This document provides information about measuring errors of analog and digital instruments. For analog instruments, accuracy is typically expressed as a percentage of the full scale reading. The error can be ±3% of the measured value if it is in the last third of the scale, but increases if further from the full scale value. Digital multimeters have resolution defined by the number of display digits, such as ±0.05% for 31⁄2 digits. They may also have automatic or manual range selection to ensure accurate readings in the optimal scale region.

1. 1
Gimnazija i srednja stručna škola „Branko Radičevid“ Kovin
gradivo za 2. test
Priredio
Siniša D. Dulafid

2. 2
OET vežbe gradivo za 2.test
Greške merenja analognih i digitalnih instrumenata
Analogni instrumenti
Kod analognih instrumenata se tačnost najčešde izražava kao procenat od pune skale prilikom
čitanja vrednosti merenja (relativna greška). Kada je merena vrednost kod analognog
instrumenta blizu cele skale (ili se bar nalazi u drugoj tredini skale), onda merna nesigurnost
koja se računa ima smisla. Što je očitavanje merene vrednosti "dalje" od pune skale, onda je
vede odstupanje od tačne vrednosti. Primer skale analognog voltmetra prikazan je na slici 1.
Slika 1. Skala analognog instrumenta
Ako je, na primer, dat analogni voltmetar koji ima tačnost ±3% u opsegu [0 100] V, tada se na
osnovu ovog podatka, zaključuje da je greška koja se može dobiti merenjem vrednosti u ovom
opsegu jednaka ±3 V. U tom slučaju, za tačnu vrednost koja se meri od 90 V, instrument može
da pokaže neku vrednost u opsegu od 87 V do 93 V, pa je odstupanje od tačne vrednosti tj.
greška jednaka ±3.3%.
Međutim, ako se na ovoj skali meri napon čija je tačna vrednost 10 V, onda instrument može da
pokaže neku vrednost u opsegu od 7 V do 13 V, pa je greška ±30%. Iz ovog razloga je poželjno
da se merenje analognim instrumentima izvrši kada se merena veličina nalazi u poslednjoj
tredini opsega. Odnosno, potrebno je odabrati odgovarajudi opseg kako bi merenje bilo što
tačnije.

3. 3
Uputstvo za očitavanje vrednosti merene veličine sa skale analognog mernog
instrumenta
Slika 2. Skala instrumenta uz primere 1 i 2
Prilikom očitanja analognih mernih instrumenata treba voditi računa da se ne vrši očitanje pod
uglom, ved da pogled treba biti uvek okomit na kazaljku instrumenta. Na slici je prikazan primer
očitavanja vrednosti merene veličine sa skale analognog mernog instrumenta. Postupak
očitavanja vrednosti merene veličine sa skale analognog instrumenta je veoma jednostavan, u
slučaju kada podešeni merni opseg instrumenta odgovara skali sa koje se vrši očitavanje (merni
opseg je jednak krajnjoj brojnoj vrednosti skale). Tada se direktno očitava vriednost, na kojoj se
nalazi kazaljka. Nešto komplikovaniji slučaj nastupa, kada izabrani merni opseg ne odgovara
skali sa koje se vrši očitavanje i tada je potrebno raditi dodatni proračun.
Vrednost merene veličine Vmv se u oba slučaja računa na osnovu izraza:
α – otklon kazaljke (broj podeoka na mernoj skali)
C – konstanta instrumenta
Konstanta instrumenta (vrednost jednog podeoka) definiše se na slededi način:
gde su:
O – merni opseg (izabrani ili podešeni merni opseg, neki instrumenti imaju više mernih opsega)

