SlideShare a Scribd company logo
1 of 70
Download to read offline
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến
Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint
0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng
0.4 – Đạo hàm theo hướng
0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo x.
Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.0 0 0( , )M x y
Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x.
Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x
của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , )M x y
0 0 0 0
0 0
0
'( , ) ( ) ( )
( , ) lim
x
x
f x y F x x F x
f x y
x x 
   
 
 
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
f x y f x y
x 
 


I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo y.
Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.0 0 0( , )M x y
Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y.
Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 được gọi là đạo hàm riêng theo y
của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , )M x y
0 0 0 0
0 0
0
'( , ) ( ) ( )
( , ) lim
y
y
f x y F y y F y
f x y
y y 
   
 
 
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
y
f x y y f x y
y 
  


I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ.
Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo x là đạo hàm của hàm
một biến f = f(x,y0).
0 0 0( , )M x y
Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo y là đạo hàm của hàm
một biến f = f(x0,y).
0 0 0( , )M x y
Qui tắc tìm đạo hàm riêng.
Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến
còn lại y là hằng số.
f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh)
Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S.
Cố định y = b. Đường cong C1 là
giao của S và mặt phẳng y = b.
Phương trình của đường cong C1
là g(x) = f(x, b).
Hệ số góc của tiếp tuyến T1 với
đường cong C1 là
' '
( ) ( , )xg a f a b
Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường
cong C1 tại P(a,b,c).
Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2
với đường cong C2 tại P(a,b,c).
Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của
đạo hàm riêng này.
2 2
( , ) 4 2f x y x y   '
(1,1)xf
'2' 2
( , ) (4 ) 22x xf x y x y x   
'
(1,1) 2.1 2xf    
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được
đường cong C1.
Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là
đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với C1
tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
Biễu diễn hình học của
' 2 2
(1,1) ( , ) 4 2vôùixf f x y x y  
Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của
đạo hàm riêng này.
2 2
( , ) 4 2f x y x y  
'
(1,1)yf
'2' 2
( , ) (4 2 ) 4y yxf x y y y   
'
(1,1) 4.1 4yf    
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được
đường cong C2.
Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là
đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với C2
tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
Biễu diễn hình học của
' 2 2
(1,1) ( , ) 4 2vôùiyf f x y x y  
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của đạo hàm riêng
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm
riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.
' '
1) ( )x xf f  ' ' '
2) ( )x x xf g f g  
' ' '
2
4) x x
x
gf fgf
g g
 
 
 
 ' ' '
3) x xx
f g f g f g    
Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0.
Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng
không liên tục tại điểm này. Giải thích!
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm đạo hàm riêng , biết' '
(1,2), (1,2)x yf f
2 2
( , ) ln( 2 )f x y x y 
Giải.
 
'' 2 2
( , ) ln( 2 )x x
f x y x y 
'
2 2
2
( , )
2
x
x
f x y
x y


' 2
(1,2)
9
xf 
 
'' 2 2
( , ) ln( 2 )y y
f x y x y 
'
2 2
4
( , )
2
y
y
f x y
x y


' 8
(1,2)
9
yf 
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm đạo hàm riêng , biết' '
(1,2), (1,2)x yf f ( , ) ( 2 )y
f x y x y 
Giải.  
''
( , ) ( 2 )y
x x
f x y x y 
' 1
( , ) ( 2 )y
xf x y y x y 
  '
(1,2) 10xf 
ln ln( 2 )f y x y 
'
2
ln( 2 )
2
yf
x y y
f x y
   

' 2
( , ) ( 2 ) ln( 2 )
2
y
yf x y x y x y y
x y
 
       
Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có
' 4
( , ) 25(ln5 )
5
yf x y  
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.  
'
' 2 3
2 3
1) ( , )x
x
x
f x y x y
x y
  

Ví dụ
Cho .2 3
( , )f x y x y 
1) Tìm
'
(1,1)xf 2) Tìm
'
(0,0)xf 3) Tìm
'
(0,0)yf
' 1
(1,1)
2
xf 
2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm . Ta sử dụng định nghĩa'
(0,0)xf
'
0
(0 ,0) (0,0)
(0,0) limx
x
f x f
f
x 
  


2
0
( ) 0 0
lim
x
x
x 
  

 0
| |
lim
x
x
x 



Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau.
Tương tự '
0
(0,0 ) (0,0)
(0,0) limy
y
f y f
f
y 
  


3
0
( ) 0
lim
y
y
y 
 


0
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
2 2
2
'
'
1
( , )
tx y
x
x
f x y e dt
 
  
 
 
Ví dụ
Cho
2 2
2
1
( , )
tx y
f x y e dt

 
Tìm ' '
( , ), ( , ).x yf x y f x y
 
 
2
2 2 '
2 2
x y
x
e x y

  
2 2
2 2
x y x
e
x y

 

Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta
được đạo hàm riêng theo y.
2 2
'
2 2
( , ) x y
y
y
f x y e
x y

  

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Cho
2 2
1/( ) 2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
neáu
neáu
x y
e x y
f x y
x y
   
 
 
Tìm
'
(0,0).xf
'
0
(0 ,0) (0,0)
(0,0) limx
x
f x f
f
x 
  


2
1/( )
0
lim
x
x
e
x
 
 


1
t
x


Đặt , suy ra .t  
2
'
(0,0) lim t
x
t
f te

  0 (sử dụng qui tắc Lopital)
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm hai biến f = f(x,y).
Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:
Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'
( , )xf x y
 
2'' ''
2
( , ) ( , ) ( , )x xxx
f
f x y f x y x y
x

 

 
2'' ''
( , ) ( , ) ( , )x xyy
f
f x y f x y x y
x y

 
 
 
2'' ''
( , ) ( , ) ( , )y yxx
f
f x y f x y x y
y x

 
 
 
2'' ''
2
( , ) ( , ) ( , )y yyy
f
f x y f x y x y
y

 

Tương tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'
( , )yf x y
Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm
riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng
công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm.
Chú ý.
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f f
x y x
x
y
y y x
 

   
Nói chung , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp
Định lý
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f f
x y x
x
y
y y x
 

   
Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng xác định trong lân
cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó
' ' '' ''
, , ,x y xy yxf f f f
0 0( , )x y
Chứng minh:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. '
( , ) sinx
xf x y e y
2 2
2 2
sin sin 0x xf f
e y e y
x y
 
    
 
Ví dụ
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình Laplace( , ) sinx
f x y e y
2 2
2 2
0
f f
x y
 
 
 
''
sinx
xxf e y
'
( , ) cosx
yf x y e y
''
sinx
yyf e y 
Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat
conduction, electric potential,….
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. '
( , ) cos( )tu x t a x at  
2 2
2 2
2 2
sin( )
u u
a a x at
t x
 
    
 
Ví dụ
Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình sóng( , ) sin( )u x t x at 
2 2
2
2 2
u u
a
t x
 

 
'' 2
sin( )ttu a x at  
'
( , ) cos( )xu x t x at 
''
sin( )xxu x at  
Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển,
sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
2 2
' /(4 )
2
1 2
( , )
4 )2
x a t
x
x
u x t e
a ta t
  
  
 
2
2
2
u u
a
t x
 
 
 
Ví dụ
Chứng tỏ rằng thỏa phương trình truyền nhiệt
2 2
/(4 )1
( , )
2
x a t
u t x e
a t


2
2
2
u u
a
t x
 

 
2 2
2 2
'' /(4 )
5 2
2
( , )
8
x a t
xx
x a t
u x t e
a t t

 
2 2
'
/(4 )1
2
x a t
t
u
e
t a t
  
  
  
2 2
2 2
/(4 )
3 2
2
8
x a tx a t
e
a t t


I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Cho
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
neáu
neáu
xy
x y
x yf x y
x y
    
  
Tìm
''
(0,0).xxf
'
0
(0 ,0) (0,0)
(0,0) limx
x
f x f
f
x 
  

 0
0 0
lim 0
x x 

 

 
3 2
2 2
22 2'
2 2
, 0
( , ) ( , )
0, 0
neáu
neáu
x
y yx
x y
x yh x y f x y
x y
 
 
   

 
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm đạo hàm riêng cấp hai
'' '
0
(0 ,0) (0,0)
(0,0) (0,0) limxx x
x
h x h
f h
x 
  
 

''
0
0 0
(0,0) lim 0xx
x
f
x 

  

Tương tự tìm được và
''
(0,0) 0yyf  '' ''
(0,0); (0,0)xy yxf f 
Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm
riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).'
( , )xf x y
'
( , )xf x y
Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Cho hàm . Tìm( , ) (2 3 )ln( 2 )u x y x y x y  
100
100
(1,2).
f
x


