Dokumen ini membahas konsep dasar peluang, ruang sampel, dan ruang kejadian, serta cara menghitung peluang dari berbagai kejadian dan kondisi. Terdapat penjelasan tentang aturan penjumlahan, kombinasi, permutasi, dan teorema Bayes untuk menghitung probabilitas. Contoh-contoh diberikan untuk menerapkan teori dalam situasi nyata, termasuk analisis peluang dalam penggunaan sumber listrik dan kejadian dalam pendidikan.

1. KonsepDasarPeluangPertemuanKe-4------SitiKomsiyah, M.Si

2. RuangContohdanKejadianRuangContoh/Sampeladalahsuatugugus yang memuatsemuahasil yang berbeda, yang mungkinterjadidarisuatupercobaan. Notasidariruangcontohadalahsebagaiberikut:S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknyahasiln bisaterhinggaatautakterhinggaContoh:Melemparsebuahdadu : S={1,2,3,4,5,6}Melemparmatauang : S={M,B}Jeniskelaminbayi : S={L,W}

3. Ruangkejadianadalahanakgugusdariruangcontoh/sampel, yang memilikikarakteristiktertentu. Ruangkejadianbiasanyadinotasikandenganhurufkapital (A, B, …).Contoh:Sisimukamunculdaripelemparanduabuahmatauang:A = {MM, MB, BM}Munculnyasisiganjilpadadadupertamadaripelemparanduabuahdadu:B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

4. PeluangKejadianDefinisi: Misalsuatupercobaanmenyebabkanmunculnyasatuataulebihdarinhasil yang memilikikesempatan yang sama (equally likely). Dan n hasilitu, kejadian A munculsebanyakk kali, makapeluangkejadian A adalahNilaipeluangkejadian A:0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(A) = [0,1] P(A) = 0 -> Kejadian yang mustahilterjadi P(A) = 1 -> Kejadian yang pastiterjadi

5. ContohTiga bola lampudipilihsecaraacakdari 12 bola lampu yang 4 diantaranyarusak. Carilahpeluangkejadianmunculnya:Tidakada bola lampu yang rusakTepatsatu bola lampu yang rusak

6. Cara MenghitungUkuranRuangContoh/SampelPenggandaanPengandaandapatdigunakanjikasetiapkemungkinandibentukdarikomponen-komponen yang salingbebas. N(S) = n1 x n2 x … x n1ContohMelempar 3 buahmatauangN(S) = 2 x 2 x 2 = 8 Melempar 2 buahdadu N(S) = 6 x 6 = 36

7. AturanPenjumlahanTeoremaBila A dan B duakejadiansembarang, makaP(A ⋃ B) = P(A) + P(B) ‒ P(A ⋂ B)Akibat 1Bila A dan B kejadian yang terpisah, makaP(A ⋃ B) = P(A) + P(B) ; P(A ⋂ B) = ∅Akibat 2. Bila A1, A2, A3, …, An salingterpisah, makaP(A1 ⋃ A2 ⋃ A3 ⋃…⋃ An ) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)

8. ContohDari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajarmatematika, 69 belajarsejarah, 35 belajarmatematikadansejarah. Bilaseorangsiswadipilihsecaraacak, hitunglahpeluangnya:diabelajarmatematikaatausejarah;diatidakbelajarkeduanya;diabelajarsejarahtapitidakmatemaika

9. Contoh Soal1. Misalkan A dan B adalahkejadian-kejadiandengannilai P(A) = 0.3, P(B) = 0.8, P(A∩B) = 0.2.Hitung : P(AUB), 2. DiketahuiP(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(AUB) = 0.44.Apakah A dan B independen?3. DiketahuiP(A) = P(B) = p, P(AUB) = 0.7, P(A∩B) = 0.2 a. Tentukannilai p b. JikadiketahuiP(BUC) = 0.7, dankejadian B dan C salingbebas, makatentukannilai P(C)

10. ContohSoal4. Misal A dan B adalahduakejadian yang salingbebas ( independen) dalamsuaturuangcontoh S. Diketahui P(A∩B) = 0,16 dan P(AUB) = 0,64. Tentukan P(A) dan P(B).

