Dokumen ini membahas konsep limit dalam kalkulus, termasuk definisinya, jenis-jenis limit, dan cara penyelesaian. Limit merupakan inti dari analisis fungsi saat mendekati titik tertentu, serta memberikan solusi untuk fungsi yang memiliki nilai tak tentu. Metode yang dibahas mencakup substitusi, pemfaktoran, dan perkalian sekawan untuk menyelesaikan limit fungsi.

1. 0
lim


x
Limit Fungsi
KALKULUS 2
BAB 5

2. A. Definisi Limit
B. Jenis Limit
C. Cara Penyelesaian Limit
D. Sifat-Sifat Limit Fungsi
E. Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga

3. Limit = Pendekatan
Berarti Limit Fungsi = Pendekatan Nilai Fungsi
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar
dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi
mendekati titik masukan tertentu.
Manfaatnya :
Untuk mentukan nilai fungsi yang memiliki nilai tak
Tentu
   

















x
0
,
-
,
,
0
0

4. Gambaran limit fungsi aljabar
Menggunakan nilai-nilai fungsi
disekitar titik yang ditinjau

5. Contoh
x 0,96 0,97 0,98 0,99 1 1,11 1,12
X+3 3,96 3,97 3,98 3,99 4 4,11 4,12
...
)
3
(
1
lim



 x
x
jawab
4
)
3
(
1
lim




 x
x

6.    

















x
0
,
-
,
,
0
0
> Limit Fungsi Aljabar
Limit Fungsi Tak Tentu
Limit Tak Hingga
> Limit Fungsi Trigonometri

7. f(x)
Limit
a
x
)
(
Limit
x
x
f


1. Bentuk
1. Substitusi
2. Pemfaktoran
3. Perkalian sekawan
Atau Rasionalisasi
4. Permisalan
2. Bentuk Tak Hingga Dapat diselesaikan dengan :
1. Pembagian pangkat tertinggi penyebut
2. Perkalian sekawan
Dapat diselesaikan dengan :

8. 1.Metode Subtitusi Langsung
contoh
1
)
3
2
(
)
3
(
Limit
2
x






x
1
x
Limit






 0
1
1
1
1
1
x
x
3
x
Limit

0
4
0
1
3
3
3
1
3







x
x

9. 9
)
(
Limit
a
x
x
f

25
E.
24
D.
23
C.
22
B.
21
A.
...
)]
1
3
)(
1
[(
Limit
Hitunglah 2
2
x




x
x
BENTUK

10. 2 June 2024 10
25
5
x
5
1)
-
2
.
3
)(
1
(2
)]
1
3
)(
1
[(x
Limit
)]
1
3
)(
1
[(
Limit
Hitunglah
2
2
2
x
2
2
x












x
x
x
OPTION

11. Latihan soal
Tentukan nilai dari soal di bawah ini dengan
menggunakan cara substitusi

















1
1
3
.
2
1
4
2
.
4
3
1
2
1
.
lim
lim
2
lim
x
x
y
c
x
x
x
b
x
x
x
x
a

12. 2.Metode Pemfaktoran
Jika
0
0
)
(
)
(
lim



x
g
x
f
a
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( lim
lim
lim
a
q
a
p
x
q
x
p
a
x
q
x
p
a
x
a
x
a
x
x
g
x
f
a
x 











6
)
3
3
(
)
3
(
3
)
3
(
)
3
)(
3
(
3
)
3
(
)
9
(
3
.
lim
lim
2
lim

















x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
contoh
3
1
3
)
1
0
(
)
3
0
.
2
0
(
0
)
1
(
)
3
2
(
0
)
1
(
)
3
2
(
0
3
2
0
.
2
lim
2
lim
2
lim
2
2
3
lim

























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
usahakan ada faktor yang sama

13. Metode Pemfaktoran
)
( 2
c
bx
ax 

Kuncinya adalah cari bilangan jika dikalikan ketemu C
dan jika dijumlah ketemu b dengan syarat hanya
berlaku untuk koefisien a bernilai 1
)
3
4
( 2

 x
x
Contoh
)
3
)(
1
( 
 x
x
Diperoleh
3, hasil kali
1 dan 3

14. 2 June 2024 14





E.
2
D.
1
C.
2
1
B.
0
A.
...
Limit
0
x x
x
x
x

15. 2 June 2024 15
1
0
1
0
1
1
1
Limit
)
1
(
)
1
(
Limit
Limit
0
x
0
x
0
x















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
OPTION

16. Latihan soal
Tentukan nilai dari soal dibawah ini dengan
menggunakan cara pemfaktoran

















x
x
x
x
c
x
x
x
x
b
x
x
x
x
a
1
)
1
(
1
.
1
2
1
1
.
4
8
2
4
.
2
3
lim
2
2
lim
2
lim

