This document discusses the wave-particle duality of light and how light can behave as a fluid under certain conditions. It describes experiments observing superfluid behavior in coherent light fields in semiconductor microcavities, analogous to superfluidity in Bose-Einstein condensates. The experiments show evidence of superfluid flow for flow speeds below a critical speed, and scattering and Cerenkov wakes occurring above the critical speed, providing evidence that light can take on hydrodynamic properties when interacting coherently as a Bose gas of photons.
The document summarizes research on using proximity-induced superconducting correlations in mesoscopic conductors to implement quantum detectors. It describes how superconductivity can modify the density of states in normal metals through the proximity effect. It then introduces the Superconducting QUantum Interference Proximity Transistor (SQUIPT), a novel quantum interferometer that uses this effect for high-sensitivity magnetic flux detection, and presents theoretical predictions and experimental results demonstrating its behavior and advantages over DC SQUIDs.
The document summarizes research on using proximity-induced superconducting correlations in mesoscopic conductors to implement quantum detectors. It describes how superconducting correlations can modify the density of states in normal metals, and how this effect can be probed. It then introduces the Superconducting QUantum Interference Proximity Transistor (SQUIPT), a novel quantum interferometer that uses phase-controlled proximity effect to achieve high sensitivity flux detection with ultralow dissipation. Experimental results on SQUIPTs are presented and show good agreement with theoretical predictions. SQUIPTs could enable new cryogenic applications due to their simple operation, design flexibility, and extremely low power consumption.
Spettroscopia di neutroni e dinamica proteicanipslab
This document discusses using neutron scattering to study the relationship between molecular dynamics and biological function in proteins, membranes, and cells. It provides several examples of how neutron scattering has been used to determine mean square displacements and effective force constants in proteins and how these parameters relate to flexibility and resilience. The document also discusses how dynamics can depend on environmental factors like hydration, temperature, and salt concentration and how dynamics relate to biological function and activity.
E' possibile controllare la corrente di calore?nipslab
The document discusses thermoelectric phenomena and efforts to improve thermoelectric materials and devices. It describes how thermoelectric generators could be used to convert waste heat from automobiles into electricity to improve fuel efficiency. It also discusses challenges in developing materials with a high figure of merit ZT above 3 to make solid-state refrigerators competitive with traditional compressor-based refrigerators.
- The document discusses cosmological horizons in physics and cosmology.
- It describes the particle horizon, which separates what we can observe from what came before the light had time to reach us.
- It also describes the physical horizon, which is closer due to details of light propagation in an expanding universe. This physical horizon corresponds to the surface of last scattering from 380,000 years after the Big Bang.
- Observing the cosmic microwave background radiation provides evidence of homogeneity across regions larger than the particle horizon, suggesting they were in causal contact earlier when the expansion rate was higher.
The document discusses the physics of molecular motors and fluctuations in small engines. It covers topics like noise rectification mechanisms that allow directed motion from thermal fluctuations in biological motors like myosin and kinesin. Brownian motion results in efficient but random transport, while molecular motors achieve very efficient directed transport through mechanisms like thermal ratchets that can rectify thermal fluctuations through asymmetric potentials or periodic driving. The document also discusses applications to areas like biology-inspired nano-devices and single molecule experiments.
The document discusses cosmological horizons in physics. It explains that there exists a physical horizon beyond which the early universe was opaque due to electron scattering, known as the surface of last scattering. This horizon represents the farthest point in the universe we can observe by detecting cosmic microwave background radiation. The document also notes that the near-perfect isotropy of the CMB is surprising given that different regions of the early universe beyond the particle horizon would not have been in causal contact. This suggests the universe achieved thermal equilibrium prior to the surface of last scattering.
This document discusses cosmological horizons in physics. It begins by explaining the particle horizon, which separates us from what we cannot observe because the light from beyond has not reached us yet. It then discusses other physical horizons that are closer than the particle horizon and depend on light propagation details in the universe. The document goes on to explain how observing further allows seeing back to when the universe was ionized, with the physical horizon being the surface of last scattering beyond which the universe was opaque due to scattering of photons by free electrons. It describes how detecting cosmic microwave background radiation photons provides strong evidence about the early hot phase of the universe.
