Matematika

1. NOV & MODERAN
mk magazin
J A N U A R 2 0 2 1
by / mirjana kokerić

2. N A Š I S A R A D N I C I
ANKICA SIMIĆ
BRANKA RANISAVLJEVIĆ
DARINA POLJAK
IVICA GREGUREC

3. ALEKSANDAR STOJKOVIĆ
SNEŽANA TOŠOVIĆ
SNEŽANA VLAJIN
SLAVICA BERONJA

4. SINIŠA ĆULAFIĆ
MILAN VUČETIĆ
MIRJANA KOKERIĆ
PLANA PEJOVIĆ

6. Sadržaj magazina
1. Igrice u matematici
2. Umetnost u matematici
3. Sistem MMF
4. „Maths in English, please!”
5. Upotreba IKT tehnologije u učeničkim radovima u nastavi matematike u osnovnoj
školi
6. Problemski zadatak: Sabiranje i oduzimanje polinoma
7. Ideja za milijardera
8. Matematička revija
9. Imaju mišiće i znanje
10. Može i drugačije
11. Merenje senke drveta- osećaj slobode
12. Elementi matematičkog projekta učenja
13. Bingo igrica
14. Greške u matematici
15. Postavljanje ciljeva
16. Matematička darovitost - kako se sa njom nositi

7. Igrice u matematici
Učenje kroz igru – Minecraft u nastavi
Virtualni svet od kockastih blokova, u kom uživaju igrači svetski popularne video igrice
"Minecraft", obogaćen je za nišku Tvrđavu i Teslin Toranj. Tvorci ovih zdanja su osnovci niške
škole "Sreten Mladenović Mika" kojima su video-radovi ovih objekata doneli priznanja na
međunarodnom takmičenju i nacionalnom konkursu. U igrici koja je od nastanka 2009. godine
postala jedna od najpopularnijih na svetu, čitav svet čine blokovi koje igrač pomera i slaže kako
želi. Igri kraja nema, a njen fokus je na istraživanju i pravljenju objekata, tako da se igra svaki
put učitava sa drugačijim okruženjem.
Sve je počelo pojavljivanjem na NIMATU 3 – Festivalu matematike, maja 2016. u Regionalnom
centru za stručno usavršavanje u Nišu. Za
predstavljanje na ovoj zanimljivoj smotri učenici
Luka Veličković,Milutin Kocić,Nikola
Stamenković i Uroš Marković i njihov mentor
nastavnik tehničkog i informatičkog obrazovanja
su odabrali minecraft i matematičke pitalice
–MATHCRAFT. Izazvali su interesovanje
posetilaca i ljubitelja igrica na maštoviti njima
svojstven način.

8. Ovo je bio početak priče o igri koju obožavaju i spajanju sa predmetima u školi.
Sledeći zadatak je izrada istorijskog
spomenika u minecraftu i učešće na
međunarodnom takmičenju edukativnog
filma KREF .Veština gradnje i poznavanje
školskih predmeta : tehničkog i
informatičkog obrazovanja, matematike,
istorije i geografije, mnogo sati truda i
maštovitost su dali video “Niška Tvrđava u
Minecraftu“. Đaci su u igri u kojoj se svet
gradi od blokova hteli da naprave objekat
karakterističan za Niš i, logično, setili se
Tvrđave. Ali ona ne izgleda autentično,u
svojoj unatrašnjosti ima Bali-Begovu džamiju, sahat-kulu, hamam - tursko kupatilo, barutane,
konjušnice. Otvorile su se Beogradska i Vidin kapija. A da bi ovaj učenički rad povezali sa još
nekoliko nastavnih predmeta, na prolazima kroz Tvrđavu igraču se pojavljuju pitalice, a tek
tačan odgovor omogućava prolaz u drugu prostoriju. Naučeno je nešto novo , tvrđava je oživela a
u lagumima postavljane zamke za igrače.
Usledila je nagrada na KREF-u na Kopaoniku septembra 2016.godine i osvajanje “Prosvetnog
oskara” u kategoriji “Najbolji minecraft video na Balkanu”.
Četvorica učenika sedmog razreda niške OŠ “Sreten Mladenović Mika” u svetski poznatoj igrici
“Majnkraft” napravili su edukativni Teslin toranj i zahvaljujući toj ideji ušli među 10 najboljih
škola iz cele Srbije na nacionalnom konkursu “Budi kao Tesla”.2016.godine.
Ovo nacionalno takmičenje inspirisano je životom i dostignućima Nikole Tesle, sa idejom da
osnovci iz cele Srbije kroz svoje projekte popularizuju život i rad najvećeg srpskog naučnika.
Do 16. juna2016.godine je na konkurs pristiglo preko stotinu radova iz 42 škole, a među deset
najboljih su se, zajedno sa vršnjacima iz Zaječara, Požege, Kraljeva, Beograda, Kikinde,
Kragujevca i Banatskog Karađorđeva, našli i učenici ove niške škole.
I dok je učenicima na raspolaganju bila mogućnost da na konkurs pošalju video ili audio zapise,
slike ili fotogradije, tekstove i grafičke
dokumente čija se tematika može povezati
sa Teslinim radom, Nišlije su se odlučile za
video-igricu .
Dve nedelje su sedmaci Luka, Milutin,
Uroš i Nikola, pod mentorstvom
nastavnika tehničkog i informatičkog

9. obrazovanja Aleksandra Stojkovića, “gradili” Teslin toranj na poljima svetski poznatog
“Majnkrafta”. Unutar “tornja“ postavljene su table sa pitanjima o Teslinom životu i radu, a
svakim tačnim odgovorom na pitanja u ovom svojevrsnom kvizu, igrač prikuplja poene i prelazi
nivoe. Video-igrica bila dobar način da se spoje edukacija i zabava. Neki su snimali filmove,
radili pozorišne predstave, eksperimente, a ovi učenici su na originalan način uz popularni
“Majnkraft”stvorili svoj toranj. U šestom razredu se na časovima tehničkog obrazovanja prave
makete raznih građevina, pa zašto se ne bi i u igrici koji se zasniva na sklapanju kockica i
blokova napravila željena građevina.
Manje od dve nedelje im je bilo potrebno da naprave toranj. Bilo im je veoma zanimljivo i jako
su se posvetili tome pored svih obaveza koje su imali pred kraj školske godine. Pobedničke škole
bile su svečano proglašene 10. jula 2016. na Kalemegdanu, na centralnoj manifestaciji povodom
proslave 160 godina od rođenja Nikole Tesle. Ideja, originalnost i timski rad se isplatio u
vidu druge nagrade – 58” TV Smart Samsunga koji je svoje mesto našao u holu škole.
Nastavljeno je u istom ritmu i sa novim nagradama i konkursima i u 2017. i 2018.godini: KREF
2017. Leskovac II mesto ( Moj kraj u buducnosti ), KREF 2018. Štip-Makedonija II mesto
( Hemcraft-igrica kombinacija hemije i minecrafta ), Biblioteka ”Vuk Karadžić” Aleksinac-
Kulturno – istorijski spomenici moga kraja ( Ruska crkva i Deligrad )...
U drugim zemljama postoji trend da se igrice upotrebljavaju u nastavi, jer je to odličan način da
se deci približi nauka kroz tehnologiju koju svakodnevno koriste. Na Microsoft platformi
“Minecraft in education “ moguće je danas da pomoću blokovskog programiranja sami
ispisujemo kodove i na taj način učimo programiranje.
“Ponosni smo na ove uspehe koje smo do sada postigli, u planu nam je da makar udvostručimo
nagrade i iskustvo, ali još smo ponosniji što možemo biti primer mlađim generacijama i
roditeljima da nisu sve igrice tu da "truju" mozak, već ima i onih koje ga razvijaju.” – kažu
učenici. https://sway.com/EMaquUEmqgAKF2MV

10. Aleksandar Stojković: 23 godina radnog iskustva, nastavnik TIO u OŠ”Sreten Mladenović
Mika “ u Nišu, dipl.ing.elektronike ( Elektronski fakultet u Nišu), master profesor tehnike I
informatike ( Tehnički fakultet u Čačku). Rođen decembra 1965 u Vranju. Osnovnu i srednju
školu završio u Nišu. Otac dve ćerke, živi i radi u Nišu. Član PDIS (Pedagoškog društva
informatičara Srbije), DPTKS ( Društva pedagoga tehničke kulture Srbije), aktivni učesnik
eTwinning mreže Evrope, jedan od 28 MIEE Srbije ( Microsoft Innovative Education Experts ),
SCIENTIX ambasador za Srbiju, EDMODO ambasador za Srbiju, nagrađivan i učesnik mnogih
takmičenja i smotri ( TIO, Šta znaš o sabraćaju, ZEBRA, DABAR, Tesla info cup...) . Na
stalnim usavršavanjima – kursevima Europeanschoolnetacademy, Educationmicrosoft,
ShoolEducationGateway, inovativan u nastavi , koristi savremene nastavne metode i web 2.0
alate, voli Gamefication in Classroom.
Umetnost u matematici
Optički ornamenti u nastavi matematike
Anđelka Simić
Matematika i umetnost su povezane od davnina, a mnoge kompetencije učenika koje su
potrebne na časovima matematike razvijaju se na časovima likovne kulture: vizuelno opažanje,
stvaralačko mišljenje, radoznalost, mašta, inovativnost, kreativnost, samopouzdanje, kvalitetan
grupni rad. Svaka promena u radu na časovima povećava interesovanje učenika, pa će ovom
prilikom biti prikazano kako kroz zajedničke časove matematike i likovne kulture učenicima
približiti matematiku.
Za ostvarivanje svih navedenih ciljeva mogu se koristiti optički ornamenti. Na taj način
učenici se upoznaju sa pojmom modularnosti u umetnosti i vrstama modularnosti koje se nalaze
na granici između matematike i umetnosti.
Pod pojmom modularnost podrazumeva se upotreba izvesnog broja osnovnih elemenata
(modula) u cilju konstrukcije većeg broja različitih (modularnih) struktura. Veoma često,
izvođenje modularnih struktura je zasnovano na simetriji.
Kao primer modularne strukture koja se nalaze na granici između umetnosti i matematike
imamo antisimetijske ornamente i njihovo izvođenje iz nekoliko osnovnih elemenata - "Op(tički)
mozaik". Posmatranjem ovih ornamenata dolazi se do izvesnog uznemirujućeg vizuelnog utiska
koji ovi ornamenti proizvode: stalnog utiska treperenja, koji nastaje kada oko naizmenično
uočava crni i beli ornament, oscilujući između njih. Iz "crno-belih" osnovnih elemenata
dobijamo odgovarajuće crno-bele ornamente. Niz takvih ornamenata izvedenih iz nekoliko
osnovnih gradivnih elementa predstavlja "Op(tički) mozaik". Većina antisimetrijskih ornamenata
može biti izvedena koristeći samo jedan osnovni element.

11. Ako pokušamo da objasnimo šta vidimo kao jedan objekat, zaključićemo da ustvari uvek
vršimo izbor u okviru beskonačnog niza objekata. Iz ove beskonačnosti, naša percepcija se
najčešće opredeljuje birajući samo jednu "prirodnu" ( najverovatniju, ili često najjednostavniju
moguću) interpretaciju.
Pre nego što otpočne radionica tokom koje će se učenici baviti optičkim ornamentima,
učenike treba upoznati sa pojmom i vrstama modularnosti u umetnosti i uopšte vezom između
matematike i umetnosti. Tokom radionice učenici su podeljeni u grupe. Sve grupe dobijaju
potreban material za rad: papire na kojima se nalaze osnovni elementi (slika 1), makaze, lepak i
beli papir.
Slika 1. Papir sa osnovnim elementima
Učenici seku dobijeni material (slika 1) u cilju dobijanja osnovnih elemenata (slika 2) koje će
nakon toga koristiti za slaganje složenijih struktura.
Slika 2. Osnovni elementi
Osnovni elementi, koje posle sečenja imamo na raspolaganju, su 5 različitih crno-belih
kvadrata (slika 2). Princip formiranja ornamenata koristeći prva dva kvadrata sa sistemom
dijagonalnih paralela korišćen je i u paleolitskoj umetnosti. Prelepe strukture mogu se dobiti
korišćenjem samo jednog ili oba ova kvadrata željeni broj puta. Ovaj skup osnovnih elemenata
proširen je antisimetričnim kvadratom i kvadratima na kojima crno-bele paralele vizuelno
formiraju kružne lukove. Kombinacijom ovih osnovnih elemenata učenici formiraju složenije
strukture, a pritom koriste kvadrate koje žele u broju koji im je potreban za željenu strukturu.
Kvadrati se mogu ređati jedan do drugog, tj. ivicu uz ivicu, ali mnogo interesantniji motivi
dobijaju se pomeranjem kvadrata. Takođe, od ovih elemenata mogu se praviti i slova koja su
jasno vidljiva ako sliku gledamo pod odgovarajućim uglom.
Kada slože ornament, odnosno formiraju svoju “beskonačnu” strukturu, potrebno je da je zalepe
na beli papir.
Zbog lepote optičkih ornamenata i utiska koji ostavljaju na svakog pojedinca, sigurno je da
će se svi učenici, bez oklevanja, uključiti u rad.

