точки A и C
лежат по одну сторону от точки B.
Определение. Отрезком называется геоме-
трическая фигура, состоящая из двух точек пря-
мой и всех ее точек, лежащих между данными точ-
ками.
Данные точки называются концами отрезка,
остальные его точки называются внутренними
точками.
Отрезок, концами которого являются точки A и
B, обозначается AB или BA. Иногда отрезки обозна-
чаются также строчными буквами латинского ал-
фавита a, b, c и т. д.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
42. 42
Если точки A и B — концы отрезка AB, то го-
ворят, что отрезок AB соединяет эти точки.
Можно сказать, что отрезок AB есть фигура, со-
стоящая из двух точек A, B и части прямой, ими
ограниченной.
Подчеркнем, что отрезок LT состоит из точек L,
T и всех точек X прямой LT, лежащих между точ-
ками L и T (рис. 33, б).
Например, на рисунке 33, б изображены отрезки
EF, FC, CD и DE, которые лежат на прямых a, b, c
и d соответственно.
Точка O является внутренней точкой отрезка CD,
а точка P не является внутренней точкой отрезка
EF. На рисунке 33, в изображены отрезки BQ и DC1,
которые лежат в гранях куба, и точка R, являюща-
яся внутренней точкой отрезка DC1.
Пользуясь отрезками, мы можем конструиро-
вать новые геометрические фигуры. Например, на
рисунке 34, а изображена фигура, образованная от-
резками AB, BC, CD, DE, DB, DF, EF, FA.
На рисунке 34, б изображен куб и геометриче-
ская фигура, образованная отрезками AB, BC, CD,
которые лежат в гранях этого куба.
Гл а в а 2, § 2
а) б) в)
Рис. 33
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
43. Начальные сведения 43
На рисунке 34, в изображены отрезки AB и CD,
которые пересекаются в точке О. Точка О является
внутренней точкой каждого из этих отрезков.
Отрезки FT и EA, изображенные на рисунке 34, в,
имеют общую точку E. Точка Е одновременно яв-
ляется внутренней точкой отрезка FT и концом от-
резка EA.
а) б) в)
Рис. 34
Если отрезок AB не пересекает прямую l, то го-
ворят, что точки A и B лежат по одну сторону от
прямой l.
Например, точки Р и А лежат по одну сторону
прямой FT, так как отрезок РА и прямая FT не пе-
ресекаются (см. рис. 34, в).
Если отрезок AB пересекается с прямой l во вну-
тренней точке отрезка АВ, то говорят, что точки
A и B лежат по разные стороны от прямой l.
Например, точки С и D лежат по разные стороны
от прямой АВ (см. рис. 34, в).
2. Ломаная. Среди множества геометрических
фигур, образованных отрезками, выделяются та-
кие, которые называются ломаными.
Определение. Ломаной называется геоме-
трическая фигура, состоящая из отрезков A1A2,
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
44. 44
A2A3, …, An – 1An, последовательно соединяющих
точки A1, A2, A3, …, An – 1, An.
Точки A1, A2, A3, …, An – 1, An называются верши-
нами ломаной, а отрезки A1A2, A2A3, …, An – 1 An на-
зываются звеньями ломаной.
Точки A1 и An называются концами ломаной.
Два звена ломаной называются смежными, если
они имеют общую вершину.
Ломаная называется простой ломаной, если лю-
бые ее два звена, кроме смежных, не имеют общих
точек и никакие два смежных звена не лежат на
одной прямой.
Ломаная называется замкнутой, если ее концы
совпадают.
Например, на рисунке 35, а изображены про-
стая ломаная ABCDEF, которая не является зам-
кнутой, и OKTLR — простая замкнутая ломаная.
На рисунке 35, б изображена незамкнутая простая
ломаная ABC, звенья AB и BC которой лежат в гра-
ни параллелепипеда.
На рисунке 35, в изображены ломаные FOECD
и PQRST, которые не являются простыми, так
как некоторые их несмежные звенья имеют общие
точки.
а) б) в)
Рис. 35
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
45. Начальные сведения 45
Заметим, что отрезки могут образовывать ло-
маную, все звенья которой не лежат в одной пло-
скости. Такая ломаная называется пространст-
венной.
Например, на рисунках 36, а изображена зам-
кнутая ломаная FTKPO, звенья которой ле-
жат в гранях куба и не содержатся в одной плос-
кости.
