1. MATERIALE FEROMAGNETICE
Scopul lucrării
Scopul acestei lucrări de laborator este determinarea dependenţei
permeabilităţii complexe relative magnetice a materialelor feromagnetice in funcţie
de frecvenţă, precum şi evidenţierea curbei de histerezis care caracterizează aceste
materiale.
I. Introducere teoretică
Câteva metale (Fe, Ni, Co) sau aliajele lor sunt materiale reprezentative
pentru clasa materialelor feromagnetice. Acestea se caracterizează (la temperaturi
inferioare temperaturii Curie) prin domenii (Weiss) magnetizate spontan la
saturaţie, dar orientate dezordonat în absenţa unui câmp magnetic exterior.
Plasarea acestor materiale în câmp magnetic are ca rezultat orientarea momentelor
dipolare ale domeniilor în direcţia câmpului exterior. În medii magnetice se pot
scrie relaţiile:
rot = , div =0, =µ0 + (1)
iar aspectul liniilor de câmp ale vectorilor şi (din material) sunt exemplificate
în Figura 1 pentru un cilindru feromagnetic plasat în câmpul (definit în absenţa
materialului).
Figura 1. Aspectul liniilor de câmp pentru un cilindru feromagnetic.
Caracteristicile cele mai importante ale materialelor feromagnetice sunt
curbele de magnetizare B = f(H) obţinute prin aplicarea unui câmp progresiv
crescător unui material iniţial demagnetizat.
În Figura 2 sunt prezentate calitativ pentru un aliaj moale din punct de
vedere magnetic pe bază de fier dependenţele tipice ale permeabilităţii statice
(câmpul aplicat este crescut lent) şi inducţia în material.
În cazul câmpurilor alternative se disting în general două regimuri tipice de
funcţionare:
 regimul de “semnal mic” cu amplitudine redusă a câmpului alternativ H~
aplicat, suprapus sau nu, peste un câmp continuu H=;
 regimul de “semnal mare” în care valoarea câmpului este suficientă pentru ca
materialul să descrie un ciclu de histerezis.

2. Figura 2. Dependenţele µ(H) şi B(H) pentru un aliaj moale
din punct de vedere magnetic
În Figura 3 sunt prezentate aceste regimuri posibile, definindu-se
permeabilităţile uzuale: iniţială (I), reversibilă (II) şi de amplitudine (III).
Figura 3. Permeabilităţile uzuale pentru materialele feromagnetice
Datorită pierderilor de energie prin curenţi induşi (Foucault), histerezis,
magnetizare, permeabilitatea magnetică a materialului se defineşte (în complex
simplificat) ca fiind:
mj
00
e
H
B
H
B
j δ−
µ
=
µ
=µ′′−µ′=µ (2)
unde B şi H sunt fazorii inducţiei şi câmpului alternativ aplicat, iar δm este unghiul
de pierderi.
Din relaţia (2) rezultă că µ′ are în general semnificaţia definită în Figura 3,
iar
m
m
Q
1
tg =
µ ′′
µ′
=δ defineşte factorul de calitate Qm al materialului.

3. A. Caracterizarea materialelor feromagnetice la semnal mic
Pentru a caracteriza un material feromagnetic la semn mic (B~ < 1 mT) se
utilizează 2 bobine cu aceeaşi geometrie a bobinajului (preferabil toroidală pentru a
neglija cu bună aproximaţie câmpul de dispersie), una având ca miez materialul
feromagnetic de studiat, iar cealaltă un miez nemagnetic de aceleaşi dimensiuni.
În Figura 4 sunt prezentate schiţele celor 2 bobine.
Figura 4. Cele două bobine cu miez nemagnetic, respectiv
feromagnetic şi schemele lor echivalente
Scriind impedanţele celor două bobine rezultă:
Z0 = r0 + jωL0;
Zm = r0 + jωL = r0 + µL0 = r0 + ωµ′′ L0 + jωµ′L0 = r + jωµ′L0 (3)
unde:
r0 este rezistenţa de pierderi prin efect Joule, proximitate, dielectrici, etc. în
conductorul de bobinaj;
r – rezistenţa serie echivalentă a bobinei cu miez r = r0 + rm = r0 + ωµ′′ L0, rm
fiind rezistenţa de pierderi datorată prezenţei miezului magnetic;
L şi L0 - inductanţa cu şi fără miez a bobinei;
µ - permeabilitatea (iniţială) complexă a miezului;
π
ω
2
- frecvenţa de măsură.
Factorul de calitate al materialului Qm este:
b0
b0
m
QQ
QQ
Q
−µ′
µ′
=
µ ′′
µ′
= (4)
unde Q0 şi Qb sunt factorii de calitate ai bobinelor fără miez, respectiv cu miez:
m0
b
0
0
0
rr
L
Q;
r
L
Q
+
ω
=
ω
= (5)
Dacă se măsoară la o frecvenţă dată 