12. Na kraju se prezentuju radovi i razgovara se o tome gde vidimo matematiku u svim ovim
radovima (simetrija, antisimetrija, rotacija, nizovi... ).
Slika 3. Radovi učenika
Osim što na ovaj način razvijamo kvalitetan grupni rad u učionici i podstičemo učenike da
istražuju na polju matematike i umetnosti, ornamenti koje su učenici kreirali veoma su povoljni
za detaljnije izučavanje sa matematičkog gledišta. Tako, npr. kada iz matematike na red dođe
izučavanje složenih figura, zadaci koje sa učenicima možemo da radimo mogu biti upravo
ornamenti koje su oni kreirali (slika 3). Zadaci se mogu prilagoditi učenicima u skladu sa
njihovim sposobnostima ali i u skladu sa nastavnom temom koja je na programu. Rešavanje
matematičkih zadataka učenici, nakon ovakvih časova, doživljavaju kao slaganje slagalice - od
jednostavnih elemenata dobijaju se složenije strukture, a rešavanje konkretnog matematičkog
zadatka je samo slaganje konkretnih elementarnih znanja za određenu oblast.
Nakon ovakvih radionica, učenici više ne vide matematiku samo kroz formule i sama
pomisao na matematiku, učenicima je pomisao na lepotu njene primene i na poseban osećaj
koji optički ornamenti izazivaju u nama.
Kruna celokupnog mog dosadašnjeg rada sa Optičkim ornamentima, je kolekcija
nakita koji je inspirisan lepotom optičkih ornamenta.
Nakit inspirisan optičkim ornamentima

13. Umetnost ili nauka ?!

14. „Moja memorija funkcioniše!“ ili sistem MMF
Darina Poljak
Matematika je nauka, koju sam zavolela vrlo rano. Razne igre, matematičke mozgalice, kvizovi, rebusi,
istraživački zadaci bili su moja svakodnevica od malih nogu a tu ljubav su gajili, zalivali i prihranjivali svi u
mom životu – moji roditelji, učiteljica Anna, nastavnica Katarina i profesorka Branka, kojima se ovim
putem zahvaljujem.
Matematičke zadatke volim da posmatram kroz život, i tako ih često prenosim svojim prijateljima ako
me pitaju za savet. Po struci sam profesorka informatike, ali matematika je ostala moja prva ljubav.
Neke stvari je potrebno znati „u sekundi“ kako bi se lakše rešio zadatak, te imam jednu „priču“ za
stepenovanje dvocifrenih brojeva, pomoću koje učenici u roku od 5-10 min nauče stepene brojeva od
11-20. Kada je to moguće, povezujem priču sa stvarnim likovima (brat, sestra, prijatelji koje poznaju…)
Najpre:
112
= 1 i 1 se malo razmaknu a cifra 2 „upadne“ između njih.
Dakle 112
= 121
12 i 15 = su dve sestre (kao npr. Kao ti, Darko i tvoja starija sestra Monika).
12 je mlađa sestra (to si ti) i njen stepen se završava sa DVE četvorke (jer 22
je 4), dok je (tvoja)
starija sestra 15 i njen stepen počinje sa DVE dvojke (jer je 52
=25 ). Dakle: 122 = 144 i 152 =
225
13 i 14 su braća blizanci, svako od vas poznaje neke blizance (npr. Dejan i Denis). Zašto? Zato
što imaju iste cifre, ali su poređane tako što se kod „mlađeg“ 6 okrene i dobijemo 9, a kod
starijeg okrenemo 9 i dobijemo 6…
132
= 169 142
= 196
16 i 25 su mlađa sestra i stariji brat (npr. ti i tvoj dosta stariji brat Adrian). Zašto? Zato
što imate iste brojeve, samo je kod mlađeg člana porodice cifra 6 na kraju (25 i 6) a kod
starijeg člana cifra 6 na početku ( 6 i 25). Dakle: 162
= 256 a 252
= 625
Sad ponovimo ove brojeve tako što zažmurimo oči...tu ispitujem „random“ stepene
brojeva od 11 do 16, kako bi se dete setilo moje priče. Obično dobijam odmah tačne
odgovore kod 90% učenika. Kada se uverimo da nas sećanje odlično služi, dodaćemo još
3 broja, koja ćemo upamtiti.

15. Stepen broja 17 počinje isto cifrom 2. Broj 17 se završava sa cifrom 7.. i onda nastavimo
da brojimo – 8…9… (dopisujem iza cifre 2 cifre 8 i 9) 172
= 289
E sada prelazimo na cifru 3 ( pišem je u svesku ili na tablu ) kojom počinje stepen broja
18. Postavljam pitanje: Koliko je 8 x 3? ( pokazujem na cifru 8 iz broja 18 i cifru 3 koju
sam upravo napisala…) Dobijem odgovor: 24 i odmah upisujem iza cifre 3. Dobijamo 182
= 324
192
= 3… Ovaj broj takođe počinje cifrom 3 i postavljam jednostavno pitanje – koliko je
9 x 9? ( pokazujem na cifru 9 u broju 19). Učenici obično ozareni očekuju da ću upisati 81
– ali ja upišem 61, slegnem ramenima uz komentar „ali ne upisujem 81 nego 61 a zašto -
ne znam, verujte mi!“ 192
= 361
202
= 400 to svi već znaju…
I na kraju, pošto već znamo da je 252
=625, kao gratis dopisujem 242
= 576 i 262
= 676
( jedan broj iznad 25 a drugi ispod ) jer, eto, samo se razlikuju u jednoj stotki, šteta je da
ih ne zapamtite…I opet provera prvo redom svi brojevi, a posle i „random“.
Dakle, na svom času, a kod mene je to informatika, napravimo kratki predah i povežemo
se sa ovom temom, najčešće je to u 7.razredu, pošto znam da su ovi stepeni jako važni
kod binomskih formula, i dodajem „vetar u leđa“ i malo samopouzdanja učenicima.
Ponovimo to i u 8.razredu, najčešće zbog slabijih učenika ali izbog završnih ispita koji se
približavaju – opet sa istom namerom. :D
“Ja sam zadovoljna kad vidim ta ozarena lica slabijih učenika koji postaju svesni da i
oni mogu da zapamte tako te brojeve zbog kojih, eto, nisu baš voleli stepenovanje i
korenovanje… a i vrlo dobri pa i dobri učenici posle ove naše priče lakše dobiju po neku
peticu.”
Darina Poljak

16. „Maths in English, please!”
Ivica Gregurec, mag.educ.
učitelj savjetnik
OŠ Đure Deželića
Ivanić-Grad
Sažetak:
Kroz razredni projekt „Maths in English, please !“ poznati učenike s osnovnim nazivljem vezano za
Algebru i Geometriju u 5. razredu osnovne škole školske godine 2107./18. Projekt je provođen u sklopu
redovne nastave matematike, pretežno zadnji sat u mjesecu. U sklopu projekta doveo sam na sat
matematike gošću, izvornu govornicu engleskog jezika koja je svoje školovanja završila u Australiji.
Rješavali smo zadatke koje su nam poslali partneri u eTwinning projektima. Oni su snimili film na kojima
su zadaci bili na engleskom i njihovom materinjem jeziku. Sami su odlučivali na koji će način
prezentirati dobivene rješenja ( GeoGebra, PPT, preslike u word, plakat, …).
Ključne riječi:
Engleski jezik, matematika, učenički radovi, redovna nastava matematike u osnovnoj školi, eTwinning
projekti
Početkom školske godine 2017./18. započeo sam s projektom „Maths in English, please!“ u
5.a i 5.b razredu OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad, 5.c je izostavljen iz projekta jer u tom razredu ne
predajem. Na prvim roditeljskim sastancima u 5. razredu iznio sam ideju o projektu te dobio usmenu
potporu. U sklopu plana i programa matematike u 5. razredima krajem mjeseca predvidio sam jedan sat
mjesečno kako bi upoznao učenike s nazivljem za obrađeno gradivo. Cilj projekta nije bio govoriti na
engleskom jeziku, već upoznati učenike sa nazivljem za obrađeno gradivo na redovnim satovima
matematike. Moram reći da mi je velika pomoć bila učenica kojoj hrvatski nije materinji jezik jer kod
kuće pretežno govore engleski ili portugalski.
Nastava matematike u 5. razredu počinje s Prirodnim brojevima. Prirodne brojeve su već
naučili izgovarati na engleskom jeziku, ali ne i pročitati zapis s osnovnim računskim operacijama te kako
se zapisuju i čitaju ( slika 1.)

17. ZNAMENKE / DIGITS :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
BROJ / NUMBER :
5 123 456 ( CRO)
5, 123.456 ( ENG)
CRO : pet milijuna sto dvadeset i tri tisuće
četiristo pedeset i šest
ENG : five million one hundred
twenty- three thousand and four
hundred fifty- six
Slika 1. Zapis i čitanje prirodnih brojeva
Nakon toga upoznati su sa svim osnovnim računskim operacijama i način na koji se čita što
je zapisano ( Slika 2. ) . Dodatni zadatka je bio da uz engleska nazive napišu i hrvatske.
MNOŽENJE / MULTIPLICATION
7 x 3 = 21*
ČITAMO: SEDAM PUTA TRI JE
DVADESET JEDAN.
READ : SEVEN TIMES THREE EQUALS
TWENTY-ONE
*U ENGLESKOM GOVORNOM PODRUČJU
ZA ZNAK MNOŽENJA UOTREBLJAVA SE x
Slika 2. Računske operacije u skupu prirodnih brojeva
Kako bi provjerili je li ispravan način čitanja prirodnih brojeva i zapisa računskih operacija
te kako bi saznali više o školovanju i nastavi matematike u Australiji, imali smo gošću na satu
matematike. Gošća je bila gospođa Stella Martins, koja je svoje školovanje, diplomirana ekonimistica,
završila u Australiji. ( slika 3.) . Učenici su pred njome čitali prirodne brojeve i rješavali govoreći što
rade, zadatke s osnovnim računskim operacijama u skupu prirodnih brojeva.

18. Slika 3. Gošća na satu matematike
Nakon Prirodnih brojeva slijedila je Djeljivost. Koristeći mogućnost povezivanja preko
eTwinninga, zamoli smo partnere u projektu da nam pošalju zadatke vezane za djeljivost na materinjem i
na engleskom jeziku. Učenici su radili u nehomogenim grupama, izabrali su zemlju iz koje će rješavati
zadatak ( Slika 4. ), pogledali film koji smo dobili ( Slika 5.), te preveli zadatak koji mi je bio postavljen
na engleskom i materinjem jeziku učenika koji su poslali zadatke ( slika 6.)
THE TASK FROM
SERBIA
(in Gypsy language translated in
English )
The bus and the train were being at
the station at 12 o’clock. The same
train passes through the station
every 1 and half hour and the bus
every 2 hours.
When will they meet at the same
station again?
Slika4. Zastave zemalja iz koji su
pristigli zadatci
Slika 5. Slika iz filma iz Armenije Slika 6.
Zadatak iz Srbije.
Učenici su rješavali zadatke izrađujući plakate, podijelili su si zadatke. Na plakat su
zalijepili tekst zadatka na engleskom jeziku i preveli ga na hrvatski jezik. Na kraju sata je netko od
učenika objasnio kako su preveli i riješili izabrani zadatak. ( Slika 7.)

19. Slika 7. Rješenje zadatka iz Poljske
Kada smo radili geometriju, učenici su upoznati s osnovnim pojmovima vezani za Skup
točaka u ravnini. Usporedno smo ponovili nazive na hrvatskom te naučili kako se što kaže na engleskom
jeziku. Provjerili smo postoje li razlike u označavanju pojedinih geometrijskih pojmova, likova, njihovih
odnosa i veličina ( Slika 8. a, b).
Slika 8.a) kut Slika8.b) Vrste kutova

20. Svakako treba napomenuti da su samo nazivlje na engleskom ponavljali za mnom kako bi
ispravno izrekli nazivlje.
Vezano za razlomke nismo imali sat na engleskom jeziku kako se razlomci u cijelosti rade
u 6. razredu te sam to predvidio da bi radili sljedeće godine.
Kod decimalnih brojeva učenici su bili s dijelovima decimalnog broja ( Slika 9. ) upoznati s
zapisom decimalnih brojeva ( slika 10. ), čitanjem decimalnog broja ( slika 11.) i načina kako se kod
zbraja ( slika 12. ) i oduzimaju potpisuju decimalni brojevi. Učenici su samostalno nakon toga čitali
decimalne brojeve na engleskom jeziku.
Slika 9. Dijelovi decimalnog broja Slika 10. Zapis decimalnog broja
Slika 11. Čitanje decimalnog broja Slika 12. Zbrajanja decimalnih brojeva
Zaključak:
Ovakvim načinom rada učenici/ice stječu dodatne sadržaje koji nisu predviđeni redovnim
planom i programom. Kako nisu obavezni sadržaji, to su dodatne informacije koje im olakšavaju rad u
eTwinning projektima i razmjeni stečenih znanja s učenicima/ama diljem Europe. U razgovoru s
učenicima/ama i njihovim roditeljima imam podršku da i do godine nastavim s ovakvim razrednim
projektima.
Literatura i izvori :
1) Slikovni rječnik srpsko - hrvatski – engleski rječnik, Cankarjeva založba, Ljubljana,
2) Google translate, https://translate.google.hr/m/translate?hl=hr
3) Teach Starter, Obrazovna web-stranica Ashgrove, Queensland, Australia https://www.teachstarter.com/
4) eTwinning

21. Upotreba IKT tehnologije u učeničkim radovima u nastavi matematike u
osnovnoj školi
Ivica Gregurec, mag.educ.
učitelj savjetnik
OŠ Đure Deželića
Ivanić-Grad
Sažetak:
Prezentirati neke od učeničkih radova koji su ostvareni koristeći IKT tehnologiju u redovnoj nastavi
matematike u 5., 7. i 8. razredu osnovne škole. U nastavi matematike učenici su koristili GeoGegru kako
bi rješavali zadatke na satu, redovnu domaću zadaću, dodatne zadatke za domaću zadaću ili zadatke
vezane za eTwinning projekte. Sami su odlučivali na koji će način prezentirati dobivene rješenja
( GeoGebra, PPT, preslike u word, …).
Ključne riječi:
IKT tehnologija, GeoGebra, učenički radovi, redovna nastava matematike u osnovnoj školi, domaća
zadaća, eTwining projekti
Od školske godine 2015/.16. uveo sam na satove matematike upotrebu GeoGebre kod
rješavanja zadataka koji se postavljaju pred učenike. Prije nego što sam počeo s tim projektom
savjetovao sam se s višom savjetnicom profesoricom Draženkom Kovačić koja mi je dala usmeno
odobrenje. Te godine predavao sam matematiku u sedmim razredima i umjesto ponavljanje gradiva i
inicijalnog ispita na početku godine upoznao sam učenike s GeoGebrom i osnovnim naredbama kako bi
učenici mogli primjenjivati taj alat. Učenici su Geogebru mogli instalirati besplatno preko službene
stranice naše škole.
Najveći problem s
kojim smo se susreli je bila
opremljenost učionice. Kako
nismo mogli nastavu imati u
učionici informatike, učenici su
donosili svoja prijenosna računala.
Radili su u nehomogenim
grupama kako bi jedni drugima
mogli pomagati u radu kao što je
vidljivo na slikama 1.a) , b), c ).