Sử dụng công thức Leibnitz, coi f(x,y) là hàm một biến theo x.
Đặt . ; ( , ) 2 3 ; ( , ) ln( 2 )u f g f x y x y g x y x y    
100
0 (0) (100) 1 ' (99) 2 '' (98)
100 100 100100
( , ) ...x x x x x x
f
x y C f g C f g C f g
x

   

' ''
2; 0;x xxf f   ( )( ) 1 1
ln( 2 ) ( 1) ( 1)!
( 2 )
nn n
x x n
g x y n
x y

    

100 99 98
0 1
100 100100 100 99
( 1) 99! ( 1) 98!
( , ) (2 3 ) 2 0
( 2 ) ( 2 )
f
x y C x y C
x x y x y
    
     
  
Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
C1 và C2 là hai đường cong tạo
nên do hai mặt y = b và x =a cắt S
Điểm P nằm trên cả hai đường này.
Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến
với hai đường cong C1 và C2 tại P.
' '
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y    
Mặt phẳng chứa T1 và T2 gọi là
mặt phẳng tiếp diện với mặt S tại P.
( )
Tiếp tuyến với mọi đường cong nằm
trong S, qua P đều nằm trong .( )
Phương trình mặt tiếp diện với S tại (x0, y0, z0) là:
n
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic
2 2
2z x y 
' '
4 (1,1) 4.x xf x f  
tại điểm .(1,1,3)
' '
2 (1,1) 2.y yf y f  
Phương trình mặt phẳng tiếp diện:
' '
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y    
3 4( 1) 2( 1)z x y    
4 2 3 ( , )z x y L x y   
Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng
to lên thì mặt paraboloid gần
trùng với mặt phẳng tiếp diện.
Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2
khi mà (x,y) gần với điểm (1,1).
( , ) 4 2 3f x y x y  
(1.1,0.95) (1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3f    
Gần bằng với giá trị thực: 2 2
(1.1,0.5) 2(1.1) (0.95) 3.3225f   
Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa.
(2,3) (2,3) 4(2) 2(3) 3 11f   
Khác xa với giá trị thực: 2 2
(2,3) 2(2) (3) 17f  
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định.
Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần
có thể biễu diễn được ở dạng
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y      
0 0( , )f x y A x B y x y        
trong đó A, B là các hằng số, , 0, , 0.khi x y     
Định nghĩa
Đại lượng gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).0 0( , )df x y A x B y   
Mặt tiếp diện
' '
( , ) ( ) ( )x yz f a b f x a f y b    
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (điều kiện cần khả vi)
Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì:
1) f liên tục tại (x0, y0),
2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và ' '
0 0 0 0( , ), ( , )x yA f x y B f x y 
Chứng minh.
Định lý (điều kiện đủ)
Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và có các đạo hàm riêng
' '
,x yf f liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0).
Chứng minh.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ
Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0): ' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy 
Tính chất của vi phân
Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó
1) ( )d f df 
2) ( )d f g df dg  
3) ( )d fg gdf fdg 
2
4) ( )
f gdf fdg
d
g g


I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có:
' '
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x x y y f x y f x y dx f x y dy x y           
' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y f x y dx f x y dy x y      
' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1)x yf x y f x y f x y dx f x y dy 
Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).
Công thức (1) có thể viết lại: ' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y f x y dx f x y dy  
hay ta có: f df 
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y). Ta thực hiện
1) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng
Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp.
2) Tính giá trị
' '
0 0 0 0 0 0, , ( , ), ( , ).x yx x x y y y f x y f x y     
' '
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1)x yf x y f x y f x y x f x y y   
3) Sử dụng công thức:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Chứng tỏ f = xexy khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá
trị
Giải.
(1.1, 0.1)f 
2
( , ) ; ( , )xy xy xy
x yf x y e xye f x y x e  
Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của
(1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0).
' '
(1.1, 0.1) (1,0) (1,0) (1,0)x yf f f x f y     
Chọn 0 01; 0x y  0 1.1 1.0 0.1x x x      
0 0.1 0 0.1y y y       
1 1(0.1) 1( .1) 10    
So sánh với giá trị thực: 0.11
(1.1, 0.1) (1.1 0 9) . 8542f e
  
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho 2 2
( , ) 3f x y x xy y  
1) Tìm ( , )df x y
2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f
1)
' '
( , ) x ydf x y f dx f dy  ( , ) (2 3 ) (3 2 )df x y x y dx x y dy    
2) Cho x0 = 2, y0 = 3 0.05, 0.04, 2.05, 2.96x y x y       
(2,3) (2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3) 0.6( 0. 504)fd      
(2,3) (2.05,2.96) (2,3)f f f  
2 2 2 2
(2,3) 2.05) 3 (2.5) (2.96) (2.96) 2 3 2 3 3f                
0.6449
Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa vi phân cấp cao
Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y.
Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2.
2
( , ) ( ( , ))d f x y d df x y ' '
( )x yd f dx f dy  ' '
( ) ( )x yd f dx d f dy 
' '
( ) ( )x ydxd f dyd f  ' ' ' ' ' ' ' '
( ) ( ) ( ) ( )x x x y y x y ydx f dx f dy dy f dx f dy         
'' '' '' ''
xx xy yx yyf dxdx f dxdy f dxdy f dydy   
2 '' 2 '' '' 2
( , ) 2xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy  
n
n
d f dx dy f
x y
  
    
Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y)
2 33 2
3 3f dx dy f dx dy f dy f
x x y x y y
                                           
3 3 3 3
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
f f f f
d f dx dx dy dxdy dy
x x y x y y
   
   
     
4
4
d f dx dy f
x y
  
    
4 4 4 4 4
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 44 3 2 2 3 4
f f f f f
C dx C dx dy C dx dy C dxdy C dy
x x y x y x y y
    
    
       
Công thức vi phân cấp 4:
3
3
d f dx dy f
x y
  
    
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
( , ) xy
f x y e
' '' 2 ''
, (1 )xy xy xy
x xx xyf ye f y e f e xy    
' '' 2
.xy xy
y yyf xe f x e  
Vi phân cấp hai
2 '' 2 '' '' 2
2xx xy yyd f f dx f dxdy f dy  
 2 2 2 2 2
( , ) (1 )2xy
d f x y e y dx xy dxdy x dy   
2
(1,1)d f
 2 2 2
(1,1) 4d f e dx dxdy dy  
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
( , )
y
f x y
x

' '' ''
2 3 2
2 1
,x xx xy
y y
f f f
x x x
 
   
' ''1
0.y yyf f
x
  
Vi phân cấp hai
2 '' 2 '' '' 2
2xx xy yyd f f dx f dxdy f dy  
2 2 2
2 3
4
( , ) 0
y y
d f x y dx dxdy dy
x x

  
2
(1,1)d f
2 2
(1,1) 4d f dx dxdy  
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng
2 3
(1.03) (1.98)A  
0 01, 2x y 
2 3
( , )f x y x y Chọn hàm
0 1.03 1 0.03dx x x x       
' '
0 0( , ) ( , ) x yf f x y f x y df f dx f dy     
' '
(1.03,1.98) (1,2) (1,2).(0.03) (1,2)( 0.02)x yf f f f   
Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98:
0 1.98 2 0.02dy y y y       
2
2 3 2 3
2 3
2
x y
dx dy
x y x y
 
 
2 3 2 3.4
(1.03) (1.98) (1.03,1.98) 3 (0.03) ( 0.02)
3 2.3
A f       2.98
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm một biến
' ' '( )
( ) ( ) ( )
( )
f f u
f x f u u x
u u x

  

Hàm hai biến: trường hợp 1
' ' ' ' ' '( )
( ) ; ( )
( , )
yx yx
f f u
f f u u f
yx
f u u
u u

    

Trường hợp 2.
' ' ' ' '
( , )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
u v
f f u v
u u x f x f u x f v x
v v x


     
 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp
2
( ) , sin( )u
f f u e u xy  
2
' ' '
( ) 2 . cos( )u
x xf f u u ue y xy  
2
sin ( )
( , ) xy
f f x y e 
2
' ' '
( ) 2 . cos( )u
y yf f u u ue x xy  
2
sin ( )
2sin( ) . cos( )xy
xy e y xy
2
sin ( )
2sin( ) . cos( )xy
xy e x xy
Giải. ' ' ' ' '
( ) ( ) ( )u v
df
f x f u x f v x
dx
    
Ví dụ
Tìm , biết 3 2
( , ) ln( ), , sinx
f f u v u v uv u e v x    '
xf
2 31 1
3 sin(2 )x
u v e u x
u v
         