4. 4
N – ukupan broj podeljaka na mernoj skali
Pri očitavanju mernih rezultata sa slike posmatrajmo prvo gornju skalu (0 do 10). Postoji deset
dužih podeoka, koji su označeni brojevima od 0 do 10. Između svaka dva duža podeoka nalazi se
po četiri krada podioka, koji nisu označeni brojevima. Ukupan broj podioka na gornjoj skali
iznosi 50 ( N = 50).
Primer 1:
Za merni opseg 1 (MO1)
O=10 V, N=50
broj podeljaka koji odgovara otklonu kazaljke je α=10
Vrednost merene veličine iznosi:
Ukoliko je merni opseg 3 V (MO2)
O=3V, N=50, pa je konstanta instrumenta:
α=10 pa imamo:
Za očitavanje sa donje skale bilo bi:
O=3V, N=30 pa je konstanta instrumenta:
α=6, pa se dobija:

5. 5
Primer 2:
Za drugi otklon kazaljke ponoviti primer 1.
Rezultat: (5 V,1.5 V)
Poznavanje postupka očitavanja merene vrednosti sa skale analognog mernog instrumenta pri
različito podešenim mernim opsezima veoma je važno, jer neki analogni instrumenti imaju
samo jednu mernu skalu i više mernih opsega!
Apsolutna greška analognih mernih instrumenata
Apsolutna greška analognih mernih instrumenata računa se prema formuli:
gde je Δk greška usled izrade instrumentaodređena klasom tačnosti instrumenta i
Δo greška usled očitavanja.
Konstanta instrumena definiše se kao:
gde je C konstanta instrumenta (vrednost najmanjeg intervala na skali), O je opseg mernog
instrumenta, a N broj podeljaka.
Očitavanje instrumenta se vrši prema slededoj formuli:
α je očitan broj podeljaka na skali instrumenta. Za električne merne instrumente proizvoač
deklariše tačnost usled izrade kroz klasu tačnosti – to je najveda dozvoljena greška u procentima
(relativna greška) gornje granice mernog opsega.
U nekim knjigama se može nadi da je klasa tačnosti instrumenta relativna greška u procentima u
odnosu ma merenu vrednost. Mi demo koristiti slededi izraz:
odakle je

6. 6
ili
Imax – njveda vrednost skale, IM – merena vrednost (druga definicija klase tačnosti)
Za grešku očitavanja usvajamo polovinu najmanjeg podeljka na skali:
Primer 3:
O=50 mA = 0.05 A, N=50, α=36.5, K=2.5
( )
Napomena:
U literaturi se može nadi i slededi način odrešivanja greške analognih instrumenata – za grešku
se usvaja veda od dve greške – greške usled očitavanja i greške usled izrade. Ukoliko se ne kaže
drugačije mi demo postupati kao u gornjem primeru.
Napomena 2:
Za majoriranje greške važe ista pravila koja smo ranije usvojili!
Simboli analognih električnih mernih instrumenata
Merenje električnih veličina predstavlja složen i veoma stručan posao, a instrumenti koji služe
ovom cilju su mnogobrojni i raznovrsni. Karakteristične osobine mernih instrumenata su:
1) električna veličina koja se meri,

7. 7
2) vrsta struje ili napona,
3) klasa tačnosti,
4) princip delovanja.
U tabeli 1 su prikazane neke karakteristične oznake na analognim električnim mernim
instrumentima.
Table 1. Simboli i karakteristične oznake na električnim mernim instrumentima

