prezentaciq

1. Задача: Ако са дадени два подобни триъгълника, в които са
построени:
а) ъглополовящи на съответни ъгли;
б) медиани към съответни страни;
в) височини към съответни страни.
Да се докаже подобност на така получени триъгълници.
A
C
BM L H A1 B1
C1
M1 L1 H1

2. А
В
С
А1
В1
С1
L
L1
а)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СL и С1L1 са
ъглополовящи. Разглеждаме ∆АСL и ∆А1С1L1.
111
111
111
LCAACL
LACCAL
LCААСL
∆∆⇒



∠=∠
∠=∠
~
1111 CA
AC
LC
CL
=

3. А В
С
А1 В1
С1
М
М1
б)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СМ и С1М1 са медиани. Разглеждаме
∆АСМ и ∆А1С1М1. Но АВ=2АМ и А1В1=2А1М1
1111 CA
AC
MА
АМ
=
111
1111
111
CMAAMC
MA
AM
CA
AC
MACСАМ
∆∆⇒




=
∠=∠
~
1111 CA
AC
MC
CМ
=

4. А В
С
А1
В1
С1
Н
Н1
в)Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини.
Разглеждаме ∆АНС и ∆А1Н1С1.
111
111
0
111 90
CHAAHC
HACCAH
CНААНС
∆∆⇒



∠=∠
=∠=∠
~
1111 CA
AC
НC
CН
=

6. Теорема1. Отсечки в подобни триъгълници
Ако два триъгълника са подобни, то:
 съответните височини
 съответните ъглополовящи
 съответните медиани
се отнасят тъй както съответните страни.
k
a
a
m
m
l
l
h
h
====
1111

7. Теорема 2. Радиуси на окръжности
в подобни триъгълници Ако два триъгълника са подобни, то:
 отношението на радиусите на описаните окръжности;
 отношението на радиусите на вписаните окръжности;
е равно на отношението на съответните страни.
А В
С
А1
В1
С1
k
c
c
r
r
R
R
===
111

8. Задача 2. В равнобедрен триъгълник АВС(АС=ВС) допирателната към
вписаната окръжност, успоредна на АВ, пресича АС и ВС съответно в
точки M и N. Да се намери височената към основата, ако радиусите на
окръжностите, вписани в ∆АВС и ∆MNC са съответно 3cm и 1cm.
А В
С
М N
r
r1
H
P
Решение:
Разглеждаме ∆АВС и ∆МNС. Нека r и r1 са
радиусите на вписаните окръжности, а
височината СН – h .
( )
( )
ABCMNC
ABIIMNCABCMN
общACBMCN
∆∆⇒



∠=∠
∠=∠
~
От свойствата на височините и радиусите в
подобни триъгълници получаваме:
h
rh
r
r
CH
CP
r
r
ABCMNC
211 −
=⇒=⇒∆∆ ~
Откъдето . Следователно височината е 9 cm.9
2
182
1
2
==⇒
−
= h
rr
r
h

9. Задача 3. В триъгълника АВС точките А1,В1,С1 са среди на
страните ВС,СА и АВ. Да се изрази лицето на ∆А1В1С1 чрез
лицето S на ∆АВС.
А В
С
А1В1
С1
Решение:
Знаем, че ∆А1В1С1 ~ ∆АВС и
2
111
==
AB
BA
k
Следователно SSkS CBA
4
12
111
==

10. Теорема 3. Лица на подобни триъгълници
Ако два триъгълника са подобни, то отношението на лицата им е
равно на квадрата на коефициента на подобност.
А
В
С
А1 В1
С1
Н
Н1
Доказателство:
Нека ∆АВС~∆А1В1С1, СН и С1Н1 са височини и АВ: A1B1=k
k
BA
AB
HC
CH
==
1111
Тогава
И следователно АВ=kA1B1, CH=kC1H1
2
1111
1111
1111
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
111
k
HCBA
HkCBkA
HCBA
CHAB
S
S
S
S
СВА
ABC
==
===

11. Задача 4: Ако лицата на два подобни триъгълника са 9 cm2
и16 cm2
, то
какъв е коефициентът на подобност? / Устно/
S=9cm2 S=16 cm2
A B
C
A1 B1
C1

12. Практическа задача:
Височината на рекламното пано в момента е 1/6 от височината на
сградата. За да се вижда по-добре, то трябва да се уголеми.
Колко материал е необходим за новата реклама, ако за изработване
на старата са изразходвани 3 кв. м.?

13. ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА
Задача 2. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1. ВС:B1C1=1:3.
Намерете радиуса на описаната около ∆A1B1C1 окръжност, ако радиуса на
описаната окръжност ∆АВС около е 6 cm.
Задача 3. Дадени са два подобни триъгълника. Периметърът на единия е
два пъти по-голям от периметъра на другия, а сборът от квадратите на
дължините на две съответни ъглополовящи е 125. Намерете тези
ъглополовящи.
Задача 4. Две съответни страни в подобни триъгълници са 8 и 12, а
сборът от лицата им е 52. Намерете лицата на подобните триъгълници.
Задача 1. Дадени са два подобни триъгълника АВС и A1B1C1.
Периметърът на триъгълника АВС е пет пъти по-голям от периметъра на
A1B1C1. Намерете медианата през върха А на ∆АВС, ако медианата през
върха A1на ∆A1B1C1 е 10 cm.