   
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 3
' ' ' ' '
' ' ' ' '
( , )
( , )
( , )
u v
u
x x x
y vy y
f f u v
f f u f v
u u x y
f f u f v
v v x y

   

    
f = f(u,v)
u = u(x,y) v = v(x,y)
x y x y
'
xf
'
yf
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm của hàm hợp 2 2
( , ) , ( , ) , ( , )uv
f f u v e u x y x y v x y xy    
' ' ' ' '
.2 .uv uv
x u x v xf f u f v ve x ue y     
2 2
( )
( , ) x y xy
f f x y e 
 
' ' ' ' '
.2 .uv uv
y u y v yf f u f v ve y ue x     
' '
,x yf f
2 2 2 2
' ( ) 2 2 ( )
.2 ( ) .x y xy x y xy
xf xye x x y e y 
  
2 2 2 2
' ( ) 2 2 ( )
.2 ( ) .x y xy x y xy
yf xye y x y e x 
  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 4
( , )
( )
f f x y
y y x



Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x:
df f dx f dy
dx x dx y dx
 
   
 
f f dy
x y dx
 
  
 
f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo
hàm riêng theo x:
'
x
f
f
x



Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàmdf
dx
của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x.
f
x


II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm  2 2
( , ) , ( ) ln 1xy
f f x y e x y y y x x x      
 
'2
2xy xy
x
f
e x y ye xy
x

   

,
f df
x dx


 
'2 2xy xy
y
f
e x y xe x
y

   

  
'
' 2
2
1
( ) ln 1
1
dy
y x x x
dx x
    

df f f dy
dx x y dx
 
  
 
2
2
1
2 ( )
1
xy xy
ye xy xe x
x
    

II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
' ' ' ' '
x u x v xf f u f v       
' ''' ' ' ' ' '
xx x u x v xx x
f f f u f v    
   
' '' ' ' '
u x v xx x
f u f v           
' '''' '' ' ' ' ''
x u x x v xx xu vx x
u f u v f vf f     
       
'' '' ' ' ''' ' '' ' ' ''' ' ''
v x v xu vu x u xu v x u xx x v xxu ff u f u f vv uf v f v           
     


  
   
2 2'' ' '' ' ' ' '' '' ' ' '' ' ' ''
uu x uv x x u xx vu x x vv x v xxf u f v u f u f v u f v f v             
là hàm
hợp hai biến u,v
'
uf
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
2 2
( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3f f u v u v u x y xy v x y x y     
' ' ' ' ' 2
2 . 2.1x u x v xf f u f v u y     
''
xyf
   
' ''' ' 2
2 . 2xy x y y
f f u y   
 
''' 2 ' 2
2 . 2 . 2 .2xy yy
f u y u y u y  
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
2
( , ) , ( , ) , ( , ) 2uv
f f u v e u x y xy y v x y x y     ''
xyf
' ' ' ' '
. .2uv uv
x u x v xf f u f v ve y ue       
'''
. .2uv uv
xy y
f ve y ue  
   
' '
. . 2( 2 ) 2uv uvuv uv
y
v
y
u
e y v y ve x ye ee u     
     
' '' ''
. .uv uv
y yu v
uv
y
e u ee v  .( 2 ) .1uv uv
ve x y ue  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
( )
( , )
f f u
u u x y



' ' '
( )x xf f u u 
   
' ''' ' ' '
( )xx x xx x
f f f u u      
'''' ' '
)) (( x x xx
u f uf u u   
 
'' ' ' ' ''
( ) ( ) ( )x xxx u f uf uu u u    
  
  
2'' ' ' ''
( ) ( )x xxf u u f u u   
   
' ''' ' ' '
( )xy x xy y
f f f u u      
'''' ' '
)) (( x x yy
u f uf u u   
 
'' ' ' ' ''
( ) ( ) ( )x xyy u f uf uu u u    
  

'' ' ' ' ''
( ) ( )x y xyf u u u f u u    
là hàm
hợp một biến u
'
( )f u
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
2
( ) ln , ( , ) y
f f u u u x y xy e   
' ' ' 21
( ) .x xf f u u y
u
  
''
xyf
 
'
''' ' 21
.xy x y
y
f f y
u
     
 
'
'' 21 1
. .2xy
y
f y y
u u
   
 
Ví dụ
Tìm của hàm hợp 2
( )y
f f x e ''
xyf
2
2
1 1
(2 ). .2y
xy e y y
uu
   
' ' ' '
( ) ( ).2x xf f u u f u x   2
( , ) y
u x y x e Đặt
 
''' '
( ).2xy y
f f u x ''
2 . ( ). y
x f u e
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp một của hàm hợp
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
' '
x ydf f dx f dy      ' ' ' ' ' ' ' '
u x v x u y v yf u f v dx f u f v dy       
u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.
Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến
x, y độc lập.
   ' ' ' ' ' '
u x y v x yf u dx u dy f v dx v dy    ' '
u vf du f dv 
' '
(1)u vdf f du f dv 
' '
(2)x ydf f dx f dy 
Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc
(2). Thường dùng công thức số (1)
Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập.
Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp 2
( , ) , ( , ) ; ( , ) 2 3uv
f f u v e u x y xy v x y x y    
' '
u vdf f du f dv 
df
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
1
( ) , ( , ) ln( 2 )f f u u x y x y
u
   df
 ' '
2
1
x yu dx u dy
u
  
'
( )df f u du
2
2du y dx xydy  2 3dv dx dy 
2
( 2 ) (2 3 )uv uv
df ve y dx xydy ue dx dy    2
( 2 ) (2 3 )uv uv
e vy u dx e vxy u dy   
2
1 1 2
2 2
dx dy
x y x yu
 
     
Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng ' '
x ydf f dx f dy 
nhưng việc tính toán phức tạp hơn.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
' '
u vdf f du f dv 
Ví dụ
Tìm của hàm hợp 2
( 2 , )xy
f f x y e df
2 2du xdx dy  xy xy
dv ye dx xe dy 
Đặt 2
2 ; xy
u x y v e  
Ta có
2
( , ); ( , ) 2 , ( , ) xy
f f u v u x y x y v x y e   
' '
(2 2 ) ( )xy xy
u vdf f xdx dy f ye dx xe dy   
Chú ý: Có thể dùng ' '
x ydf f dx f dy 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
2
( )d f d df
Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số
' '
( )u vd f du f dv 
   ' '
u vd f du d f dv 
   2 ' ' ' '
( ) ( )u u v vd f d f du f d du d f dv f d dv       
là những hàm hợp hai biến
' '
,u vf f
     
' '' ' '
u u uu v
d f f du f dv       
' '' ' '
v v vu v
d f f du f dv 
   2 2
,d du d u d dv d v 
Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
( )
( , )
f f u
u u x y



2
( )d f d df '
( ( ) )d f u du
   ' '
( ) ( )d f u du f u d du   
 
'2 ' ' 2
( ) ( ) ( )d f f u u du du f u d u   
'' 2 ' 2
( ) ( )f u du f u d u  
Tóm lại:
Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi
phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy
biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
2 2 2
( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , )f f u v u v u x y xy x v x y x y      
2
d f
' '
vudufd vf df      ( 2) 2 22 2y dx xdy xdx yv dy  
    2
( ) 2 ( 2) 2 2 2d f d df d y dx xdy v xdx ydy     
     2
2 ( 2) 2 2 2d f d y dx xdy d v xdx ydy    
     2
2 ( 2) ) 2 ( 2 2 2 2 2 2d f d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy      
(( 2) )d y dx  ( )d xdy
 2 2d xdx ydy  (2 ) (2 )d xdx d ydy  2 2
2 2dx dy 
( 2)dxd y  dxdy dxdy
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
'
( )df f u du
Ví dụ
Tìm của hàm hợp 2
( 3 )f f x y 2
d f
Đặt 2
3u x y 
Ta có
2
( ); ( , ) 3f f u u x y x y  
2 '
( ) ( ( )(2 3 ))d f d df d f u xdx dy  
'
( )(2 3 )ú f u xdx dy 
2 ' '
(2 3 ) ( ( )) ( ) (2 3 )d f xdx dy d f u f u d xdx dy     
'
( ( ))d f u ''
( )f u du ''
( ) (2 3 )f u xdx dy  
(2 3 )d xdx dy  (2 ) (3 )d xdx d dy  2 0dxdx  2
2dx
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn( , ) 0F x y  ( )y y x
sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f.( , ( )) 0F x y x 
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp:
0
F dx F dy
x dx y dx
 