8. 8

9. 9
Digitalni instrumenti
Korisnički interfejs jednog digitalnog multimetra tj. unimetra (DMM) je prikazan na slici. Ovo je
najčešde korišdeni instrument u laboratorijama za električna merenja. DMM je instrument koji u
sebi sadrži više instrumenata kao što su ommetar, voltmetar, ampermetar i drugi i u najvedem
broju slučajeva prikazuje rezultat merenja na sedmosegmentnom displeju.
Neke opcije koje poseduje DMM su prikazane na slici. DMM može sadržati i neke druge opcije,
kao što su merenje frekvencije AC signala. Takođe, merni opsezi se mogu razlikovati u zavisnosti
koji je instrument odabran. Uobičajene opcije DMM-a su prikazan na slici su:
1. u ovom položaju instrument je isključen (U svim ostalim položajima instrument je uključen i
uobičajeno postoji LED indikator koji signalizira da li je instrument uključen ili isključen. U nekim
slučajevima ovaj indikator označava i stanje baterije.),
2. opcija za voltmetar sa automatskim podešavanjem opsega, LoZ označava manju ulaznu
impedansu,
3. voltmetar za merenje AC napona sa LoZ,
4. voltmetar za merenje AC napona sa filtrom propusnikom niskih frekvencija,
5. opcija za simultano testiranje napona i kratkog spoja,
6. merenje relativno vedih AC napona (reda V),
7. merenje relativno manjih AC napona (reda mV),
8. merenje relativno vedih DC napona (reda V),
9. merenje relativno manjih DC napona (reda mV),
10. merenje temperature,
11. provera kratkog spoja (koristi se u kombinaciji sa sound button - zvučni signal koji odgovara
kratkom spoju),
12. ommetar (merenje otpornosti),
13. merenje kapacitivnosti,
14. diodni test,
15. merenje AC i DC amplituda struje reda A i mA i
16. merenje AC i DC amplituda struje reda µA.

10. 10
Slika 3. Korisnički interfejs digitalnog multimetra sa označenim opcijama
Greške digitalnih instrumenata
Prilikom određivanja merne nesigurnosti tipa B digitalnih instrumenata treba posebno obratiti
pažnju na sam digitalni displej. Najčeše se navodi da displej ima 3½ cifara (eng. digits).
Celobrojni deo ovog displeja (3) znači da displej na tom broju mesta / cifara može imati bilo
koju vrednost iz opsega [0 9].
Slika 4. Dispelj 3½ DMM-a kakav mi koristimo u laboratoriji
Polovina cifre (½) označava da na tom digitalnom displeju postoji i još jedna najznačajnija cifra
koja može imati ili vrednost 0 ili vrednost 1. S toga, ovaj displej je četvorosegmentni. Na primer,
takav instrument može prikazivati vrednosti u opsegu *0 1999]. Nekad se umesto oznake od 3½
cifara koristi i oznaka 2000-count što znači da taj displej može prikazati ukupno 2000 različitih
vrednosti merene veličine.

