limit

1. Limit Fungsi
Teknik Sipil, UNIRA
Imron Rosyadi NR, S.TP., MT.
2018

2. Fungsi
• Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada
masalah-masalah pendekatan suatu nilai/besaran.
• Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x)→A} sebagai suatu
limit.
• Bila x mendekati a {x → a}, dinotasikan :
Limit Fungsi: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas.
A
x
f
a
x


)
(
lim

3. Teorema Limit
k
k
.
a
x


lim
1
F
k
x
f
k
x
f
k
.
a
x
a
x
.
)
(
lim
.
)
(
.
lim
2 



  G
F
x
g
x
f
x
g
x
f
.
a
x
a
x
a
x








)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
3
     G
F
x
g
.
x
f
x
.g
x
f
.
a
x
a
x
a
x
.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
4 




0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
5 x
g
;
G
F
x
g
x
f
x
g
x
f
.
a
x
a
x
a
x
a
x













e
x
.
x
x










1
1
lim
6
  e
x
. x
x




/
1
1
lim
7

4. Penyelesaian Limit Fungsi
)
(
lim x
f
a
x
A. Bentuk Dapat diselesaikan dengan :
1. Substitusi
2. Pemfaktoran
3. Perkalian sekawan
1. Pembagian pangkat tertinggi penyebut
2. Perkalian sekawan
)
(
lim x
f
x 

B. Bentuk Dapat diselesaikan dengan :

5. Contoh 1
• Tentukan nilai limit menggunakan Teorema Limit :
• Penyelesaian :
...
3
lim 2
8


x
x
2
8
2
8
lim
3
3
lim x
x
x
x 


2
2
8
)
8
(
3
)
(
lim
3 


x
x
192
64)
(
3 


6. Contoh 2
• Tentukan nilai limit menggunakan Teorema Limit :
• Penyelesaian :
...
)
5
(4x
lim 2
4



x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
lim
4
lim
)
5
4
(
lim
4
2
4
2
4 





   
4
5
4
4
lim
5
x
lim
4 2
4
2
4






x
x
x
84
20
64 



7. Contoh 3
• Tentukan nilai limit menggunakan Teorema Limit :
• Penyelesaian :
...
7
lim 2
3



x
x
x
7
lim
lim
3
7
lim
3
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x
4
3
7
3
3
2




8. Contoh 4
Subtitusi Langsung
• Hitunglah
• Penyelesaian :
)]
1
3
)(
1
[(
lim 2
2



x
x
x
...
)]
1
3
)(
1
[(
lim 2
2




x
x
x
1)
-
2
.
3
)(
1
(22


25
5
x
5 


9. Contoh 5
Faktorisasi
• Hitunglah
• Penyelesaian :
...
4
6
5
lim 3
2
2





 x
x
x
x
x
  
  












 2
2
2
3
lim
4
6
5
lim
2
3
2
2 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  8
1
)
2
2
(
2
3
2
2
3
lim
2











 x
x
x
x

10. Contoh 6
Perkalian Sekawan
• Hitunglah
• Penyelesaian :
...
1
2
4
3
lim
3





 x
x
x
x
























 1
2
4
1
2
4
x
1
2
4
3
lim
1
2
4
3
lim
3
3 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  
 
 
1
2
4
-
lim
3
1
2
4
3
lim
3
3













x
x
x
x
x
x
x
x
  7
2
1
3
.
2
4
3
- 






11. Limit Tak Terhingga
0
)
(
)
(
lim
maka
)
(
derajat
)
(
derajat
Jika
3.
x



 x
g
x
f
x
g
x
f
:
yaitu
cara
3
dengan
an
diselesaik
dapat
)
(
)
(
Limit
x x
g
x
f


)
(
dari
rtinggi
pangkat te
koefisien
)
(
dari
rtinggi
pangkat te
koefisien
)
(
)
(
lim
maka
)
(
derajat
)
(
derajat
Jika
1.
x x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f













-
)
(
)
(
lim
maka
negatif,
bernilai
)
(
rtinggi
pangkat te
koefisien
jika
sebaliknya
)
(
)
(
lim
maka
positif,
bernilai
)
(
rtinggi
pangkat te
koefisien
dan
)
(
derajat
)
(
derajat
Jika
.
2
x
x
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f

