encontrara solución de problemas del tema elipse, canónica y otras

1. Curso: Algebra, Trigonometría y
Geometría Analítica
Paso 4- Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 3.
Presentado por:
Camilo Leal Leal
Código: 1.105.671.033
Grupo: 551108
Presentado a:
Stevenson Lions
Tutor
Universidad Nacional Abierta y a
UNAD
Mayo 2021
Distancia

2. Introducción
El presente trabajo tiene como finalidad en el estudio de la geometría, mediante la solución de
los ejercicios planteados en la guía sobre los temas de: Hipérbola, Elipse, Circunferencia,
Parábola, graficas de las cónicas, Ecuaciones de las cónicas y la solución de problemas
aplicando la geometría analítica.
Con la solución de los puntos de la guía el propósito es que entandamos la tema para nuestro
futuro profesionales que nos estamos formando. Igualmente, por medio de la aplicación de
GeoGebra comprobamos las respuestas de los puntos de la guía.

3. Solución de la guía.
Tarea 1. Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en
cada caso, las coordenadas del centro, de los vértices, los
focos, la excentricidad
a.
( 𝐱−𝟔)𝟐
−
( 𝐲+𝟐)𝟐
=𝟏
𝟐𝟓 𝟒
a2 b2
( x−h)2
(y +k)2
− =1
Coordenadas del centro
−ℎ=−6→ (−1) −ℎ=(−1) −6→ ℎ=6
−𝑘=2→ (−1) −𝑘 =( −1) −2→ 𝑘 =−2
𝐡 =𝟔 𝐲 𝐤 = −𝟐
𝐶 ( ℎ,𝑘) =𝐂 ( 𝟔,−𝟐)
Distancia focal
𝑎2 =25→ √𝑎2 =√25 → 𝑎 = 5
𝑏2 =4 → √𝑏2 =√4 → 𝑏 =2
𝐚 =𝟐 𝐲 𝐛 = 𝟑
𝐶 = √𝑎2 +𝑏2
𝐶 = √52 +22
𝐶 =√25 +4
𝐶 =√29

4. 𝐂 =𝟓. 𝟑𝟖𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐟𝐨𝐜𝐚𝐥
Coordenadas de los vértices:
𝑽𝟏 =( h−a,k) → ( 6−5,−2) → ( 𝟏, −𝟐 )
𝑽𝟐 =( h+a,k) → ( 6+5,−2) → ( 𝟏𝟏, −𝟐 )
𝑩𝟏 =( h,k−b) → ( 6,−2−4) → ( 𝟔, −𝟔)
𝑩𝟐 =( h,k+b) → ( 6,−2+4) → ( 𝟔, 𝟐)
Coordenadas de los focos:
𝑭𝟏 =( h−c,k) → ( 6−5.38,−2) → ( 𝟎. 𝟔𝟐. 𝟑𝟖,−𝟐)
𝑭𝟐 =( h+c,k) → ( 6+5.38,−2) → ( 𝟏𝟏. 𝟑𝟖, −𝟐)
La excentricidad
𝑒= → 𝐞=
𝑐 √𝟐𝟗
𝑎 𝟓
b.
( 𝐱−𝟑)𝟐
−
( 𝐲+𝟑)𝟐
=𝟏
𝟑𝟔 𝟗
a2 b2
( x−h)2
(y +k)2
− =1
Coordenadas del centro
−ℎ=−3→ (−1) −ℎ=(−1) −2→ ℎ=3
−𝑘=−3→ (−1) −𝑘 =( −1) −3→ 𝑘 =−3
𝐡 =𝟑 𝐲 𝐤 = −𝟑
𝐶 ( ℎ,𝑘) =𝐂 ( 𝟑,−𝟑)

5. Distancia focal
𝑎2 =36→ √𝑎2 =√36 → 𝑎 = 6
𝑏2 =9 → √𝑏2 =√9 → 𝑏 =3
𝐚 =𝟔 𝐲 𝐛 = 𝟑
𝐶 = √𝑎2 +𝑏2
𝐶 = √62 +32
𝐶 =√36 +9
𝐶 =√45
𝐂 =𝟔. 𝟕𝟏 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐟𝐨𝐜𝐚𝐥
Coordenadas de los vértices:
𝑽𝟏 =( h−a,k) → ( 3−6,−3) → ( −𝟑,−𝟑 )
𝑽𝟐 =( h+a,k) → ( 3+6,3) → ( 𝟗, 𝟑 )
𝑩𝟏 =( h,k−b) → ( 3,−3−3) → ( 𝟑, −𝟔)
𝑩𝟐 =( h,k+b) → ( 3,−3+3) → ( 𝟑, 𝟎)
Coordenadas de los focos:
𝑭𝟏 =( h−c,k) → ( 3−6.71,−3) → ( −𝟑.𝟕𝟏, −𝟑)
𝑭𝟐 =( h+c,k) → ( 3+6.71,−3) → ( 𝟗. 𝟕𝟏, −𝟑 )
La excentricidad
𝑒=
𝑐
𝑎
→ 𝐞=
√𝟒𝟓
𝟔

