Anteprima Fluidodinamica delle Turbomacchine

1. 7
Con il profilo di riferimento, 12 C1/40 C50, si ha uno spessore del 20% superiore a quello base, ottenendo
i valori di tabella 1.2.
% Corda Semi-spessore profilo (% corda)
0 0
1.25 1.650
2.5 2.328
5.0 3.210
7.5 3.870
10 4.320
15 5.010
20 5.460
30 5.940
40 5.772
50 5.244
60 4.500
70 3.516
80 2.460
90 1.344
95 0.780
100 0
Tabella 1.2: Tabella con la geometria del profilo di studio
Partendo dalla denominazione tecnica del profilo, si nota che la linea media appartiene ad un arco di
circonferenza.
A causa della simmetria della linea media rispetto al suo punto medio, `e lecito considerare i due angoli
geometrici α1
′
e α2
′
uguali tra di loro; inoltre, dalla scheda tecnica del profilo, si conosce l’angolo di
inarcamento θ.
Si giunge cos`ı al sistema di equazioni:
{
α1
′
− ( − α2
′
) = α1
′
+ α2
′
= θ = 40○
α1
′
= α2
′
→ {
α1
′
= 20○
α2
′
= 20○
Ponendo il centro del sistema di riferimento cartesiano coincidente con il bordo di attacco del profilo, si ha,
per simmetria dell’arco di cerchio, che l’ascissa del centro della circonferenza di base si trova esattamente
alla met`a della corda del profilo; conoscendo l’ascissa del centro, se ne trova anche l’ordinata da semplici
relazioni trigonometriche:
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x0 =
c
2
y0 = −
x0
tan(α1
′)
Lo spessore `e distribuito ortogonalmente alla linea media; si pu`o quindi scrivere il seguente sistema di
equazioni per il dorso ed il ventre del profilo:
{
xdorso = xl.m. − t
2 sin(φ)
ydorso = yl.m. + t
2 cos(φ)
{
xventre = xl.m. + t
2 sin(φ)
yventre = yl.m. − t
2 cos(φ)
dove l’angolo φ si ricava da considerazioni trigonometriche:
tan(φ) =
xl.m. − x0
yl.m. − y0

2. 9
Si ottiene infine il seguente profilo:
Figura 1.3: Profilo base e relativa rotazione
Utilizzando infine l’ultimo dato del problema, quello relativo alla solidit`a σ, si riesce a disegnare la schiera
della turbomacchina nel 2D e nel 3D.
Figura 1.4: Schiera 2D della turbomacchina

3. 10
Figura 1.5: Schiera 3D della turbomacchina

4. 14
2.2 Derivazione delle curve del coefficiente di pressione
Il campo di moto principale `e dovuto dalla corrente a monte della pala, corrente inclinata dell’angolo α
rispetto alla pala stessa. A questo campo di moto `e associato il potenziale complesso W1, cos`ı definito:
W1 =
q∞d
2π
[e−i(α+γ)
ln(
ζ + 1
k
ζ − 1
k
) + ei(α+γ)
ln(
ζ + k
ζ − k
)]
Questo potenziale tuttavia presenta il problema di avere velocit`a complessa infinita al bordo di fuga.
dW1
dz A
=
dW1
dζ
1
dz
dζ
=
≠ 0
0
= ∞
Per evitare il problema si introduce una distribuzione di vortici che porta un nuovo potenziale complesso
W2, cos`ı definito:
W2 =
iK
2π
{ln[(ζ + k)(ζ − k)] − ln[(ζ +
1
k
)(ζ −
1
k
)]}
Il nuovo potenziale del problema, W, `e adesso dato dalla somma dei due potenziali, W1 e W2.
Per determinare l’intensit`a dei vortici presenti nel secondo potenziale complesso, si impone la condizione
di Kutta al bordo di fuga della lamina:
dW
dz A
= (
dW1
dζ
+
dW2
dζ
)
1
dz
dζ A
=
0
0
ricavando il valore di K:
K
d
=
2kq∞ cos(θA)
cos(γ)(1 + k2) sin(α)
A questo punto `e possibile ricavare la velocit`a complessa del campo di moto:
dW
dz
= (
dW1
dζ
+
dW2
dζ
)
1
dz
dζ
dove:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
dW1
dζ
=
dq∞
2π
[e−i(γ+α)
(
1
ζ + 1
k
−
1
ζ − 1
k
) + ei(γ+α)
(
1
ζ + k
−
1
ζ − k
)]
dW2
dζ
=
iK
2π
[
1
ζ + k
+
1
ζ − k
−
1
ζ + 1
k
−
1
ζ − 1
k
]
dz
dζ
=
d
2π
[
1
ζ + 1
k
−
1
ζ − 1
k
+ ei2γ
(
1
ζ + k
−
1
ζ − k
)]
Le derivate parziali in ζ sono numeri complessi; si pu`o allora andare a rappresentare le velocit`a complesse
come somma di una componente reale, u, e una componente immaginaria, v.
dW
dz
=
R(dW1
dζ
) + iI(dW1
dζ
) + R(dW2
dζ
) + iI(dW2
dζ
)
R(dz
dζ
) + iI(dz
dζ
)
= u − iv
Si riesce infine, partendo dalla sua definizione e assumendo flusso incompressibile, a ricavare il CP in
funzione della velocit`a:
CP =
p − p∞
1
2ρq∞
2
=
1
2ρ(q∞
2 − q2)
1
2ρq∞
2
= 1 −
q2
q∞
2
= 1 −
u2 + v2
q∞
2

