Deze presentatie wordt gebruikt tijdens het hoorcollege Nanotechnologie zoals dit wordt gedoceerd aan het departement Gezondheidszorg en Technologie van de Katholieke Hogeschool Leuven.

1. Hoofdstuk 2
Inleidende begrippen uit de kwantumchemie – deel 3
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
1

2. 2.3 Waterstofachtige atomen
Bestuderen van de eigenschappen van atomen en ionen aan bod die slechts één elektron bezitten.
Atoom
positief geladen kern
elektron +Ze
–e
Z = # protonen in de kern
Stel dat de kern zich gedraagt als een puntlading, dan is de potentiële energiefunctie
Wet van Coulomb
Met r de scheiding tussen het elektron & de kern en ε0 de permittiviteit van de vrije ruimte
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
2

3. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulatie van de wet van Coulomb
r (m)
0,00E+00 1,00E-10 2,00E-10 3,00E-10 4,00E-10 5,00E-10 6,00E-10 7,00E-10 8,00E-10 9,00E-10
0,00E+00
-2,00E-18
Wet van Coulomb
V (r )(J)
-4,00E-18
-6,00E-18
-8,00E-18
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
3

4. 2.3 Waterstofachtige atomen
De eigenschappen van het elektron kwantumchemisch beschrijven met behulp van het
oplossen van de Schrödinger vergelijking gebruik makend van de Wet van Coulomb voor de
potentiële energiefunctie.
Elektronen kunnen in de drie dimensies bewegen!
De (wiskundige) oplossing van bovenstaande Schrödingervergelijking is vrij ingewikkeld. Wij
bespreken enkel een aantal belangrijke eigenschappen en bespreken de oplossingen!
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
4

5. 2.3 Waterstofachtige atomen
Na toepassen van de randvoorwaarden leidt het oplossen van de Schrödingervergelijking voor
de golffunctie van de waterstofachtige atomen tot het invoeren van drie kwantumgetallen.
n, l en ml
De energie voor de verschillende toestanden van het elektron is enkel verbonden met het
hoofdkwantumgetal n
Met R = Rydberg constante (1,0974£ 10–7 m–1) en c = lichtsnelheid
Een meer gebruikelijke vorm uitgedrukt in eV is
Merk op dat kwantisatie een algemeen begrip is geworden voor afgegrensde systemen waarbij
de beweging van het elektron is beperkt.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
5

6. 2.3 Waterstofachtige atomen
Energieniveaus voor H, He+ en Li2+
H (Z = 1) He+ (Z = 2) Li2+ (Z = 3)
n n n
2
3
4
1 2 3
13,6 eV
2
1
54,4 eV
1
122,4 eV
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
6

7. 2.3 Waterstofachtige atomen
Overgangen in het energieniveaudiagramma van het atoom waterstof
n= 5
n= 4
n= 3
Paschen-reeks
n= 2
Balmer-reeks
n= 1
Lyman-reeks
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
7

8. 2.3 Waterstofachtige atomen
De Balmer-reeks is de enige waterstofreeks die emissielijnen heeft in het zichtbare gedeelte van het spectrum
dat overeenkomt met de elektrontransities van het waterstofatoom.
Hδ Hγ Hβ Hα
400 nm 486 500 nm 600 nm 656 700 nm
n=6 n=5 n=4 n=3
↓ ↓ ↓ ↓
n=2 n=2 n=2 n=2
n=3→n=2
n=4→n=2
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
8

9. 2.3 Waterstofachtige atomen
Toepassingen in de astronomie: Hα-emissie in het zichtbare gebied
Bron: http://www.nasaimages.org
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
9

10. 2.3 Waterstofachtige atomen
Toepassingen in de astronomie: Hα-emissie in het zichtbare gebied
Bron: http://www.xanaduobservatory.com/Sh2-129.htm
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
10

11. 2.3 Waterstofachtige atomen
Toepassingen in de astronomie: Hα-emissie in het zichtbare gebied
Bron: http://chandra.harvard.edu/
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
11

12. 2.3 Waterstofachtige atomen
De oplossing van Schrödingervergelijking voor de golffunctie van de waterstofachtige atomen
leidt naast het hoofdkwantumgetal n nog tot het orbitaalkwantumgetal l en de z-component
orbitaalkwantumgetal ml .
n: 1, 2, 3, …, ∞ l: 0, 1, 2, …, n – 1 ml : –l, …, l
De grootte van het angulair moment L kan worden aangetoond (wij doen dit niet!) en is
De component van het angulair moment volgens de z-richting Lz is
Deze hoeveelheden zijn eveneens gekwantiseerd!
Het kwantumgetal l representeert het orbitaal angulair moment van de elektronen terwijl het
kwantumgetal ml overeenkomt met zijn component volgens de z-richting.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
12