6. 𝟑
c. (𝐱 −𝟒)𝟐 +(𝐲 −𝟓)𝟐 =𝟕
esta ecuación es unacircuferencia
El ejercicio anterior no corresponde a una hipérbole, ni a una elipse, esta ecuación
cumple las características de una canónica de la circunferencia, en el cual se grafica la
circunferencia y los elementos que se identifica son el centro y el radio.
(𝑥 −4)2 +(𝑦 −5)2 =7
3
(𝑥 −ℎ)2 +(𝑦 −𝑘)2 =𝑟2
Coordenas del centro.
−ℎ=−4→ (−1) −ℎ=(−1) −4→ ℎ=4
−𝑘=−5→ (−1) −𝑘 =( −1) −5→ 𝑘 =5
𝐡 =𝟒 𝐲 𝐤 = 𝟓
𝐶 ( ℎ,𝑘) =𝐂 ( 𝟒,𝟓)
Radio
3
𝑟2 =
7
→ √𝑟2
7
=√
3
d. 𝟒𝟗𝐱𝟐 +𝟑 (𝐲 −𝟓)𝟐 =𝟖𝟏
81
+
81
=
49𝑥2 3(𝑦−5)2 81
81
𝑥2
3
+
(𝑦 −5)2
49
=1
a2
(x−h)2
−
b2
(y +k)2
=1

7. Coordenas del centro.
−ℎ=0→ (−1) −ℎ=(−1) 0→ ℎ=0
−𝑘=−5→ (−1) −𝑘 =( −1) −5→ 𝑘 =5
𝐡 =𝟎 𝐲 𝐤 = 𝟓
𝐶 ( ℎ,𝑘) =𝐂 ( 𝟎,𝟓)
Distancia focal
𝑎2 =3→ √𝑎2 =√3 → 𝑎 = 1.7320
𝑏2 =49 → √𝑏2 =√49 → 𝑏 = 7
𝐚 =𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎 𝐲 𝐛 =𝟕
𝐶 =√𝑎2 + 𝑏2
𝐶 =√1.73202+72
𝐶 =√3 +49
𝐶 =√52
𝐂 =𝟕. 𝟐𝟏𝟏𝟏 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐟𝐨𝐜𝐚𝐥
Coordenadas de los vértices:
𝑽𝟏 =( h,k+a) → ( 0.5+1.7320) → (𝟎 .𝟔. 𝟕𝟑𝟐, )
𝑽𝟐 =( h,k−a) → ( 0.5−1.7320)→ ( 𝟎. 𝟑.𝟐𝟓𝟖)
𝑩𝟏 =( h+b,k ) → ( 0+7,5) → ( 𝟕. 𝟓 )
𝑩𝟐 =( h−b,k) → ( 0−7. 5) → ( −𝟕. 𝟓)
Coordenadas de los focos:

8. 𝑭𝟏 =( h,k+c) → ( 0.5+7.211) → ( 𝟎. 𝟏𝟐. 𝟐𝟏𝟏)
𝑭𝟐 =( h.k−c) → ( 0.5−7.211) → ( 𝟎. −𝟐. 𝟐𝟏𝟏 )
La excentricidad
𝑒=
𝑐
𝑎
→ 𝐞=
√𝟓𝟐
𝟏.𝟕𝟑𝟐𝟎
e. 𝟔(𝐲 −𝟐)𝟐 −𝐱𝟐 =𝟏
1
6
×(𝐲 −𝟐)𝟐
1
6
1
×(𝐲 −𝟐)𝟐
(𝐲−𝟐)𝟐
1
6
(𝐲 −𝟐)𝟐
√1
6
2
𝑥2
− =1
1
(𝐲 −𝟐)𝟐
√1
6
2 −
(𝑥 −0)2
12
=1
−
a2 b2
( x−h)2
(y +k)2
=1
Coordenas del centro.
−ℎ=2→ (−1) −ℎ=(−1) 2→ ℎ=2

