Chuong04

MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP SỐ PHÉP NỘI SUY Và PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU CHƯƠNG 4

4.1. Phép nội suy ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x 0 x 1 x 2 x n … y 0 y 1 y 2 y n … x y

Nội suy đa thức ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Ý nghĩa hình học P n (c) c      Xấp xỉ đường cong f(x) bởi đa thức P n (x) (với P n (x i )=f(x i )). Ước lượng f(c) bởi P n (c): f(c)  P n (c) với sai số R n (c) R n (c) f(c) P n (x) f(x) x 0 x 1 x 2 x n

Nội suy đa thức ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Tính giá trị của đa thức – thuật toán Horner (hạn chế số lượng phép tính) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],(4.1.1) Input a,c i=n-1;P=a n i>=0 P=P*c+a i i-- Write P

Tính giá trị của đa thức ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Tính giá trị của đa thức ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Tính giá trị của đa thức ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

1.1 Đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],[object Object],[object Object],(4.1.2) Nhận xét:

Đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],(4.1.3)

Đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],Giải : ,[object Object],(Không cần tính, vì y 0 =0) 1 1/2 0 y=sin(  x) 1/2 1/6 0 x

Đa thức nội suy Lagrange Thay x=1/5 vào P 2 (x) tìm được , ta có sin(  /5)  P 2 (1/5)=0,58 ,[object Object]

Đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],[object Object],[object Object],(Không cần tính vì y 1 =0) Tính gần đúng f(0,2)?

Đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange P 3 (x) cần tìm: Ta có: f(0,2)  P 3 (0,2)=0,15

Đánh giá sai số của đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],f(a)=f(b) a b y x  f’(  )=0 f(a)=f(b) a b y x  1  2 f’(  1 )=0 f’(  2 )=0

Đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Đặt:

Đa thức nội suy Lagrange (tt) Mà: Vậy sai số cần tìm có dạng : (4.1.4)

Đa thức nội suy Lagrange (tt) ,[object Object],[object Object],Ví dụ 4.4 : Cho hàm y=sin(  x), dùng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng sin(  /5), đánh giá sai số. Biết các mốc nội suy: (4.1.5) 1 1/2 0 y=sin(  x) 1/2 1/6 0 x

Đa thức nội suy Lagrange (tt) ,[object Object],Sai số: Mà: |Sin 3 (  x)| =  3 |cos(  x)|   3

ChỌn mốc nội suy tối ưu ,[object Object],Cần chọn các x i  [a;b] để là nhỏ nhất Nhận xét: Với phép biến đổi Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1] Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1]

ChỌn mốc nội suy tối ưu ,[object Object],T n (x) = cos(n.arccosx) với |x|  1, n  N * T n+1 (x) = 2x.T n (x)-T n-1 (x) T n (x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất là 2 n-1 Tính chất : Nhận xét: T n (x) có đúng n nghiệm: Mọi nghiệm của T n (x) đều thuộc [-1;1] Khi x=x i = (4.1.6)

Chọn mốc nội suy tối ưu ,[object Object],Khi đó (4.1.7)

Chọn mốc nội suy tối ưu ,[object Object],Chọn các mốc t i theo trường hợp 1, suy ra các mốc x i

Giải thuật tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy Lagrange ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

1.2. Đa thức nội suy Newton ,[object Object],[object Object],[object Object]

Đa thức nội suy Newton ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],(4.1.8) … … y n y n-1 y 2 y 1 y 0 y x n x n-1 x 2 x 1 x 0 x

Đa thức nội suy Newton ,[object Object],[object Object],[object Object]

Giải thuật lập bảng tỷ hiệu ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Lưu ý: không dùng các f ij với j>i+1

Giải thuật lập bảng tỷ hiệu ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

1.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object],- Xét tỷ hiệu cấp 2: (4.1.9) Gọi P n (x) là đa thức nội suy cần tìm (P n (x i )=y i )  P n (x) có bậc n, P n [x,x 0 ] là đa thức có bậc n-1  P n [x,x 0 ,x 1 ] là đa thức có bậc n-2 - Xét tỷ hiệu cấp n:  P n [x,x 0 ,x 1 ,…,x n-1 ] là đa thức có bậc 0 (4.1.10) (4.1.11)

1.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object],- Xét tỷ hiệu cấp n+1: (4.1.12) Mà P n [x,x 0 ,x 1 ,…,x m ]=0 với m>n-1 nên:P n [x,x 0 ,…,x n-1 ]=P n [x 0 ,x 1 ,…,x n ] Từ 4.1.10, ta có: … . Từ 4.1.11,4.12 ta có:

1.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ Cuối cùng, ta có: (4.1.13) Vậy Mà Đa thức 4.1.13 gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x 0 , thường dùng để tính gần đúng f(c) với c gần x 0 .

1.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ (4.1.14) Tương tự, ta cũng có đa nội nội suy Newton Lùi xuất phát từ x n : (thường dùng để tính gần đúng f(c) khi c gần x n ) ,[object Object],[object Object],[object Object]

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object],=(y n -y n-1 )/(x n -x n-1 ) =(f[x n ,x n-1 ]-f[x n-1 ,x n-2 ])/(x n -x n-2 ) =(f[x n ,..x 1 ]-f[x n-1 ..x 0 ])/(x n -x 0 ) y n x n f[x n ,x n-1 ] y n-1 x n-1 f[x n ,x n-1 ,x n-2 ] f[x n-1 ,x n-2 ] y n-2 x n-2 … … ... f[x 3 ,x 2 ,x 1 ] f[x 2 ,x 1 ] y 1 x 1 f[x n ,x n-1 ,.,x 0 ] f[x 2 ,x 1 ,x 0 ] f[x 1 ,x 0 ] y 0 x 0