22. Slika 1. a),b), c) Rad u nehomogenim grupama na satovima matematike
Tijekom školske godine, ovisno o nastavnim jedinicama, učenici su koristili IKT tehnologije
na satu i kod kuće nakon što su uvježbali rješavati zadatke koristeći geometrijski pribor. Oni koji su
željeli, mogli su domaću zadaću rješavati koristeći IKT tehnologiju. Rješenja izrađena pomoću IKT
tehnologije su printali i lijepili u bilježnicu. Oni koji nisu imali tu mogućnost meni su na uvid donosili
rješenja snimljene na USB-u te sam ja to isprintao u školi. Je li zadaće riješena pomoću geometrijskog
pribora ili koristeći IKT tehnologiju nije utjecalo na ocjenu jer su neki od učenika unaprijed
izjavili kako nemaju računala kod kuće. Učenici koji su izradili prezentaciju prenoseći korake
rješavanja zadataka u obliku PPT-a, donosili su uratke na USB-e, a sakaćeni oblik prezentacije zalijepili
u bilježnicu.
Učenici koji su bili članovi e-Twinning tima OŠ Đure Deželića Ivanić-Grad, redovito su
koristili GeoGebru u projektima u koje smo bili članovi kako bi prezentirali svoja rješenje zadanih
zadataka.
Nakon uvodnih satova na kojim sam im pokazao osnovne naredbe u GeoGebri te
rješavanje jednostavnijih zadatak: crtanje točke, dužine, pravca, kružnice, usporednica, okomica, točke
presjeka , geometrijskih likova i slično, učenici su u nehomogenim grupama pokušali nacrtati isto.
Prve zadatke koje su zajednički rješavali su bile modeli rozete što je vidljivo na slikama 2.a),b),c)
Slika 2.a) Model rozete sa crkve
sv. Jakova u Barbanu
( grupa učenika 7.b)
Slika 2.a) Model rozete sa crkve sv.
Marina biskupa u Dugom Selu
( grupa učenika 7.b)
Slika 2.c) Model rozete s
Zagrebačke katedrale
( grupa učenika 7.a)
Kasnije su se neki od učenika sami počeli osmišljavati i rješavati zadatke iz redovne nastave
matematike. Na slikama 3.a) i b) vidljivi rješenja zadataka koji su učenici osmislili i riješili vezano za
pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

23. Slika 3.a) Crtanje u pravokutnom koordinatnom sustavu
( N. Marasović, 7.b)
Slika 3.b) Crtanje u pravokutnom
koordinatnom sustavu ( K. Žučko, 7.a)
Do kraja sedmog razreda ovisno o nastavnim jedinicama, sve je veći broj učenika
primjenjivao IKT tehnologiju u rješavanju zadataka iz domaće zadaće. Neki su rješavali cijelu zadaću, a
neki samo pojedine zadatke. Na slici 4.a je vidljivo rješenje zadatka „Duljinu dužine 7.2 cm podijeli u
omjeru 2:5. Dobivene su dužine stranice toga pravokutnika. Konstruiraj taj pravokutnik“, a na slici 4.b)
rješenje zadatka „Konstruiraj jednakokračni trokut ako mu se duljine stranice odnose kao 1:6. Na slici
4.c),d) rješenje zadatka „Konstruiraj pravilne mnogokute (osmerokut i dvanaesterokut) .“
Slika 4.a) Dijeljenje
dužine u omjeru i
konstrukcija
pravokutnika
( A. Treppo,7.b )
Slika 4.b) Dijeljenje
dužine u omjeru i
konstrukcija
jednakokračnog trokuta
( A.M. Blažan,7.a )
Slika 4.c) Konstrukcija
pravilnog mnogokuta
osmerekut
( E. Zetica , 7.a )
Slika 4.d) Konstrukcija
pravilnog mnogokuta
dvanaesterokut
( E. Furmek, 7.a )
Treba napomenuti da neki od učenika nisu koristili sve mogućnosti GeoGebre te ima
nepotrebnih koraka u korištenju alata, ali su njihova rješenja zadataka točna.
Osmi razredu započeli smo izradom replika apstraktnih umjetničkih djela koristeći
Geogebru. Učenici su nakon prezentacije o apstraktnom slikarstvu, prvo izradili svoje zamisli koristeći
geometrijski pribor. Nakon toga su pokušali izraditi iste koristeći IKT tehnologiju. Korelacijom
matematike i likovne umjetnosti upotpunili su svoje vještine koristeći GeoGebru. Na slikama 5.a), b)
prikazane su neki od njihovih uradaka.
Slike 5.a)
„Maska“( A.Treppo, 8.b )
Slike 5.b)
„GMO riba“ ( P. Sporiš, 8.b )

24. Na kraju cjeline Pitagorin poučak jedan od dodatnih zadatak je bio koristeći IKT
tehnologiju, GeoGebru, izraditi spiralu drugog korijena. Neki od učeničkih radova vidljivi su na slikama
6.a), b), c). Učenici radili svoje uratke i prezentacije u desetak koraka.
Slika 6.a)Spirala drugog korijena
( M. Starčić, 8.a )
Slika 6.b)Spirala drugo korijena
( M. Iverović, 8.b )
Slika 6.c)Spirala drugog korijena
( G. Hemen, 8.a )
Kod Geometrije prostora učenici koristeći IKT tehnologije su prikazivali odnos u prostoru.
Odnos pravaca u prostoru vidljiv je na slici 7.a). Jedan od odnosa dviju ravnina kada se ravnine sijeku u
prostoru vidljiv je na slici 7.b). Učenici su svoje radove prezentirali preko PPT-a.
Slika 7.a) Odnos pravaca u prostoru
( M. Bećarević, 8.b)
Slika 7.b) Presjek dviju ravnina u prostoru.
( M. Medved , 8.b)
Kod Preslikavanja ravnine dodatni zadatak je bio „Istraži i prikaži jednu od preslikavanja
ravnine kao primjenu u svakodnevnom životu“. Korelacija je prikazana tako da je sadnja u vrtu
poslužila kao predložak za translaciju što je vidljivo na slici 8.a), vrtnja spinera je poslužila za prikaz
rotacija što je vidljivo na slici 8.b), učenica koja je ljubiteljica književnosti istražila je pisanje slova „D“ u
različitim pismima. Simetrije na slovu „D“ zapisano na uglatoj glagoljici vidljive su na slici 8.c).
Učenici u svoje radove prezentirali preko PPT-a.
Slike 8.a ) Primjena translacije -
sadnja u vrtu
( G. Hemen, 8.a )
Slika 8.b ) Primjena rotacije
- spiner
( G. Baković, 8.a)
Slika 8.b ) Simetrije - uglata glagoljica,
slovo „D“
( P.Sporiš, 8.b )
Učenički radovi su preko e-Twinning projekata „Math and drawing with GeoGebra“, „My
country is math beautiful“ i „Applied Mathematics in everyday life“ prezentirani ostalim učenicima
diljem Europe. Svako treba istaknuti da smo e-Twinning projektom „Applied Mathematics in everyday
life“ osvojili 1. nagradu „Nagrada COMET“ za najbolji projekt u kategoriji viših razreda osnovnih škola
u Republici Hrvatskoj. Priznanje za projekt, odluku o nagradi i dodjelu nagrade možete vidjeti na slikama
9.a), b), c).

25. Slike 9.a), b), c) Priznanje, odluka o nagradi i dodjela nagrade za projekt „Applied Mathematics in
everyday life“
Školske godine 2017./18. matematiku predajem u 5.a i 5.b. Na isti način krenuo sam s
upotrebom IKT tehnologije, u prvom redu GeoGebre, na satovima matematike. Za sada manji broj
učenika koristi IKT tehnologije u samostalnom radu. Svakako treba izdvojiti uratke L.Počuča, 5a koji
postiže izuzetne rezultate kroz natjecanja iz Informatike. Na slikama 10.a) crtanje kuta zadanog iznosa, b)
iznos susjednih kutova vidljivo je kako učenik rješava zadatke iz domaće zadaće vezano za cjelinu Skup
točaka u ravnini.
Slika 10.a) Crtanje kuta zadanog iznosa Slika 10.b) Iznos susjednih kutova
Neke od učeničkih radova možete vidjeti na :
1) Izrađene u GeoGebri https://www.geogebra.org/?lang=bs
2) Prezentacije učeničkih radova ( PPT) https://app.emaze.com/user/ivica.gregurec
Zaključak:
Ovakvim načinom rada učenici samostalno primjenjuju IKT tehnologiju korelirajući
rješavanje probleme vezane za nastavu matematike i iz svakodnevnog života. Svakako se moglo još više
postići kada bi imali dodatne satove matematike za naprednije učenike i bolje opremljene učionice u
kojima se izvodi nastava.
Smatram da je ovako, prema Bloomovoj taksonomiji, ostvareno stvaranja novih ideja,
stvaranja novih obrazaca za posebne situacije ili slučajeve, izražavanje samopoštovanja i poštovanja
prema drugima, spremnost za suradnju, mogućnost utvrđivanja objektivnih kriterija procjene, marljivost,
samodisciplina i da učenici stvaraju pozitivnu sliku o sebi.
Literatura:
5) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 5, Profil, Zagreb ,2013.
6) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 7, Profil, Zagreb ,2013.
7) grupa autora : Udžbenik i zbirka zadataka Matematika 8, Profil, Zagreb ,2013.

26. 8) Matijević, M.: Ocjenjivanje u osnovnoj školi, Tipex, Zagreb, 2004.
9) grupa autora: Planiranje i evaluacija obrazovnog procesa. (U) Psihologija obrazovanja, IEP, d.o.o. Zagreb.
2003. глобалу:
Проблемски задатак: Сабирање и одузимање полинома (седми разред)
Милан Вучетић
Разлог постављања овог проблема: Ученици врло често знају дефиницију полинома али не знају да
је примене. Код сабирања полинома мешају правила сабирања и множења реалних бројева, мешају
степене и константе. Веома често не уочавају шта је са чим поребно сабрати или од чега је шта
потрено одузети. За постављени задатак у којем је потребно сабрати полиноме добијамо
различите, некад и неочекиване резултате, посебно у „новије“ време. Тако, на пример, за
постављени задатак: -2x+3x2
+3x, добијамо резултате: 4x или 4x2
, или 4x5
. На пример, за резултат
4x2
, на питање да образложе како, добијамo, на пример, одговор: -2+3+3=4, -x+x2
+x=x2
,
4*x2
=4x2
. Класични пример је сабирање 2x+2x=4x2
. Оваквих и сличних примера, заиста има много
и потребно је осмислити најбољи начин рашавања таквог проблема.
Циљ је да ученици развијају знања из области сабирања и одузимања (у скупу R бројева) , да их
проширују а затим и примењују на наставну тему полином, да се оспособљавају за разликовање
чланова полинома и да на основу тога буду оспособљени за операције сабирања и одузимања
полинома
Час је осмишљен тако да се ученици поделе у групе. Групе могу међусобно сарађивати само ако
задатак тако захтева и не могу се мешати у рад других група. На претходном часу мора бити
спроведен део припреме ученика за следећи час: Наставник подели ученике по групама, тако да у
свакој групи, по могућству буду ученици различитог нивоа знања. Наставник саопшти ученицима
да на следећи час: По један ученик из сваке групе донесе једну картонску кутију; Свако од
ученика од картона направи (нацрта, обоји и изреже) по: три кромпира, три лука, три шаргарепе;
Свако од ученика донесе: 3 кована новчића од по 1 динар, 1 фломастер, два папира формата А4,2
цедуљице; Прибор који редовно носе на час математике.
Тема часа: Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице су увек уредно сложене
Ученици се на почетку часа, по договору, поделе у групе а наставник одреди које ће групе
међусобно сарађивати
1 група написаће на својој кутији: бака Јанина кутија
2 група написаће на својој кутији: бака Марина кутија
3 група написаће на својој кутији: бака Дарина кутија

27. Свака од група поређа у кутију донете „намирнице“ направљене од папира, и то по 8 кромпира, 8
шаргарепа, 8 лука и негде у угао кутије стави 10 кованица од по један динар. Наставник им скрене
пажњу на то да би било боље поређати исте „намирнице“ једну до друге, колико год је то могуће.
(узели смо број 8 за сваку од имитација намирница као и за новац, рачунајући на то да најмањи
број чланова групе буде 4)
Наставник свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке:
Текст на папиру за прву групу:
„Дечице,
Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се
вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Договорила
сам се и са бака Маром, да када завршите бројање и слагање намирница и новца у кутији и све ми
то уредно запишете, онако како бака воли, да неко од вас оде до ње и узме неке ствари које ћу вам
касније набријати.
Ево шта би бака волела да урадите уместо ње:
1. Молим вас, пребројите колико чега има у кутији
2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела
да ме изненадите и напишете то, на пример овако:
2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.
Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами
пребројите и запишете уместо мене.
3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један крај
кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац
4. Нека неко од вас оде до бака Маре и узме 2 лука, 3 шаргарепе, 1 кромпир и 5 динара.
5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у
следећем реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли.
(Узели сте 2 лука, 3 шаргарепе, 1 кромпир и 5 динара, значи могли би сте да запишите н
апример овако: 2 лука + 3 шаргарепе + 1 кромпир + 5 динара. Али, пошто се ја не сећам како
ствари стоје у кутији, ви то напишите тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне
испод других, а новац испод новца. )
6. На исти начин поређајте у кутију ствари које сте донели. Значи трудите се да у кутију не
буде „хаос“ па да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, додајте
кромпире, тамо где су шаргарепе, додајте шаргарепе и тако редом за све. Нека новац буде на
другом крају кутије

28. 7. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем
реду. Олакшајте баки, па се трудите да исте намирнице буду једна поред друге. На пример: 1
кромпир + 2 кромпира+...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА
ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ.
Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 3 кромпира + 4 кромпира, јер и
сами знате да је то у ствари 7 кромпира
8. Зато, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате па у следећем-четвртом реду
испод запишите колико чега сада има, на пример: 15 кромпира + 10 шаргарепа....
9. Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти
начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ СА
ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ МОЖЕМО
А када се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Јана“
Текст на папиру за другу групу:
„Дечице,
Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се
вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Договорила
сам се и са бака Јаном, да ћемо разменити неке ствари. Доћи ће неко од њених унучића да узме
нешто што сам јој обећала. Потрудите се да будете љубазни.
Ево шта би бака волела да урадите уместо ње:
1. Молим вас, пребројите колико чега има у кутији
2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела
да ме изненадите и напишете то, на пример овако:
2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.
Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами
пребројите и запишете уместо мене.
3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један крај
кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац
4. Када неко од бака Јаниних унучића дође и затражи то што сам јој обећала ви им дајте
5. Сада испод онога што сте већ записали на папиру,у следећем-другом реду запишите и колико
је чега узето. На пример ако је узето 3 лука, 1 шаргарепа, 2 кромпира и 3 динара, могли би сте
то да запишите на пример овако: -3 лука - 1 шаргарепа - 2 кромпира -3 динара. Али,

29. изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице
пишите једне испод других, а новац испод новца.
6. На исти начин опет поређајте у кутију ствари које су остале. Значи трудите се да у кутију
не буде „хаос“ па да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, нека буду
само кромпири, тамо где су шаргарепе, нека буду само шаргарепе и тако редом за све. Нека
новац буде на другом крају кутије
7. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем
реду. Олакшајте баки, па се трудите да при записивању исте намирнице буду једна поред
друге. На пример: 7 кромпира - 2 кромпира +...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО
ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ
ЗАПИСИВАЊУ.
Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 7 кромпира - 2 кромпира, јер и сами
знате да је то у ствари 5 кромпира
8. Зато, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате па у следећем-четвртом реду
испод запишите колико чега сада има, на пример: 5 кромпира + 1 шаргарепа....
Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти начин
како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ОД ИСТИХ СТВАРИ МОЖЕМО ОДУЗИМАТИ
САМО ИСТЕ СТВАРИ ДОК ТО ЗА РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ ВАЖИ
9. Пребројите намирнице и новац у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали, на исти
начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ СА
ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ НЕ МОЖЕМО
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Мара“
Текст на папиру за трећу групу:
„Дечице,
Тата и мама су, као што знате, на послу, дека сређује башту а и бака је од јутрос морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се
вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца.
Молим вас,
1. Пребројите колико чега има у кутији
2. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела
да ме изненадите и напишете то, на пример овако:
2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.

30. Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами
пребројите и запишете уместо мене.
3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире у један
крај кутије, шаргарепе поред, лук поред и на крају, у други крај кутије ставите новац
Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас када се вратим сама вратити неке
ствари које сам пре неки дан позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој
позајмила. Дугујем јој 3 кромпира, 2 лука а она ће мени вратити 3 шаргарепе и 2 динара.
4. Испод тога што сте већ написали, у следећем-другом реду, на папиру, допишете колико чега
дугујем бака Мари и колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем запишите као дуг, на
пример -3 кромпира а оно што ћу узети од ње и додати у своју кутију напишите на пример
овако +3 шаргарепе. Дугујем 2 кромпира и 3 лука а додајем у своју кутију 3 шаргарепе, и 2
динара, значи могли би сте да запишите н апример овако:
- 2 кромпира – 2 лука + 3 шаргарепе + 2 динара. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па
напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите једне испод других, а новац
испод новца.
5. На исти начин опет поређајте ствари у кутији. Значи трудите се да у кутију не буде „хаос“ па
да бака после не може да нађе где је шта. Тамо где је су кромпири, нека буду само кромпири,
тамо где су шаргарепе, нека буду само шаргарепе и тако редом за све. Нека новац буде на
другом крају кутије
6. Сада све то што сте написали на папиру у претходна два реда напишите заједно у трећем
реду. Олакшајте баки, па се трудите да при записивању исте намирнице буду једна поред
друге. На пример: 8 кромпира - 2 кромпира +...нека динари буду на самом крају реда -ТАКО
ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ
ЗАПИСИВАЊУ.
Знам да сте приметили да је непотребно да пише на пример 8 кромпира - 2 кромпира, или 5
шаргарепа + 3 шаргарепе јер и сами знате да је то у ствари 5 кромпира и 8 шаграрепа
7. Зато, на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега ће бити када додамо намирнице
од бака Маре и када јој вратимо дуг, па у следећем реду испод -четвртом запишите колико чега
ће остати у кутији, на исти начин како сам вас научила... -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ИСТЕ
СТВАРИ МОЖЕМО САБИРАТИ ИЛИ ОДУТИМАТИ СА ИСТИМ СТВАРИМА А РАЗЛИЧИТЕ СТВАРИ ТО НЕ ВАЖИ
8. Извадите из кутије оне намирнице које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број
намирница или новаца које ћемо још додати у кутију-тако ћете проверити да ли се број
намирница и новца које сте добили израчунавањем поклапа са бројем намирница и новца кји
ће остати у кутији
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Дара“

31. Други сео часа: Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице за тајни рецепт
Наставник саопшти ученицима да врате једни другима узете ствари и да у сваку кутију опет ставе
по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 главица лука и по 8 кованица од један динар, као и да замене групе.
Прва постаје друга, друга постаје трећа а трећа постаје прва, на пример.
Наставник опет свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке:
Текст на папиру за прву групу:
„Дечице,
Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет
морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре
него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Ви
знате да ми баке љубоморно чувамо своје рецепте а све то да би смо вама спремали најлепше
посластице. Договорила сам се са бака Маром да једно од вас оде до ње и узме неке ствари за које
смо се нас две договориле. Али пошто сумњам да неко ко испија кафу са бака Маром можда може
открити како правимо наше специјалитете и које намирнице користимо, одлучила сам да их
шифрујем. Корисићемо мало математике.Мистериозно, зар не? Али корисно, А може бити и
занимљиво...
Молим вас,
1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
, сваку шаргарепу у кутији означите
са x2
, сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве...
2. И запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 2 кромпира
+ 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Али, зар то није превише провидно за оне који
шпијунирају наше рецепте? Зато употребите нашу тајну. Шифрујте! Онда би сте могли
написати овако: 2 x3
+ 3 x2
+ 2 x + 10 . Е то је већ нешто! Ово је само пример, а пошто ја ништа
нисам стигла да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене овако
како сам вам написала.
3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире то јест x3
у
један крај кутије, шаргарепе то јест x2
, поред, лук то јест x поред и на крају, у други крај кутије
ставите новац односно ...какп беше...бројеве
4. Када то завршите, нека неко од вас оде до бака Маре и узме 1 x, 2 x2, 4 x3 и 5. Знате о чему
говорим, зар не? А и бака Мара зна, заједно сковале овај план.
5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем,
другом реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли. Узели сте 1
x, 2 x2
, 4 x3
и 5, значи могли би сте да запишите н апример овако:
+ 1 x + 2 x2
+ 4 x3
+ 5. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде
лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева.

32. На пример
5x 6x2
7x 4x2
Када то завршите,
6. У следећем реду, трећем, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте
додали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример:
1 x + 2 x +...+3 x2
+345 x2
нека бројеви(константе) буду на самом крају реда.
7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате,
8. Пребројите „намирнице“ и бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали па у
следећем, четвртом реду запишите колико чега сада има, на исти начин како сам вас научила...
колико x3
+ колико x2
+колико x+........
9. Поређајте тако да колико x3
буде први по реду па колико x2
други и тако редом....и на крају
константа (број)
А кад се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Јана“
Текст на папиру за другу групу:
„Дечице,
Тата и мама су, као што знате, на опет послу, дека опет сређује башту а и бака опет је од јутрос
морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре
него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим
вас,
1. Употребићемо и мало математике: фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
,
сваку шаргарепу у кутији означите са x2
, сваки лук у кутији означите са x а динаре
представите као бројеве...
2. Пребројите колико чега има у кутији
3. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да
ме изненадите и напишете то на папир, на пример овако:
2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.
Ауххх... заборавих! Не ваља. Никако тако, већ смо то научили...

33. Знате, причала сам са бака Јаном јуче и дошле смо до закључка да неко шпијунира наше
намирнице и лако може открити наше рецепте. А знате да ми баке љубоморно чувамо наше
рецепте да би смо вама правиле најлепше посластице. Зато смо сковале план. То је наша мала
тајна. Сваку намирницу смо шифровали...а бака заборавила да вам каже зашто...
Сад запишите на папир, колико чега има.
Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2
+ 4 x3
+ 5. Ово је само пример, а пошто
ја нисам стигла ништа да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене.
Али поштујмо нашу малу тајну. Запишимо у облику оних наших шифара!
4. Такође, договорила сам се са бака Јаном, да ћу јој дати неке намирнице и нешто новца. Када
неко од њених унучића дође и узме то што сам јој обећала ви им дајте,
5. Сада испод тога што сте већ записали на папиру, у следећем, другом реду, запишите колико је
чега узето. На пример ако је узето 1 x2
, 3 x3
, 3 и 2 x , могли би сте то да запишите на
пример овако: -1 x2
-3 x3
- 3 -2 x
Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте
намирнице пишите једне испод других, а новац испод новца. На пример:
5x 6x2 4
-3x - 4x2 5
6. Када то завршите, у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији
и оно што сте дали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример:
5 x - 2 x +...нека бројеви буду на самом крају реда.
7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико сте чега имали и колико сте чега дали па
у следећем, четвртом реду, напишите колико чега сада имате,
8. А затим пребројите „намирнице“ и саберите (одузмите) бројеве у кутији и проверите да ли
сте тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила...
Колико сада има x3
+ колико сад има x2
....који број је резултат одузимања
9. Поређајте тако да колико сада има x3
буде први по реду па колико сад има x2
други и тако
редом....и на крају константа (број)
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Мара“
Текст на папиру за трeћу групу:
„Дечице,

34. Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет
морала да одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре
него се вратим кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим
вас,
1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
, сваку шаргарепу у кутији означите
са x2
, сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве...
2. Пребројите колико чега има у кутији
3. Сад морамо применити нови начин бројања. Зашто, сигурно се питате. Е...! Није вам бака
рекла, али..свашта се по комшилуку прича. Тако сам на пример јуче чула страшну ствар. Неко
покушава да открије тајну спремања наших посластица. Шпијуни.... Зато смо бака Јана, бака
Мара и ја одлучиле да све намирнице које имамо, шифрујемо. Пошто ја нисам стигла, јер сам
јако журила јутрос, препустила сам то вама јер у вас имам неизмерно поверење. Намирнице
сте већ шифровали а сада их пребројите поново и запишите на папир, колико чега има,
али у облику ових наших шифара. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да
ме изненадите и напишете то на папир. Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2
+ 4
x3
+ 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам ништа стигла да пребројим, молим вас да све
сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну. Шифрујмо!
4. Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас вратити неке ствари које сам пре
неки дан позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој позајмила.
Дугујем јој 3 x3
, 2 x а она ће мени вратити 3 x2
и 2 (динара)...знате о чему причам, зар не?
Молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом реду, на папиру,
допишете колико чега дугујем бака Мари и колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем
запишите као дуг, на пример -3 x3
а оно што ћу узети од ње и додати у своју кутију
напишите на пример овако +3 x2
. Значи, дугујем 3 x3
и 2 x а додајем у своју кутију 3 x2
, и 2
(динара), па би сте могли да запишите на апример овако:
-3 x3
- 2 x + 3 x2
+ 2. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако
да баки буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева.
На пример:
5x 6x2
4
-3x +4x2
-3
Када то завршите,
5. у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је у кутији и оно ћемо узети из
кутије и оно што ћемо додати у кутију, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред
друге, као на пример:
8 x2
- 2 x2
+...нека бројеви буду на самом крају реда. -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ ПОТЕРБАН
НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ.

35. И на крају, да се бака не мучи,
6. Израчунајте колико чега ће бити када додамо „намирнице „од бака Маре и када јој
вратимо дуг,
7. У следећем, четвртом реду испод запишите колико чега ће остати у кутији, на исти начин
како сам вас научила... Колико x2
+или- Колико x3.
...
8. Извадите из кутије „намирнице“ које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број намирница
или збир бројева које ћемо још додати у кутију па проверите да ли сте тачно израчунали
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Дара“
ДЕТАЉНИЈЕ:
Наставна тема: Полиноми
Наставна јединица: Сабирање и одузимање полинома
Тип часа: Обрада
Редни број часа: 67
Циљ часа: Упознавање ученика са рачунским операцијама над полиномима; примена знања из
области сабирања и одузимања у скупову Z а затим и у скупу R бројева
Очекивани исходи: да ученик зна шта сачињава полином, да зна да разликује чланове полинома,
да зна да среди полином, да на основу чињенице да уме да разликује чланове полинома, уме да
при сабирању или одузимању, поређа сличне чланове, два или више полинома, један до другог, да
зна да сабере или одузме сличне чланове полинома
Образовни задаци: Ученици треба да развију знања из области сабирања и одузимања и даље их
примене на наставну тему полином
Функционални задаци: Да ученици усавршавају вештину брзог и тачног рачунања, да развијају ,
да их проширују а затим и примењују, да се оспособљавају за разликовање чланова полинома и да
на основу тога буду оспособљени за извођење операција сабирања и одузимања полинома,
развијају вештине и способности решавања проблемских задатака
Васпитни задаци: Ученици треба да развијају: • концентрацију; • способност за упоран и предан
рад; • поступност и систематичност у раду; • тачност, прецизност и уредност у раду; • позитиван
однос према математици и уважавање математике као подручја људске делатности; •
самопоуздање и поверење у властите математичке способности; • навику самоконтроле и
критичког мишљења.
Кључни појмови: Полином, Сабирање полинома, Одузимање полинома

36. Час развија: вештине рада са подацима и информацијама; вештине сарадање; вештине
комуникација на материњем језику
Корелација: Хоризонтална: Техничко и информатичко образовање ( израда материјала потребног
за извођење часа), Математика (сабирање и одузимање у скупу Z, степен броја)
Вертикална корелација: Ликовно васпитање (израда материјала потребног за извођење часа);
Српски језик ( Прича)
Образовни стамндарди: MA1.2.3. MA2.2.3.
Облици рада: Групни рад
Наставне методе: Дијалошка, монолошка, илустративна, демонстративна
Наставна средства: Уџбеник, Збирка, табла, креда (фломастери), картон, папир А4, мобилни
телефон за фотографисање радова
Место извођења: Учионица
Литература и додатни материјал за наставнике: • Н. Икодиновић, С. Димитријевић Математика
7, уџбеник за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011. • С. Милојевић, Н.
Вуловић, Математика 7, збирка задатака са решењима за седми разред основне школе, Издавачка
кућа Klett, Београд, 2011.
Литература и додатни материјал за ученике: • Н. Икодиновић, С. Димитријевић Математика 7,
уџбеник за седми разред основне школе, Издавачка кућа Klett, Београд, 2011. • С. Милојевић, Н.
Вуловић, Математика 7, збирка задатака са решењима за седми разред основне школе, Издавачка
кућа Klett, Београд, 2011 • Милица Вајукић, Ружица Павлићевић “Знам за више“ Математика 7,
објашњења и вежбања за боље оцене, Издавачка кућа Klett, Београд, 2016.
Напомене: И.О.П: Ученици који раде по индивидуалном образовном плану укључени су потпуно
у садржај овог часа кроз рад у групи и у пару у групи са другим учеником који може све да прати
и који им помаже у раду. Такође учествују у изради материјала (сецка, боји, распоређује, броји,
слаже)
Са завршног дела претходног часа:На претходном часу мора бити спроведен део припреме
ученика за следећи час.
Наставник подели ученике по групама, тако да у свакој групи, по могућству буду ученици
различитог нивоа знања
Наставник саопшти ученицима да на следећи час:
По један ученик из сваке групе донесе једну картонску кутију,
Свако од ученика од картона направи (нацрта, обоји и изреже) по: три кромпира, три лука, три
шаргарепе,

37. Свако од ученика донесе:
3 кована новчића од по 1 динар,
1 фломастер,
два папира формата А4,
2 цедуљице
Прибор који редовно носе на час математике
Уводни део часа: (2 минута)
Ученици се на почетку часа, на основу договора са наставником, поделе у групе а наставник
нагласи које ће групе међусобно сарађивати
1 група напише на својој кутији: бака Јанина кутија
2 група напише на својој кутији: бака Марина кутија
3 група напише на својој кутији: бака Дарина кутија
Главни део часа: (40 минут)
Планирани временски термини за прву половину главног дела часа (20 мин):
Планирано време за рад сваке групе: Читање, разумевање, повезивање и консултације са
наставником: 4 минута
Рад у групи: 7 минута
Презентовање резултата 4 минута
Питање наставника и закњучак: 5 минута
Свака од група поређа у кутију донете „намирнице“ направљене од папира, и то по 8 кромпира, 8
шаргарепа, 8 лука и негде у угао кутије стави 10 кованица од по један динар. Наставник им скрене
пажњу на то да би било боље поређати исте „намирнице“ једну до друге, колико год је то могуће.
(узели смо број 8 за сваку од имитација намирница као и за новац, рачунајући на то да најмањи
број чланова групе буде 4)
Наставник свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке:
Поруке су наведене у горњем тексту
Питање наставника и закључак: 5 минута
Шта сте уочили, из колико различитих елемената се састоји добијени израз?

