Pregled osnovnh pojmova

1. 1
OBRADA REZULTATA MERENJA
Merenje je upoređivanje neke fizičke veličine sa jedinicom mere. Greška merenja je odstupanje merene veličine od tačne vrednosti.
Rezultat merenja se sastoji od : 1. mernog broja 2. jedinice mere 3. greške merenja
Greška merenja je neizbežna i ne treba je shvatiti u negativnom značenju.
Vrste grešaka:
1. GRUBE GREŠKE (omaške): nastaju kada se 3 napiše kao 8, umesto 17.5, napiše 175 i
sl.
-paralaksa nastaje kada se kazaljka gleda pod uglom. (ovakva merenja treba odbaciti!)
2. SISTEMATSKE GREŠKE mogu nastati usled:
• greške instrumenta (npr. lenjir kraći za 2cm)
• greške metode merenja (npr. da li prvo meriti A ili B)
• brojne greške (npr. koju vrednost uzeti za π)
Ovde svi rezultati imaju odstupanje u istu stranu. Sistematske greške ze mogu otkloniti računom.
3. SLUČAJNE GREŠKE nastaju prisustvom malih neizbežnih efekata koji se ne mogu kontrolisati a utiču na ishod merenja.
Slučajne greške se mogu smanjiti ponavljanjem.
MATEMATIČKA DEFINICIJA GREŠAKA:
 APSOLUTNA GREŠKA je razlika izmedju merene (xm) i tačne (xt) vrednosti:
Δ = |xm - xt|
kako se ne zna tačna vrednost, ne zna se ni apsolutna greška ali se može proceniti gornja i donja granica apsolutne greške, tj. broj od kog
ona nije veća.
|xm-xt| ≤ Δx (tzv. majoranta)
tako da se tačna vrednost nalazi negde u intervalu (xm – Δx) ≤ xt ≤ (xm + Δx). Znači
APSOLUTNA GREŠKA je procenjena neizvesnost u vrednosti fizičke veličine x. Osnovni
zahtev za merenje je smanjiti taj interval. Ubuduće ćemo pisati Δx = |xm-xt|
RELATIVNA GREŠKA je δx = Δx/x ; gde je x najbolja procena tačne vrednosti fizičke veličine.
IREKTNA MERENJA su merenja kod kojih se rezultat dobija jednim očitavanjem na skali ili instrumentu.
Za najbolju procenu tačne vrednosti, direktno merene fizičke velicine, uzima se srednja vrednost više merenja iste veličine. Tada je
<x> = (x1+x2+x3+...)/n; (oznake su i xsr, x ), prema tome procena je bolja što je više merenja.
Apsolutna greška direktnog merenja ne može biti manja od najmanje vrednosti koja se može pouzdano izmeriti datim instrumentom to
je Δxmin. Najčešće se uzima da je jednaka veličini najmanjeg podeoka na skali instrumenta, medjutim, prema proceni eksperimentatora
može se uzeti i polovina najmanjeg podeoka (ako su podeoci veliki) ili više najmanjih podeoka (ako je položaj na skali teško odrediti).
Najčešće se vrednost apsolutne greške kod direktnih merenja odredjuje tako što se izračuna srednja vrednost više merenja i odstupanje
svakog merenja od srednje vrednosti |xi – xs| i uzme maksimalno odstupanje.
primer: merena je dužina instrumentom čija je vrednost najmanjeg podeoka 0.01mm
I slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,28 mm x3 = 5,31mm
xs = 5,283 mm Δx1 = |5,26 - 5,283| = 0,023 mm
Δx2 = |5,28 - 5,283| = 0,003 mm
Δx3 = |5,31 - 5,283| = 0,027 mm
znači uzimamo Δxmax = 0.027 mm zaokruženo Δxmax = 0.03
rezultat: x = (5,28 ± 0.03) mm
II slučaj : x1 = 5,26 mm x2 = 5,26 mm x3 = 5,26 mm  <x> = 5,26 mm i sve greške Δx1 = Δx2 = Δx3 = 0! Ali greška nije nula!
Sada se uzima minimalna greška 0,1 mm rezultat: x = (5,26 ± 0,01) mm
PRAVILA ZA PISANJE BROJNIH VREDNOSTI FIZIČKIH VELIČINA
Primer pogrešnog pisanja: (loš ukus!)
m = (34,56342 ± 0,04451)g razbacivanje nepotrebnom tačnošću! Broj treba zaokružiti.
prvo se zaokružuje greška
prvo treba apsolutnu grešku zaokružiti na jednu cifru različitu od nule i to uvek na veći broj. Izuzetak je da se cifra koju
zaokružujemo ne menja ako je sledeća cifra 0 ili 1
npr: Δx = 0.033 ≈ 0,04 ali Δx = 0.031 ≈ 0,03
Rezultati merenja se zaokružuju po matematičkim pravilima:
1. ako je odbačena cifa manja od 5 prethodna cifra se ne menja 32,42 ≈ 32,4
2. ako je odbačena cifra veća od 5 prethodna cifra se povećava 32,46≈ 32,5; 32,45001 ≈ 32,46;
3. ako je odbačena cifra tačno 5 važi pravilo parne cifre: parna cifra se ne povećava 32,45 ≈ 32,4 32,35 ≈ 32,4
gornji primer: m = (34,56 ± 0,05) g rezultat merenja ne može ići na veću tačnost nego greška!