13. 2.3 Waterstofachtige atomen
Hoe zit het nu met de golffunctie en de waarschijnlijkheid om het elektron te lokaliseren in
een gebied rond de kern van het atoom?
• De golffuncties moeten voldoen aan de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom.
• De verschillende toestanden van het systeem worden gekarakteriseerd door de
kwantumgetallen (n, l, ml).
Om de golffunctie op te lossen stellen we dat de potentiële energie een bolsymmetrische
potentiaalfunctie is en enkel afhankelijk van r.
De Schrödingervergelijking wordt geschreven gebruik makend van sferische coördinaten r, θ
en φ.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
13

14. 2.3 Waterstofachtige atomen
Het Cartesiaans coördinatensysteem wordt getransformeerd in een sferisch coördinatensysteem
z
θ
r
y
φ
x
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
14

15. Intermezzo
y
z
p
(x, y, z)
p
φ
θ x
r y
p y
r
φ
θ p
(x, y, 0) z
x
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
15

16. Intermezzo
y We volgen nu het theorema van Pythagoras
r
θ p
z
y
p
φ
x
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
16

17. Intermezzo
Van Cartesische coördinaten naar sferische coördinaten
y
r
θ p
z
y
p
φ
x
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
17

18. 2.3 Waterstofachtige atomen
In sferische coördinaten wordt de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom
De golffunctie kan worden herschreven als een product van een functies die enkel afhankelijk
is van de afstand r en een functie die enkel afhankelijk is van de oriëntatie ( θ, φ).
R(r) = de Radiale Golffunctie en Y (θ, φ) = de Sferisch Harmonische Golffunctie
Enkel afhankelijk van Epot! Niet afhankelijk van Epot!
Y (θ , φ) voldoet aan de volgende vergelijking voor de kwantumoperator van het kwadraat van
het angulair moment L2.
|Angulair moment|2 operator Angulair moment volgens de z-richting operator
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
18

19. 2.3 Waterstofachtige atomen
De volledige vorm van de Schrödingervergelijking voor Y(θ, φ) wordt dan
De volledige vorm van de Schrödingervergelijking voor de radiale golffunctie wordt
Eens de oplossingen van de golffuncties bekend zijn, kunnen we |ψ|2 uitzetten en dit geeft de
waarschijnlijke dichtheidsverdelingen weer.
De waarschijnlijkheid om een elektron te vinden in eender welk gebied is gelijk aan de
integraal van de waarschijnlijke dichtheid over het ganse gebied.
Afhankelijk van de kwantumgetallen van het elektron, kunnen we verschillende golffuncties
voor het elektron in verschillende toestanden ordenen.
Toestanden die overeenkomen met verschillende l bevinden zich in verschillende orbitalen.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
19

20. 2.3 Waterstofachtige atomen
Overzicht van de verschillende toestanden van het waterstofatoom
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
20

21. 2.3 Waterstofachtige atomen
Vormen van de angulaire golffuncties van het waterstofatoom
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
21

22. 2.3 Waterstofachtige atomen
Wiskundige vergelijkingen voor enkele radiale golffuncties
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
22

23. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =1
l =0
r 2R (r )2
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
23

24. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =2
l =0
r 2R (r )2
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
24

25. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =2
r 2R (r )2
l =1
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
25

26. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =3
l =0
r 2R (r )2
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
26

27. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =3
l =1
r 2R (r )2
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
27

28. 2.3 Waterstofachtige atomen
Simulaties van de waarschijnlijkheidsverdelingen op basis van de radiale golffuncties.
n =3
l =2
r 2R (r )2
r
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
28

29. 2.4 Spin
Stern-Gerlach experiment
Verfijning van de kwantumchemie. z
collimerende ms = –½
pinhole
x
y
detectoren
ms = +½
ongelijkmatig
magneetveld
atoombron atoombundel
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
29