38. Шта мислите зашто кромпир слажемо поред кромпира?
Шта представља број испред нпр. кромпира или испред нпр. шаргарепа?
Да ли сте могли да сабирате шаргарепе и лук?
Да ли шаргарепу можемо заменити неким словом, на промер са а или са?
Да ли правила која важе у причи можемо применити на сличне изразе чији ду делови променљиве,
нпр x или y?
Шта сте дакле могли да сабирате и одузимате?
Да ли бисте онда могли да саберете 2 x и 3 x 2
? А 3 x 2
и 9x 2
?
Закључак: Можемо сабирати само исте (математички-сличне) елементе у наведеним изразима
Друга половина главног дела часа(20 мин): Сабирање и одузимање полинома-Бакине намирнице
за тајни рецепт
Време за рад сваке групе: Читање, разумевање, повезивање и консултације са наставником: 4
минута
Рад у групи: 7 минута
Презентовање резултата 4 минута
Питање наставника и закњучак: 5 минута
Наставник саопшти ученицима да врате једни другима узете ствари и да у сваку кутију опет ставе
по 8 кромпира, 8 шаргарепа, 8 главица лука и по 8 кованица од један динар, као и да замене групе.
Прва постаје друга, друга постаје трећа а трећа постаје прва, на пример.
Наставник опет свакој групи подели папир који представља поруку од њихове баке:
Текст на папиру за прву групу:
Драга дечице,
Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим
кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Ви знате да ми баке љубоморно
чувамо своје рецепте а све то да би смо вама спремали најлепше посластице. Договорила сам се са бака
Маром да једно од вас оде до ње и узме неке ствари за које смо се нас две договориле. Али пошто сумњам да
неко ко испија кафу са бака Маром можда може открити како правимо наше специјалитете и које намирнице
користимо, одлучила сам да их шифрујем. Корисићемо мало математике.Мистериозно, зар не? Али корисно,
А може бити и занимљиво...
Молим вас,

39. 1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
, сваку шаргарепу у кутији означите са x2
,
сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве...
2. И запишите на папир, колико чега има. Могли би сте написати на пример овако: 2 кромпира + 3
шаргарепе + 2 лука + 10 динара. Али, зар то није превише провидно за оне који шпијунирају наше
рецепте? Зато употребите нашу тајну. Шифрујте! Онда би сте могли написати овако: 2 x3
+ 3 x2
+ 2 x +
10 . Е то је већ нешто! Ово је само пример, а пошто ја ништа нисам стигла да пребројим, молим вас да
све сами пребројите и запишете уместо мене овако како сам вам написала.
3. Затим поређајте у кутији ствари онако како сте записали на папиру-кромпире то јест x3
у један крај
кутије, шаргарепе то јест x2
, поред, лук то јест x поред и на крају, у други крај кутије ставите новац
односно ...какп беше...бројеве
4. Када то завршите, нека неко од вас оде до бака Маре и узме 1 x, 2 x2, 4 x3 и 5. Знате о чему говорим,
зар не? А и бака Мара зна, заједно сковале овај план.
5. Када намирнице и новац донесете, молим вас да испод тога што сте већ написали, у следећем, другом
реду на папиру, допишете и то што сте донели, и то онако како бака воли. Узели сте 1 x, 2 x2
, 4 x3
и 5,
значи могли би сте да запишите н апример овако:
+ 1 x + 2 x2
+ 4 x3
+ 5. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше.
Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева.
На пример
5x 6x2
7x 4x2
Када то завршите,
6. У следећем реду, трећем, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што сте додали, али
тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример:
1 x + 2 x +...+3 x2
+345 x2
нека бројеви(константе) буду на самом крају реда.
7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико чега сада имате,
8. Пребројите „намирнице“ и бројеве у кутији и проверите да ли сте тачно израчунали па у следећем,
четвртом реду запишите колико чега сада има, на исти начин како сам вас научила...
колико x3
+ колико x2
+колико x+........
9. Поређајте тако да колико x3
буде први по реду па колико x2
други и тако редом....и на крају константа
(број)
А кад се бака врати, од тога што сте сакупили, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Јана“
Текст на папиру за другу групу:
Драга дечице,

40. Тата и мама су, као што знате, на опет послу, дека опет сређује башту а и бака опет је од јутрос морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим
кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас,
1. Употребићемо и мало математике: фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
, сваку
шаргарепу у кутији означите са x2
, сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као
бројеве...
2. Пребројите колико чега има у кутији
3. Запишите на папир, колико чега има. Ви знате да ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме
изненадите и напишете то на папир, на пример овако:
2 кромпира + 3 шаргарепе + 2 лука + 10 динара.
Ауххх... заборавих! Не ваља. Никако тако, већ смо то научили...
Знате, причала сам са бака Јаном јуче и дошле смо до закључка да неко шпијунира наше намирнице
и лако може открити наше рецепте. А знате да ми баке љубоморно чувамо наше рецепте да би смо вама
правиле најлепше посластице. Зато смо сковале план. То је наша мала тајна. Сваку намирницу смо
шифровали...а бака заборавила да вам каже зашто...
Сад запишите на папир, колико чега има.
Могли би сте написати на пример овако: 1 x + 2 x2
+ 4 x3
+ 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам
стигла ништа да пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу
малу тајну. Запишимо у облику оних наших шифара!
4. Такође, договорила сам се са бака Јаном, да ћу јој дати неке намирнице и нешто новца. Када неко од
њених унучића дође и узме то што сам јој обећала ви им дајте,
5. Сада испод тога што сте већ записали на папиру, у следећем, другом реду, запишите колико је чега
узето. На пример ако је узето 1 x2
, 3 x3
, 3 и 2 x , могли би сте то да запишите на пример овако: -
1 x2
-3 x3
- 3 -2 x
Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки буде лакше. Исте намирнице пишите
једне испод других, а новац испод новца. На пример:
5x 6x2 4
-3x - 4x2 5
6. Када то завршите, у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је већ било у кутији и оно што
сте дали, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример: 5 x - 2 x +...нека
бројеви буду на самом крају реда.
7. И на крају, да се бака не мучи, израчунајте колико сте чега имали и колико сте чега дали па у
следећем, четвртом реду, напишите колико чега сада имате,

41. 8. А затим пребројите „намирнице“ и саберите (одузмите) бројеве у кутији и проверите да ли сте
тачно израчунали, на исти начин како сам вас научила...
Колико сада има x3
+ колико сад има x2
....који број је резултат одузимања
9. Поређајте тако да колико сада има x3
буде први по реду па колико сад има x2
други и тако редом....и на
крају константа (број)
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Мара
Текст на папиру за трћу групу:
Драга дечице,
Тата и мама су, као што знате, опет на послу, дека опет сређује башту а и бака је од јутрос опет морала да
одсуствује од куће. Вратићу се брзо. Али волела бих да урадите нешто за вашу баку, пре него се вратим
кући. У мојој кутији на столу, налазе се разне ђаконије и нешто мало новца. Молим вас,
1. Фломастером сваки кромпир у кутији означите са x3
, сваку шаргарепу у кутији означите са x2
,
сваки лук у кутији означите са x а динаре представите као бројеве...
2. Пребројите колико чега има у кутији
3. Сад морамо применити нови начин бројања. Зашто, сигурно се питате. Е...! Није вам бака рекла,
али..свашта се по комшилуку прича. Тако сам на пример јуче чула страшну ствар. Неко покушава да
открије тајну спремања наших посластица. Шпијуни.... Зато смо бака Јана, бака Мара и ја одлучиле да
све намирнице које имамо, шифрујемо. Пошто ја нисам стигла, јер сам јако журила јутрос, препустила
сам то вама јер у вас имам неизмерно поверење. Намирнице сте већ шифровали а сада их пребројите
поново и запишите на папир, колико чега има, али у облику ових наших шифара. Ви знате да
ваша бака воли прецизност, па бих волела да ме изненадите и напишете то на папир. Могли би сте
написати на пример овако: 1 x + 2 x2
+ 4 x3
+ 5. Ово је само пример, а пошто ја нисам ништа стигла да
пребројим, молим вас да све сами пребројите и запишете уместо мене. Али поштујмо нашу малу тајну.
Шифрујмо!
4. Такође, договорила сам се са бака Маром, да ћу јој данас вратити неке ствари које сам пре неки дан
позајмила од ње и да ће она мени вратити неке ствари које сам ја њој позајмила. Дугујем јој 3 x3
, 2 x а
она ће мени вратити 3 x2
и 2 (динара)...знате о чему причам, зар не? Молим вас да испод тога што сте
већ написали, у следећем, другом реду, на папиру, допишете колико чега дугујем бака Мари и
колико чега ћу узети од ње. Оно што дугујем запишите као дуг, на пример -3 x3
а оно што ћу узети од
ње и додати у своју кутију напишите на пример овако +3 x2
. Значи, дугујем 3 x3
и 2 x а додајем у своју
кутију 3 x2
, и 2 (динара), па би сте могли да запишите на апример овако:
-3 x3
- 2 x + 3 x2
+ 2. Али, изненадите ме својом прецизношћу, па напишите то тако да баки
буде лакше. Исте „намирнице“ пишите једне испод других, а бројеве испод бројева. На пример:
5x 6x2
4
-3x +4x2
-3

42. Када то завршите,
5. у следећем, трећем реду, напишите све заједно, оно што је у кутији и оно ћемо узети из кутије и
оно што ћемо додати у кутију, али тако да исте „намирнице“ буду једна поред друге, као на пример:
8 x2
- 2 x2
+...нека бројеви буду на самом крају реда. -ТАКО ЋЕТЕ И САМИ НАУЧИТИ ДА ЈЕ
ПОТЕРБАН НЕКИ РЕД КАКО ПРИ СЛАГАЊУ СТВАРИ ТАКО И ПРИ ЗАПИСИВАЊУ.
И на крају, да се бака не мучи,
6. Израчунајте колико чега ће бити када додамо „намирнице „од бака Маре и када јој вратимо дуг,
7. У следећем, четвртом реду испод запишите колико чега ће остати у кутији, на исти начин како сам
вас научила... Колико x2
+или- Колико x3.
...
8. Извадите из кутије „намирнице“ које ћемо вратити а на цедуљицу напишите број намирница или збир
бројева које ћемо још додати у кутију па проверите да ли сте тачно израчунали
А кад се бака врати, од тих ђаконија из кутије, спемиће вам вашу омиљену супу.
Воли вас ваша бака Дара
Питање наставника и закључак: 5 минута
Шта сте уочили, из колико различитих елемената се састоји добијени израз? !!!
Тврђење: Овакве изразе називамо полиноми
Шта представља број испред нпр. x2
или испред нпр. x? !!!
Да ли сте могли да сабирате 3x2
и 4x?
Шта сте дакле могли да сабирате и одузимате? 3x i 2x? 5x2
i 2x? 4x3
i 2x2
? 8x2
i 2 x2
? !!!
Закључак: можемо сабирати само сличне елементе у наведеним изразима
Завршни део часа: 3 минута
Полином је....
Број испред променљиве је....и он служи за .....
Полиноме сабирамо тако што.....
Полиноме одузимамо тако што.....
Домаћи задатак:
Израчунати: а) 3-5, б) 3x + 5x в) 5x2
- 2x2
, г) 5x2
+5x -2x2
+3x д) 5x2
+5x -2x2
+3x +3-5

44. ИДЕЈА ЗА МИЛИЈАРДЕРА
Снежана Тошовић
Опис игре:
Ученици треба да представе свој производ инвеститорима који ће одлучити која су то прва три
производа у која ће инвеститор да улаже, са којима ће почети производњу у фабрикама
новоизграђеног/их града/ова.
Инвеститори су наставници математике, пре свега у средњој школи, али и у основној.
Инвеститори имају своје сараднике који седе са стране и који су у ствари наставници математике
из школе, других основних и средњих школа, одељењски старешина и/или наставник кога желе
ученици позвати.
Ученици представљају своје појединачне радове (осмишљена употребна вредност пирамиде према
својим афинитетима) комисији-инвеститорима који оцењују идејно решење-иновативност,
прецизност израде и функционалност тих производа. Сваки ученик добија „новац“ (новчанице
из Монопола) пропорционално броју поена које добија од сваког члана жирија појединачно.
Победник, најбољи производ, је онај који сакупи највише поена-новца.
Ученици су упознати са улогама сваког члана жирија:
3) један члан игра улогу да је мултимилијардер наследством,
4) други добивши на лутрији, а
5) трећи мукотрпним радом.
На основу тих информација и познавајући намеру жирија, односно, знајући код кога конкуришу и
који су услови конкурса, сваки ученик смишља начин на који ће представити своју идеју-
производ.
После проглашења најбоља три индивидулна рада-иновативна производа, свака група представља
свој групни рад.
Групни рад је град сачињен од геометријских тела призме и пирамиде са свом потребном
инфракструтуром. Шта је потребно једном граду ученици сами осмишљавају са родитељима и
стеченим знањима из свих других предмета.
ЕТАПЕ ПРОЈЕКТА:
10. Структуирање теме: Ученици попуњавају табелу својих интересовања, добрих и лоших
страна релативно на почетку теме Пирамида, која се обрађује на редовној настави (након
увођења основних појмова, мреже и пресека). Након кратке анализе се предлажу
иницијална решења индивидуалног задатка. За домаћи ученици реализују своју идеју у
виду макете или идејног цртежа-скице.