11. 11
Ako na primer digitalni instrument ima oznaku 4½ cifara ili 20000-count, to znači da može da
prikaže vrednosti koje se nalaze u opsegu *0 19999+. Rezolucija se takođe može prikazati i kroz
tri četvrtine jedne cifre. To znači da prva i najznačajnija cifra može imati vrednosti 0, 1, 2 ili 3
(ovo je uobičajeno u savremenim digitalnim instrumentima). Tako za instrument sa 4¾ cifara
(40000-count) znači da se mogu prikazati vrednosti na displeju u opsegu *0 39999+, odnosno
može da prikaže 40000 različitih vrednosti.
Treba napomenuti da kod vedine digitalnih instrumenata kada najznačajnija cifra preuzima
vrednost 0, onda se može desiti da se 0 i ne prikaže na displeju (to zavisi od instrumenta koji se
koristi). Dodatno, digitalni instrumenti imaju mogudnost automatske detekcije polariteta,
odnosno kod njih se prikazuju negativne vrednosti analogno pozitivnim: za instrument sa 3½
cifara prikaz može obuhvatiti vrednosti u negativnom *-1999 0] i pozitivnom opsegu [0 1999].
Rezolucija (najmanja promena merene veličine koju instrument prikazuje) instrumenta sa 3½
cifara se izražava kao % što je 0.05%.
Vedina savremenih digitalnih instrumenata ima mogudnost automatskog odabira opsega na
kome semeri. Međutim, neke starije verzije digitalnih instrumenata imaju manuelnu opciju za
odabir opsega. Kod njih se optimalan opseg za očitavanje vrednosti merene veličine određuje
kao kod analognih instrumenata. Za digitalni multimetar (DMM) sa 3½ cifara koji može da meri
napon za sledede opsege napona 200 mV, 2 V, 20 V, 200 V i 1000 V, potrebno je opseg
instrumenta postaviti na najvedu vrednost opsega (u ovom slučaju 1000 V) i postepeno
smanjivati opseg dok se ne zadovolji uslov da se merena vrednost očitava kada se nalazi u
poslednjoj tredini opsega.
Ako je, na primer, u uputstvu za DMM dat slededi podatak: "Complete accuracy specifications:
±(% of reading + number of LSD)", to znači da je generalna tačnost određena brojem (koji je
izražen u procentima) u odnosu na izmerenu tj. "pročitanu" (eng. read) vrednost koji se sabira
najmanjom značajnom cifrom (LSD od eng. least significant digit). LSD definiše nesigurnost koja
može nastati usled različitih razloga kao što su offest, šum i greške zaokruživanja. Broj LSD može
da varira u zavisnosti od opsega, pa je veoma važno da se posmatra u odnosu na opseg u kome
je merenje izvršeno.
Ako je opseg DMM-a za merenje napona 30 kV i ako se rezultat prikazuje na
četvorosegmentnom displeju sa 3½ cifara, onda nije mogude koristiti prvu najznačajniju cifru
(jer ta cifra može da preuzme samo vrednosti 0 ili 1). U tom slučaju postoji ograničenje na
trosegmentni displej, pa je prikaz oblika 30.0 kV. Ako bi se za prikaz ovog napona koristio displej
sa 4½ cifara, onda bi vrednost bila prikazana kao 30.00 kV. Za instrument sa displejem sa 3½
cifara i opsegom od 10 kV, prikaz de biti četvorosegmenti i na displeju de biti prikazano 10.00
kV. Za instrument sa displejem sa 4½ cifara i opsegom od 10 kV, prikaz de biti četvorosegmenti i
na displeju de biti prikazano 10.000 kV.
Poseban slučaj je prikaz opsega kao što su 2, 20, 200 i 2000 *33+. Ako se na primer za prikaz
napona u opsegu do 20 kV koristi displej sa 3½ cifara onda se umesto maksimalanog prikaza od
20.0 kV (gde se najznačanija cifra ne koristi) može podesiti da maksimalni prikaz bude 19.99 kV

12. 12
kako bi rezolucija bila veda. Mana prikaza oblika 19.99 kV je što se ne može prikazati vrednost
od 20.00 kV. Kada bi se napon od 20.00 kV doveo na instrument koji meri maksimalno 19.99 kV,
tada bi se na instrumentu pojavilo upozorenje za prekoračenje opsega (eng. overload).
Primer 4:
Digitalnim voltmetrom sa 3½ cifara meri se napon od 1.6 V. Ako DMM za merenje DC napona
imatačnost definisanu kao ±(0.5% + 3), potrebno je odrediti grešku merenja.
Slika 5. Slika uz primer 4
Za tačno očitavanje vrednosti napona sa digitalnog displeja DMM-a, potrebna je informacija o
LSD i potrebno je odabrati najmanji mogudi opseg. Na slici je prikazano merenje napona od 1.6
V za tri opsega: 200 V na levom panelu, 20 V na srednjem panelu i 2 V na desnom panelu.
Najpre se DMM postavi na najvedi opseg (200 V), kako je ranije opisano. Na displeju de se
prikazati
merena vrednost u oznaci 01.4 (slika), pa je merna nesigurnost (prema uputstvu proizvođača)
jednaka 0.008 V - ovu vrednost nije mogude prikazati na ekranu, jer je prikazana samo
prva decimala (01.4). Međutim, ako se uzme u obzir da postoji 3 LSD-a, onda se dolazi do
zaključka da poslednja cifra na displeju može da varira sa ±3 brojanja. U tom slučaju, DMM
može prikazati merenu vrednost sa slededom nesigurnošdu 1.6 ± 0.3 V (ovo je prikaz zaokružen
na jednu decimalu kako pokazuje i DMM jer je greška od 0.008 V tada zanemariva) ili u opsegu
[1.3 1.9] V. Za manji opseg (20 V) izmerena vrednost je 1.58 (slika), a merna nesigurnost
V i procenjena vrednost se nalazi u opsegu [1.1562 1.638] V. Za
najmanji opseg (2 V) izmerena je vrednost (slika) i merna nesigurnost
V, pa se procenjena vrednost merenja nalazi u opsegu [1.1589 1.611] V.
Zaključuje se da na tačnost merenja utiče u velikoj meri opseg na kom se meri zadata vrednost,
odnosno rasipanje rezultata merenja oko tačne vrednosti je manje za odabir najmanjeg
mogudeg opsega.
Primer 5: Digitalni displej - prikaz vrednosti
Predstavljanje 30 kV na displeju sa 3 ½ cifara je: 30.0 kV:

13. 13
Ne koristi se prva cifra.
Predstavljanje 10 kV na displeju sa 3 ½ cifara je: 10.00 kV.
Predstavljanje 30 kV na displeju sa 4 ½ cifara je: 30.00 kV.
Predstavljanje 10 kV na displeju sa 4 ½ cifara je: 10.000 kV.
Poseban slučaj je prikaz opsega kao što su 2, 20, 200 i 2000.
Predstavljanje 20 kV na displeju sa 3 ½ cifara može biti 20.0 kV, ali i 19.99 kV. lako povedava
rezoluciju, potreban je OPREZ, jer je sada maksimalna vrednost 19.99 kV, a ne 20 kV.
U vedini slučajeva, za dovođenje 20 kV na opseg koji meri maksimalno 19.99 kV pojavilo bi se
upozorenje za prekoračenje (eng. overload).
GRAFIČKA OBRADA REZULTATA MERENjA
Rezultate složenijih i više puta ponovljenih merenja treba prikazati u tabelama. Iz tabela
ponekad nije lako utvrditi odnose između prikazanih fizičkih veličina, pa se često koristi grafički
prikaz rezultata merenja. Njime se prvenstveno: - utvrđuju nepoznate relacije između merenih
veličina, - proveravaju teorije i - određuju brojne vrednosti nekih fizičkih veličina. Ako je
poznata zavisnost između veličina prikazanih na grafiku, sa grafika se može videti uspešnost
merenja. Lako se mogu uočiti eksperimentalne tačke koje odstupaju od grafika, pa je mogude
ponoviti merenja koja njima odgovaraju. Na grafiku se mogu uočiti minimumi, maksimumi,
prevojne tačke, i sl., iz kojih se nekada mogu odrediti tražene fizičke veličine. Grafik se često
koristi za indirektno određivanje neke fizičke veličine, ako je određena zavisnost između drugih
merenih veličina. U ove svrhe se grafik najčešde koristi u obradi rezultata školskih
eksperimenata.
Pravila za crtanje grafika
Za crtanje grafika koriste se različiti papiri. Govoridemo samo o milimetarskim papirima formata
A4 , koji se koriste u obradi rezultata merenja u osnovnim i srednjim školama. Dimenzije
ovakvih grafika mogu biti maskimalno 250 mm170 mm. Koordinatne ose treba crtati po
ivicama milimetarskog papira. Po pravilu, na apscisu se nanosi nezavisno promenljiva, a na
ordinatu zavisno promenljiva veličina. Razmera se bira tako da je ispunjen što vedi prostor
raspoloživog papira. Pri tome je često bolje da preseci koordinatnih osa ne budu u
koordinatnom početku. Međutim, treba biti veoma pažljiv, jer to nekada može dovesti do grube
greške. Na primer, ako je sa grafika linearne zavisnosti potrebno odrediti presek sa ordinatom,
apscisa mora da počinje od nule. Papir treba okrenuti tako da grafik što više ispunjava
raspoloživi papir, odnosno, potrebno je pravilno odabrati koju veličinu treba naneti na dužu, a
koju na kradu osu. Da bi nanošenje i očitavanje vrednosti sa grafika bilo lako, 1 mm na
milimetarskom papiru može da odgovara ... 0.05 ; 0.1 ; 0.2 ; 0.4; 0.5 ; 1 ; 2 ; 4; 5; 10 itd. jedinica
veličine koja se prikazuje. Drugim rečima, jedinica veličine koja se prikazuje (ili njen umnožak sa