Примером пространственной незамкнутой лома-
ной служит фигура, образованная отрезками AB,
BC, CD, DE и EF, которые лежат в гранях куба
(рис. 36, б).
3. Луч. Пусть O — некоторая точка прямой l.
Тогда точка О разделяет множество остальных то-
чек прямой l на два множества, каждое из которых
вместе с точкой O называется лучом с началом в
точке O (рис. 36, в).
а) б) в)
Рис. 36
Луч с началом O характеризуется следующим
образом. Если две точки лежат по одну сторону от
точки O, то эти точки лежат на одном луче с на-
чалом O. Если две точки лежат по разные стороны
от точки O, то эти точки лежат на разных лучах с
началом O.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
46. 46
Например, точки F и C луча с началом в точке
Q, изображенного на рисунке 36, в, лежат по одну
сторону от начала Q этого луча.
Определение. Лучом называется геометриче-
ская фигура, состоящая из точки прямой и всех ее
точек, лежащих по одну сторону от данной точки.
Данная точка называется началом луча.
Луч обозначается либо строчной латинской бук-
вой, например h, p, либо двумя заглавными бук-
вами латинского алфавита, первая из которых обо-
значает начало луча, а вторая — некоторую другую
его точку.
Например, на рисунке 37, а изображены лучи h
и CA.
Противоположными лучами называются два
различных луча одной прямой, имеющие общее на-
чало.
Лучи TD и TE прямой a, изображенные на ри-
сунке 37, б, являются противоположными.
а) б) в)
Рис. 37
На рисунке 37, б изображены лучи AF и AL, име-
ющие общее начало A. Отрезок AB является частью
луча AF, а концы B и C отрезка BC принадлежат
лучам AF и AL соответственно.
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
47. Начальные сведения 47
На рисунке 37, в изображены прямоугольный
параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и луч CO, который
лежит в той же плоскости, что и грань CBB1C1. Луч
AF лежит в плоскости грани ABCD данного пара-
леллепипеда.
4. Сравнение отрезков. В практической деятель-
ности для того, чтобы сравнить длины неторых
двух предметов, их прикладывают один к другому.
Например, приложив друг к другу два дере-
вянных бруска, мы можем выяснить, равны дли-
ны этих брусков или один из них длиннее другого
(рис. 38, а).
Пусть даны два отрезка a и b (рис. 38, б). Для
сравнения этих отрезков наложим один отрезок на
другой так, чтобы конец одного совпал с концом
другого. Если два других конца отрезков также со-
впадут, то эти отрезки совместятся, и, значит, они
равны.
а) б) в)
Рис. 38
Отрезки называются равными, если при на-
ложении они совмещаются.
Если же два других конца отрезков не совместят-
ся, то меньшим считается тот отрезок, который со-
ставляет часть другого.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
48. 48
Если отрезок a равен отрезку b, то пишут a = b и
говорят: «Отрезок a равен отрезку b». Если отрезок
a составляет часть отрезка b, то пишут: a b и го-
ворят: «Отрезок a меньше отрезка b» или пишут:
b a и говорят: «Отрезок b больше отрез-
ка a».
Например, на рисунке 38, б отрезок AQ состав-
ляет часть отрезка AF, отрезок KE — часть отрез-
ка KP.
Если точка С является внутренней точкой от-
резка AB, то говорят, что она разбивает, или де-
лит, отрезок на два отрезка AC и СВ.
Например, на рисунке 38, в точка F разбивает от-
резок OE на отрезки OF и FE, а точка T разбивает
отрезок EF на отрезки ET и TF.
В дальнейшем будем предполагать, что выполня-
ется следующая аксиома.
Аксиома откладывания отрезка. На лю-
бом луче от его начала можно отложить един-
ственный отрезок, равный данному.
Эта аксиома означает, что если дан какой-либо
отрезок AB и произвольный луч h с началом в точ-
ке O, то на луче h существует единственная точка
X, такая, что отрезок OX равен отрезку AB.
Серединой отрезка называется точка, делящая
его на два равных отрезка.
Например, на рисунке 38, б изображена точка
O — середина отрезка TR (O ∈ TR, TO = OR).