Econofisica: alcuni tratti di una scienza ibridanipslab
The document discusses the modeling of economic complex systems using concepts and methods from physics. It provides three examples: 1) Filtering information from stock portfolio returns; 2) Analyzing high frequency strategic actions of economic actors in financial markets; 3) Empirical evidence of specialization among market members in financial markets. It also discusses hierarchical clustering analysis of correlation matrices to analyze complexity in financial markets.
COHERENCE, SELF-SIMILARITY AND BRAIN ACTIVITYnipslab
1) The document discusses coherence and self-similarity in brain activity, proposing that spatially extended domains of synchronized neural oscillations form rapidly in the brain and re-synchronize in frames at rates in the theta-alpha range.
2) These synchronized oscillation patterns cover large areas of the brain and are present during both resting and cognitive task periods, suggesting they represent background brain activity modulated by environmental engagement.
3) A dissipative quantum field theory model is able to account for the dynamical formation of these synchronized oscillations through spontaneous symmetry breaking mechanisms generating long-range correlations mediated by massless quanta.
La Previsione del tempo atmosferico dal paradigma deterministico a quello pro...nipslab
La Previsione del tempo atmosferico dal paradigma deterministico a quello probabilistico
Ten.Marcucci Francesca
Centro Nazionale Meteorologia e Climatologia Aeronautica
This document discusses the wave-particle duality of light and how light can behave as a fluid under certain conditions. It describes experiments observing superfluid behavior in coherent light fields in semiconductor microcavities, analogous to superfluidity in Bose-Einstein condensates. The experiments show evidence of superfluid flow for flow speeds below a critical speed, and scattering and Cerenkov wakes occurring above the critical speed, providing evidence that light can take on hydrodynamic properties when interacting coherently as a Bose gas of photons.
The document summarizes research on using proximity-induced superconducting correlations in mesoscopic conductors to implement quantum detectors. It describes how superconductivity can modify the density of states in normal metals through the proximity effect. It then introduces the Superconducting QUantum Interference Proximity Transistor (SQUIPT), a novel quantum interferometer that uses this effect for high-sensitivity magnetic flux detection, and presents theoretical predictions and experimental results demonstrating its behavior and advantages over DC SQUIDs.
The document summarizes research on using proximity-induced superconducting correlations in mesoscopic conductors to implement quantum detectors. It describes how superconducting correlations can modify the density of states in normal metals, and how this effect can be probed. It then introduces the Superconducting QUantum Interference Proximity Transistor (SQUIPT), a novel quantum interferometer that uses phase-controlled proximity effect to achieve high sensitivity flux detection with ultralow dissipation. Experimental results on SQUIPTs are presented and show good agreement with theoretical predictions. SQUIPTs could enable new cryogenic applications due to their simple operation, design flexibility, and extremely low power consumption.
Spettroscopia di neutroni e dinamica proteicanipslab
This document discusses using neutron scattering to study the relationship between molecular dynamics and biological function in proteins, membranes, and cells. It provides several examples of how neutron scattering has been used to determine mean square displacements and effective force constants in proteins and how these parameters relate to flexibility and resilience. The document also discusses how dynamics can depend on environmental factors like hydration, temperature, and salt concentration and how dynamics relate to biological function and activity.
E' possibile controllare la corrente di calore?nipslab
The document discusses thermoelectric phenomena and efforts to improve thermoelectric materials and devices. It describes how thermoelectric generators could be used to convert waste heat from automobiles into electricity to improve fuel efficiency. It also discusses challenges in developing materials with a high figure of merit ZT above 3 to make solid-state refrigerators competitive with traditional compressor-based refrigerators.
- The document discusses cosmological horizons in physics and cosmology.
- It describes the particle horizon, which separates what we can observe from what came before the light had time to reach us.
- It also describes the physical horizon, which is closer due to details of light propagation in an expanding universe. This physical horizon corresponds to the surface of last scattering from 380,000 years after the Big Bang.
- Observing the cosmic microwave background radiation provides evidence of homogeneity across regions larger than the particle horizon, suggesting they were in causal contact earlier when the expansion rate was higher.