9. 𝑎2 = √
1
6
−𝑘=−0→ (−1) −𝑘 =( −1) −0→ 𝑘 =0
𝐡 =𝟐 𝐲 𝐤 =𝟎
𝐶 ( ℎ,𝑘) =𝐂 ( 𝟐,𝟎)
Distancia focal
2
→ √𝑎2
1
=√
6
2
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜𝑒𝑙𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑖𝑧𝑦 𝑒𝑙𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑢𝑠𝑎2 𝑎
1
6
= → 𝑎 =0.1666666667
𝑏2 =1 → √𝑏2 =√1 → 𝑏 =1
𝐚 =𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 𝐲 𝐛 =𝟏
𝐶 =√𝑎2 + 𝑏2
𝐶 =√0.16666666672+12
6
1
𝐶 =√ +1
𝐶 = √7
→
√7×√6
=√42
=1.08012
6 √6×√6 6
𝐂 =𝟏. 𝟎𝟖𝟎𝟏𝟐𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐟𝐨𝐜𝐚𝐥
Coordenadas de los vértices:
1
6
𝟏𝟑
𝟔
𝑽𝟏 =( h +a,k) → ( 2+ .0) → ( ,𝟎) ⟹
( 𝟐, 𝟏𝟔𝟕 .𝟎)

10. 1
6
11
6
𝑽𝟐 =( h −a,k) → ( 2− . 0) → ( .0) ⟹
( 𝟏, 𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑.𝟎)
𝑩𝟏 =( h+b,k) → ( 2+1,0) → ( 𝟑. 𝟎)
𝑩𝟐 =( h−b,k) → ( 2−1.0) → ( 𝟏. 𝟎)
Coordenadas de los focos:
𝑭𝟏 =( h+c,k) → ( 2 +
√42
6
,0) → ( 𝟑. 𝟎𝟖𝟎𝟏𝟐.𝟎)
𝑭𝟐 =( h−c,k) → ( 2−
√42
6
.0) → ( 𝟎.𝟗𝟏𝟗𝟖𝟖.𝟎 )
La excentricidad
𝑐
𝑒=
𝑎
→ 𝐞=
√42
6
𝟏
𝟔
2. Tarea 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica
en la forma canónica
a. x2 −2x−4y+1= 0
x2 −2x−4y+1+4y−1=0+4y−1 x2 −2x=
4y−1
x2 −2x+1=4y−1+1
(𝑥 −1)2 =4𝑦

11. b. x2 +y2 +6𝑦+2𝑦−15= 0
x2 +y2 +8𝑦= 15
x2 +y2 +8𝑦= 15
para completar el cuadrado con respecto a, agregamos 16 a ambos lados de la
ecuación o desigualdad.
x2 +(y2 +8𝑦 +16) =15+16
x2 +(y +4)2 =31
Con esta ecuación utilizare la formula del circulo con radio r y centro ( a,b)
(𝑥 +𝑎)2 +(𝑦 +𝑏 )2 =𝑟2
(𝑥 +0)2 +(𝑦 +4)2 =√31
Por lo tanto, las propiedades del circulo son ( a, b ) = (0, 4 ), r = √31
c. 4x2−9y2−16𝑥+18𝑦−9=0
Para resolver esta ecuación aplicare la formula del circulo con radio y centro
( 𝑎,𝑏), (𝑥 +𝑎) 2 +(𝑦 +𝑏 )2 =𝑟2
Completo la desigualdad a cuadrado quedara así
4x2−16𝑥+64−9y2+18𝑦−9=64 (𝑥 +8)2
+(3𝑦 −3)2 =√64
(𝑎 ,𝑏 ) =(8, −3), 𝑟=8
d. 9x2−4y2−18𝑥+16𝑦−9=0
Para resolver esta ecuación utilizare la ecuación de elipse con centro fuera del
origen, centro ( h, K ) y a, b, son los semiejes mayor o menor.

12. 𝑎2
( 𝑥+ℎ)2
+
𝑏2
( 𝑦+𝑘)2
=1
9x2−4y2−18𝑥+16𝑦−9=0
5(𝑥2 +4𝑥) +9( 𝑦2 −4𝑦) =9
5𝑥2+20𝑥+20−36𝑦+9𝑦2+36=9+20+36
5(𝑥2 +4𝑥+4) +9( 𝑦2 −4𝑦+4) =65
5(𝑥2 +4𝑥+4)
9×5
+
9×5
=
9(𝑦2 −4𝑦 +4) 65
9×5
5(𝑥2 +4𝑥+4)
9
+
5
=
9(𝑦2 −4𝑦 +4) 65
9×5
+
9 5
=
(𝑥2 +4𝑥+4) 9(𝑦2 −4𝑦+4) 13
9
9
Dividimos entre 13
todo esto
1
9
( 𝑥+2)2 +
1
( 𝑦 −2)2 =
13
5 9
1
13
9
1
13
9
9( 𝑥+2)2 +5( 𝑦 −2)2 =9
13
13
9
1
13 9
( 𝑥+2)2 +
65
( 𝑦 −2)2 =1
(𝑥+2)2
13
+
(𝑦 −2)2
65
9
=1