14. 14
10n
, gde je n ceo broj) može da bude prikazana sa 1, 2, 2.5, 5, 10, 20, 25, 50, 100 itd.
milimetara na milimetarskom papiru. Razmeru 1:4 treba izbegavati. Sve ostale razmere nisu
dopuštene. Na primer, jedinica fizičke veličine ne sme biti prikazana na milimetarskom papiru
sa 3 mm ili 3 cm (najčešda greška), 6 mm, 7 cm, 12 mm 15 cm i sl. Na ose se nanose samo
ekvidistantne oznake brojnih vrednosti fizičkih veličina. Na ose ne treba pisati brojne vrednosti
koje odgovaraju eksperimentalnim tačkama, kao što ne treba povlačiti bilo kakve linije od osa
do nanetih tačaka. Eksperimentalne tačke mogu biti označene kružidima, krstidima,
kvadratidima i sl. Ako je na isti papir naneto više nizova podataka, svaki niz se označava
posebnim oznakama. Ove tačke na graficima, u opštem slučaju, moraju biti unete sa
odgovarajudim apsolutnim greškama prikazanih veličina. Ne unose se apsolutne greške samo
ako su manje od vrednosti najmanjeg odgovarajudeg podeoka grafika.
Linearizacija grafika
Najlakše je analizirati zavisnost između fizičkih veličina, ili njihovih algebarskih kombinacija, ako
između njih postoji linearna veza. Veliki broj školskih eksperimenata može biti obrađen
analizom linearnih zavisnosti, pa de njima biti posvedena posebna pažnja. Linearna funkcija ima
oblik: y  axb , gde su a i b konstante, parametri funkcije. Grafik linearne funkcije je prava linija
koja ima nagib a i odsečak na y-osi b. Odsečak grafika na x-osi (apsolutna vrednost koordinate
presečne tačke sa x-osom) iznosi  b/a . Grafik se kroz eksperimentalne tačke povlači tako da,
po oceni eksperimentatora, tačke u celini minimalno odstupaju od njega. Merenja koja
odgovaraju eksperimentalnim tačkama, koje u okviru svojih grešaka ne dodiruju grafik, treba
ponoviti. Ovakva odstupanja su često posledica grubih grešaka (previda) u merenju, ili loše
procene greške navedene tačke. Tražene fizičke veličine se najčešde određuju iz jednog od
parametara posmatrane linearne zavisnosti: koeficijenta pravca, odsečka na x ili y-osi.
Koeficijent pravca linerane zavisnosti a određuje se sa grafika iz koordinata dveju njegovih
tačaka. Prva tačka A(x A, y A) uzima se između prve i druge eksperimentalne tačke, a druga B (x
B,yB) između pretposlednje i poslednje eksperimentalne tačke. Ovaj koeficijent iznosi:
a njegova relativna greška:
gde su xA,xB,yA i yB apsolutne greške određivanja koordinata xA, xB, yA i yB sa grafika.
Svaka od ovih grešaka je jednaka vedoj od odgovarajudih apsolutnih grešaka susednih tačaka. Ni
jedna od ovih grešaka ne može biti manja od tačnosti očitavanja koordinata sa grafika, odnosno
od vrednosti najmanjeg podeoka (milimetra) na milimetarskom papiru. Na primer, ako je
apsolutna greška veličine nanete na apscisu, za obe susedne tačke mala (manja od vrednosti
najmanjeg podeoka), pa nije naneta na grafik, tada je apsolutna greška očitavanja odgovarajude
koordinate jednaka vrednosti najmanjeg podeoka na apscisi. Odsečak na y-osi b se lako očitava