The document discusses the physics of molecular motors and fluctuations in small engines. It covers topics like noise rectification mechanisms that allow directed motion from thermal fluctuations in biological motors like myosin and kinesin. Brownian motion results in efficient but random transport, while molecular motors achieve very efficient directed transport through mechanisms like thermal ratchets that can rectify thermal fluctuations through asymmetric potentials or periodic driving. The document also discusses applications to areas like biology-inspired nano-devices and single molecule experiments.
The document discusses cosmological horizons in physics. It explains that there exists a physical horizon beyond which the early universe was opaque due to electron scattering, known as the surface of last scattering. This horizon represents the farthest point in the universe we can observe by detecting cosmic microwave background radiation. The document also notes that the near-perfect isotropy of the CMB is surprising given that different regions of the early universe beyond the particle horizon would not have been in causal contact. This suggests the universe achieved thermal equilibrium prior to the surface of last scattering.
This document discusses cosmological horizons in physics. It begins by explaining the particle horizon, which separates us from what we cannot observe because the light from beyond has not reached us yet. It then discusses other physical horizons that are closer than the particle horizon and depend on light propagation details in the universe. The document goes on to explain how observing further allows seeing back to when the universe was ionized, with the physical horizon being the surface of last scattering beyond which the universe was opaque due to scattering of photons by free electrons. It describes how detecting cosmic microwave background radiation photons provides strong evidence about the early hot phase of the universe.
Econofisica: alcuni tratti di una scienza ibridanipslab
The document discusses the modeling of economic complex systems using concepts and methods from physics. It provides three examples: 1) Filtering information from stock portfolio returns; 2) Analyzing high frequency strategic actions of economic actors in financial markets; 3) Empirical evidence of specialization among market members in financial markets. It also discusses hierarchical clustering analysis of correlation matrices to analyze complexity in financial markets.
COHERENCE, SELF-SIMILARITY AND BRAIN ACTIVITYnipslab
1) The document discusses coherence and self-similarity in brain activity, proposing that spatially extended domains of synchronized neural oscillations form rapidly in the brain and re-synchronize in frames at rates in the theta-alpha range.
2) These synchronized oscillation patterns cover large areas of the brain and are present during both resting and cognitive task periods, suggesting they represent background brain activity modulated by environmental engagement.
3) A dissipative quantum field theory model is able to account for the dynamical formation of these synchronized oscillations through spontaneous symmetry breaking mechanisms generating long-range correlations mediated by massless quanta.
La Previsione del tempo atmosferico dal paradigma deterministico a quello pro...nipslab
La Previsione del tempo atmosferico dal paradigma deterministico a quello probabilistico
Ten.Marcucci Francesca
Centro Nazionale Meteorologia e Climatologia Aeronautica
1. Il calore nella Finanza
Franco Moriconi
Universit` di Perugia – Facolt` di Economia
a a
Perugia, 12 Novembre 2008
2. Quotazioni FIAT – Serie giornaliera dal 6/11/2007 al 6/11/2008
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 2
3. 1. Quale modello per il processo del prezzo?
• X(t), t ≥ 0 : prezzo di una azione A al tempo t.
· Fissato t, X(t) ` una variabile aleatoria (v.a.);
e
· come funzione di t, X(t) ` un processo stocastico.
e
• Modello Gaussiano (Normale)
∀ t, X(t) ` normale con media X(0) + µ t e varianza σ 2 t.
e
Cio` :
e
∀ t ≥ 0 , X(t) − X(0) ∼ N µ t, σ 2 t .
· µ : parametro di drift (media per unit` di tempo, “velocit` media”),
a a
· σ 2 : parametro di diffusione (varianza per unit` di tempo).
a
Giustificazione del modello: teorema del limite centrale (?)
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 3
4. Se, per ogni t, X(t) ` normale con media X(0) + µ t e varianza σ 2 t
e
=⇒
per qualunque discretizzazione di [0, t] in n intervalli ∆t = t/n, si ha:
n
con ∆Xk ∼ N µ ∆t, σ 2 ∆t
X(t) = X(0) + ∆Xk , e indipendenti.
k=1
• Rappresentazione tramite “equazione alle differenze stocastica”:
X(0) = X0 ,
√
∆Xk = µ ∆t + σ ∆t εk , k = 1, 2, . . . , n ,
con εk ∼ N 0, 1 indipendenti.