13. (𝑥+2)2
√13
+
(𝑦 −2)2
√65
9
=1
(𝑥+2)2
√13
+
(𝑦 −2)2
√65
9
=1
(𝑥+2)2
√13
+
(𝑦 −2)2
√65
=1
3
Por lo tanto las propiedades de la elipse son:
( h, k ) = ( 2, -2 ), a = √13 b=√65
3
e. 𝟐𝟓𝐱𝟐 +𝟏𝟔𝐲𝟐 +𝟏𝟎𝟎𝐱 −𝟗𝟔𝐲 −𝟏𝟓𝟔 =𝟎
25(x² + 4x) + 16(y² - 6y) = 156 → 25(x² + 4x + 4) + 16(y² - 6y + 9) = 156+ 100 + 144
25(x+2)2 + 16(y −3)2 = 400 →
25(x+2)
+
16(y −3)
=
400
400 400 400
(x +2)2
16
+
(y +2)2
25
=1
a= 4 b= 5 c= 6.4
Tarea 3: Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son
respectivamente:
a. a) 𝑣1 = (1;-2), 𝑣2 = (−1; −2), 𝑣3 = (0; −2 + √2), 𝑣4 = (0; −2 − √2)
𝒚 =𝒚𝟏+𝒚𝟐
𝟐
donde usare los v1 y v2
𝑦 =
−2+(−2) −4
2 2
= = −2

14. Por lo tanto C = (0,-2 ) ( h,k)
a= 1 b= ¿ c = 1
𝑏2 = 𝑎2 +𝑐2
𝑏2 = 12 +12
𝑏2 =1+1
𝑏2 = 2
√𝑏2 = √2
b= 1.41
aplicare la ecauacion canonica.
𝑎2
( 𝑥−ℎ)2
−
𝑏2
( 𝑦−𝑘)2
=1
12
( 𝑥−0)2
+
( 𝑦−(−2))2
1.412
=1
12
( 𝑥−0)2
+
( 𝑦−(−2))2
1.98
=1
b. 𝑣1 = (−5; 1), 𝑣2 = (5; 1), 𝑣3 = (−1; 1), 𝑣4 = (1; 1)
A= 5, B= ?, C= 1
𝑏2 = 𝑎2 +𝑐2
𝑏2 = 52 +12
𝑏2 =25+1
𝑏2 = 26

15. √𝑏2 = √26
b= 5.09
El centro del elipse es 𝑐= (0,1)
H= 0
K=1 Ecuación canónica
𝑎2
( 𝑥−ℎ)2
+
𝑏2
( 𝑦−𝑘)2
=1
√26
( 𝑥)2
(𝑦 −1)2
25
+ =1
c. 𝑣1 = (0; 6), 𝑣2 = (4; 6), 𝑣3 = (2; 0), 𝑣4 = (2; 12)
Formula.
𝑎2
( 𝑥−ℎ)2
−
𝑏2
(𝑦 −𝑘)2
=1
Remplazamos.
+
1 3
( 𝑥−2)2
(𝑦 −6)2
=1
d. 𝑉1 = (0; 10), 𝑉2 = (−5; 0), 𝑉3 (0; −10), 𝑉4 = (0;−√2)
𝑎 = 10, 𝑏 =? , 𝑐=5
𝑏2 =𝑎2 +𝑐2
𝑏2 =102+252

16. 𝑏2 =100+25
𝑏2 = 125
√𝑏2 = √125
b= 11.180
𝑎2
( 𝑥−ℎ)2
−
𝑏2
(𝑦 −𝑘)2
=1
( 𝑥)2
100 125
(𝑦 −1)2
+ =1
e. V1 = (√6, 0); V2 = (−√6, 0); V3 = (0, √2, ); V4 = (0, −√2)
¿Cómo a =? b = √2 c = √6 En la gráfica observamos que: a² = b² + c² = (√2)² + (√6)²
𝑎2 =2+6→ 𝑎 =√8 = 2√2
Tenemos: a = 2√2; b = √2 c = √6 y como la elipse es horizontal, su ecuación es:
𝑥 2 𝑦2
𝑎2 +
𝑏2
𝑥2 𝑦2
=1 → +
(√8)2 (√2)2
=1
𝑥2 𝑦2
8 2
+ =1
Tarea 4: Realice los siguientes ejercicios de Geometría Analítica:
a. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, -2) y
(4, 6).
Sustituimos los valores en la forma continua:
=
𝑥− 𝑥1 𝑦 − 𝑦1
𝑥2 −𝑥1 𝑦2−𝑦1