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object],Lập bảng tỷ hiệu 1 1/2 0 y=sin(  x) 1/2 1/6 0 x

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object],[object Object]

[object Object],Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ,[object Object]

Đa thức nội suy Newton lùi ,[object Object],Giải: Bảng tỷ hiệu Vậy đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x2 là: p(x) = y 2 +(x-x 2 )f[x 2 ,x 1 ]+(x-x 2 )(x-x 1 )f[x 2 ,x 1 ,x 0 ] = 1 +(x-1/2)(3/2)+(x-1/2)(x-1/6)(-3)=-3x 2 +(7/2)x 1 1/2 0 y=sin(  x) 1/2 1/6 0 x

Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton tiến với các mốc bất kỳ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton tiến với các mốc bất kỳ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton tiến với các mốc bất kỳ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton lùi với các mốc bất kỳ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

4.2.2.Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],x 0 x i x i+1 h ih h 2h … x 1 x 2

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],(4.1.15) (4.1.16)

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],Với: … Nên: (4.1.17)

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Với 0  t  n (4.1.18) Đa thức trong 4.1.18 gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x 0 với các mốc cách đều

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object], n-1 y 1  n-1 y 0  n-1 y i y n  y n-1 y n-1  2 y n-2  y n-2 y n-2 …  2 y 2  y 2 y 2  2 y 1  y 1 y 1  n y 0  2 y 0  y 0 y 0  n y i …  2 y i  y i y i

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],(4.1.19) ,[object Object],(4.1.20)

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều ,[object Object],Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton (tiến)? Giải: Ta thấy: x i+1 -x i =1,  i=0,1,…,n-1 Nên các mốc nội suy là cách đều Đặt x = x 0 +th=1+t ; x = 4/3  t = 1/3 Bảng sai phân hữu hạn: Đa thức nội suy Newton: p(t) = y 0 +t.  y 0 +(t 2 /2!)  2 y 0 = 2+ 5t + ½.t(t-1).2 = 2+4t+t 2 f(4/3)  p(1/3) = 31/9

Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x n , trường hợp các mốc nội suy cách điều ,[object Object], n y n …  2 y n  y n y n  2 y n-1  y n-1 y n-1  y n-2 y n-2 …  y 1 y 1 y 0  n y …  2 y  y y

Ví dụ: Giá trị hàm Lgx (log cơ số 10) được cho trong bảng dưới. Tính gần đúng lg7=? Tính Tính Tính Đa thức nội suy newton tiến xuất phát từ x 0 =5 có dạng  y  2 y  3 y

[object Object],[object Object],[object Object]

4.1.3. Nội suy Spline ,[object Object],[object Object]

Nội suy spline ,[object Object],[object Object],[object Object],(2) nếu nếu nếu nếu (1)

Nội suy spline (2) (3) (4) (5) (6) Thỏa các tính chất:      f 0 (x) f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

Nội suy spline (3) Tính d i ? Từ pt (3): f i (x i )=y i Hay: a i (x i -x i ) 3 +b i (x i -x i ) 2 +c i (x i -x i )+d i = y i  d i = y i Tính các hệ số khác? Bắt đầu từ: (7) (8)

Nội suy spline (4) ,[object Object],Từ pt (8), ta có: Hay i=0,1,…, n-1

Nội suy spline (5) ,[object Object],Theo pt (6) thì: Và Hay: 

Nội suy spline (6) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],i=0,1,…,n-2

Nội suy spline (7) ,[object Object],Để có được các a i , b i , c i , d i , cần tìm các M i !!!

Nội suy spline (8) ,[object Object],Với Và Nên i=0,1,…,n-2

Nội suy spline (9) i=0,1,…,n-2

Nội suy spline (10) ,[object Object],Có n+1 cột nhung chỉ có n-1 dòng!!!

Nội suy spline (11) ,[object Object],[object Object],[object Object],Hệ có n -1 phương trình, n-1 biến. Giải hệ, tìm được M 2 , M 3 , M 4 ,…,M n-1 ,M 0 =0, M n =0  Tính a i , b i , c i , d i ?

4.2. Phương pháp bình phương tối thiểu ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],y n y 2 y 1 y 0 y x n … x 2 x 1 x 0 x

Nội dung của phương pháp ,[object Object],[object Object],[object Object],       y 0 x 0 x 1 y 1 x i y i y n x n  i y=f(x) f(x i ) f(x) cần tìm sao cho bé nhất

Công thức nghiệm dạng: y=ax+b (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số) ,[object Object],[object Object],hay

Công thức nghiệm dạng: y=ax+b (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số)   Giải hệ trên ta tìm được a,b.

Ví dụ: ,[object Object],[object Object],[object Object],6,5 5,5 2,5 0,5 y 3 2 1 0 X

Công thức nghiệm dạng: y=ax 2 +bx+c (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số) ,[object Object],[object Object],hay

Công thức nghiệm dạng: y=ax 2 +bx+c (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số)  Giải hệ trên ta tìm đưọc a,b, c

Ví dụ: ,[object Object],[object Object],[object Object],1,25 -1 -1,75 0,5 y 3 2 1 0 X

Công thức nghiệm dạng: y=ae bx (y không phụ thuộc tuyến tính các hệ số) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],y n … y 2 y 1 y 0 y x n … x 2 x 1 x 0 x Y n … Y 2 Y 1 Y 0 Y X n … X 2 X 1 X 0 X

Chuong04

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Chuong04

Similar to Chuong04 (20)

More from Châu Thanh Chương

More from Châu Thanh Chương (20)

Chuong04