   
 
0
F F dy
x y dx
 
   
 
'
'
/
/
x
y
Fdy F x
dx F y F
 
   
 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình
2 2 xy
xy x y e  
'
( )y x
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x.
' ' '
2 2 ( )xy
y x y x y y e y x y        ' 2
( )
2
xy
xy
ye x y
y x
x y xe
 
 
 
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!
2 2
( , ) 0xy
F x y xy x y e    
' '
2 ; 2xy xy
x yF y x ye F x y xe     
'
'
'
2
( )
2
xy
x
xy
y
F y x ye
y x
F x y xe
 
    
 
Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y
là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn .( , , ) 0F x y z  ( , )z z x y
sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z.( , , ( , )) 0F x y z x y 
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z
là hàm theo x, y
0
F dx F z
x dx z x
  
   
  
0
F F z
x z x
  
   
  
'
'
/
/
x
z
FF x
F z
z
Fx

  
  
  
'
'
/
/
y
z
FF y
F z
z
Fy

  
  
  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
z x y
x y z e  
  
'
xz
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x.
' '
1 ( 1)z x y
x xz e z 
   ' 1
1
1
z x y
x z x y
e
z
e
 
 

  

Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!
( , , ) 0z x y
F x y z x y z e  
    
' '
1 ; 1z x y z x y
x zF e F e   
    
'
'
'
1
1
1
z x y
x
x z x y
z
F e
z
F e
 
 

     
 
Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (về hàm ẩn) .
Cho hàm thỏa các điều kiện sau:( , )F x y
2) 0 0(( , )) 0F x y 
1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính0 0 0( , )M x y r0( , )B M r
4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục ,
F F
x y
 
 0( , )B M r
3) 0 0( , )
0
F x y
y



Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa( , ) 0F x y  0x ( )y y x
và trong U. Ngoài ra y = y(x) khả vi, liên tục trong U0 0( )y y x ( , ( )) 0F x y x 
'
'
/
/
x
y
Fdy F x
dx F y F
 
   
 
Chứng minh.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một,
cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai
của hàm f = f(x,y) trong phần I.
Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)
1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)
2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y. 
''
''' '
'
x
xy x y
z y
F
z z
F
 
   
 
Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): ' '
x ydz z dx z dy 
Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y)
2 '' 2 '' '' 2
2xx xy yyd z z dx z dxdy z dy  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
3 3 3
2 3 2 3 0, (1,1) 2.x y z xyz y z       
(1,1)dz
3 3 3
( , , ) 2 3 2 3 0F x y z x y z xyz y      
' 2
3 3xF x yz  ' 2
6 3 2yF y xz   ' 2
3 3zF z xy 
' 2 2
'
' 2 2
3 3
3 3
x
x
z
F x yz yz x
z
F z xy z xy
 
    
 
' 1.( 2) 1.1
(1,1) 1
4 1
xz
 
   

' 2
'
' 2
6 3 2
3 3
y
y
z
F y xz
z
F z xy
 
   

' 14
(1,1)
9
yz  
Vi phân cấp 1:
' ' 14
9
x ydz z dx z dy dx dy    
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
2 2 2 x y z
x y z e  
  
''
xyz
2 2 2
( , , ) 0x y z
F x y z x y z e  
    
' 2 2 2
2 2x y z
xF x e x x y z 
      ' 2 2 2
2 2x y z
zF z e z x y z 
     
' 2 2 2
'
' 2 2 2
2
2
x
x
z
F x x y z
z
F x y z z
  
  
  
'2 2 2
''
2 2 2
2
2
xy
y
x x y z
z
x y z z
   
     
Đạo hàm theo y, coi x là hằng,
y là biến, z là hàm theo y!
 
' ' '
22 2 2
( 2 2 ) (2 2 2 )
2
maãu töûy y yy z z y z z z
x y z z
         

  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
2 2
2 3xyz x y z   
2 2
( , , ) 2 3 0F x y z xyz x y z     
'
2xF yz x  '
2yF xz y  '
2zF xy 
'
'
'
2 2
2 2
x
x
z
F yz x yz x
z
F xy xy
 
    
 
' ''
''
'
2
2
x
xy
z yy
F yz x
z
F xy
   
        
2
z
x y

 
Coi x là hằng, y là biến,
z là hàm theo y
 
 
'
2
( ) 2 ( 2 ) ( )
2
yz yz xy yz x x
xy
      


II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

More Related Content

What's hot

Công thức Vật lý đại cương II
Công thức Vật lý đại cương IICông thức Vật lý đại cương II
Công thức Vật lý đại cương IIVũ Lâm
 
Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Nguyễn Phụng
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNguyễn Hoành
 
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)Bích Anna
 
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongBài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongHoàng Như Mộc Miên
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keNam Cengroup
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1TheSPDM
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thứcTrinh Yen
 
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidro
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidroMẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidro
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidroLinh Nguyễn
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchThế Giới Tinh Hoa
 
bảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩnbảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩnRuc Trương
 
Tom tat cong thuc xstk
Tom tat cong thuc xstkTom tat cong thuc xstk
Tom tat cong thuc xstkBích Anna
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNĐiện Môi Phân Cực
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Nam Cengroup
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhNhóc Nhóc
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhThanh Hoa
 

What's hot (20)

Công thức Vật lý đại cương II
Công thức Vật lý đại cương IICông thức Vật lý đại cương II
Công thức Vật lý đại cương II
 
Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co ban
 
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)
Bai tap xstk b (cap nhat chuong 6 7)
 
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng LongBài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính - ĐH Thăng Long
 
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-keBo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
Bo de-thi-va-loi-giai-xac-xuat-thong-ke
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
 
Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1Bài tập có lời giải chương 1
Bài tập có lời giải chương 1
 
bai tap co loi giai xac suat thong ke
bai tap co loi giai xac suat thong kebai tap co loi giai xac suat thong ke
bai tap co loi giai xac suat thong ke
 
12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức12.ma trận và dịnh thức
12.ma trận và dịnh thức
 
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidro
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidroMẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidro
Mẫu nguyên tử bohr và quảng phổ của hidro
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
 
bảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩnbảng tra phân phối chuẩn
bảng tra phân phối chuẩn
 
Tom tat cong thuc xstk
Tom tat cong thuc xstkTom tat cong thuc xstk
Tom tat cong thuc xstk
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914
 
Chuong02
Chuong02Chuong02
Chuong02
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
 
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hìnhBài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
Bài giảng qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình
 

Similar to Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan

Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiaLcTrn2
 
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdf
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdfgiai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdf
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdfVnNguyn914577
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiphamchidac
 
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiNguyen Van Tai
 
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docx
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docxLuận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docx
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docxsividocz
 
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085Garment Space Blog0
 
11 mat102-bai 8-v1.0
11 mat102-bai 8-v1.011 mat102-bai 8-v1.0
11 mat102-bai 8-v1.0Yen Dang
 

Similar to Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan (12)

Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
 
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdf
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdfgiai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdf
giai-tich-2__kha-vi-va-vi-phan - [cuuduongthancong.com].pdf
 
Đề tài: Nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồi
Đề tài: Nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồiĐề tài: Nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồi
Đề tài: Nội lực và chuyển vị của dầm hữu hạn trên nền đàn hồi
 
Đề tài: Nguyên lý biến phân thường dùng trong cơ học công trình
Đề tài: Nguyên lý biến phân thường dùng trong cơ học công trìnhĐề tài: Nguyên lý biến phân thường dùng trong cơ học công trình
Đề tài: Nguyên lý biến phân thường dùng trong cơ học công trình
 
Đinhthuc.pdf
Đinhthuc.pdfĐinhthuc.pdf
Đinhthuc.pdf
 
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và iiChuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
Chuyên đề 2 hàm số bậc i và ii
 
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-iiChuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
Chuyen de-ham-so-bac-i-va-ii
 
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docx
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docxLuận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docx
Luận Văn Các Nguyên Lý Biến Phân Thường Dùng Trong Cơ Học Công Trình.docx
 
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085
Tam va nhom_con_giao_hoan_tu_cua_mot_so_lop_nhom_1085
 
11 mat102-bai 8-v1.0
11 mat102-bai 8-v1.011 mat102-bai 8-v1.0
11 mat102-bai 8-v1.0
 
Skkn 2012
Skkn 2012Skkn 2012
Skkn 2012
 
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đLuận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
 

More from diemthic3

Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nội
Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà NộiThông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nội
Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nộidiemthic3
 
Nhi thuc niuton p5_bg
Nhi thuc niuton p5_bgNhi thuc niuton p5_bg
Nhi thuc niuton p5_bgdiemthic3
 