=⇒ simulazione Monte Carlo (tipicamente, µ e σ sono stimati sui dati).
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 4
5. Esempio di simulazione.
Dalla serie storica FIAT 6/11/2007-2008: X0 = 20.78 , µ = −14.49 , σ = 105.64 .
Modello gaussiano
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 5
6. Nel tempo continuo
Equazione differenziale stocastica (eds):
X(0) = X0 ,
dX(t) = µ dt + σ dB(t) ,
√
con: dB(t) ∼ N 0, dt indipendenti.
· B(t) ` il Moto Browniano Standard (MBS)(∗);
e
· dB(t) ` l’incremento infinitesimo del MBS (differenziale stocastico).
e
Si pu` anche scrivere:
o
X(t) = X(0) + µ t + σ B(t)
→ X(t) come trasformazione lineare del MBS: Moto Browniano Lineare (MBL),
MB con drift.
(∗) Robert Brown, 1827 −→ movimento caotico di particelle sospese in liquido o gas.
Albert Einstein, 1905: delineato un modello stocastico per il moto Browniano.
Louis Bachelier, 1900: anticipato l’approccio BM alla teoria dei prezzi di borsa.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 6
7. Perch´ passare al continuo?
e
Le transazioni (e i prezzi) sono rilevate nel tempo continuo.
Quotazioni intraday FIAT – 6/11/2008
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 7
8. Propriet` del Moto Browniano
a
· B(t) ha traiettorie continue
· B(t) ha incrementi indipendenti e normali
· B(t) ∼ N 0, t
· B(t) non ` derivabile (varia per “punti angolosi”):
e
√
∆B(t) ∆t εt εt
= lim √ = ±∞ .
lim = lim
∆t→0 ∆t ∆t ∆t
∆t→0 ∆t→0
La continuit` consente di ipotizzare una “prevedibilit` locale” della traiettoria.
a a
La non-derivabilit` esclude questa possibilit`.
a a
=⇒ Le strategie deterministiche “buy low, sell high” non funzionano!
Dato che B(t) non ` derivabile, dB(t) ` un differenziale in senso atipico
e e
=⇒ riscrivere le regole del calcolo differenziale → calcolo differenziale stocastico.
(dB(t)/dt : “rumore bianco”, ma la definizione di derivata ` soltanto formale).
e
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 8
9. Il modello standard per i prezzi stocastici
Il modello normale consente valori negativi dei prezzi futuri!
• Il modello lognormale
X(t) = X(0) e µ t+σ B(t)
→ X(t) come trasformazione esponenziale del MBS: Moto Browniano Geometrico
(MBG).
Corrisponde all’e.d.s.:
dX(t) = µ X(t) dt + σ X(t) dB(t)
La distibuzione caratteristica ` la distribuzione lognormale → i prezzi non possono
e
diventare negativi.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 9
10. Normale vs lognormale
(media = 100, dst = 50)
Si perde la propriet` di indipendenza degli incrementi, ma il processo X(t) ` comunque
a e
un processo di Markov:
in t la distribuzione di X(t + τ ) per τ > 0 dipende solo dal valore corrente X(t) e non
dai valori passati: “il futuro dipende dal passato tramite il presente”
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 10
11. Il MBG ` una versione stocastica delle leggi di evoluzione esponenziali (“crescita a tasso
e
costante”).
Se si considera l’incremento percentuale infinitesimo:
dX(t)
R(t) = ,
X(t)
si ha che R(t) ` un MB lineare con drift:
e
dX(t)
= µ dt + σ dB(t).
X(t)
In finanza R(t) ` il (tasso istantaneo di) rendimento dell’azione A;
e
µ ` il rendimento atteso; σ ` la volatilit`.
e e a
Quindi, nel modello standard:
· i prezzi sono lognormali, e markoviani;
· i rendimenti sono normali, e indipendenti.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 11
12. Esempio di simulazione. Dalla serie storica FIAT 6/11/2007-2008:
X0 = 20.78 , µ = −1.195 (incr.= −70%) , σ = 0.55 .