45. 11. Формулисање плана истраживања: Анализом домаћег задатка утврђују се извори
истраживања. Ученици када донесу своју макету идеје у разговору са другима утврђују да
ли је и колико у складу са почетном идејом. Може се променити почетна идеја у целости
или се унапредити, у разговору са наставником или другим ученицима, а можда се може
догодити и да буде више верзија за различите ситуације. Ученици се упућују на извор
истраживања не само од стране наставника. Догоди се да је неко од ученика истражујући
за своју идеју дошао до корисних информација за другога (размена извора).
12. Примена и праћење напретка: Након истраживања за викенд ученици доносе дорађене
и/или унапређене идеје у виду модела производа. Уколико је ученик задовољан идејом
приступа формулисању промоције идеје и свог представљања. Овај процес је дуготрајни и
некада траје целу недељу. За то време се приступа и реализацији коначне верзије идеје од
материјала који се могу наћи у окружењу, водећи рачуна да израда буде прецизна и уредна.
13. Израда пројекта: Читају се рекламе за производ пред „мултимијардерима“-наставником и
одељењем, овога пута. Снима се тај пробни јавни наступ (генерална проба). Врши се
анализа у којој учествују сви ученици.
У овом тренутку почиње и групни рад.
i. Прво се ученици деле у групе по свом избору на основу онога што су
увидели да су квалитети ученика у појединачном раду. Може се направити
и тим експерта или ће се ученици равномернијих „снага“ поделити. За
наредни час је потребно да се донесе план идејног решења или готова
макета града.
14. Евалуација: Ученици сами вреднују свој групни пројекат уз надзор наставника: Да ли смо
све добро испланирали-сетили се-распитали? Да ли је била добра подела посла? Да ли је
тај наш пример града потребан и зашто?
i. Овом прилико се може вредновати и појединачан рад код ученика којима је
била потребна додатна подршка: Да ли сам све сугестије разумео, усвојио,
реализовао; Колико сам напредовао од почетне идеје?; Да ли могу још
боље?
ii. Ако ученици добијају моделе призме и пирамиде на основу израђених
задатака може се поставити питање да ли су тачне димензије, да ли су тачна
решења, односно наставник може да вреднује њихова знања? Како се
обично ради прво тема Призма, ти задаци се могу сакупљати током теме
кроз домаће задатке, а сада да наставник, уједно, врши преглед тог домаћег
рада.
15. Приказани резултати: Пре приказа индивидуалних (Употребна вредност пирамиде
приказана кроз један производ) и групних (Идејно решење са макетом града каквим
га ми замишљамо) радова „мултимилијардерима“, ученици због своје личне сигурности

46. (због њихових особних карактеристика) могу радове приказати мањој групи наставника
(предпремијера = наставник + одељењски старешина).
Жири се понаша према задатим улогама (описано је на почетку у опису игре).
Сарадници такође глуме разноврсне типове личности.
Може постојати водитељ у случају да се ученик није могао пронаћи у задацима пројекта
или због изразите жеље/љубави према јавном наступу.
Ученици се труде да се уживе у улози иноватора и/или предузетника и да своју идеју
аргументовано представе или кроз рекламу представе позитивне стране производа, па је
могуће и духовито истаћи негативне стране, односно правити пародију на поједине
рекламе.
Након добијених резултата (новца) проглашавају се прве три идеје.
Тим „стручњака“ који су реализовали макету града, редом, представљају своје идејне
макете са објашњењем зашто је баш такав град онај који треба „мултимилијардер“-
инвеститор да гради на замишљеним наслеђеним/купљеним хектарима земље.
Жири вреднује сваки појединачни рад не само додељеним новцем већ и попуњавајући чек
листу. Такође попуњавањем чек листе вреднује и груони рад уз образложење.
Сарадници „инвеститора“, такође, попуњавају исте чек листе.
Након неформалних разговора док се проглашавају резултати, ученици још једном
вреднују себе, с тим што овога пута попуњавањем чек листе се врши поређење са
првобитном/им.

47. „Математичка ревија“ Снежана Тошовић

48. ВАЖНО: ОЦЕНИТЕ ОД 1-5 КОЛИКО ВАМ СЕ СВИЂА ИДЕЈА И КОЛИКО ЈЕ ТРУДА,
ПРЕЦИЗНОСТИ УЛОЖЕНО ЗА ИЗРАДУ МОДЕЛА.

49. ДРУГИ ДЕО (примена призме): ОЦЕНИТЕ ОД 1-5 КОЛИКО ВАМ СЕ СВИЂА ИДЕЈА И
КОЛИКО ЈЕ ТРУДА, ПРЕЦИЗНОСТИ УЛОЖЕНО ЗА ИЗРАДУ МАКЕТЕ.
ТРЕЋИ ДЕО (примена призме): ОЦЕНИТЕ ОД 1-5 КОЛИКО ВАМ СЕ СВИЂА ИЗЛАГАЊЕ
(НАЧИН, АГАЖОВАНОСТ ЧЛАНОВА ) И КОЛИКО ЈЕ ТРУДА УЛОЖЕНО (ДА СЕ ОСМИСЛИ
ИДЕЈА, РЕАЛИЗУЈЕ) .
НАПОМЕНА: Из првог дела се бирају прва три места ( могу да деле и више њих), а из друга два
дела по једна екипа.
МАТЕМАТИЧКА РЕВИЈА - cценарио
СОФИЈА: Добар дан и добро дошли на прву математичку ревију, ревију године.
Ученици одељења 83 и 85 са њиховом наставницом математике, Снежаном Тошовић, приказаће
Вам своје креативне идеје примењеног знања из призме и пирамиде. Сигурни смо да ће те међу
њима препознати таленат за добру личну рекламу, будуће проналазаче, предузетнике и
ценити уложени рад. Ја сам Софија Бојовић бићу у улози водитеља, заједно са ...
СРЂАН: ... ја се зовем Срђан Стефановић. Ревија се састоји из три дела. У првом делу
представиће се појединачно ученици са својим изумима. КАКО ОНИ ВИДЕ ПИРАМИДУ; ГДЕ,
У ЧЕМУ ВИДЕ ЊЕНУ ПРИМЕНУ. Надамо се да ће те бити задовољни оригиналношћу идеја и
пронаћи производ или више њих за покретање своје производне
линије. СОФИЈА: Други део је приказ градова у ближој или даљој будућности. Групни
радови који поред визије креативних тимова показују знање у вези призме, али и многих
професија. И...трећи део, део у коме учествују два најбоља тима програмера. СРЂАН: Сви
они ће Вам помоћи у улагање ваших средстава у гарантовани добитак. Нека ревија
почне! СОФИЈА: УКРАС ЗА КИНЕСКУ НОВОГОДИШЊУ ЈЕЛКУ ... ЖУЗЕЉУПЛА
ПИР НА ПИР Дело дизајнерке Јаване Шаровић, украс који спаја исток и запад, мистичан,
елегантан, јединствен. СРЂАН: ЧИГРА... КОЦКАЛО ИГРАЛО ПАДАЛО НА ВРТЕЛО.
Никола Вуковић! Дечја играчка коју ће и сваки родитељ обожавати, јер се брзо заустави а самим
тим тешко загуби. А деца ће желети да покушају, и покушају... играчка која развија креативност
и моторику. Једноставно...сви је воле. СОФИЈА: ПЕШЧАНИ САТ – ВРЕМЕПЛОВ,
декоративна идеја Марије Радовић. Несаломив, пуњен песком из Сахаре. Вежба Ваш зглоб и
релаксира, после дуготрајног писања или куцања на тастатури. СРЂАН: ЗВЕЧКА - УЦКО ЗА
ЗВЕЊЕ (на утровачком) рад Кристине Трипковић. Весела играчка, пријатног нежног звука. За
узраст од 7 до 77 месеци. Едукативна. Дете учи боје,облике, величине, однос мање-веће. Вежба
сихронизован рад руку. СОФИЈА: АКВАРИЈУМ - 3D генијални изум Јоване Пеулић.
Акваријум облика пирамиде. Својом елеганцијом улепшава живот воденим бићима и простор у
ком се налази. Инстант акваријум. Потребно је сипати само речну или морску воду у зависности
која бића желите да оживите. СРЂАН: ОГРЛИЦА... ТУТ КАМОН, изум Марије Терзић.
Египатски имунитет за преживљавање у пустињама. Када је освојите она осваја Вас. Упадљива,
елегантна, гламурозна, очаравајића. Поклон за посебне прилике. СОФИЈА: УНИВЕРЗАЛНА

50. УМРЛИЦА ЗА КУЋНЕ ЉУБИМЦЕ - КЕТС, идеја и дизајн Милице Токовић. Можда маце
имају 9 живота, можда су веште у пењању, можда се лако дочекају на ноге, али... Ви их волите
због њихове мистичности и потребан вам је такав рам за слике за дуго сећање. Практичан,
једноставан за руковање, уклапа се у сваки простор. СРЂАН: ЉУБАВНИ ШУРИКЕН –
ВАСКО ЛААВ, изум Василија Курћубића. Желите да покажете вољеној особи да је волите, али
да не буде клише. Спој источњачке културе, математичких и физичких закона на креативан
начин. Наглашавамо да је Љубавни шурикен потпуно безопасан по људско тело, али за срце се то
не може рећи. Фактор изненађења је некада пресудан у животу. Ваше информације и поруџбине
можете добити на телефон 065/251-... СОФИЈА: КУТИЈА ЗА НАКИТ дело Филипа Лаковића.
Пирамиде делују мистично, загонетно и зато привлаче пажњу. Изазивају дивљење. За вредне
ствари, драгоценим особама упаковано у кутији за накит фирме светског гласа ЋО ФИИ.
СРЂАН: РЕЦИКЛИРАЈУЋА КАНТА ЗА РЕЦИКЛАЖУ ПАПИРА – РЕЦИКЛО идејни
творац и дизајнер овог невероватног производа је Никола Кизић. Испред Вас је модел канте
великих капацитета, јефтине израде. Стапа се са околином својом бојом, а уједно и јасно
уочљива. СОФИЈА: НОВОГОДИШЊА ЈЕЛКА дизајнерке Марте Гојковић. Необична јелка,
за необичне украсе и за не сасвим обичне људе. Ако желите да Ваш дом украшава ова
јединствена јелка, онда је овај производ идеалан за Вас. СРЂАН: МИШОЛОВКА – МАЦ,
МАЦ, МАУС идеја Стефана Јовановића. Ово је модел који пружа разне могућности лова.
Дозволите себи да будете маштовити. Састоји се од шипке која је у сиру. Чим се сир помери
затварају се дупла врата. Проверено 100% ефикасно. СОФИЈА: ИГЛО – ИГЛОРАМИДА рад
архитекте за екстремне услове. Лука Тадић! Ескими користе ово станиште за становање.
Међутим, екстремни услови за живот на северу, привлаче туристе из целог света и користе
иглорамид као хотелску собу са једним ноћењем. СРЂАН: РЕЗАЧ ЗА ОЛОВКЕ – РЕЗЗЗ З З
ЗЗЗАЧ дизајнерке Наташе Вујовић је елегантан, практичан, лаган, неодољив производ за кућну
употребу и поклон. Савршене израде. СОФИЈА: 3 У 1 – производ чувеног изумитеља Јована
Радовића. Писмо пошаљете поштом или по голубу. Због пожељног брзог одговора врати Вам се
порука на змају (смештена у посебном преградтку), а Ви је читате уз чај за шта добијате упуство
како се кува. 3 У 1. СРЂАН: КУТИЦА ЗА МИНЂУШЕ – дизајнер Игор Младеновић.
Елегантан и идеалан поклон за сваку прилику. Мистичност пирамиде још више дочарава
тајанственост унутрашњости. СОФИЈА: ПРИВЕЗАК ЗА КЉУЧЕВЕ – изум Нађе Глигоревић.
Привезак који не можете изгубити и који убија... досаду. Радо га вртите око прста.
СРЂАН: СКУПЉАЧ ПРАШИНЕ – ЕКОПРАШКО проналазак Мине Тешић. Брише
и прикупља ђубре не дижући прашину. Заузима мало простора и чува околину.
СОФИЈА: КОМПЛЕТ НАКИТА – уметнице Сање Дуњић. Дијамантски комплет за особу са
истакнутим укусом која жели да буде примећена и гламурозна у свакој прилици. ШБ ЛААД је
најтраженији производ последње колекције „shine bright like a diamond“. СРЂАН: КАЧКЕТ –
ШТИТКО креација Андрее Павловић. Весело га је видети и носити. Качкет који радо носе
духовите особе широких схватања. СОФИЈА: ХАЉИНА – КРИК чувеног модног креатора
Аљоше Аћимовића. Хаљина која у Вама буди диву. Будите тајанствени. Оставите друге без даха.

51. ДА ЈОШ ЈЕДНОМ ПОГЛЕДАМО СВЕ ПРОИЗВОДЕ ИЗ ПРВЕ ГРУПЕ. ОД ДАТЕ ПОНУДЕ
ЖИРИ ЋЕ ИЗДВОЈИТИ ПРВА ТРИ МЕСТА КОЈА ЋЕ ДОБИТИ НАГРАДЕ У ИЗНОСУ ОД ПАР
МИЛИОНА ДИНАРА И БИЋЕ ПОКРЕАНУТА ЊИХОВА ПРОИЗВОДЊА.СРЂАН: Да
наставимо са другим делом. ....Позивам тим Василија Курћубића да представе њихов град „село
Штитково“.СОФИЈА: Тим Катарине Лазић и „Дизни град“.СРЂАН: „Слатки град“ и тим
Наташе Вујовић.
ДА ЈОШ ЈЕДНОМ ПОГЛЕДАМО СВЕ ВИЗИЈЕ ГРАДОВА ИЗ БУДУЋНОСТИ.
СОФИЈА: Свестрани, креативни тимови Филипа Лаковића и Василија Курћубића приказаће
своје визије градова урађене у Googl Sketchap-u. Погледајмо. СОФИЈА: Док жири сабира
утиске и улаже напоре да се определи и прогласи најбоље радове по њиховом мишљењу, још
једном ћемо поменути да се из прве групе бира три појединачна рада, а из друге две по један
групни рад. Мислимо да су многе идеје оригиналне и у неке од њих је уложен рад од скоро 2
месеца. Сви су имали велику слободу у изражавању идеје, креације и могућност да у
међувремену промене или дораде рад, тако да су добијени максимални резултати у јако
скромним условима. То још више велича рад учесника ове јединствене ревије. СРЂАН: Дошао
је тренутак за проглашење победника и доделу новчаних награда. Да чујемо
жири.СОФИЈА: Честитамо свим учесницима, а посебно награђенима. Хвала на пажњи.