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơ
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơđề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơ
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơdiemthic3
 
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013  trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngđề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013  trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngdiemthic3
 
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dương
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dươngĐề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dương
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dươngdiemthic3
 
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013diemthic3
 
Khoảng cách trong hàm số - phần 2
Khoảng cách trong hàm số - phần 2Khoảng cách trong hàm số - phần 2
Khoảng cách trong hàm số - phần 2diemthic3
 
Khoảng cách trong hàm số- phần 1
Khoảng cách trong hàm số- phần 1Khoảng cách trong hàm số- phần 1
Khoảng cách trong hàm số- phần 1diemthic3
 
Sự biến thiên của hàm số
Sự biến thiên của hàm sốSự biến thiên của hàm số
Sự biến thiên của hàm sốdiemthic3
 
Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị hàm sốVẽ đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị hàm sốdiemthic3
 
Ve do thi ham so
Ve do thi ham soVe do thi ham so
Ve do thi ham sodiemthic3
 
Ve do thi ham so bg
Ve do thi ham so bgVe do thi ham so bg
Ve do thi ham so bgdiemthic3
 
01 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p101 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p1diemthic3
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫndiemthic3
 
Được cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015
Được  cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015Được  cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015
Được cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015diemthic3
 
Lợi thế xét tuyển đh 2015
Lợi thế xét tuyển đh 2015Lợi thế xét tuyển đh 2015
Lợi thế xét tuyển đh 2015diemthic3
 
Tích phân của các hàm hữu tỷ
Tích phân của các hàm hữu tỷTích phân của các hàm hữu tỷ
Tích phân của các hàm hữu tỷdiemthic3
 
Phương trình số phức - phần 1
Phương trình số phức - phần 1Phương trình số phức - phần 1
Phương trình số phức - phần 1diemthic3
 
Lịch thi thpt quốc gia 2015
Lịch thi thpt quốc gia 2015Lịch thi thpt quốc gia 2015
Lịch thi thpt quốc gia 2015diemthic3
 

More from diemthic3 (20)

Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nội
Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà NộiThông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nội
Thông tin tuyển ĐH- CĐ khu vực Hà Nội
 
Nhi thuc niuton p5_bg
Nhi thuc niuton p5_bgNhi thuc niuton p5_bg
Nhi thuc niuton p5_bg
 
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơ
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơđề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơ
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 cần thơ
 
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013  trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngđề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013  trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương
 
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dương
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dươngĐề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dương
Đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2012 hải dương
 
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013
 
Khoảng cách trong hàm số - phần 2
Khoảng cách trong hàm số - phần 2Khoảng cách trong hàm số - phần 2
Khoảng cách trong hàm số - phần 2
 
Khoảng cách trong hàm số- phần 1
Khoảng cách trong hàm số- phần 1Khoảng cách trong hàm số- phần 1
Khoảng cách trong hàm số- phần 1
 
Sự biến thiên của hàm số
Sự biến thiên của hàm sốSự biến thiên của hàm số
Sự biến thiên của hàm số
 
Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị hàm sốVẽ đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị hàm số
 
Ve do thi ham so
Ve do thi ham soVe do thi ham so
Ve do thi ham so
 
Ve do thi ham so bg
Ve do thi ham so bgVe do thi ham so bg
Ve do thi ham so bg
 
01 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p101 khao sat va ve do thi ham so p1
01 khao sat va ve do thi ham so p1
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
 
Được cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015
Được  cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015Được  cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015
Được cộng tối đa 4 điểm ưu thi trong kì thi tốt nghiệp năm 2015
 
Lợi thế xét tuyển đh 2015
Lợi thế xét tuyển đh 2015Lợi thế xét tuyển đh 2015
Lợi thế xét tuyển đh 2015
 
Tích phân của các hàm hữu tỷ
Tích phân của các hàm hữu tỷTích phân của các hàm hữu tỷ
Tích phân của các hàm hữu tỷ
 
Phương trình số phức - phần 1
Phương trình số phức - phần 1Phương trình số phức - phần 1
Phương trình số phức - phần 1
 
Lịch thi thpt quốc gia 2015
Lịch thi thpt quốc gia 2015Lịch thi thpt quốc gia 2015
Lịch thi thpt quốc gia 2015
 
New 2
New  2New  2
New 2
 

Recently uploaded

20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...
20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...
20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdf
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdfxemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdf
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdfXem Số Mệnh
 
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiết
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiếtVợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiết
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiếtauthihaiyen2000
 
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)LinhV602347
 
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...mayphatdienhondacom
 
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜI
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜICHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜI
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜInguyendoan3122102508
 
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.TunQuc54
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Recently uploaded (16)

20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...
20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...
20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
 
Talk Academy Presentation 2024 (ENG) MICE.pdf
Talk Academy Presentation 2024 (ENG) MICE.pdfTalk Academy Presentation 2024 (ENG) MICE.pdf
Talk Academy Presentation 2024 (ENG) MICE.pdf
 
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...
TÀI LIỆU DẠY THÊM HÓA HỌC 12 - SÁCH MỚI (BẢN HS+GV) (FORM BÀI TẬP 2025 CHUNG ...
 
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN LỚP 12 SÁCH MỚI THEO FORM THI MỚI BGD 2025 - CHÂN TRỜI ...
 
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdf
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdfxemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdf
xemsomenh.com-Bố cục của lá số tử vi như thế nào.pdf
 
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiết
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiếtVợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiết
Vợ chồng A Phủ - Tô Hoài - phân tích chi tiết
 
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 CÓ ...
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT VẬT LÝ 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
 
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)
Đề cương môn Xã hội Chủ nghĩa Khoa học (sơ lược)
 
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...
15 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2023 - 2024 SỞ GIÁO...
 
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...
mayphatdienhonda.com - Máy phát điện là gì ? cấu tạo và ứng dụng , phân loại ...
 
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜI
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜICHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜI
CHƯƠNG 5. TTHCM VỀ VĂN HÓA, ĐẠO ĐỨC, CON NGƯỜI
 
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.
sách các Bài tập kinh tế vi mô chọn lọc.
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...
BÀI TẬP BỔ TRỢ 4 KỸ NĂNG TIẾNG ANH 11 CẢ NĂM - GLOBAL SUCCESS - NĂM HỌC 2023-...
 

Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan

  • 1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  • 2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
  • 3. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa đạo hàm riêng theo x. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.0 0 0( , )M x y Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x. Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 được gọi là đạo hàm riêng theo x của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , )M x y 0 0 0 0 0 0 0 '( , ) ( ) ( ) ( , ) lim x x f x y F x x F x f x y x x          0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x y f x y x     
  • 4. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa đạo hàm riêng theo y. Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định.0 0 0( , )M x y Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y. Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 được gọi là đạo hàm riêng theo y của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , )M x y 0 0 0 0 0 0 0 '( , ) ( ) ( ) ( , ) lim y y f x y F y y F y f x y y y          0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y y      
  • 5. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi nhớ. Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo x là đạo hàm của hàm một biến f = f(x,y0). 0 0 0( , )M x y Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo y là đạo hàm của hàm một biến f = f(x0,y). 0 0 0( , )M x y Qui tắc tìm đạo hàm riêng. Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.
  • 6. f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh) Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S. Cố định y = b. Đường cong C1 là giao của S và mặt phẳng y = b. Phương trình của đường cong C1 là g(x) = f(x, b). Hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 là ' ' ( ) ( , )xg a f a b Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c). Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 tại P(a,b,c).
  • 7. Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. 2 2 ( , ) 4 2f x y x y   ' (1,1)xf '2' 2 ( , ) (4 ) 22x xf x y x y x    ' (1,1) 2.1 2xf     Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh. Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được đường cong C1. Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số góc của tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
  • 8. Biễu diễn hình học của ' 2 2 (1,1) ( , ) 4 2vôùixf f x y x y  
  • 9. Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. 2 2 ( , ) 4 2f x y x y   ' (1,1)yf '2' 2 ( , ) (4 2 ) 4y yxf x y y y    ' (1,1) 4.1 4yf     Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh. Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2. Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số góc của tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
  • 10. Biễu diễn hình học của ' 2 2 (1,1) ( , ) 4 2vôùiyf f x y x y  
  • 11. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến. ' ' 1) ( )x xf f  ' ' ' 2) ( )x x xf g f g   ' ' ' 2 4) x x x gf fgf g g        ' ' ' 3) x xx f g f g f g     Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0. Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng không liên tục tại điểm này. Giải thích!
  • 12. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm đạo hàm riêng , biết' ' (1,2), (1,2)x yf f 2 2 ( , ) ln( 2 )f x y x y  Giải.   '' 2 2 ( , ) ln( 2 )x x f x y x y  ' 2 2 2 ( , ) 2 x x f x y x y   ' 2 (1,2) 9 xf    '' 2 2 ( , ) ln( 2 )y y f x y x y  ' 2 2 4 ( , ) 2 y y f x y x y   ' 8 (1,2) 9 yf 
  • 13. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm đạo hàm riêng , biết' ' (1,2), (1,2)x yf f ( , ) ( 2 )y f x y x y  Giải.   '' ( , ) ( 2 )y x x f x y x y  ' 1 ( , ) ( 2 )y xf x y y x y    ' (1,2) 10xf  ln ln( 2 )f y x y  ' 2 ln( 2 ) 2 yf x y y f x y      ' 2 ( , ) ( 2 ) ln( 2 ) 2 y yf x y x y x y y x y           Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có ' 4 ( , ) 25(ln5 ) 5 yf x y  
  • 14. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải.   ' ' 2 3 2 3 1) ( , )x x x f x y x y x y     Ví dụ Cho .2 3 ( , )f x y x y  1) Tìm ' (1,1)xf 2) Tìm ' (0,0)xf 3) Tìm ' (0,0)yf ' 1 (1,1) 2 xf  2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm . Ta sử dụng định nghĩa' (0,0)xf ' 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) limx x f x f f x       2 0 ( ) 0 0 lim x x x       0 | | lim x x x     Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau. Tương tự ' 0 (0,0 ) (0,0) (0,0) limy y f y f f y       3 0 ( ) 0 lim y y y      0
  • 15. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. 2 2 2 ' ' 1 ( , ) tx y x x f x y e dt          Ví dụ Cho 2 2 2 1 ( , ) tx y f x y e dt    Tìm ' ' ( , ), ( , ).x yf x y f x y     2 2 2 ' 2 2 x y x e x y     2 2 2 2 x y x e x y     Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y. 2 2 ' 2 2 ( , ) x y y y f x y e x y     
  • 16. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Cho 2 2 1/( ) 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 neáu neáu x y e x y f x y x y         Tìm ' (0,0).xf ' 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) limx x f x f f x       2 1/( ) 0 lim x x e x       1 t x   Đặt , suy ra .t   2 ' (0,0) lim t x t f te    0 (sử dụng qui tắc Lopital)
  • 17. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho hàm hai biến f = f(x,y). Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y: Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :' ( , )xf x y   2'' '' 2 ( , ) ( , ) ( , )x xxx f f x y f x y x y x       2'' '' ( , ) ( , ) ( , )x xyy f f x y f x y x y x y        2'' '' ( , ) ( , ) ( , )y yxx f f x y f x y x y y x        2'' '' 2 ( , ) ( , ) ( , )y yyy f f x y f x y x y y     Tương tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :' ( , )yf x y Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao. Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.
  • 18. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm. Chú ý. 2 2 0 0 0 0( , ) ( , ) f f x y x x y y y x        Nói chung , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp Định lý 2 2 0 0 0 0( , ) ( , ) f f x y x x y y y x        Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng xác định trong lân cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó ' ' '' '' , , ,x y xy yxf f f f 0 0( , )x y Chứng minh:
  • 19. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. ' ( , ) sinx xf x y e y 2 2 2 2 sin sin 0x xf f e y e y x y          Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình Laplace( , ) sinx f x y e y 2 2 2 2 0 f f x y       '' sinx xxf e y ' ( , ) cosx yf x y e y '' sinx yyf e y  Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,….
  • 20. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. ' ( , ) cos( )tu x t a x at   2 2 2 2 2 2 sin( ) u u a a x at t x          Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm thỏa phương trình sóng( , ) sin( )u x t x at  2 2 2 2 2 u u a t x      '' 2 sin( )ttu a x at   ' ( , ) cos( )xu x t x at  '' sin( )xxu x at   Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển, sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.
  • 21. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. 2 2 ' /(4 ) 2 1 2 ( , ) 4 )2 x a t x x u x t e a ta t         2 2 2 u u a t x       Ví dụ Chứng tỏ rằng thỏa phương trình truyền nhiệt 2 2 /(4 )1 ( , ) 2 x a t u t x e a t   2 2 2 u u a t x      2 2 2 2 '' /(4 ) 5 2 2 ( , ) 8 x a t xx x a t u x t e a t t    2 2 ' /(4 )1 2 x a t t u e t a t          2 2 2 2 /(4 ) 3 2 2 8 x a tx a t e a t t  
  • 22. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Cho 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 neáu neáu xy x y x yf x y x y         Tìm '' (0,0).xxf ' 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) limx x f x f f x       0 0 0 lim 0 x x        3 2 2 2 22 2' 2 2 , 0 ( , ) ( , ) 0, 0 neáu neáu x y yx x y x yh x y f x y x y           
  • 23. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm đạo hàm riêng cấp hai '' ' 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) (0,0) limxx x x h x h f h x        '' 0 0 0 (0,0) lim 0xx x f x       Tương tự tìm được và '' (0,0) 0yyf  '' '' (0,0); (0,0)xy yxf f  Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).' ( , )xf x y ' ( , )xf x y Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.
  • 24. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Cho hàm . Tìm( , ) (2 3 )ln( 2 )u x y x y x y   100 100 (1,2). f x   Sử dụng công thức Leibnitz, coi f(x,y) là hàm một biến theo x. Đặt . ; ( , ) 2 3 ; ( , ) ln( 2 )u f g f x y x y g x y x y     100 0 (0) (100) 1 ' (99) 2 '' (98) 100 100 100100 ( , ) ...x x x x x x f x y C f g C f g C f g x       ' '' 2; 0;x xxf f   ( )( ) 1 1 ln( 2 ) ( 1) ( 1)! ( 2 ) nn n x x n g x y n x y        100 99 98 0 1 100 100100 100 99 ( 1) 99! ( 1) 98! ( , ) (2 3 ) 2 0 ( 2 ) ( 2 ) f x y C x y C x x y x y              