Modello lognormale
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 12
13. Processi di diffusione
Il MBL e il MBG sono casi particolari di processi di diffusione, caratterizzati dall’eds:
dX(t) = a X(t), t dt + b X(t), t dB(t)
· a X(t), t : coefficiente di drift,
· b2 X(t), t : coefficiente di difffusione.
I processi di diffusione sono:
processi di Markov con traiettorie continue.
• Si consideri il processo:
Y (t) = f X(t), t ,
con f (x, t) funzione reale deterministica.
Il calcolo differenziale stocastico consente di descrivere la dinamica di Y a partire da
quella di X (e quindi da quella di B).
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 13
14. Il lemma di Ito
• Il teorema del differenziale totale
Se y = f (x, t) e dx = a dt + b dz, allora:
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f
dy = dt + dx = +a dt + b dz .
∂t ∂x ∂t ∂x ∂x
• Il differenziale totale in ambito stocastico (lemma di Ito)
Se Y = f (X, t) e dX = a dt + b dB, si ha:
∂f 1 2 ∂ 2f ∂f
dY = +b dt + dX
2
∂t 2 ∂X ∂X
1 2 ∂ 2f
∂f ∂f ∂f
= +a +b dt + b dB .
∂X 2 ∂X 2
∂t ∂X
Ma perch´ interessa considerare funzioni di X(t)?
e
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 14
15. 2. Un contratto derivato
• Sia X(t) il prezzo di un’azione A che non paga dividendi (X(t) ` un MBG), e sia, per
e
es., X(0) = 100.
• Si consideri un contratto derivato D, che paga in t = 1 anno l’importo:
Y (1) = max X(1), 100 .
−→ Come si pu` fissare il prezzo Y (0) del derivato?
o
Per la markovianit` di X(t) deve essere Y (0) = f X(0) .
a
Esistono delle regole di coerenza che pongono limitazioni su Y (0).
Per es., se in t = 0 si investe 100 sull’azione, in t = 1 si avr` X(1). Quindi deve essere
a
Y (0) ≥ 100, perch´ il derivato garantisce almeno X(1).
e
Regole di coerenza −→ principio di esclusione di arbitraggi non rischiosi:
Principio di Arbitraggio
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 15
16. Principio di Arbitraggio (PA)
Non si possono generare importi certi con un investimento nullo
Non esistono money pump
Non sono consentiti free lunch
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 16
17. Investimenti non rischiosi
L’azione A fornisce un’opportunit` di investimento rischiosa, perch´ il suo valore futuro
a e
X(t) ` una v.a.
e
• Si supponga che si possa anche investire senza rischio a un “tasso di interesse” r.
Investendo W (0) in t = 0, si avr` con certezza in t ≥ 0:
a
W (t) = W (0) e r t .
Si pu` anche dire che il valore in t = 0 di W (t) Euro sicuri in t ` :
o e
W (0) = W (t) e −r t
(W (0) ` il valore attuale di W (t); e −r t ` il fattore di sconto).
e e
In termini differenziali, vale la dinamica deterministica:
dW (t) = r W (t) dt .
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 17
18. Arbitrage Pricing
• Per il prezzo dell’azione (il “sottostante”) si ha:
dX(t) = µ X(t) dt + σ X(t) dB(t) .
• Per il prezzo del derivato deve aversi: Y (t) = Y X(t), t (per la markovianit`).
a
Quindi deve essere:
dY (t) = aY dt + bY dB(t) ,
dove la forma delle funzioni aY e bY ` data dal lemma di Ito.
e
• Argomentazione di hedging:
Si costituisca un “portafoglio” contenente 1 unit` di D e α unit` di A.
a a
· Il valore del portafoglio `: W (t) = Y (t) + α X(t).
e
· Si ha:
dW = (aY + α µ X) dt + (bY + α σ X) dB .
· Sia α∗ = −bY /(σ X). Per α = α∗ la componente rischiosa si annulla.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 18
19. · Per α = α∗ si ha:
dW ∗ = (aY + α∗ µ X) dt .
· Per il PA deve allora essere:
dW ∗ = W ∗ r dt .