11. Contoh Soal

12. PermutasiPermutasimerupakankejadiandimanasusunanobjek yang terpilihdiperhatikan. Misalkanmemilihoranguntukmembentukkepengurusansuatuorganisasi, dimanajika Si A terpilihmenempatiposisiketuaberbedamaknanyadengan Si A terpilihmenempatiposisiwakilketua. Permutasitingkat r dari n unsur/objekdapatdirumuskansebagaiberikut:Contoh Dari 5 orangkandidatakandibentuksusunanpengurus (Ketua, Wakil, Bendahara) N(S) = P53= 5!/(5-3)! = 60

13. KombinasiKombinasimerupakankejadiandimanasusunanobjek yang terpilihtidakdiperhatikan. Misalkanmemilihsejumlahoranguntukmenempatisuatusejumlahkursitempatduduk, dimanasusunantempatduduktidakmenjadiperhatian.Kombinasitingkat r dari n unsur/objekdapatdirumuskansebagaiberikut:Contoh Dari 5 orangakandibentuktimcepattepat yang beranggotakan 3 orang. N(S) = C53 = 5!/(5-3)!3! = 10

14. PeluangKejadianPeluangadalahrasioantarabanyaknyakejadian yang diharapkandarisuatupercobaanjikapercobaantersebutpadakondisi yang sama. Peluangbiasanyadinotasikandengan P, misal P(A) peluangkejadian A.Beberapakaidahsebaranpeluang, yaitu:0  p(xi)  1, untuki=1,2, …, nJumlahpeluangseluruhkejadiandalamruangcontohadalah 1, p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakankejadian-kejadian yang terpisah.

15. Contoh:Sebuahdadudilempar, makaruangcontohnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6jikasetiapsisiseimbangmakapeluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6Sebuahkejadian yang diharapkanadalahsisi yang munculkurangatausamadenganempatmakaruangkejadiannya: A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4Makapeluangkejadian A adalah: P(A) = 4/6 = 2/3

16. KejadianSalingBebasKejadiansalingbebasadalahkejadian-kejadian yang tidaksalingmempengaruhi. Peluangdariduabuahkejadian yang salingbebasadalah: P(AB)=P(A).P(B)Contoh: Peluangbayiberjeniskelaminlaki-lakidiketahui 0.6. Jikajeniskelaminanakpertama (A) dankedua (B) salingbebas, berapapeluangjeniskelaminanakpertamadananakkedualaki-laki?P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

17. PeluangBersyaratPeluangbersyaratadalahpeluangsuatukejadian (A) jikakejadian lain (B) diketahuitelahterjadi. Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana: P(A/B) = P(AB) / P(B)Jikakejadian A dengan B salingbebasmaka, P(A/B)=P(A)

18. Peluang BersyaratSyarat-syarat :0   12. 3. 4. Utk Ai∩ Aj= jikai≠j

19. PartisidanPeluang TotalDefinisi :Jika B1, B2, …, Bnadalah subset-subset dari S dengankondisi :i. Bi∩Bj=  , untuki≠jii. B1U B2U …U Bn= Smaka B1, B2, …, Bndisebutpartisidari SSB2B1…BnB3

20. Partisi dan Peluang TotalSB2B1…BnAB3 A = A ∩ S = A ∩ ( B1U B2U B3 U … U Bn) = (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U … U (A ∩ Bn)P(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn)

21. PartisidanPeluang TotalP(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn)TeoremaPeluang Total

22. Contoh:Dalamsebuahkotakberisi 2 bola merahdan 3 bola biru. Jikadiambilduabuah bola tanpapengembalian. Berapakahpeluang bola keduaberwarnamerah (A) jikapadapengambilanpertamadiketahuiberwarnabiru (B). P(A/B) = P(AB)/P(B) = (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4

23. Untukmengerjakankasusdiatas, dapatjugadilakukansebagaiberikut:PerhatikantabelkemungkinandisampingP(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2

24. Contoh 2Sebuahperkantoranbiasanyamembutuhkantenagalistrik yang cukup agar semuaaktifitaspekerjaannyaterjamindariadanyapemutusanaliranlistrik.Terdapatduasumberlistrikygdigunakan PLN dan Generator. Bilalistrik PLN padammakasecaraotomatis generator akanmenyaladanmemberikanaliranlistrikuntukseluruhperkantoran. Masalah yang selamainimengangguadalahketidakstabilanarus(voltage)listrik, baikdari PLN maupungeneraor, yang akanmerusakperalatanlistrik.Selamabeberapatahunterakhir, diketahuibahwaprobabilitasterjadinyalistrikpadamadalah 0.1, dgnkata lain peluangbahwaperkantoranitumenggunakanlistrik PLN adalah 0.9 danpeluangmenggunakangeneratoradalah 0.1.Peluang terjadiketidakstabilanpadaaruslistrik PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3. Bilasuatusaatdiketahuiterjadiketidakstabilanaruslistrik, makaberapakahprobabilitassaatitualiranlistrikberasaldari generator?SolusiPermasalahan dapat dideskripsikan sebagai berikut : E : Peristiwa listrik PLN digunakan Ec : Peristiwa listrik Generator digunakanA : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