  • 25. Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục C1 và C2 là hai đường cong tạo nên do hai mặt y = b và x =a cắt S Điểm P nằm trên cả hai đường này. Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến với hai đường cong C1 và C2 tại P. ' ' 0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y     Mặt phẳng chứa T1 và T2 gọi là mặt phẳng tiếp diện với mặt S tại P. ( ) Tiếp tuyến với mọi đường cong nằm trong S, qua P đều nằm trong .( ) Phương trình mặt tiếp diện với S tại (x0, y0, z0) là: n
  • 26. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic 2 2 2z x y  ' ' 4 (1,1) 4.x xf x f   tại điểm .(1,1,3) ' ' 2 (1,1) 2.y yf y f   Phương trình mặt phẳng tiếp diện: ' ' 0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y     3 4( 1) 2( 1)z x y     4 2 3 ( , )z x y L x y   
  • 27. Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện.
  • 28. Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2 khi mà (x,y) gần với điểm (1,1). ( , ) 4 2 3f x y x y   (1.1,0.95) (1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3f     Gần bằng với giá trị thực: 2 2 (1.1,0.5) 2(1.1) (0.95) 3.3225f    Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa. (2,3) (2,3) 4(2) 2(3) 3 11f    Khác xa với giá trị thực: 2 2 (2,3) 2(2) (3) 17f  
  • 29. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định. Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần có thể biễu diễn được ở dạng 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y       0 0( , )f x y A x B y x y         trong đó A, B là các hằng số, , 0, , 0.khi x y      Định nghĩa Đại lượng gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).0 0( , )df x y A x B y   
  • 30. Mặt tiếp diện ' ' ( , ) ( ) ( )x yz f a b f x a f y b    
  • 31. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý (điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì: 1) f liên tục tại (x0, y0), 2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và ' ' 0 0 0 0( , ), ( , )x yA f x y B f x y  Chứng minh. Định lý (điều kiện đủ) Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và có các đạo hàm riêng ' ' ,x yf f liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Chứng minh.
  • 32. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ghi nhớ Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0): ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy  Tính chất của vi phân Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó 1) ( )d f df  2) ( )d f g df dg   3) ( )d fg gdf fdg  2 4) ( ) f gdf fdg d g g  
  • 33. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có: ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x x y y f x y f x y dx f x y dy x y            ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y f x y dx f x y dy x y       ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1)x yf x y f x y f x y dx f x y dy  Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y). Công thức (1) có thể viết lại: ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y f x y dx f x y dy   hay ta có: f df 
  • 34. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y). Ta thực hiện 1) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp. 2) Tính giá trị ' ' 0 0 0 0 0 0, , ( , ), ( , ).x yx x x y y y f x y f x y      ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1)x yf x y f x y f x y x f x y y    3) Sử dụng công thức:
  • 35. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Chứng tỏ f = xexy khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá trị Giải. (1.1, 0.1)f  2 ( , ) ; ( , )xy xy xy x yf x y e xye f x y x e   Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của (1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0). ' ' (1.1, 0.1) (1,0) (1,0) (1,0)x yf f f x f y      Chọn 0 01; 0x y  0 1.1 1.0 0.1x x x       0 0.1 0 0.1y y y        1 1(0.1) 1( .1) 10     So sánh với giá trị thực: 0.11 (1.1, 0.1) (1.1 0 9) . 8542f e   
  • 36. Giải. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho 2 2 ( , ) 3f x y x xy y   1) Tìm ( , )df x y 2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f 1) ' ' ( , ) x ydf x y f dx f dy  ( , ) (2 3 ) (3 2 )df x y x y dx x y dy     2) Cho x0 = 2, y0 = 3 0.05, 0.04, 2.05, 2.96x y x y        (2,3) (2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3) 0.6( 0. 504)fd       (2,3) (2.05,2.96) (2,3)f f f   2 2 2 2 (2,3) 2.05) 3 (2.5) (2.96) (2.96) 2 3 2 3 3f                 0.6449 Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.
  • 37. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa vi phân cấp cao Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y. Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2. 2 ( , ) ( ( , ))d f x y d df x y ' ' ( )x yd f dx f dy  ' ' ( ) ( )x yd f dx d f dy  ' ' ( ) ( )x ydxd f dyd f  ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( )x x x y y x y ydx f dx f dy dy f dx f dy          '' '' '' '' xx xy yx yyf dxdx f dxdy f dxdy f dydy    2 '' 2 '' '' 2 ( , ) 2xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy   n n d f dx dy f x y         Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
  • 38. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y) 2 33 2 3 3f dx dy f dx dy f dy f x x y x y y                                             3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 f f f f d f dx dx dy dxdy dy x x y x y y               4 4 d f dx dy f x y         4 4 4 4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 44 3 2 2 3 4 f f f f f C dx C dx dy C dx dy C dxdy C dy x x y x y x y y                   Công thức vi phân cấp 4: 3 3 d f dx dy f x y        
  • 39. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Tìm vi phân cấp hai , biết ( , ) xy f x y e ' '' 2 '' , (1 )xy xy xy x xx xyf ye f y e f e xy     ' '' 2 .xy xy y yyf xe f x e   Vi phân cấp hai 2 '' 2 '' '' 2 2xx xy yyd f f dx f dxdy f dy    2 2 2 2 2 ( , ) (1 )2xy d f x y e y dx xy dxdy x dy    2 (1,1)d f  2 2 2 (1,1) 4d f e dx dxdy dy  
  • 40. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Tìm vi phân cấp hai , biết ( , ) y f x y x  ' '' '' 2 3 2 2 1 ,x xx xy y y f f f x x x       ' ''1 0.y yyf f x    Vi phân cấp hai 2 '' 2 '' '' 2 2xx xy yyd f f dx f dxdy f dy   2 2 2 2 3 4 ( , ) 0 y y d f x y dx dxdy dy x x     2 (1,1)d f 2 2 (1,1) 4d f dx dxdy  
  • 41. Giải. I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng 2 3 (1.03) (1.98)A   0 01, 2x y  2 3 ( , )f x y x y Chọn hàm 0 1.03 1 0.03dx x x x        ' ' 0 0( , ) ( , ) x yf f x y f x y df f dx f dy      ' ' (1.03,1.98) (1,2) (1,2).(0.03) (1,2)( 0.02)x yf f f f    Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98: 0 1.98 2 0.02dy y y y        2 2 3 2 3 2 3 2 x y dx dy x y x y     2 3 2 3.4 (1.03) (1.98) (1.03,1.98) 3 (0.03) ( 0.02) 3 2.3 A f       2.98
  • 42. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm một biến ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f u f x f u u x u u x      Hàm hai biến: trường hợp 1 ' ' ' ' ' '( ) ( ) ; ( ) ( , ) yx yx f f u f f u u f yx f u u u u        Trường hợp 2. ' ' ' ' ' ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u v f f u v u u x f x f u x f v x v v x          
  • 43. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp 2 ( ) , sin( )u f f u e u xy   2 ' ' ' ( ) 2 . cos( )u x xf f u u ue y xy   2 sin ( ) ( , ) xy f f x y e  2 ' ' ' ( ) 2 . cos( )u y yf f u u ue x xy   2 sin ( ) 2sin( ) . cos( )xy xy e y xy 2 sin ( ) 2sin( ) . cos( )xy xy e x xy Giải. ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( )u v df f x f u x f v x dx      Ví dụ Tìm , biết 3 2 ( , ) ln( ), , sinx f f u v u v uv u e v x    ' xf 2 31 1 3 sin(2 )x u v e u x u v              
  • 44. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trường hợp 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( , ) ( , ) ( , ) u v u x x x y vy y f f u v f f u f v u u x y f f u f v v v x y            f = f(u,v) u = u(x,y) v = v(x,y) x y x y ' xf ' yf
  • 45. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải. Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , )uv f f u v e u x y x y v x y xy     ' ' ' ' ' .2 .uv uv x u x v xf f u f v ve x ue y      2 2 ( ) ( , ) x y xy f f x y e    ' ' ' ' ' .2 .uv uv y u y v yf f u f v ve y ue x      ' ' ,x yf f 2 2 2 2 ' ( ) 2 2 ( ) .2 ( ) .x y xy x y xy xf xye x x y e y     2 2 2 2 ' ( ) 2 2 ( ) .2 ( ) .x y xy x y xy yf xye y x y e x    
  • 46. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trường hợp 4 ( , ) ( ) f f x y y y x    Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x: df f dx f dy dx x dx y dx         f f dy x y dx        f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo hàm riêng theo x: ' x f f x    Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàmdf dx của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x. f x  
  • 47. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm của hàm  2 2 ( , ) , ( ) ln 1xy f f x y e x y y y x x x         '2 2xy xy x f e x y ye xy x       , f df x dx     '2 2xy xy y f e x y xe x y          ' ' 2 2 1 ( ) ln 1 1 dy y x x x dx x       df f f dy dx x y dx        2 2 1 2 ( ) 1 xy xy ye xy xe x x      
  • 48. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đạo hàm cấp hai của hàm hợp ( , ) ( , ) ( , ) f f u v u u x y v v x y      ' ' ' ' ' x u x v xf f u f v        ' ''' ' ' ' ' ' xx x u x v xx x f f f u f v         ' '' ' ' ' u x v xx x f u f v            ' '''' '' ' ' ' '' x u x x v xx xu vx x u f u v f vf f              '' '' ' ' ''' ' '' ' ' ''' ' '' v x v xu vu x u xu v x u xx x v xxu ff u f u f vv uf v f v                           2 2'' ' '' ' ' ' '' '' ' ' '' ' ' '' uu x uv x x u xx vu x x vv x v xxf u f v u f u f v u f v f v              là hàm hợp hai biến u,v ' uf