15. 15
sa grafika. Za njegovu apsolutnu grešku se najčešde uzimaju najveda od apsolutnih grešaka
veličina nanetih na ordinatu, ili apsolutna greška po ordinati, eksperimentalne tačke najbliže y-
osi. Naravno, ova greška ne može biti manja od vrednosti najmanjeg podeoka na y-osi. Odsečak
na x-osi (b/a ) lako se određuje iz presečne tačke grafika sa xosom. Pogrešno ga je određivati
indirektno, tako što se odrede prvo a i b, jer je greška njegovog određivanja tada mnogo veda,
pošto u sebi sadrži greške određivanja pet koordinata. Za apsolutnu grešku određivanja ovog
odsečka najčešde se uzimaju najveda od apsolutnih grešaka veličina nanetih na apscisu, ili
apsolutna greška po apscisi, eksperimentalne tačke najbliže presečnoj tački grafika sa x-osom.
Naravno, ova greška ne može biti manja od vrednosti najmanjeg podeoka na x- osi.
PRAVILA ZA RAD SA PRIBLIŽNIM BROJEVIMA
Ako brojne vrednosti fizičkih veličina nisu date sa greškama, kao u najvedem broju računskih
zadataka, tada moraju biti prikazane sa odgovarajudim brojem cifara. Brojna vrednost ne treba
da sadrži ni premalo ni previše cifara. Jednako je loš nedovoljan i suvišan broj cifara. Postoje dve
vrste teorijskih zadataka. Kod najvedeg broja se ne naglašava se broj značajnih cifara poznatih
veličina, pa nije mogude proceniti ni broj značajnih cifara traženih veličina. Ipak, rezultate treba
pisati sa 3-4 značajne cifre. Vedi broj cifara bi pretpostavio relativnu grešku rezultata manju od
0.01%, što je besmisleno za zadatke u kojima greške poznatih veličina nisu poznate. Dve
značajne cifre u rezultatu bi mogle da daju grešku vedu od 1%, što može da bude nedovoljno
tačno. U zahtevnijim teorijskim zadacima, kao što su zadaci na međunarodnim takmičenjima,
rezultati nekada moraju da budu izraženi sa odgovarajudim brojem značajnih cifara, što se
naglašava u postavci zadatka. Pri tome se podrazumeva da su brojne vrednosti poznatih fizičkih
veličina date takođe samo sa značajnim ciframa. U ovakvom slučaju, kao i u slučaju zadataka u
kojima se razmatraju apsolutne greške, rezultati moraju biti izraženi samo sa svim značajnim
ciframa.
Pravila za procenu broja značajnih cifara kod teorijskih zadataka
Kod međurezultata izračunavanja treba uvek zadržati jednu cifru više nego što zahtevaju
navedena pravila, da bi se izbeglo uvedavanje greške zbog višestrukog zaokruživanja.
Sabiranje i oduzimanje
U zbiru i razlici treba zadržati samo cifre do reda veličine koji imaju cifre svih sabiraka.
Primeri:
12.432  2.3467 3.23  12.123  30.1317  30.13
135  12.8  55.15  76.2  195.545  26.695  27
U prvom primeru najmanji red veličine cifara, koji se pojavljuje u svim sabircima je red veličine
stotih delova (ima ga sabirak 3.23) pa se i rezultat zaokružuje na stote delove. U drugom

