2. Moto di un grave(1)
E’ sperimentalmente provato che un grave in moto
lungo un asse verticale ha un’accelerazione di modulo
g = 9,8 m/s2 e diretta verso il basso. Se fissiamo un
asse z lungo la direzione di moto come in figura e
supponiamo z(0) = z0 abbiamo a = -g e quindi:
z (t )
v(t )
z0
v0t
v0
gt
1 2
gt
2
asse z
Z0
O
3. Un esempio
Supponiamo di lasciar cadere un corpo da un’ altezza
z0. Poiché la velocità iniziale è nulla, la legge del moto
è:
z (t )
v(t )
1 2
z0
gt
2
gt 0
Il corpo arriva al suolo all’ istante t* tale che z(t*) =
0. Si ricava :
0
z0
v
1
g (t*)2
2
2 gz0
t*
2 z0
g
v(t*)
gt*
g
2 z0
g
4. Somma in coordinate cartesiane
Se due vettori del piano u e v hanno rispettivamente
componenti (ux,uy) e (vx,vy), possiamo scrivere:
u = uxi + juy
v = vxi + jvy
essendo i e j i versori (vettori di modulo uno) degli assi.
u +v = (ux + vx)i+(uy + vy)j
5. Ogni vettore può essere scomposto nelle sue componenti
cartesiane secondo lo schema seguente:
6. Accelerazione vettoriale
Esattamente come si fa per la velocità, è possibile definire una accelerazione
media con la posizione:
Nel caso del moto di un proiettile si dimostra che l’accelerazione vettoriale
vale am = g con g diretta verso il basso e di modulo |g| = 9,8 m/s2 :
g
7. Moto di un grave(2) (proiettile)
Da quanto detto possiamo scrivere la relazione generale per Il moto parabolico:
R(t) = R0 + V0t + (1/2)gt2 1)
Se prendiamo un piano contenente sia g che V0 il moto avviene in questo piano e
quindi possiamo ridurci a solo due componenti. Quando si ha una relazione
vettoriale è possibile trasformarla in 2 equazioni tra numeri prendendo le
componenti dei due membri prima rispetto all’asse x e poi rispetto all’asse y.
Questa è una proprietà matematica che non dimostriamo. Dunque, del tutto in
generale, possiamo scrivere:
U
V
UX
VX ,U Y
VY
Il vettore R0 è il vettore posizione all’istante iniziale. Se il punto si trova per t = 0
all’origine degli assi, è R0 = 0 . Supponiamo inoltre che la velocità iniziale V0
formi con l’asse x un angolo α . La 1) da luogo alle due equazioni (scalari) :
9. Gittata del proiettile
Volendo trovare le coordinate del punto B del grafico, dobbiamo calcolare
l’istante t* in cui il proiettile, che parte da quota y = 0, si ritrova alla stessa
altezza. Calcolato t* dalla seconda equazione, lo inseriamo nella prima
per calcolare x(t*) = gittata:
1
0 y(t*) v0 sin( )t * g (t*)2
2
OB
v0 sin( )
v0 cos( )t* v0 cos( )2
g
0
t*
v0 sin( )
2
g
2
v sin( ) cos( )
2 0
g
10. Equazione della traiettoria
Se ricaviamo t dall’ equazione per x(t) e la sostituiamo in quella per y otteniamo
l’equazione della traiettoria:
t
x(t ) v0 cos( )t
1 2
y (t ) v0 sin( )t
gt
2
y
x
v0 cos( )
x
1
x
y v0 sin( )
g
v0 cos( ) 2 v0 cos( )
x2
xtg ( ) g
2
2v0 cos2 ( )
2
11. Massima altezza
Poiché l’ asse della parabola è parallelo all’asse y, anche la velocità, che è tangente
alla traiettoria nel punto di massima altezza, sarà in tale punto orizzontale:
Dunque per calcolare la massima altezza h basta imporre che vy sia zero:
vy
0
v0 sin( )
v0 sin( )t *
gt*
1
gt *2
2
v0 sin( )
g
sin( ) cos( )
g
t*
v0
2
h
y (t*)
12. Esercizi per casa
Gli esercizi presi dal Walker volume uno sono scaricabili dal seguente link:
http://antromano74.altervista.org/3b/esercizi-cinematica-3B.pdf
Consigliati 1, 2, 4 a pagina 45 , 17 pagina 46, 21 e 24 pagina 47