=⇒
Utilizzando la forma esplicita di aY e bY questa equazione equivale alla:
1 2 2 ∂ 2Y ∂Y ∂Y
σX + rX + = rX. (1)
2
2 ∂X ∂X ∂t
←− equazione generale di valutazione.
E.d. alle derivate parziali di tipo parabolico, che va risolta specificando le condizioni al
contorno che caratterizzano D.
Nel nostro caso la c.c. (condizione a scadenza) ` :
e
Y (T ) = max X(T ), K , (2)
con T = 1 anno e K = 100 Euro.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 19
20. L’equazione generale di valutazione (e.g.v.)
1 2 2 ∂ 2Y ∂Y ∂Y
σX + rX + = rX.
∂X 2
2 ∂X ∂t
· Per r = 0 la e.g.v. corrisponde all’equazione del calore. (−→)
· La e.g.v. ` nota come equazione backward di Kolmogoroff. La sua “duale” ` l’equazione
e e
forward di Kolmogoroff, o equazione di Fokker-Planck. (−→)
· In finanza la e.g.v. ` l’equazione di Black e Scholes (1973).
e
Osservazione. Il rendimento atteso µ non entra nella valutazione! Al suo posto compa-
re r.
“We were both amazed that the expected rate of return on the underlying stock did
not appear in the differential equation”. [BS, 1998]
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 20
21. L’equazione del calore in una dimensione
k ∂ 2f
∂f
= ,
c ρ ∂X 2
∂t
dove:
· f = f (X, t) ` la temperatura come funzione dello spazio X e del tempo t,
e
· k ` la conduttivit` termica,
e a
· c ` la capacit` termica specifica,
e a
· ρ ` la densit` del materiale.
e a
Ponendo r = 0 nella e.g.v.:
1 2 2 ∂ 2f
∂f
=− σ X .
∂X 2
∂t 2
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 21
22. L’equazione di Fokker-Planck
• Equazione backward di Kolmogoroff:
1 2 ∂ 2f
∂f ∂f
=a +b ,
∂X 2 ∂X 2
∂t
dove:
· f = f (X, t) ` la densit` di probabilit` della posizione X di una particella,
e a a
· a = a(X, t) ` il coefficiente di drift,
e
· b2 = b2(X, t) ` il coefficiente di diffusione.
e
La e.g.v. si ottiene ponendo a = rX e b = σX e aggiungendo il termine lineare rX
(“killing function”).
• Equazione forward di Kolmogoroff, o equazione di Fokker-Planck:
1 ∂2 2
∂f ∂
=− (a f ) + (b f ) .
2 ∂X 2
∂t ∂X
(cfr. anche la dinamica di Langevin).
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 22
23. L’espressione del prezzo
Sotto la condizione Y (T ) = max X(T ), K , l’e.g.v. ha soluzione esplicita:
Y (0) = X(0) N (d1) + K e−r T N (d2) , (3)
con: x
1 2
e−u /2 du ,
N (x) = √
2 π −∞
log[X(0)/K] + r T 1 √ √
√
d1 = + σ T, d2 = d1 − σ T .
2
σT
`
E la formula di Black e Scholes.
“Probably the most frequently used formula with embedded probabilities in the human
history.” [Rubinstein, 1999]
• La calcolatrice Texas Instruments.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 23
24. Nel nostro esempio:
Assumendo r = 0.04, essendo σ = 0.55, K = X0 = 100 e T = 1, si ha:
e−r T = 0.96 , d1 = 0.34773 , d2 = −0.20227 , N (d1) = 0.63598 , N (d2) = 0.41985 ,
e quindi: Y (0) = 119.34 Euro.
Dalla propriet` elementare max{x, k} = x + max{k − x, 0} si ha:
a
Y (1) = max X(1), 100 = X(1) + P (1) ,
con:
P (1) = max 100 − X(1), 0 .
Quindi:
Y (0) = max X(1), 100 = X(0) + P (0) = 100 + 19.34 .