17. 𝑥− 1
=
4−1 6−(−2)
𝑦 −(−2)
𝑥− 1
3
=
𝑦 −(−2)
8
𝑥− 1
=
3 4
𝑦 +1
4𝑥−4+3𝑦+3
b. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3; -6) y es paralela a la
ecuación
𝑦 =1 /3x −4.
Organizo la
ecuación
1
3
− 𝑥+𝑦 −4=0
1
Determinamos que 𝑎=− , 𝑏= 1, 𝑐= 4
3
Debemos encontrar la pendiente de la
recta
𝑚 =
−𝑎
−𝑏
𝑚1 =𝑚2
1
−(− )
𝑚 = 3
1
1
𝑚 =3
1
𝑚 =
1
3
Buscamos la ecuación de los puntos que conocemos
(-3,-6)
Con la ecuación: 𝑦 −𝑦1= 𝑚(𝑥 −𝑥1)
1
3
𝑦 −(−6)= (𝑥 −(−3)

18. 𝑦 −(−6) = 𝑥−
1 3
3 3
1
𝑦 +6 = 𝑥−1
3
1
3
𝑦 +6− 𝑥−1=0
1
3
− 𝑥+𝑦 +7=0
c. Determine la ecuación de la recta perpendicular a y = -5x - 5 y que pasa por el punto
(0, -5)
pendiente = m
=
formula 𝑦 −𝑦₁=𝑚(𝑥 −𝑥
₁)
𝑎
𝑏
punto = (0, -
5)
y = -5x –5
m = =
−5 1
1 5
1
5
Ecuación = Y – (-5) = (X -
0)
d. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto (-2;1) y por el punto de intersección
de las rectas 4y+8x-12=0 y y-7x+2=0
4y+8x-12=0
y=2x+3
La ecuación de la recta es -0,89x+2,56 y-4,33=0
c. Hallar las coordenadas del centro de una circunferencia que pasa por los puntos A (4, 6)
B (-1, 4) y C(2, -2)
Como la distancia entre cada uno de los puntos tangenciales al centro = R; entonces por
distancia entre dos puntos tenemos:

19. AC² = BC² = CC² Ahora calculemos la distancia de los puntos tangenciales al centro e
igualemos para formar un sistema de ecuaciones de 2x2:
BC² ) = √(−1 −h) 2+(4 −k)² y AC² = √(4 −h) 2+(6 −k)² AC² = BC² =
√(−1 −h) 2+(4 −k)² == √(4 −h) 2+(6 −k)² elevando al cuadrado
tenemos:
1 + 2h + h² + 16 – 8k + k² = 16 – 8h + h² + 36 – 12 k + k²
1 + 2h – 8k = -8h + 12k +36 – 12k
2h + 8h- 8k + 12k = 36 –1
10h + 4k = 35 (1)
AC² = CC²= √(2 −h) 2+(−2 −k)² = √(4 −h) 2+(6 −k)² elevando al cuadrado tenemos: (2 – h) ²
+ (-2 – k) ² = (4 - k) ² + (6 – k) ²
4 – 4h + h² + 4 + 4k + k² = 16 – 8h + h² +36 – 12k +k²
-4h + 8h + 4k + 12k = 16 – 8 + 36
4h +16k =44 (2) →h +4k =11 (2)
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y resolvamos el Sistema por
reducción: 10h + 4k = 35 (1) multipliquemos por (1)
h + 4k = 11 (2) multipliquemos por (-1)
10h + 4k = 35(3)
−h − 4k = −22(4)
9h = 13
13
9
h = = 1.4
Sustituyendo el valor de” h”en la ecuación
(2)
9.6
4
h +4k =11 →1.4 +4k =11 →4k =11 – 1.4 =9.6 →k = =
2.4
k= 2.4
centro (h, k) →Centro (1.4,2.4)

20. Referentes bibliográficos
• Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica.
Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
Páginas 237 –
265. Recuperado de
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/115
83
• Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J.
(2018).
Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria.
https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/4
05 39?page=51 Real, M. (2010). Secciones Cónicas.
Recuperado de
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690