25. Peristiwa A dapatditulissebagaigabunganduakejadian yang salinglepasdanJadi: Denganmenggunakanprobabilitasbersyaratmaka :Solusi…

26. Diketahui: P(E)=0.9 P(E’)=0.1 P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3Sehingga: P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’) =(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3) =0.21Bilasuatusaatdiketahuiterjadiketidakstabilanaruslistrik, probabilitasjikasaatitualiranlistrikberasaldari generator adalah P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A) =P(E’).P(A|E’)/P(A) =0.03/0.21 =0.143

27. TeoremaBayesDiberikan B1, B2, ... ,Bnpartisiruangsampel S. Andaikanterjadiperistiwa A; berapakahpeluangterjadinyaperistiwaBj?Denganmemakai def. peluangbersyaratdanteoremapeluang total, diperolehInidisebutsebagaiTeoremaBayesatauAturanBayes, danadalah (salahsatudari) persamaan paling bermanfaatdalamteoripeluangdanstatistik

28. Teorema BayesJika B1, B2, …, Bnadalahpartisidari S, dan A adalahsembarangkejadianpada S, makauntuksembarangnilai k = 1, 2, 3, …, n berlaku :

29. Contoh 1 Kota Bogor disebutkotahujankarenapeluangterjadinyahujan (H) cukupbesaryaitusebesar 0.6. Hal inimenyebabkanparamahasiswaharussiap-siapdenganmembawapayung (P). Peluangseorangmahasiswamembawapayungjikaharihujan 0.8, sedangkanjikatidakhujan 0.4. Makapeluanghariakanhujanjikadiketahuimahasiswamembawapayungadalah:P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4P(P/H) = 0.8P(P/TH) = 0.4Jadi,

30. Contoh 2Suatu generator telekomunikasinirkabelmempunyai 3 pilihantempatuntukmembangunpemancarsinyalyaitudidaerahtengahkota, daerah kaki bukitdikotaitudanderahtepipantai, denganmasing-masingmempunyaipeluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bilapemancardibangunditengahkota, peluangterjadiganguansinyaladalah 0.05. Bilapemancardibangundikakibukit, peluangterjadinyaganguansinyaladalah 0.06.Bila pemancardibangunditepipantai, peluangganguansinyaladalah 0.08. 1).Berapakahpeluangterjadinyaganguansinyal? 2).Biladiketahuitelahterjadinyagangguanpadasinyal, berapapeluangbahwa operator tsbternyatatelahmembangunpemancarditepipantai?

31. solusiDeskripsi :A = TerjadiganguansinyalB1 = PemancardibangunditengahkotaB2 = ----------------------------di kaki bukitB3 = ----------------------------ditepipantai

32. Solusi…1.Peluang terjadinyaganguansinyalP(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=(0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.0682. Diketahuitelahterjadiganguan pd sinyal, makapeluangbahwa operator ternyatatelahmembangunpemancarditepipantai >> Dapatdinyatakandgn: “Peluangbersyaratbahwa operator membangunpemancarditepipantaibiladiketahuitelahterjadiganguansinyal”:

33. ASSIGNMENT 04 1.Suatu perusahaanbesarmenggunakan 3 hotel sebagaitempatmenginapparalangganannya. Dari pengalaman yang laludiketahuibahwa 20% langganannyaditempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% kamar mandi di Hotel Itidakberfungsidenganbaik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapapeluangbahwa, a seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik? b seseorang yang mendapatkamarmandi yang tidakbaikditempatkandi Hotel S?

34. 2. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh kebiasaan merokok terhadap kanker paru-paru, dikumpulkan data yang melibatkan 180 orang yang dijelaskan dalam tabel di bawah ini :Satu orang diambil secara acak dari kelompok ini, dan ternyata orang tersebut orang yang bukan perokok. Berapa peluang orang tersebut adalah penderita kanker paru-paru?

35. Soal 3Suatuperusahaan TV mempunyaitigapabrik, yaitu A, B, dan C denganpersentaseproduksimasing-masingadalah 15%, 35%, dan 50%. Tiappabrikmenghasilkanproduk (TV) cacat, yaitumasing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C).Apabilasebuah TV diambilsecaraacakdarikeseluruhanproduk yang ada, berapakahbesarnyapeluangbahwa TV yang terpilihtersebutdalamkeadaancacat?Sebuah TV diambilsecaraacakdanditemukandalamkeadaancacat, brapakahpeluang TV yang cacattersebutberasaldariproduksipabik B?

36. SelamatBelajar..^^