5. Измерение длин отрезков. В практической де-
ятельности часто необходимо измерять длины от-
резков. Знание длин отрезков позволяет сравнивать
их, не накладывая один на другой.
Измерение длин отрезков основано на сравнении
их с некоторым отрезком, который принимается за
единицу измерения (единичный отрезок).
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
49. Начальные сведения 49
Длина отрезка — это геометрическая величи-
на, которая показывает, сколько раз единица из-
мерения и ее части укладываются в измеряемом от-
резке.
Длина отрезка АВ обозначается АВ.
Длина отрезка может измеряться в миллиметрах
(мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м)
и т. д.
Например, если за единицу измерения при-
нять отрезок в 1 см, то для определения дли-
ны отрезка необходимо узнать, сколько раз в из-
меряемом отрезке укладывается сантиметр и его
части.
Если в отрезке АВ отрезок в 1 см укладывает-
ся 3 раза, то говорят, что отрезок АВ имеет дли-
ну, равную 3 см, и пишут: АВ = 3 см. Если в от-
резке CD сантиметр укладывается 2 раза и в
остатке 5 раз укладывается десятая часть сан-
тиметра, то длина отрезка CD равна 2,5 см, т. е.
CD = 2,5 см.
При выбранной единице измерения длину от-
резка можно выразить некоторым положительным
числом. Если два отрезка равны, то единичный от-
резок и его части укладываются в этих отрезках
одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют
равные длины.
При измерении отрезков опираются на следую-
щие свойства длины отрезков.
1) При выбранной единице измерения каждый
отрезок имеет длину, которая больше нуля.
2) При выбранной единице измерения для любого
положительного числа существует отрезок, длина
которого выражается этим числом.
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
50. 50
3) Равные отрезки имеют равные длины.
4) Отрезки, имеющие равные длины, равны.
5) Длина отрезка равна сумме длин отрезков,
на которые он делится любой точкой.
Длиной ломаной называется сумма длин ее зве-
ньев.
Теперь дадим определение расстояния между
точками.
Определение. Расстоянием между двумя точ-
ками называется длина отрезка, соединяющего
данные точки.
Если две точки совпадают, то расстояние меж-
ду ними считается равным нулю.
Расстояние между двумя точками A и B обозна-
чается AB или ВА.
Задача. Точка B делит отрезок AC на два отрез-
ка AB и BC. Вычислите длину отрезка AC, если из-
вестно, что AB = 2 см, а BC = 1 см (рис. 39, а).
а) б) в)
Рис. 39
Решение.
Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков,
на которые он делится точкой B. Следовательно,
AC = AB + BC = 2 + 1 = 3 (см).
Ответ: 3 см.
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
51. Начальные сведения 51
Пусть точка O делит отрезок TF — диагональ
грани прямоугольного параллелепипеда — на от-
резки TO и OF (рис. 39, б, в).
Тогда, если TF = 10 см, а TO = 2 см, то OF = 8 см.
Действительно, TF = TO + OF, значит, OF = TF – TO =
= 10 – 2 = 8 (см).
6. Окружность и круг. Дадим определение еще
одной геометрической фигуры.
Определение. Окружностью называется гео-
метрическая фигура, состоящая из всех точек пло-
скости, находящихся на заданном расстоянии от
данной точки этой плоскости.
Данная точка называется центром окружности.
Радиусом окружности называется отрезок, со-
единяющий центр окружности с какой-либо точ-
кой окружности.
Иногда радиусом окружности называют длину
отрезка, соединяющего центр окружности с какой-
либо ее точкой.
Из определения следует, что все радиусы окруж-
ности равны.
На рисунке 40, а изображены окружности с цент-
рами в точках O и S. Параллели имеют форму
окружностей, расположенных на поверхности зем-
ного шара (рис. 40, б).
а) б) в)
Рис. 40
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
52. 52
Например, на рисунке 40, в изображены радиусы
OA, OB и OC. Окружность с центром в точке O и
радиусом R обозначается ω(O, R) (читают: «Окруж-
ность с центром в точке O и радиусом R»).
Хордой окружности называется отрезок, соеди-
няющий две точки окружности.
Например, на рисунке 41, a изображены хорды
FK, DB и QE, а на рисунке 41, б изображена ло-
маная ABCDF, каждое звено которой является хор-
дой окружности.