52. Имају и мишиће и знање
Софија Влајин
ОШ Свети Сава, Сремска Митровица
У ОШ “Свети Сава” у Сремској Митровици одржан је огледни час, где је на веома
занимљив начин успостављена веза између два, наизглед ни слична предмета, физичког
васпитања и математике.
Троје креативних и вредних професора, осмислило је овај час као примену функционалног
знања из математике на поједине дисциплине у физичком васпитању. Тема часа је била -
статистичка обрада моторичких способности ученика осмог разреда. На почетку школске
године, ученици су радили тест физичких способности. Намера нам је била да се
резултати из септембра упореде са резултатима из марта и да се изради кружни дијаграм
оцена у процентима. Ученици су радили леђњаке, трбушњаке и чучњеве у временском
интервалу од 30 секунди. Активност ученика је организована по групама. Три девојчице
су писале резултате за девојчице и вршиле обраду добијених података на 3 параметра:
Средња вредност, модус и медијана. Три дечака су имала исти задатак за дечаке. Са
становишта математике, био је ово час утврђивања градива. Приказ добијених података и
упоређивање са подацима из септембра, вршен је уз помоћ лаптопа и пројектора.
Користили смо хистограм и кружни дијаграм. Ово је пример како се настава може
изместити изван оквира учионице и учинити занимљивом, али и пример да се покаже
корист од наученог знања. Зар функционално знање није оно чему се тежи у школству?
Посебан квалитет часа одразио се у чињеници да је час био потпуно спонтан, није било
никаквих врста проба, нити унапред спремљених резултата и слично. Цео ток часа праћен
је музиком, која је додатно мотивисала ученике. У паузи док су се чекали резултати
обраде података, понеки наставници су одмерили снаге са ученицима у одбојци. Зато је у
најави овог необичног часа писало - понесите патике. Разлика између решавања задатака
из збирке, у учионици и оваквог метода је велика. На овом часу ученици су сами
прикупили податке за обраду, док их у уџбенику добијају готове. Процес прикупљања,
обраде, презентације и тумачења дијаграма спада у напредни ниво на листи стандарда по
областима математике за осми разред. Ученици су показали да могу самостално да обаве
овај процес уз повремену контролу наставника. Сваки ученик је био ангажован према
својим способностима. Резултати обраде података показали су да су дечаци и девојчице
наше школе здрава деца, одличне физичке кондиције. На то смо, ми, њихови наставници
посебно поносни. У све три дисциплине (чучњеви, лежњаци и трбушњаци), премашили су
норму која је предвиђена за оцену 5. Час је реализован уз присуство колега (33).

53. 93,94% колега је оценило час одличном оценом уз многобројне похвалне коментаре.
Оцена врлодобар добијена је у 2 случаја. Комплетну организацију часа реализовали су :
Проф.математике Соња Влајин и професори физичког васпитања Бранислава Алатић и
Срђан Божић. Био је ово час на коме смо се дружили, понешто научили и на коме су
професори одржали само уводну и завршну реч.
Може и другачије
Софија Влајин
ОШ Свети Сава, Сремска Митровица
Доказ да чист ваздух и физичке активности доприносе повећању мотивације за учење
математике код ученика видимо на наредним фотографијама. На овом часу ученици су од
снега формирали геометријско тело, прецизно извлачили ивице геометријских тела и
формирали обла тела уз будно око наставнице Софие Влајин. Атмосфера је била радна и
весела, а чланак о њиховом раду освануо је и у Просветном прегледу:

54. Мерење сенке дрвета
– Осећај слободе -
Софија Влајин
ОШ Свети Сава, Сремска Митровица
Час се реализује у природи, у нашем случају, у школском дворишту. Изласком из оквира
учионице, математика се доживљава у пуној лепоти и функционалности. Ученици на
отвореном простору имају осећај слободе и тела и ума.
Након обраде теме Сличност троуглова и решавања многобројних задатака, лепо време
измамило нас је у двориште да применимо стечено знање. Понели смо потребан алат:
метар, дигитрон, свеску и оловку. Добра воља је увек са нама ….
Разговор о томе где све може да се примени сличност троуглова у природи. Подсећамо се
како је Талес измерио Кеопсову пирамиду, како се рачуна ширина реке помоћу сенке и
штапа и како се рачуна висина дрвета помоћу његове сенке и штапа. Ученици
одушевљено закључују да је њихов задатак рачунање висине дрвета помоћу његове сенке.

55. Први корак: Ученици се деле у неколико група и бирају стабло за мерење. Договарамо се
да уместо штапа користимо висину и сенку неког од ученика. Поступак који све групе
изводе: Један ученик стане поред дрвета, тако да се врх његове сенке поклопи са врхом
сенке дрвета. Измере се висина ученика и дужина његове сенке. На крају се измери
дужина сенке дрвета.
Други корак: Висина дрвета односи се према висини ученика као дужина сенке дрвета
према дужини сенке ученика. Задатак ученика је да изврше 3 мерења и на основу
аритметичке средине одреде висину одабраног стабла. Ученици ће се смењивати у
улогама онога који је у функцији штапа, ко мери сенке, ко рачуна… Наставник обилази
екипе, помаже, одговара на постављена питања.
Трећи корак: Ученици који су завршили мерење и рачунање саопштавају наставнику
резултат, односно висину стабла. Групе мењају стабла и упоређују резултате. Ученици су
током часа показали, поновили и утврдили знање из сличности троуглова, пропорције и
аритметичке средине.

56. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧКОГ ПРОЈЕКТА УЧЕЊА
Бранка Ранисављевић
Карловачка Гимназија
1.Циљ и сврха пројекта
Циљ пројекта је да се ученици упознају са појединим наставницима
математике који раде у средњим школама, као и они са њима.
Упознавајући наставнике других основних школа могу стећи благу
слику о раду тих наставника, уочити неке различитости. Такође је и
циљ да се ученици кроз рад на групном задатку упознају са неким
занимањима. Најважнији циљ је да се ученици оснаже за развој личних
потенцијала и да уоче колики труд је потребан за постизање истих, да
би се могла уочити и паралела са начином припреме за одговрање,
јавни наступ и наравно завршни испит.
2.Примена
Ученици уочавају примену изучавања из тема Призма и Пирамида у
свакодневном животу. Такође се упознају са светом рада.
3. Материјал, извори, помагала, опрема
Материјал који ученици користе је из њиховог окружења: стиропор,
картон, чачкалице, сламчице, лепак, спреј, темпере, украсни папир,
скај/кожа, тканина...
За презентацију радова може бити потребан пројектор и лаптоп, ако
ученице одлуче направити ППТ.
Потребан је штампани материјал за посматраче-сараднике инвеститора
као и за њих саме.
4.Улога и задаци наставника
Наставник је у улози посматрача, саветника. Можда се укаже потреба и
за додатним часовима допунске, јер ученици буду заинтересованији за
стицање знања кроз овакав вид рада. Наставник треба да изврши
организацију часова. Могуће је и да сам наставник изврши
истраживања зарад побољшања учениковог/их рада/ова. Задатак
наставника је да охрабри и мотивише ученике да истрају у дуготрајном
процесу.
5.Улога и задаци ученика

57. Задаци ученика у индивидуалном раду су да се потруде да пронађу
употребну вредност пирамиде кроз производ који би, по могућству, био
иновативан или са побољшаном функцијом. Такође је потребно да се
потруде да реализују идеју и да том приликом се потруде да буду
прецизни и педатни. Потребно је да се потруде да развијају своју идеју
током процеса, ако не у току, што би било најкорисније, онда на самом
крају. Улога ученика у самом презентовању идеје производа треба бити
схваћена озбиљно.
У групном раду ученици имају задатак да самостално истраже и да
разговарају са својим ближњима који су то неопходни елементи града
за његово функционисање. На основу тога ће тим формирати и
поделити задатке, где би сваки ученик требао дати свој максимум.
6.Резиме и закључци пројекта
Када се заврши пројекат ученици траже додатне задатке на часу
математике, мотивисанији су за рад. Ако претходно нису навикнути
овакав рад кроз сличне пројекте може се догодити да сматрају да је за
њих игра непримерена. Не виде њену сврху. И ако се први пут успе
истрајати, ученици траже да се понови игра. То је могуће урадити кроз
наредне теме Ваљак и Купа. Тај пројекат је самоорганизованији и
учаници са јасним циљом и мотивом у њега улазе. Ученици буду свесни
своје улоге у друштву и делимично упознати са светом рада. Пројекат
је вишеструко корисан з аученике 8. разреда.
7.Оцењивање учења, оценивање за учење
Оваквим пројектом наставник има могућност да оцењује постигнућа
ученика. Да још боље упозна индивидуалне карактеристике ученика и
да на основу његових интересовања изврши будућу индивидуализацију
наставе. Ученици могу да изврше самопроцену не само својих знања
везаних за теме већ и разних способности и вештина. Могуће је
реализовати и вршњачко процењивање и оцењивање.
8.Сарадња између школе и породица, са другим партнерима
Могуће је остварити сарадњу са наставницими разних школа и
колегама из своје школе. Такође, остварити сарадњу са родитељима и
установама у којима су они запослени.
9.Рефлексија и процена
На основу снимљеног пробног наступа ученици могу извршити многа
уочавања и радити на свом развоју до краја пројекта. На самом крају
пројекта, при презентовању радова, и наставник може уочити разна

58. побољшања у организацији игре или проширити/продубити идеју игре у
анализи са колегама. Том приликом ученик, упоређујући снимке и
евалуационе листове, уочава колики је његов напредак и у ком смеру
може бити још бољи. Оно најважније, препознаје сферу свог
интересовања и колики рад је потребан да се уложи да би
„снови“ реализовали.
Како писменом задатку претходе два контролна задатка из поменутих тема, може се
уочити у којој мери је побољшање постигнућа ученика.

59. International project - “Be part. let's celebrate maths in May“ - founder ( osnivač )
Description: In month May in Serbia we celebrate Maths, become our partner and
celebrate together around Europe. We want to promote Maths that be more interesting
to students, to be motivate to learn maths. Goal is learning of mathematics in a non-
traditional way, like a game. It enhancing creativity and innovation among youth. -
uključivao je 16 škola iz cele Evrope: Francuske, Portugala, Italije, Mađarske, Rumunije,
Armenije, Moldavije, Slovačke, Albanije, Ukrajine i Bugarske. - obuhvatao je 4 osnovne
teme: a. Matematika i umetnost - Maths and Art b. Matematika i muzika - Maths and
Music c. Matematika i priroda - Maths and Nature d. Najpoznatiji brojevi - Famous
Numbers - osnovni cilj je promovisanje matematike i predstavljanje matematike na nov
savremen način, uključujući i proslavu meseca maja kao meseca matematike u Srbiji -
škole su se predstavile na oglasnoj tabli na Internetu, svi radovi iz Evrope su
predstavljeni na Twinspace-u - najzanimljiviji radovi takođe su prikazani na izložbi
radova u Karlovačkoj gimnaziji - dve Nacionalne oznake kvaliteta eTwinning Pupil
Quality label za projekat: Be part, let's celebrate maths in May eTwinning Quality label
za projekat: Be part, let's celebrate maths in May - Evropska oznaka kvaliteta
European Quality label za projekat: Be part, let's celebrate maths in May 2015.год.

60. Bingo igrica
Slavica Beronja
Uvežbavanje operacija sa stepenima - Bingo igrica.
Na početku časa učenici izvlače bingo listiće. Zatim izvlače zadatke čija su rešenja od 1 do
100. I rade ih na tabli. Na slikama vidimo atmosferu na času i rezultate rada:

61. Има ли простора за грешку ?!

62. Грешке у математици
Синиша Ћулафић
Позабавићемо се грешкама које праве они који нису математичари:
1. Контрадикција при покушају дељења нулом
Доказ да је 1=2
Пођимо од
а · а − а · а = а2
− а2
Ако са леве стране једнакости извучемо а, у загради ће остати (а − а). Десну страну једнакости
можемо развити формулом за разлику квадрата и добити две заграде (а − а)(а + а). Поделимо ли
једнакост заградом (а−а), добијамо с леве стране а, а с десне 2·а. Поделимо ли сада једнакост с а,
следи да је 1 = 2 што није тачно!
Односно, с (а − а), тј. с нулом, не можемо делити !
Треба имати на уму да је 3·0=5·0, али да из ове једнакости не следи да је 3=5! То бисмо
добили ако бисмо обе стране поделили са 0. Овде је нула сакривена изразом а-а!
2. Грешке које настају због појма бесконачности
Колико је сума: 1-1+1-1+1-1+...?
На први поглед делује да је нула ако чланове групишемо овако: (1-1)+(1-1)+...=0, међутим ако их
другачије групишемо, нпр. 1-(1-1)+(1-1)+... видимо да су све вредности у заградама нула изузев
првог члана, па је збир једнак 1. Можемо покушати с још неколико различитих груписања или
применити неке познате релације, као што је:
(1-x+x2
-x3
+…)(1+x)=1 из које следи да је
1-x+x2
-x3
+…=
1
1+𝑥
За x=1
1-1+1-1+…=
1
1+1
=
1
2
У оваквим сумама није дозвољено сабирање променом редоследа, док код
функционалних редова треба водити рачуна о конвергенцији и користити резултат само
за оне вредности x за које ред конвергира.
3. Грешке које настају непознавањем математичке теорије

63. Доказ да је 1=-1
Пођимо од тачног израза 1= 1 , даље је:
1= (− 1)(− 1)
1= − 1 − 1
1=i2
1=-1 , што наравно није тачно!
Када важи израз А𝐵 = 𝐴 𝐵 ?
Одговор: Важи само ако су оба броја позитивна!
Проверите још једном шта је по дефиницији имагиарна јединица и каква је разлика између
кореновања у скупу реалних и у скупу комплексних бројева?
i= − 𝟏 јесте честа грешка, чак и код многих средњошколских професора. Тачна
дефиниција имагинарне јединице гласи i2
=−1, док је − 𝟏 = ± 𝒊 !
4. Грешке у логици
Зенонов доказ да не постоји кретање
Зенон (Зенон из Елеје око 490–око 430. п. н. е. био је антички грчки филозоф, припадник елејске
школе) дао је неколико доказа против кретања од којих су најпознатији: прелазак стазе (о њему ће
бити речи), Ахил и корњача и стрела у лету.
Слика Зенонов парадокс