  • 49. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 2 ( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3f f u v u v u x y xy v x y x y      ' ' ' ' ' 2 2 . 2.1x u x v xf f u f v u y      '' xyf     ' ''' ' 2 2 . 2xy x y y f f u y      ''' 2 ' 2 2 . 2 . 2 .2xy yy f u y u y u y   Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2uv f f u v e u x y xy y v x y x y     '' xyf ' ' ' ' ' . .2uv uv x u x v xf f u f v ve y ue        ''' . .2uv uv xy y f ve y ue       ' ' . . 2( 2 ) 2uv uvuv uv y v y u e y v y ve x ye ee u            ' '' '' . .uv uv y yu v uv y e u ee v  .( 2 ) .1uv uv ve x y ue  
  • 50. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đạo hàm cấp hai của hàm hợp ( ) ( , ) f f u u u x y    ' ' ' ( )x xf f u u      ' ''' ' ' ' ( )xx x xx x f f f u u       '''' ' ' )) (( x x xx u f uf u u      '' ' ' ' '' ( ) ( ) ( )x xxx u f uf uu u u           2'' ' ' '' ( ) ( )x xxf u u f u u        ' ''' ' ' ' ( )xy x xy y f f f u u       '''' ' ' )) (( x x yy u f uf u u      '' ' ' ' '' ( ) ( ) ( )x xyy u f uf uu u u         '' ' ' ' '' ( ) ( )x y xyf u u u f u u     là hàm hợp một biến u ' ( )f u
  • 51. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( ) ln , ( , ) y f f u u u x y xy e    ' ' ' 21 ( ) .x xf f u u y u    '' xyf   ' ''' ' 21 .xy x y y f f y u         ' '' 21 1 . .2xy y f y y u u       Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( )y f f x e '' xyf 2 2 1 1 (2 ). .2y xy e y y uu     ' ' ' ' ( ) ( ).2x xf f u u f u x   2 ( , ) y u x y x e Đặt   ''' ' ( ).2xy y f f u x '' 2 . ( ). y x f u e
  • 52. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vi phân cấp một của hàm hợp ( , ) ( , ) ( , ) f f u v u u x y v v x y      ' ' x ydf f dx f dy      ' ' ' ' ' ' ' ' u x v x u y v yf u f v dx f u f v dy        u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập. Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến x, y độc lập.    ' ' ' ' ' ' u x y v x yf u dx u dy f v dx v dy    ' ' u vf du f dv  ' ' (1)u vdf f du f dv  ' ' (2)x ydf f dx f dy  Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc (2). Thường dùng công thức số (1) Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập. Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.
  • 53. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( , ) , ( , ) ; ( , ) 2 3uv f f u v e u x y xy v x y x y     ' ' u vdf f du f dv  df Ví dụ Tìm của hàm hợp 1 ( ) , ( , ) ln( 2 )f f u u x y x y u    df  ' ' 2 1 x yu dx u dy u    ' ( )df f u du 2 2du y dx xydy  2 3dv dx dy  2 ( 2 ) (2 3 )uv uv df ve y dx xydy ue dx dy    2 ( 2 ) (2 3 )uv uv e vy u dx e vxy u dy    2 1 1 2 2 2 dx dy x y x yu         Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng ' ' x ydf f dx f dy  nhưng việc tính toán phức tạp hơn.
  • 54. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' ' u vdf f du f dv  Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( 2 , )xy f f x y e df 2 2du xdx dy  xy xy dv ye dx xe dy  Đặt 2 2 ; xy u x y v e   Ta có 2 ( , ); ( , ) 2 , ( , ) xy f f u v u x y x y v x y e    ' ' (2 2 ) ( )xy xy u vdf f xdx dy f ye dx xe dy    Chú ý: Có thể dùng ' ' x ydf f dx f dy 
  • 55. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vi phân cấp hai của hàm hợp ( , ) ( , ) ( , ) f f u v u u x y v v x y      2 ( )d f d df Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số ' ' ( )u vd f du f dv     ' ' u vd f du d f dv     2 ' ' ' ' ( ) ( )u u v vd f d f du f d du d f dv f d dv        là những hàm hợp hai biến ' ' ,u vf f       ' '' ' ' u u uu v d f f du f dv        ' '' ' ' v v vu v d f f du f dv     2 2 ,d du d u d dv d v  Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.
  • 56. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vi phân cấp hai của hàm hợp ( ) ( , ) f f u u u x y    2 ( )d f d df ' ( ( ) )d f u du    ' ' ( ) ( )d f u du f u d du      '2 ' ' 2 ( ) ( ) ( )d f f u u du du f u d u    '' 2 ' 2 ( ) ( )f u du f u d u   Tóm lại: Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy biến.
  • 57. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 2 2 ( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , )f f u v u v u x y xy x v x y x y       2 d f ' ' vudufd vf df      ( 2) 2 22 2y dx xdy xdx yv dy       2 ( ) 2 ( 2) 2 2 2d f d df d y dx xdy v xdx ydy           2 2 ( 2) 2 2 2d f d y dx xdy d v xdx ydy          2 2 ( 2) ) 2 ( 2 2 2 2 2 2d f d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy       (( 2) )d y dx  ( )d xdy  2 2d xdx ydy  (2 ) (2 )d xdx d ydy  2 2 2 2dx dy  ( 2)dxd y  dxdy dxdy
  • 58. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' ( )df f u du Ví dụ Tìm của hàm hợp 2 ( 3 )f f x y 2 d f Đặt 2 3u x y  Ta có 2 ( ); ( , ) 3f f u u x y x y   2 ' ( ) ( ( )(2 3 ))d f d df d f u xdx dy   ' ( )(2 3 )ú f u xdx dy  2 ' ' (2 3 ) ( ( )) ( ) (2 3 )d f xdx dy d f u f u d xdx dy      ' ( ( ))d f u '' ( )f u du '' ( ) (2 3 )f u xdx dy   (2 3 )d xdx dy  (2 ) (3 )d xdx d dy  2 0dxdx  2 2dx
  • 59. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn( , ) 0F x y  ( )y y x sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f.( , ( )) 0F x y x  Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: 0 F dx F dy x dx y dx         0 F F dy x y dx         ' ' / / x y Fdy F x dx F y F        
  • 60. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình 2 2 xy xy x y e   ' ( )y x Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x. ' ' ' 2 2 ( )xy y x y x y y e y x y        ' 2 ( ) 2 xy xy ye x y y x x y xe       Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng! 2 2 ( , ) 0xy F x y xy x y e     ' ' 2 ; 2xy xy x yF y x ye F x y xe      ' ' ' 2 ( ) 2 xy x xy y F y x ye y x F x y xe          Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
  • 61. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn .( , , ) 0F x y z  ( , )z z x y sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z.( , , ( , )) 0F x y z x y  Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z là hàm theo x, y 0 F dx F z x dx z x           0 F F z x z x           ' ' / / x z FF x F z z Fx           ' ' / / y z FF y F z z Fy          
  • 62. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình z x y x y z e      ' xz Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x. ' ' 1 ( 1)z x y x xz e z     ' 1 1 1 z x y x z x y e z e          Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng! ( , , ) 0z x y F x y z x y z e        ' ' 1 ; 1z x y z x y x zF e F e         ' ' ' 1 1 1 z x y x x z x y z F e z F e              Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
  • 63. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý (về hàm ẩn) . Cho hàm thỏa các điều kiện sau:( , )F x y 2) 0 0(( , )) 0F x y  1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính0 0 0( , )M x y r0( , )B M r 4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục , F F x y    0( , )B M r 3) 0 0( , ) 0 F x y y    Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa( , ) 0F x y  0x ( )y y x và trong U. Ngoài ra y = y(x) khả vi, liên tục trong U0 0( )y y x ( , ( )) 0F x y x  ' ' / / x y Fdy F x dx F y F         Chứng minh.
  • 64. III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I. Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y) 1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách) 2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y.  '' ''' ' ' x xy x y z y F z z F         Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): ' ' x ydz z dx z dy  Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y) 2 '' 2 '' '' 2 2xx xy yyd z z dx z dxdy z dy  
  • 65. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 3 3 3 2 3 2 3 0, (1,1) 2.x y z xyz y z        (1,1)dz 3 3 3 ( , , ) 2 3 2 3 0F x y z x y z xyz y       ' 2 3 3xF x yz  ' 2 6 3 2yF y xz   ' 2 3 3zF z xy  ' 2 2 ' ' 2 2 3 3 3 3 x x z F x yz yz x z F z xy z xy          ' 1.( 2) 1.1 (1,1) 1 4 1 xz        ' 2 ' ' 2 6 3 2 3 3 y y z F y xz z F z xy        ' 14 (1,1) 9 yz   Vi phân cấp 1: ' ' 14 9 x ydz z dx z dy dx dy    
  • 66. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 2 2 2 x y z x y z e      '' xyz 2 2 2 ( , , ) 0x y z F x y z x y z e        ' 2 2 2 2 2x y z xF x e x x y z        ' 2 2 2 2 2x y z zF z e z x y z        ' 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 2 x x z F x x y z z F x y z z          '2 2 2 '' 2 2 2 2 2 xy y x x y z z x y z z           Đạo hàm theo y, coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo y!   ' ' ' 22 2 2 ( 2 2 ) (2 2 2 ) 2 maãu töûy y yy z z y z z z x y z z              
  • 67. II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 2 2 2 3xyz x y z    2 2 ( , , ) 2 3 0F x y z xyz x y z      ' 2xF yz x  ' 2yF xz y  ' 2zF xy  ' ' ' 2 2 2 2 x x z F yz x yz x z F xy xy          ' '' '' ' 2 2 x xy z yy F yz x z F xy              2 z x y    Coi x là hằng, y là biến, z là hàm theo y     ' 2 ( ) 2 ( 2 ) ( ) 2 yz yz xy yz x x xy         