12. Contoh 7
Alternatif 1
• Hitunglah
• Penyelesaian :
...
8
4
3
2
3
4
6
lim 2
3
2
3









 x
x
x
x
x
x
x

)
(
)
(
dari
rtinggi
pangkat te
Koefisien
x
g
x
f
3
-
2
6











 8
4
3
2
3
4
6
lim 2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x

13. Contoh 8
Alternatif 2
• Hitunglah
• Penyelesaian :
Karena Derajat F(x) > derajat G(x) dan Koefisien pangkat tertinggi F(x)
bernilai Positif, maka :
...
2
1
3
2
lim
2





 x
x
x
x






 2
1
3
2
lim
2
x
x
x
x

14. Contoh 9
Alternatif 2
• Hitunglah
• Penyelesaian :
Karena Derajat f(x) > derajat g(x) dan Koefisien pangkat tertinggi f(x)
bernilai Negatif, maka :
...
2
4
4
2
3
4
lim 2
3
2







 x
x
x
x
x
x









-
2
4
4
2
3
4
lim 2
3
2
x
x
x
x
x
x

15. Contoh 10
Alternatif 3
• Hitunglah
• Penyelesaian :
Karena Derajat f(x) < derajat g(x), maka :
...
5
3
1
4
3
lim 2
4
2
3








 x
x
x
x
x
x
x
0
5
3
1
4
3
lim 2
4
2
3








 x
x
x
x
x
x
x

16. Contoh 11
Perkalian Sekawan
• Hitunglah
• Penyelesaian :
Soal tersebut harus dikerjakan dengan perkalian sekawan
...
}
5
3
1
2
{
lim 





x
x
x
q
px
q
px
b
ax
b
ax
x
q
px
b
ax
q
px
b
ax
x
x















lim
lim

17. Perkalian Sekawan











 5
3
1
2
5
3
1
2x
x
}
5
3
1
2
{
lim
x
x
x
x
x
x








 5
3
1
2
)
5
3
(
)
1
2
(
lim
x
x
x
x
x









-
5
3
1
2
6
lim
x
x
x
x

18. Limit Tak Terhingga
-
limitnya
maka
,
Jika
3. 

 p
a
  :
maka
lim
Bentuk
Jika 2
2
r
qx
px
c
bx
ax
x







2
limitnya
maka
,
Jika
1.
a
b-q
p
a 



 limitnya
maka
,
Jika
.
2 p
a

19. Contoh 12
Gunakan Cara 1
• Hitunglah
• Penyelesaian :
...
)
5
4
3
4x
(
lim 2
2






x
x
x
x
a
b-q
p
a
2
Limitnya
maka
,
Karena 
2
4
8
4
2
)
5
(
3










)
5
4
3
4x
(
lim 2
2
x
x
x
x

20. Contoh 13
Gunakan Cara 2
• Hitunglah
• Penyelesaian :
...
}
1
1
2
3
{
lim 2
2








x
x
x
x
x

 adalah
limitnya
maka
,
Karena p
a









}
1
1
2
3
{
lim 2
2
x
x
x
x
x

21. Tugas 3
Tentukan hasil/nilai dari bentuk-bentuk limit di bawah ini:
6
2
5
10
7
lim
1 2
2
3
2 






 x
x
x
x
x
.
x
12
4
2
24
16
lim
2 2
3
0 




 x
x
x
x
.
x
x
x
x
x
x
.
x 2
6
3
lim
3 2
2
3
0 




2
3
8
lim
4 2
3
2 



 x
x
x
.
x
5
3
4
lim
5 2
2
2






x
x
.
x
4
16
lim
6
2
2 



 x
x
.
x
7
3
4
5
6
8
lim
7 2
2






 x
x
x
x
.
x
6
2
1
9
lim
8 2
3
3






 x
x
x
x
.
x
2
6
2
3
lim
9 2
3
3
4







 x
x
x
x
x
.
x
8
4
2
lim
10 3
2





 x
x
x
.
x
NB: Tugas dikerjakan di kertas folio bergaris sesuai dengan NIM (ganjil/genap)