17. 3.Metode Perkalian Sekawan
Atau Merasionalisasikan
contoh



























0
1
2
2
1
2
1
2
)
2
)(
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
4
)
1
1
.(
2
)
1
1
1
.
2
)(
1
1
(
)
1
2
)(
1
(
1
)
1
(
)
1
2
)(
1
)(
1
(
1
)
1
(
)
1
2
)(
1
(
1
1
2
)
1
2
)(
1
(
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
.
lim
lim
2
lim
2
lim
2
lim
2
lim




















































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b

18. 2 June 2024 18
2
2
E.
2
D.
2
2
1
C.
2
1
B.
2
4
1
A.
.....
2
2
Limit
0
x




 x
x
x

19. 2 June 2024 19
2
2
1
2
1
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
Limit
)
2
2
(
2
)
2
2
(
)
2
(
)
2
(
Limit
2
2
2
x
2
x
2
2
Limit
0
x
0
0
x

































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

20. Latihan soal
Tentukan nilai dari soal dibawah ini
Dengan menggunakan cara merasionalisasikan











x
x
x
x
b
x
x
x
a
1
1
6
0
.
1
1
1
.
lim
2
lim

21. Limit fungsi aljabar berbentuk 

lim
x
D. LIMIT FUNGSI TAK
HINGGA

22. a.Limit fungsi aljabar berbentuk
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x 


Langkah 1 :dibagi dengan x pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya
langkah 2 :substitusi,
2
3
5
2
3
2
2
lim







x
x
x
x
x 2
x
2
2
lim
/
2
/
3
1
/
5
/
2
3
x
x
x
x
x








contoh
Dibagi
substitusi
3
0
0
1
0
0
3
/
2
/
3
1
/
5
/
2
3
2
2
lim

















 x
0


a
untuk

23. b.Limit fungsi aljabar berbentuk )
(
)
(
lim
x
g
x
f
x 



Langkah 1 : dikalikan sekawan
Langkah 2 : dibagi dengan x pangkat tertinggi
Langkah 3 : substitusi,
contoh 3
4
5
3 2
2
lim







 x
x
x
x
x
3
4
5
3
8
7
3
4
5
3
)
3
4
(
)
5
3
(
2
2
lim
2
2
2
2
lim

























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
7
0
0
1
0
0
1
0
7
/
3
/
4
1
/
5
/
3
1
/
8
7
2
2
lim

























 x
substitusi
Dibagi x
Kali sekawan
2
2
lim
/
3
/
4
1
/
5
/
3
1
8
7
x
x
x
x
x












24. 1
lim 0 1
1
0 1
...
1.
...
m m
n n
a x a x
x
b x b x


 


 
Rumus praktis
0
o
o
jika
m n
m n
a
m n
b
  
 
 
2
jika
a p
a p
b q
a p
a
  
  

 
 
lim 2 2
2.x ax bx c px qx r

     

25. 2 June 2024 25
)
(
Limit
BENTUK
x
x
f


0
g(x)
f(x)
Limit
maka
g(x)
derajat
f(x)
derajat
Jika
3.
-
g(x)
f(x)
Limit
maka
negatif,
bernilai
f(x)
inggi
tert
pangkat
koefisien
jika
sebaliknya
g(x)
f(x)
Limit
maka
positif,
bernilai
f(x)
inggi
tert
pangkat
koefisien
dan
g(x)
derajat
f(x)
derajat
Jika
.
2
g(x)
dari
rtinggi
pangkat te
koefisien
f(x)
dari
rtinggi
pangkat te
koefisien
g(x)
f(x)
Limit
maka
g(x)
derajat
f(x)
derajat
Jika
1.
:
yaitu
cara
3
dengan
an
diselesaik
dapat
)
(
)
(
Limit
x
x
x
x
x


















 x
g
x
f

26. 2 June 2024 Editor Hendry. P 26
3
E.
2
D.
1
-
C.
2
-
B.
3
-
A.
...
8
4
3
2
3
4
6
Limit
Hitunglah 2
3
2
3
x









 x
x
x
x
x
x

27. 2 June 2024 Editor Hendry. P 27
3
-
2
6
g(x)
f(x)
dari
rtinggi
pangkat te
Koefisien 


OPTION

28. 2 June 2024 28
1
E.
2
1
D.
0
C.
B.
-
A.
...
2
1
3
2
Limit
2
x







 x
x
x

29. 2 June 2024 29
Karena Derajat F(x) > derajat G(x) dan Koefisien pangkat tertinggi F(x)
bernilai Positif, maka