Il contratto P ` un’opzione put (diritto a vendere A in T = 1 al prezzo K = 100).
e
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 24
25. L’espressione in forma integrale
Esiste una espressione generale (in forma integrale) del problema (1) + (2):
1 2 2 ∂ 2Y ∂Y ∂Y
σX + rX + = rX
∂X 2
2 ∂X ∂t
Y (T ) = max X(T ), K
Vale la formula di Feynman-Kac:
+∞
Y (0) = e −r T max{x, K} ϕ∗ (x) dx (4)
T
0
dove ϕ∗ (x) ` la densit` di probabilit` lognormale con parametri r T e σ 2 T .
e a a
T
Si pu` anche scrivere:
o
Y (0) = e −r T E∗ Y (T ) (5)
dove E∗ rappresenta il valore atteso (expectation) di Y (T ) calcolato secondo la densit`
a
di probabilit` ϕ∗ (x) (probabilit` risk-neutral ).
aT a
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 25
26. 3. Un modello per i prezzi nel tempo discreto
Nel generico intervallo di tempo [k, k + 1]:
· Azione A: in k ha prezzo X, in k + 1 ha prezzo u X oppure d X
(u e d parametri noti, con d < u)
· Derivato D: in k + 1 ha prezzo Yu = max{uX, K} oppure Yd = max{dX, K}
(K ` fissato; il prezzo Y in k di D ` da ricavare)
e e
· Si pu` investire senza rischio al tasso i: W in k varr` (1 + i) W in k + 1
o a
(ponendo m = 1 + i, deve essere: d < m < u)
Argomentazione di hedging:
Se in k si pu` costruire un portafoglio:
o
Z = W +αX , (6)
che replica D, cio` che in k + 1 ha valore:
e
Zu = Yu oppure Zd = Yd , (7)
per il PA deve essere Y = Z.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 26
27. k+1
k
u X con probabilit` p
a
X €€
€€
d X con probabilit` 1 − p
a
€
Yu = max{uX, K} con probabilit` p
a
Y €€
€€
Yd = max{dX, K} con probabilit` 1 − p
a
€
Le condizioni Zu = Yu e Zd = Yd equivalgono alle:
m W + α u X+ = Yu ,
(8)
m W + α d X+ = Yd ,
da cui si ricava:
Yu − Yd u Yd − d Yu
α= , W= . (9)
(u − d) X (u − d) m
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 27
28. Quindi dalla Z = W + α X si ricava:
1
Y= q Yu + (1 − q) Yd ,
m
avendo posto:
m−d
q= .
u−d
Si ha cio`:
e
Y (0) = (1 + i)−1 E∗ Y (1)
−→ ancora la rappresentazione di Feynman-Kac!
Osservazione. La probabilit` p non entra nella valutazione! Al suo posto compare q.
a
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 28
29. Estensione a n periodi
Si ottiene un processo stocastico sul reticolo binomiale moltiplicativo
−→ modello binomiale di Cox, Ross e Rubinstein (1979).
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 29
30. Per il prezzo del derivato si ha la formula binomiale:
n
1 nk
q (1 − q)n−k max uk dn−k X, K
Y= n ,
m k
k=0
cio` ancora:
e
Y (0) = (1 + i)−n E∗ Y (n) .
Come si usa in pratica
Sia Y (T ) = max{X(T ), K}. Si sceglie n “abbastanza grande” e si pone:
√
r ∆t σ ∆t
∆t = T /n , m=e , u=e , d = 1/u .
• Se si passa al limite per n → ∞?
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 30
31. Il limite continuo
Per n → ∞:
√
• Con le scelte u = e σ ∆t
e d = 1/u si ottiene il modello Black e Scholes.
−→ Il modello CRR come approssimazione numerica del modello BS.
• Ma se si pone, per es.:
u = ea , d = eb ∆t , q = λ ∆t ,
si ottiene un modello basato su un processo a salti (per a = 1 e b = 0 processo di
Poisson).
! Per salti di ampiezza aleatoria l’hedging argument non ` pi` valido.
eu
! La formula di Feynman-Kac non fornisce pi` l’espressione del prezzo.
u
−→ teoria dei mercati incompleti; criteri aggiuntivi per il pricing.
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 31
32. Quotazioni intraday FIAT – 6/11/2008
F. Moriconi, Il calore nella Finanza – Perugia, 12 Novembre 2008 32