30. 2.4 Spin
Er werd voorgesteld dat het elektron een intrinsiek angulair moment moest bezitten dat
verschillend is van zijn orbitaal angulair moment.
Paul Dirac bevestigde de fundamentele natuur van de elektronspin. Hij concludeerde dat de
elektronspin kan worden beschreven door een nieuw kwantumgetal s dat de waarde ½ bezat
De grootte van het spin angulair moment voor het elektron wordt gegeven door
De z-component van het spin angulair moment gegeven door
De 2 waarden voor Sz komen overeen met de 2 componenten die geobserveerd werden in de
Stern-Gerlach experimenten
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
30

31. 2.4 Spin
De elektronen zijn volledig gekarakteriseerd door een reeks van 4 kwantumgetallen (n, l, ml, ms)
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
31

32. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
De atomaire energietoestanden voor een één elektron waterstofachtig atoom is
Z representeert het atoomnummer = # protonen in de kern.
Bovenstaande vergelijking identificeert een chemisch element op een unieke manier.
Julius Lothar Meyer (1830–1895) en Dmitri Ivanovich Mendeleev (1834–1907) ontdekten dat
wanneer de gekende elementen werden gerangschikt volgens toenemende Z-waarden, de
periodiciteit of de chemische eigenschappen konden worden gerangschikt volgens een geordend
patroon!
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
32

33. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
33

34. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
Periodiek systeem van de Elementen
Elke horizontale periode en elke verticale groep van de elementen vertonen specifieke, verwante
eigenschappen als gevolg van de manier waarop de elektronen zijn gerangschikt volgens de
verschillende energietoestanden.
Volgens de kwantumchemie zijn de energietoestanden van de elektronen volledig
gekarakteriseerd zijn door een reeks van vier kwantumgetallen (n, l, ml, ms).
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
34

35. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
Atoomorbitalen (AO) gebruiken om de energietoestanden van de elektronen voor te stellen.
Elk AO is gekenmerkt door een reeks van drie kwantumgetallen (n, l, ml).
Voorbeeld (n = 2, l = 1, ml = 0, ±1) = 2px, 2py en 2pz-orbitalen
Een elektron bezit bovendien ofwel een spin-up ofwel spin-down en wordt beschreven door de
reeks (n, l, ml, ms). Het elektron bezet een specifiek AO.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
35

36. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
Uitsluitingsprincipe van Pauli
Geen twee elektronen bezitten dezelfde energietoestand.
Wanneer in een atoom 2 e– behoren tot hetzelfde AO en bijgevolg gekarakteriseerd worden door
een zelfde reeks van drie kwantumgetallen (n, l, ml), dan is ms verschillend.
Elektronen behorende bij hetzelfde AO bezitten tegenovergestelde spin.
Voorbeelden
(n = 2, l = 1, ml = 0, ±1) → drie p-orbitalen = maximaal 6 e–
(n = 3, l = 2, ml = 0, ±1, ±2) → vijf d-orbitalen = maximaal 10 e–
(n = 4, l = 3, ml = 0, ±1, ±2, ±3) → zeven f-orbitalen = maximaal 14 e–
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
36

37. 2.5 Atomen en het periodiek systeem
Gesloten-schil-structuur
Voor elke waarde van het hoofdkwantumgetal n bestaat er een element met alle overeenkomstige
AO bezet met e–.
Edelgassen
He: ns2
Ne, Ar, Kr, Xe en Rn: ns2np6
Halogenen
F, Cl, Br, I en At: ns2np5
Hebben sterke neiging om 1 e– op te nemen ter vorming van bijvoorbeeld F– en Cl–.
Alkalimetalen
Li, Na, K, Rb, Cs en Fr: ns1
Hebben sterke neiging om 1 e– af te geven ter vorming van bijvoorbeeld Li+ en Na+.
Edelmetalen
Ag (Z = 47): [Kr] 4d105s1
Au (Z = 79): [Xe] 4f 145d106s1
Vaste metallische vaste stoffen. Zijn goede geleiders voor warmte en elektriciteit.
Eigenschappen veranderen drastisch wanneer we ze op nanoschaal fabriceren.
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
37

38. 2.6 Besluiten
Voor nanochemie is het van belang om kwantumchemie te begrijpen omdat kwantumtunneling is
toegestaan. Bovendien wordt door de beschrijving van energie in termen van discrete
energieniveaus duidelijk wat het verschil is in gedrag tussen het macro en het nanoniveau
•In de nanowereld regeert de kwantumchemie of de chemie van de waarschijnlijkheden!
•De materie gedraagt zich in de nanowereld radicaal anders!
Tom Mortier
Nanotechnologie 2 Chemie
38