16. 16
primeru najmanji red veličine cifara, koji se pojavljuje u svim sabircima je red veličine jedinica
(ima ga sabirak 135) pa se i rezultat zaokružuje na jedinice.
Množenje i deljenje
U proizvodu i količniku činioce treba zaokružiti tako da sadrže isti broj značajnih cifara kao činioc
sa najmanjim brojem takvih cifara. Rezultat se piše sa istim brojem cifara.
Primeri:
U ovom primeru najmanje značajnih cifara (3) sadrži činioc 12.4, pa sve ostale činioce treba
zaokružiti na tri značajne cifre, kao i konačan rezultat. Ako se gornje izračunavanje vrši preko
međurezultata (broioca i imenioca), račun treba da teče ovako:
Matematičke funkcije
Pri stepenovanju, korenovanju, logaritmovanju, izračunavanju trigonometrijskih i drugih
standardnih funkcija u rezultatu treba zadržati isti broj značajnih cifara koliko sadrži argument
funkcije.
Primeri:
Poslednje zaokruživanje je potrebno zbog toga što je u međurezultatima zadržavana jedna cifra
više.
Primer 1. eksperimentalne vežbe Omov zakon za deo strujnog kola
Postupak izvođenja vežbe:
1) Povezati šemu:

17. 17
2) Za različite vrednosti očitati vrednosti struje i napona, pri čemu je R=const.
3) Nacrtati grafik zavisnosti napona od struje.
4) Grafičkim metodom odrediti otpornost R.
Napomena:
Na časovima vežbi ovaj grafik se crta na milimetarskom papiru poštujudi pravila za crtanje
grafika!
Cilj: Naučiti pravila za crtanje grafika (određivanje razmere, označavanje osa, određivanje
parametara linearne funkcije i procena grešaka, odrđivanje nepoznatih veličina i procena
njihovih grešaka, metode za crtanje prave linije, određivanje veličina sa grafika i procena
njihovih grešaka)

18. 18
Primer 2. eksperimentalne vežbe – Omov zakon za celo strujno kolo
Postupak izvođenja vežbe:
1) Povezati šemu:
2) Za različite vrednosti 𝑹 očitati vrednosti struje, pri čemu je vrednost elektromotorne sile
izvora konstantna.
3) Nacrtati grafik zavisnosti recipročne vrednosti struje od otpornosti.
4) Grafičkim metodom odrediti elektromotornu silu izvora i unutrašnju otpornost izvora.
Cilj: Odrediti E i ΔE, kao i R0 i ΔR0
Upotreba Ecxel-a za određivanje koeficijenata a i b kao i njihovih grešaka.
Upotreba Excela-a za crtanje grafika
Upotreba programa graph

19. 19
Primer kompletne vežbe
OMOV ZAKON ZA JEDNOSMERNU STRUJU
1. NACRTATI ELEKTRIČNU ŠEMU ZA PROVERU OMOVOG ZAKONA ZA JEDNOSMERNU STRUJU.
2. ISPITIVANJE ZAVISNOSTI: (𝑹).
Izmeriti jačinu struje za nekoliko vrednosti otpora 𝑹 za jedan akumulator.
Tabela 1.
Redni broj
merenja
⁄ ⁄
1. 30 0,0288
2. 50 0,0236
3. 70 0,0201
4. 90 0,0173
5. 110 0,0152
6. 130 0,0137
3. UCRTATI EKSPERIMENTALNE TAČKE GRAFIKA (𝑹)

20. 20
4. IZRAČUNATI KOEFICIJENTE PRAVE i METODOM NAJMANJIH KVADRATA.
Pošto je relativna greška , apsolutna greška iznosi: .
, 𝑹
5. NACRTATI NA GRAFIK PRAVU 𝑹.
Pravu nacrtati kroz dve proizvoljne tačke ( ) i ( ).
6. IZRAČUNATI GREŠKE.
𝑹
7. ZADATKE OD 1. DO 6. PONOVITI ZA DVA REDNO VEZANA AKUMULATORA.
Tabela 2.
Redni broj
merenja
⁄ ⁄
1. 30 0,0601
2. 50 0,0487
3. 70 0,0411
4. 90 0,0355
5. 110 0,0315
6. 130 0,0279