 2
1
3
2
Limit
2
x x
x
x
OPTION

30. 2 June 2024 30
1
E.
D.
0
C.
1
-
B.
-
A.
...
2
4
4
2
3
4
Limit 2
3
2
x









 x
x
x
x
x

31. 2 June 2024 31









-
2
4
4
2
3
4
Limit 2
3
2
x x
x
x
x
x
OPTION

32. 2 June 2024 32
1
E.
0
D.
C.
1
-
B.
-
A.
...
5
3
1
4
3
Limit 2
4
2
3
x










 x
x
x
x
x
x

33. 2 June 2024 Editor Hendry. P 33
Karena derajat f(x) < derajat g(x) maka
0
5
3
1
4
3
Limit 2
4
2
3
x








 x
x
x
x
x
x
OPTION

34. 2 June 2024 34
}
5
3
1
2
{
Limit
1.
ini
berikut
fungsi
Limit
Hitunglah
x





x
x
Lihat Halaman berikut

35. 2 June 2024 35
q
px
q
px
b
ax
b
ax
x
q
px
b
ax
Limit
jika
Jadi
sekawan
perkalian
dengan
dikalikan
harus
itu
Soal
~
x 









36. 2 June 2024 Editor Hendry. P 36
1
E.
0
D.
~
C.
1
-
B.
~
-
A.
}
5
3
1
2
{
Limit
x





x
x

37. 2 June 2024 Editor Hendry. P 37
~
-
5
3
1
2
6
Limit
5
3
1
2
)
5
3
(
)
1
2
(
Limit
5
3
1
2
5
3
1
2x
x
}
5
3
1
2
{
Limit
~
x
~
x
~
x


























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
OPTION

38. 2 June 2024 38
}
)
3
)(
1
(
{
Limit
.
2
}
1
1
2
3
{
Limit
.
1
x
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x












Lihat Halaman Berikut

39. 2 June 2024 39
~
-
limitnya
maka
p,
a
Jika
3.
~
limitnya
maka
p,
a
Jika
.
2
a
2
q
-
b
limitnya
maka
p,
a
Jika
1.
maka
)
r
qx
px
c
bx
ax
(
Limit 2
2
x














40. 2 June 2024 40
1
E.
3
1
D.
0
C.
~
B.
~
-
A.
}
1
1
2
3
{
Limit
.
1 2
2
x







x
x
x
x

41. 2 June 2024 41
~
adalah
limitnya
maka
p,
a
Karena 
OPTION

42. 2 June 2024 42
2
E.
1
D.
0
C.
2
1
B.
2
1
-
A.
...
}
)
3
)(
1
(
{
Limit
x






x
x
x

43. 2 June 2024 Editor Hendry. P 43
2
2
4
1
2
0
-
4
a
2
q
-
b
Limitnya
maka
p,
a
Karena




OPTION

44. 2 June 2024 44
)
5
4
3
4x
(
Limit
Hitunglah 2
2
x
x
x
x 




3
E.
2
D.
1
C.
0
B.
~
A.

45. 2 June 2024 45
2
4
8
4
2
)
5
(
3
a
2
q
-
b
adalah
limitnya
maka
p
a
Karena





OPTION

46. 2 June 2024 46
0
E.
2
1
D.
4
5
C.
5
4
B.
~
A.
...
}
3
4
5)
x(4x
{
Limit 2
x






x

47. 2 June 2024 Editor Hendry. P 47
4
5
4
2
0
5
a
2
q
-
b
adalah
limitnya
maka
p,
a
Karena



OPTION

48. 2 June 2024 Editor Hendry. P 48
2
E.
1
D.
2
1
C.
0
B.
~
A.
...
)
2
x
-
(x
Limit 2
x




x

49. 2 June 2024 Editor Hendry. P 49
1
2
2
1
2
2
0
a
2
q
-
b
adalah
limitnya
maka
p,
a
Karena




OPTION

50. 2 June 2024 50
PENERAPAN TEOREMA LIMIT UTAMA
...
7
Limit
c.
...
)
5
(4x
Limit
b.
...
3
Limit
a.
Hitunglah
2
3
x
2
4
2
8
x








x
x
x
x
x

51. 2 June 2024 51
192
(64)
3
(8)
3
(x)
Limit
3
x
Limit
3
3x
Limit
a.
2
2
8
2
8
x
2
8
x








x

52. 2 June 2024 52
 
   
84
20
64
4
5
4
4
x
Limit
5
Limit
4
x
Limit
5
x
Limit
4
5x
Limit
4x
Limit
)
5
(4x
Limit
b.
2
4
x
2
4
x
4
x
2
4
x
4
x
2
4
x
2
4
















x
x
x

53. 2 June 2024 53
3
7
Limit
c.
2
3
x



x
x
7
Lim
it
x
Lim
it
3
x
2
3
x 


4
3
7
3
3
2