64. Зенонов доказ да не постоји кретање: „Између мене и зида има тачно 4m. Да бих дошао до зида
морам прво прећи половину пута. Када је досегнем чека ме половина од преосталог дела пута итд.
Дакле, никад нећу стићи до зида.“
Зенон није знао да је сума
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
+ … = 𝟏. Поред тога Зенон је погрешио јер поредио
величину која је константна – дужина корака са величином која се непрекидно смањује –
дужина пута (дужина корако врло брзо постаје неупоредиво већа половине преосталог
пута!)
5. Грешке типа немогућност читања мисли састављача задтака или његове провере свих
могућих тачних решења
Који је следећи члан у низу: 3,5,8,9,...
Овакви задаци су чести у тестовима интелигенције. Решење овог задатка може само показати да ли
решавач размишља уобичајено – као већина. На жалост састављача ових задатака, сваки овакав
низ је могуће продужити на бесконачно много различитих и исправних начина !?!
Формирајмо следећу функцију:
𝑓 𝑥 = 3 + 2 𝑥 − 1 +
1
2
𝑥 − 1 𝑥 − 2 +
1
6
𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3 + 𝑎 𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3 (𝑥 − 4)
Дата функција за x=1,2,3,4 даје тражене вредности, међутим јасно је да за x>4 наредни члан може имати
било коју вредност одређену вредношћу константе а!
6. Грешке услед језичких недоумица
Ана Марија проблем
Овакве грешке настају када из контекста истргнемо неку реченицу и често их чинимо. Када
кажемо: „Дете ујело куче!“ остаје нејасно ко је кога ујео или у задацима као нпр:
Ана и Марија имају заједно 44 године. Марија је два пута толико стара колико је Анабила када је
Марија била упола толико стара колико ће Ана бити, када Ана буде три пута толико стара колико
је Марија била, када је Марија била три пута толико стара колико је сада Ана.
Овде има 5 непознатих и 5 једначина. На први поглед их је тешко написати.
m + a= 44
m = 2(a - x1)
(m - x1) =
(a + 𝑥2)
2
(a + x2) = 3(m - x3)
(m – x3) = 3(a - x3)

65. трансформацијама настаје систем једначина:
m + a = 44
5a = 3m
тј. Ана има 27.5, а Марија 16.5 година.
Половина од осам
На питање: „Колика је половина од осам?“ оправдано је упитати: „Десна или доња половина?“ јер
је десна половина три, а доња нула!
Шта би се догодило да смо број 8 писали римским цифрама?
Слика Половина од осам
7. Несавршена перцепција и илузија
Може ли збир углова у троуглу да буде 270°?
Гледајући слику одговор је да! Међутим, у три димензије није могуће овако поређати коцкице.
Ово је пример илузије – чула не реагују одмах, а логика остаје збуњена!
3D троугао

66. 8. Грешке приликом извођења математичких операција
Ако је
𝟏
𝟒
>
𝟏
𝟖
онда је 2>3
Пођимо од тачног израза:
1
4
>
1
8
Затим се добија:
(
1
2
)2
> (
1
2
)3
𝑙𝑛(
1
2
)2
> 𝑙𝑛(
1
2
)3
2𝑙𝑛
1
2
> 3𝑙𝑛
1
2
2 > 3
Знак неједнакости се мења када делимо негативним бројем! У претпоследњем кораку
извршено је дељење са ln(1/2) који је негативан по знаку.
9. Грешке локалне перцепције
Ловац и веерица
Једног дана сам шетајући парком спазио веверицу на дрвету. Гледала је у мене, па сам почео да
обилазим око дрвета. Тако сам три пута обишао дрво, а ни једанпут веверицу јер ме је она
непрекидно гледајући спирално се повлачила по дрвету.
Ловац обилазећи око дрвета обилази и око свих предмета на дрвету без обзира у којем
релативном полоћају се налазе. Месец ротира око Земље тако да јој је увек истом
страном окренут јер је „гравитацијски закључан“ – односно Месец и Земња ротирају као
две кугле закачене за исти штап. Једна његова револуција (а то је један обилазак око
Земље) једнака је једној његовој ротацији (једном његовом окрету око сопствене осе).
Кажемо да је Месечево кретање синхроно.

67. Слика Синхрона ротација Месеца око Земље
Задатак: Осмислити експеримент који се лако може извести у учионици који показује ову
ситуацију.
10. Грешке које доводе до очекиваног решења
За убиство човека осумњичени су: Браун, Џонс и Смит.
Они су полицији дали следеће изјаве:
Браун: „Ја нисам убица и Џонс није убица.“
Џонс: „Браун није убица, то је урадио смит.“
Смит: „Ја нисам убица, то је урадио Браун.“
После се показало да је један од њих изрекао обе истине, један је изрекао обе лажи, а један је
изрекао једну истину и једну лаж. Ко је убица?
У овом задатку ако се непретпостави да је само један човек убица неће се решити задатак на
очекиван начин. Зашто аутор задатка мисли да је убица само једна особа, могуће је да два човека
Литература
Зборник радова високе техничке школе Пожаревац1/2019.
http://www.astronomija.org.rs/sunev-sistem-74117/sateliti/11059-sta-nas-zbunjuje-kod-kretanja-meseca
http://www.rationalskepticism.org/philosophy/does-the-man-go-round-the-squirrel-or-not-t34357.html
https://stillunfold.com/humor/5-illusion-pictures-that-will-make-you-laugh-harder
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zeno_Dichotomy_Paradox.png

68. https://www.quora.com/What-is-the-half-of-8
http://forum.matemanija.com/viewtopic.php?f=28&t=1869
https://www.forum.hr/showthread.php?t=140536&page=51

69. Postavljanje ciljeva u učenju
Mirjana Kokerić
Učenici često izbegavaju rad i trud misleći da do cilja mogu stići i bez toga. Potrebno je da nauče i
naviknu se da sebi postavljaju pitanje: „Šta mogu ja da uradim, da bi dobio ono što želim?!“
Ogovor nije ni malo jednostavan.
Nedovoljno precizan odgovor neće dati rezultate.
Dakle, za operaciono definisanje ciljeva potrebno je da znaju i odgovore na sledeća pitanja:
( Možemo ih dati i u Tabeli definisanja operacionih ciljeva):
1. Šta konkretno treba da radim? ( Napravi spisak operativnih zadataka koje treba da obaviš da bi
dostigao svoj cilj. Primer: napravim plan učenja, kupim svesku, postavim radni sto za učenje,
namestim dobro osvetljenje, nabavim svu potrebnu literaturu, zarežem olovke, isplaniram kog
dana u nedelji u koje vreme učim koje predmete, koliko vremena odvajam za svaki konkretan
predmet, a ako je reč o matematici, koliko vremena posvećujem vežbanju računanja, koliko
savlađivanju novog gradiva, koliko utvrđivanju prethodnih lekcija..)
2. Kako to treba da uradim? (Određivanje kvaliteta aktivnosti u skladu sa ciljem koji želim da
postignem; za koju ocenu se spremam: da li želim da budem sposoban da sam razumem zadatak
kada ga pročitam, razmislim o rešenju i rešim ga, sam proverim rezultat, ili želim da otprilike
prepoznam gradivo i uz pomoć drugara ili nastavnika dođem do rešenja )
3. Kakav treba da budem da bih dobro uradio ono što treba da uradim? (Osobine koje treba da
razvijem, posedujem i sipoljavam, da bih na pravi način uradio ono što hoću da uradim : da li
treba da izgradim i pokažem više samopouzdanja, da li mi je za to potrebno više vežbe, da li mi
trebaju bolje prezentatorske veštine za prezentovanje mog rada pred nastavnikom ?)
4. Kada to mogu da uradim? ( Adekvatan menadžment vremena , adekvatno korišćenje vremenskih
resursa: kada najbolje učim, kada sam najefikasniji, pre ili posle škole, pre doručka ili posle
doručka, da li mi se isplati da se odmorim posle škole ili više naučim kada odmah sednem za
radni sto, koliko pauza mi je u učenju potrebno, da li nakon svakih dvadeset minuta treba da se
proteglim kao mačka, odmorim oči, prošetam, pijem vodu, da li je dobro da učim pred spavanje
ili da se preslišavam...)
5. Gde to mogu da uradim? ( Lokacija adekvatnog prostora za obavljanje zadataka, mesta gde se to
može najbolje uraditi: radni sto, krevet, pod, stolica, lopta za pilates, za računarom, kod brata u
sobi... gde je najbolja atmosfera, osvetljenje za učenje)
6. Sa kim to mogu da uradim? ( Identifikovanje „ljudskih resursa“ : porodica, šira familija, drugari
iz škole, drugari iz komšiluka, sa treninga, savetnici za određenu oblast, treneri, nastavnici )
7. Šta imam od onoga što mi je potrebno za realizaciju? ( Identifikacija resursa: ličnih veština,
znanja i osobina koje su dobre za ostvarivanje cilja, oprema,r adni prostor, vreme, popiši sve)
8. Šta nemam, a potrebno mi je? ( Identifikacija ličnih nedostataka koje je potrebno ispraviti, drugih
resursa koje je potrebno proširiti i stvoriti – prostor, vreme, literatura, pomoćnici)

70. 9. Identifikacija prepreka koje mogu da me čekaju na putu: ( i definisanje načina na koje bi se mogle
prevazići. Šta bi sve i ko mogao da vam „postavlja klipove pod točkove“, da vas sabotira, da li
biste to činili sami sebi, da li biste gledali televiziju umesto da učite, da li biste „visili“ na
Fejsbuku, da li biste spavali duže, samo da ne biste učili, da li bi vas drugari zivkali da samo da
ne učite, jer oni ne žele da uče )
10. Kako da sebe ne opstruiram u tome? ( Identifikacija svih igrača neupeha u vama samima i
odstranjivanje svih negativnih ograničavajućih uverenja o sebi i ljudima, disciplina, istrajnost,
budna pažnja )
Korak po korak, ovako se polako pravi operacioni plan!
Ako još dodamo ono staro: “Ako ne uradim ja, ko će, i ako ne uradim odmah, kada
ću?!” ostaje nam malo izgovora da ne prionemo na postavljanje ciljeva u učenju.
#nastaviće se...

71. M A T E M A T I Č K A D A R O V I T O S T – K A K O S E S A N J O M , , N O S I T I ” ?
P l a n a P e j o v i ć
M o j k o v a c , C r n a G o r a
„Posao učitelja, pedagoga ili psihoterapeuta ne razlikuje se u svojoj biti od posla
umjetnika, kompozitora. Dobar kompozitor je u stanju pronaći melodiju u gomili
nepovezanih zvukova. On može pronaći smisao u naizgled besmislenom nizu tonova.
Tako i dobar učitelj ili psihoterapeut može pronaći smisao i ljepotu u nečijoj osobnosti
čak iako je nitko drugi ne vidi..“ V.Nemet
Kriterijumi identifikacije nadarene djece kao i oblici i načini rada s nadarenim učenicima
su izazovi ali i problemi sa kojima se srijeću kako učitelji tako i predmetni nastavnici. Na
pitanje kako prepoznati nadarenog učenika i kako s njim raditi postoji više odgovora i
više shvatanja. Potpunih odgovora na pitanja o nadarenosti nema, jer je osnovna
karakteristika nadarenih jedinstvenost i nepredvidivost. Darovitost kao visoka opšta
intelektualna sposobnost ( Terman ), darovitost kao produktivno – kreativna sposobnost
(Tannenbauum), darovitost kao opšta sposobnost divergentnog mišljenja (Wallach),
darovitost kao sposobnost kvalitetne upotrebe misaonih procesa (Sternberg), darovitost
kao visoka područno specifična sposobnost (Feldman,Gardner) su samo neke od
definicija darovitosti. (Dejić, Mihajlović 2014)
U složenom procesu razvoja darovitih pored mnogih faktora dominantne su uloge
porodice i škole. Nekada se vjerovalo da će daroviti učenici uspjeti bez obzira na uslove
i podsticaje. Danas znamo da će neki daroviti učenici uspjeti bez obzira na podršku, ali
drugi jednako daroviti neće. Realizacija potencijala darovitosti zavisi od osobina
učenika, ali i od podrške okoline, prije svega škole i roditelja.
Upravo kroz ovu prizmu treba posmatrati ogromnu ulogu u otkrivanju nadarenih učenika
koju ima nastavnik.
Razvoju djeteta kome prirodni potencijal omogućava dostizanje iznadprosječnih
sposobnosti neophodna je organizovana podrška unutar škole. Sistemski rad sa
darovitim učenicima je veoma značajan za njihov razvoj jer se kroz sistematsko
djelovanje mogu najbolje ispoljiti svi potencijali darovitosti. Školska sredina, odnosno
nastava, svojom ukupnom organizacijom i atmosferom koja je obilježava mora
predstavljati, ne samo prihvatljivo, nego i primamljivo mjesto, mjesto koje inspiriše i

72. izaziva radoznalost, mjesto koje podstiče na rad i maksimalno angažovanje svakog
pojedinca (Roeders 2003; prema Bodrić, 2009).
Proces identifikacije matematičke darovitosti je posebno kompleksan jer kako u
nastavnoj praksi tako i u svakodnevnom životu dolazi do stavljanja akcenta na visoke
sposobnosti u ponavljanju naučenih matematičkih sadržaja i procedura rješavanja
matematičkih zadataka kao i ,,vještini računanja“ pa negdje ,,prava“ matematička
darovitost može ostati i neprimijećena. Matematički daroviti ne moraju biti uspješni i u
ostalim nastavnim predmetima i to je još jedan od razloga zato ih nije lako prepoznati.
Matematički nadaren učenik, neće matematiku samo „učiti“, već će nadaren učenik težiti
da ,,otkriva“.
Matematički programi u školama donekle predstavljaju ograničavajući faktor za
identifikaciju prepoznavanje darovitih upravo zato što su dominantno posvećeni
razvoju ,,vještina računanja“ a manje nude mogućnost rada karakterističnog i potrebnog
istinski darovitim učenicima. Takođe se može desiti da daroviti učenici redovni program
vide kao dosadan i ukoliko nemaju kvalitetan podsticaj u radu gube interesovanje i volju
za bavljenje matematikom jer im ne daje prostor za iskazivanje potencijala koji imaju.
Upravo tu se ogleda nemjerljiv značaj i uloga učitelja koji realizuje početnu nastavu
matematike. Oni tokom svog rada mogu bolje nego iko upoznati svakog učenika,
njegova interesovanja, mogućnosti, sklonosti pa tako i darovitost. Takođe, ima veću
mogućnost unutarpredmetne i međupredmetne korelacije među nastavnim sadržajima
kao i integracije sadržaja kroz izradu projektnih radova i drugih oblika rada prilagođenih
uzrasnim mogućnostima učenika.
Osim što je realizator nastavnog procesa, učitelj da bi na pravi način odgovorio svojoj
ulozi svakako mora biti neko ko će ,,olakšavati proces“ na način što će stvarati pogodnu
atmosferu za razvoj, poznavati principe razvoja darovitosti kao i razvoj unutrašnje
motivacije učenika. Učitelj je neko ko poslije roditelja prvi ,,preuzima“ dio aktivnosti u
smislu ,,svjesnog razvijanja“ darovitosti djeteta. Učitelj kod svojih učenika razvija ljubav i
trajna interesovanja za matematiku tako što ne vodi računa samo i isključivo o
kognitivnoj aktivnosti već vodi računa i o oblikovanju interesa i želja učenika, podstiče,
razgovara, iskreno se raduje uspjehu, savjetuje, pomaže da ostvare svoj pun potencijal.
Zato je posebno važna uloga učitelja kao mentora darovitom učeniku u savladavanju
složenijih vještina i viših oblika znanja.

73. #hvala na čitanju