piše se samo jedna nesigurna cifra
sigurne cifre nesigurna cifra
(sumnjiva) Primeri:
x = 425,02 ± 16,7  x = (430 ± 20) = (4,3 ± 0,2) · 102
očiglednije je ako se napiše kao standardni oblik broja 4,2502 ± 0,167 pa onda
izvrši zaokruživanje.
x = 2358,41 ± 87,2  x = (2360 ± 90) = (2,36 ± 0,09) · 103
ili x = (2400 ± 100) = (2,4 ± 0,1) · 104
D
256 = 2,56 · 102
standardni oblik broja (samo
sa cifrom jedinica)
0,0421 = 4,21 · 10-2
red veličine je 10-2
82674 = 8,2674 · 104
red veličine je 104
xm – Δx xm xm + Δx
xt
paralaksa

2. 2
INDIREKTNA MERENJA
Veličina koja se traži određuje se po nekoj vezi sa direktno merenim veličinama.PRIMERI: v =
t
s
, V = a3
, V = π R2
H
Apsolutne greške indirektno merenih veličina:
B
A
y +
= B
A
B
A
y ∆
+
∆
=
+
∆
=
∆ )
( (apsolutna greška zbira je jednaka zbiru
apsolutnih grešaka)
Apsolutna greška razlike je jednaka zbiru apsolutnih grešaka:
B
A
y −
= B
A
y ∆
+
∆
=
∆ UVEK ZBIR GREŠAKA !
STEPENA FUNKCIJA:
n
x
y = x
nx
y n
∆
=
∆ −1
δy =
y
y
∆
= n
n
x
x
nx ∆
−1
=
x
x
n
∆
⋅
uvek (najčešće) se prvo nadje relativna greška δx= Δx/x pa onda apsolutna Δx=xδx
primer: neka fizička veličina y zavisi od veličina A, B i C na sledeći način:
y= k
n
m
C
B
KA
(k=konstanta)
računamo prvo relativnu grešku
0
δy =
y
y
∆
=
k
k
∆
+
A
A
m
∆
⋅ +
B
B
n
∆
⋅ +
C
C
k
∆
⋅
a apsolutna greška je Δy =yδy
UVEK SE RAČUNA SA NEZAOKRUŽENIM
VREDNOSTIMA
H
R
V ⋅
= 2
π δy =
H
H
R
R
V
V ∆
+
∆
+
∆
=
∆
2
π
π
Za zbir i razliku računamo relativnu grešku po definiciji:
B
A
y +
= δy = =
∆
y
y
=
+
+
∆
B
A
B
A )
(
B
A
B
A
+
∆
+
∆
B
A
y −
= δy = =
∆
y
y
=
−
−
∆
B
A
B
A )
(
B
A
B
A
−
∆
+
∆
Rezultati merenja se mogu prikazati tabelarno i grafički. Grafički prikazan
rezultat pregledno prikazuje zavisnost merenih veličina i dobijanje pouzdanijeg rezultata merenja.
UPUTSTVO ZA CRTANJE GRAFIKA
1. Uvek na milimetarskom papiru A4 format. 2. Koordinatne ose treba crtati po ivicama milimetarskog papira.
3. Razmeru izabrati tako da grafik bude preko celog papira 4. Ne sme manja razmera od Δx = 1mm na crtežu 5. Jedinica veličine koja
se prikazuje (ili njen umnožak sa 10n
, gde je n ceo broj) može da bude prikazana sa 1, 2, 2.5, 5, 10, 20, 25, 50, 100 itd. milimetara na
milimetarskom papiru (tj. razmere su 1:1; 1:2; 1:2,5;1:5; 1:10; 1:20; itd). Razmeru 1:4 treba izbegavati. Sve ostale razmere nisu
dopuštene. Na primer, jedinica fizičke veličine ne sme biti prikazana na milimetarskom papiru sa 3 mm ili 3 cm (najčešća greška), 6 mm,
7 cm, 12 mm 15 cm i sl. 6. Obavezno naslov grafika (zavisnost y od x) 7. Na ose ne pisati cifre iz eksperimenta već cele brojeve!
Tačke ucrtavati sa greškom + (krstiće-dužina jednog kraka krstića jednaka je Δx odnosno Δy, znači dimenzije krstića su 2Δx*2Δy)
Vrlo često kod jedne veličine se zanemari greška, onda se crta ovako:— (2Δx) ili I (2Δy). 8. koordinatne ose ne mora krenuti od nule.
Sad treba povući pravu između eksperimentalnih tačaka tj. interpolacija : spajaju se tačke unutar eksperimentalnih rezultata.
ekstrapolacija : ide se u oblast gde nema eksperimentalnih rezultata - treba izbegavati
odokativno: (za interpolaciju) isti broj krstića iznad i ispod. Treba (uvek) linearizovati grafik
Primeri direktnog izračunavanja
apsolutnih grešaka:
n
x
y =
x
nx
y n
∆
=
∆ −1
4
x
y = tada je x
x
y ∆
=
∆ 3
4 ;
2
T
y = tada je T
T
y ∆
=
∆ 2 ;
3
t
y = tada je t
t
y ∆
=
∆ 2
3
A
B
y
x
KOEFICIJENT
PRAVCA PRAVE
RAČUNA SE PO
FORMULI:
A
B
A
B
x
x
y
y
k
−
−
=
GREŠKA PRI ODREĐIVANJU KOEFICIJENTA PRAVCA
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
k
−
∆
+
∆
+
−
∆
+
∆
=
−
−
∆
+
−
−
∆
=
)
(
)
(
δ
za apsolutne greške Δy i Δx se uzimaju apsolutne greške najbliže
eksperimentalne tačke
PRIMER GRAFIKA