5. 18
Figura 2.9: Curva del coefficiente di pressione per α = +8○
Figura 2.10: Curva del coefficiente di pressione per α = +12○

6. 22
Figura 3.3: Evoluzione del triangolo delle velocit`a
Rimandandosi alla geometria della figura 3.1, si possono ricavare le seguenti relazioni:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
cx1 = cm cos(αm) = cm cos(γ + im)
cx2 = cm cos(αm) = cm cos(γ + im)
cy1 = cm sin(αm) +
K
d
= cm sin(γ + im) +
K
d
cy2 = cm sin(αm) −
K
d
= cm sin(γ + im) −
K
d
ottenendo di conseguenza le velocit`a a monte e a valle:
c1 =
√
cx1
2 + cy1
2 c2 =
√
cx2
2 + cy2
2
Rifacendosi sempre della figura 3.1, si possono notare le seguenti relazioni geometriche:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
tan(αm) =
1
2
[tan(α1) + tan(α2)]
tan(α1) =
cy1
cx1
tan(α2) =
cy2
cx2
e
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
i = α1 − γ
δ = α2 − γ
im = αm − γ
Per la costruzione dei diagrammi, si usano i seguenti dati cinematici e geometrici:
ˆ cm = 1;
ˆ γ = 30○
ˆ k = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1]

7. Esercitazione 4:
Studio preliminare del coefficiente di
diffusione e dell’angolo di deviazione
per mezzo delle correlazioni di Howell
Lo scopo di quest’esercitazione `e quello di ricavare gli andamenti del coefficiente di diffusione CDiff e
dell’angolo di deflessione δ mediante le correlazioni sperimentali di Howell.
Nell’ipotesi di un fluido incomprimibile, si ha che la pressione totale p○
`e data dalla seguente relazione:
p○
= p +
1
2
ρc2
Mettendo a sistema la pressione totale a monte e a valle della schiera e ipotizzando perdite sulla paletta,
si ottiene:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
p1
○
= p1 +
1
2
ρc1
2
p2
○
= p2 +
1
2
ρc2
2
⇒ p2 − p1 =
1
2
ρ(c1
2
− c2
2
) − (p1
○
− p2
○
)
∆p○
⇒ p2 − p1 =
1
2
ρ(c1
2
− c2
2
) − ∆p○
Si pu`o quindi andare a definire il coefficiente di diffusione CDiff :
CDiff =
p2 − p1
1
2ρc1
2
=
1
2ρ(c1
2 − c2
2)
1
2ρc1
2
−
∆p○
1
2ρc1
2
= 1 − (
c2
c1
)
2
−
∆p○
1
2ρc1
2
Quindi vengono definiti gli altri parametri fluidodinamici di riferimento del problema:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
D = ∆p○
cos(αm)d
CD =
D
1
2
ρcm
2l
CD =
∆p○ cos(αm)d
1
2ρcm
2l
=
∆p○ cos(αm)
(1
2ρc1
2) (cm
2
c1
2 ) ( l
d
)
Facendo sempre riferimento alla figura 3.1, valgono le seguenti relazioni:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
cx1 = c1 cos(α1)
cxm = cm cos(αm)
⇒
cm
c1
=
cos(α1)
cos(αm)
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
cx1 = c1 cos(α1)
cx2 = c2 cos(αm)
⇒
c2
c1
=
cos(α1)
cos(α2)
25

8. 29
Figura 4.5: ε∗
ΦΨ
in funzione di α2
∗
, con annessa derivazione dei valori
Figura 4.6: Ψ in funzione di 1
σ
, con annessa derivazione dei valori
Ricavato il valore di ε∗
, si pu`o trovare α1
∗
dalla relazione:
ε∗
= α1
∗
− α2
∗
e da α1
∗
si ricava il valore dell’incidenza i∗
:
i∗
= α1
∗
− α1
′