а) б) в)
Рис. 41
Диаметром окружности называется хорда, про-
ходящая через центр окружности (или длина такой
хорды). Центр окружности делит любой ее диаметр
на два равных отрезка.
Например, хорда QE является диаметром окруж-
ности, так как проходит через центр O этой окруж-
ности (см. рис. 41, а).
Дугой окружности называется каждая из частей,
на которые делят окружность любые две ее точки.
Например, на рисунке 42 точки A и B делят
окружность на две дуги AOB и AFB, которые обо-
значаются ∪AOB и ∪AFB (читают: «Дуга AOB и
дуга AFB»).
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
53. Начальные сведения 53
Прочертить окружность на местности для раз-
бивки цветочной клумбы можно с помощью верев-
ки и колышка (рис. 41, в).
Определение. Кругом называется геометриче-
ская фигура, состоящая из окружности и части пло-
скости, ограниченной этой окружностью (рис. 43).
Окружность называется границей круга.
Круг с центром в точке O и радиусом R обозна-
чается ω( , )O R (читают: «Круг с центром в точке O
и радиусом R»).
Окружность с центром в точке O и радиусом R
называется границей круга с центром в точке O и
радиусом R.
Центром, радиусом, хордой и диаметром круга на-
зываютсяцентр,радиус,хордаидиаметрегограницы.
Плоская геометрическая фигура называется
ограниченной, если все ее точки принадлежат не-
которому кругу, и называется неограниченной,
если не существует круга, содержащего все точки
этой фигуры.
Любой отрезок AB — ограниченная фигура, так
как для него существует круг некоторого, быть мо-
жет, достаточно большого радиуса, которому при-
надлежат все точки этого отрезка. Например, лю-
Рис. 43Рис. 42
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
54. 54
бой отрезок AB принадлежит кругу с центром в точ-
ке A и радиусом R = AB.
Примером неограниченной фигуры является лю-
бая прямая или луч. Не существует круга, которо-
му принадлежат все точки прямой. Для круга сколь
угодно большого радиуса найдутся точки прямой,
которые не принадлежат этому кругу.
Вопросы к § 2
1. Какая геометрическая фигура называется от-
резком?
2. Дайте определение ломаной.
3. Что называется лучом? Какие лучи называют-
ся противоположными?
4. Сформулируйте аксиому откладывания отрезка.
5. Сформулируйте свойства длины отрезков.
6. Что называется длиной ломаной?
7. Что называется расстоянием между двумя точ-
ками?
8. Какая геометрическая фигура называется
окружностью?
9. Что называется хордой, радиусом и диаметром
окружности?
10. Какая геометрическая фигура называется
кругом?
Задачи к § 2
34. Рассмотрите рисунок 44, а. а) Среди отмечен-
ныхточекназовитетеизних,которыеявляютсявнут-
ренними точками отрезка AC. б) Какая из точек — B
или O — является внутренней точкой отрезка DT?
в) Верно ли, что ломаная FBOC является простой?
35. Рассмотрите рисунок 44, б. а) Среди отмечен-
ных точек назовите те, которые являются внутрен-
Гл а в а 2, § 2
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
55. Начальные сведения 55
ними точками отрезка BT. б) Какая из точек — B
или E — является внутренней точкой отрезка QF?
в) Верно ли, что ломаная RTOPABCDQ является
простой ломаной?
36. Рассмотрите рисунок 44, в. а) Какие из то-
чек — O, K, D — разбивают отрезок BS? б) Какие из
точек — A, M, F, T — являются внутренними точка-
ми отрезка SC? в) Верно ли, что ломаная MRKSFEQ
является простой?
а) б) в)
Рис. 44
37. Точка O разбивает отрезок AB на два отрез-
ка. Вычислите длину отрезка AB, если AO = 7,1 см,
OB = 3,2 см.
38. Точки E и F — внутренние точки отрез-
ка AC, а точка F — внутренняя точка отрезка
EC. Вычислите длину отрезка AC, если AE = 3 см,
EF = 2,5 см, FC = 3,2 см.
39. На рисунке 45, а изображен куб и незамкну-
тая пространственная ломаная AFTROB. а) Назовите
грань куба, которая содержит звено FT данной ло-
маной. б) Верно ли, что звено OB содержится в гра-
ни AA1B1B куба?
Народная
асвета
Правообладатель Народная асвета