9. 34
Dopo aver posto le basi della geometria, il passo successivo prevede la definizione del numero di stadi:
β○
= βst
n
⇒ n =
β○
βst
Si `e ora in possesso dei dati necessari per calcolare l’evoluzione delle grandezze termodinamiche:
ηc =
Lis
Lc
⇒ Lc =
Lis
ηc
=
he,is
○
− hi
○
ηc
=
CP
ηc
(Te,is
○
− Ti
○
)
Lc =
CP Ti
○
ηc
(
Te,is
○
Ti
○ − 1) =
CP Ti
○
ηc
[(
pe
○
pi
○
)
γ−1
γ
− 1] =
CP Ti
○
ηc
[(β○
)
γ−1
γ
− 1]
Da questa relazione ricavo il lavoro totale del compressore; girandola, posso ricavare la temperatura totale
d’uscita:
Lc = ∆h○
= he
○
− hi
○
= CP (Te
○
− Ti
○
) ⇒ Te
○
=
Lc
CP
+ Ti
○
Conoscendo quindi il salto di temperatura totali e la temperatura statica di ingresso, si pu`o trovare la
temperatura statica di uscita:
∆h○
= he
○
− hi
○
= he +
ce
2
2
− hi −
ci
2
2
= he − hi = ∆h ⇒ ∆T○
= ∆T
∆T = Te − Ti ⇒ Te = Ti + ∆T○
Per definire la corretta suddivisione delle temperature, si ricorre alla definizione del fattore di carico Ψ:
Ψ =
Lc
u2
=
CP ∆T○
u2
Nel progetto conviene Ψ maggiori negli stadi centrali e pi`u bassi a monte e a valle.
Allora, a fronte di un ∆T○
= 196K, si introduce la divisione proposta in tabella:
IGV 1○
stadio 2○
stadio 3○
stadio 4○
stadio 5○
stadio 6○
stadio 7○
stadio
∆T○
0 25 25 32 32 32 25 25
il cui andamento `e proposto in figura:
Figura 5.5: Profilo di temperatura nel compressore

10. 37
Per valutare i triangoli di velocit`a all’hub e al tip, si ricorre all’equazione della teoria dell’equilibrio radiale
semplice:
cx
dcx
dr
+
cθ
r
d
dr
(rcθ) =
dh○
dr
lavoro costante
lungo il raggio,
dh○=0
−
T
ds
dr
perdite costanti
lungo il raggio,
ds=0
cx
dcx
dr
+
cθ
r
d
dr
(rcθ) = 0
Inoltre, vale che:
ψh =
Cp∆T○
uh
2
Cp∆T○
um
2
= ψm
essendo rh rm → uh um. Si usa come criterio di svergolamento delle pale il criterio di tipo esponen-
ziale, che prevede una legge della famiglia:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
cθ1 = a −
b
r
cθ2 = a +
b
r
Con questa legge, si pu`o procedere alla risoluzione della differenziale:
d
dr
(
cx
2
2
) + (a
b
r
)
1
r
d
dr
[(a
b
r
)r] = 0
d
dr
(
cx
2
2
) + (a
b
r
)
1
r
d
dr
(ar b) = 0
d
dr
(
cx
2
2
) + (a
b
r
)
a
r
= 0
d
dr
(
cx
2
2
) + (
a2
r
ab
r2
) = 0
d(
cx
2
2
) + (
a2
r
ab
r2
)dr = 0
cx
2
2
+ [a2
lnr ±
ab
r
+ K] = 0
cx
2
= −2[a2
lnr ±
ab
r
+ K]
Per definire cx = cx (r), servono a, b e K:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
cθ1m = a −
b
rm
cθ2m = a +
b
rm
→ trovo a e b
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
cx1m
2
= −2[a2
lnrm +
ab
rm
] + K1
cx2m
2
= −2[a2
lnrm −
ab
rm
] + K2
→ trovo K1 e K2
Con tutti questi dati, `e possibile trovare l’evoluzione del triangolo delle velocit`a lungo il raggio.

11. 38
Figura 5.8: Triangolo delle velocit`a all’hub
Figura 5.9: Triangolo delle velocit`a al tip

12. 45
5.4.2 Statore
Per il statore si hanno i seguenti angoli notevoli:
β1 β2
angolo al tip [○] 25.115 49.644
angolo al mid [○] 20 45.867
angolo all’hub [○] 12.579 43.483
Si ottiene cos`ı la seguente geometria:
Figura 5.17: Profili dello statore