π
ω
2
mărimile Lo, L, r0 şi r
permeabilitatea complexă a miezului poate fi calculată utilizând relaţia:
rm

4. 0
0
0 L
rr
j
L
L
j
ω
−
−=µ′′−µ′=µ (6)
Pentru caracterizarea miezurilor având geometrii diverse se utilizează “torul
de substituţie” (imaginar) care este “confecţionat” dintr-un material cu
permeabilitatea efectivă µe, având lungimea le şi aria Ae. Din condiţia ca torul de
substituţie, cu acelaşi număr de spire ca şi înfăşurarea pe miezul considerat, să
conducă la aceiaşi parametri magnetici rezultă dimensiunile şi permeabilitatea
efectivă, astfel:
;
C
C
l
2
2
1
e = ;
C
C
A
2
1
e =
;
A
l
C
i ii
i
1
e
∑ µ′
=µ′
(7)
∑==
i i
i
e
e
1
A
l
A
l
C ∑==
i
2
i
i
2
e
e
2
A
l
A
l
C
unde iµ′ , li şi Ai sunt parametrii permeabilitate magnetică, lungime şi arie
transversală a porţiunii omogene “i” a miezului considerat.
Inductanţa înfăşurării cu N spire pe miezul dat se poate estima pe baza
parametrilor torului de substituţie:
[ ] [ ]
[ ]mml
10mmAN104
HL
e
32
e
2
e
7 −−
⋅⋅⋅µ′⋅⋅π
= (8)
B. Caracterizarea materialelor feromagnetice la semnal mare
Pentru a caracteriza regimul de “semnal mare” se va vizualiza pe ecranul
osciloscopului ciclul dinamic de histerezis pentru un miez utilizând tehnica
figurilor Lissajous.
Principial, se va utiliza schema din Figura 5.
Figura 5. Schema principială pentru vizualizarea ciclului de histerezis.
Pentru deflexia pe orizontală (intrarea X):
( );tiRu 11x = ( )
( )
;
l
tiN
tH
e
11
= ( )tH
N
l
Ru
1
e
1x = (9)
de unde:
( ) ( ) ( )tH
k
1
tH
N
l
R
A
1
tx
x1
e
1
x
== (10)

5. unde Ax 



div
V
este amplificarea pe canalul X al osciloscopului, iar kx este factorul
de scală corespunzător aceluiaşi canal.
Pentru deflexia verticală:
dt
dB
AN
dt
d
Nu e22y =
Φ
=′ (11)
( ) ( )∫∫ =
′
≈=
t
0
e2
y
t
0
2y tBAN
RC
1
dt
R
u
C
1
dtti
C
1
u (12)
deoarece:
)R
C
1
(uu yy <<
ω
>>′ (13)
Atunci:
( ) ( ) ( )tB
k
1
tBAN
RC
1
A
1
ty
y
e2
y
== (14)
unde Ay 



div
V
este amplificarea pe canalul Y, iar ky este factorul de scală
corespunzător aceluiaşi canal.
Parametrii de scală pot fi calculaţi din (10) şi (14):




=
div
mA
lR
NA
k
e1
1x
x 



=
div
T
AN
RCA
k
e2
y
y (15)
II. Desfăşurarea lucrării
1. Dependenţa de frecvenţă a permeabilităţii magnetice relative complexe.
Principiul de măsurare a fost prezentat în secţiunea I.A. Se va realiza
montajul din Figura 6 în care:
- B este bobina (cu sau fără miez) a cărei inductanţă L şi rezistenţă de pierderi de
tip serie r trebuie măsurate;
- G - generator sinusoidal (amplitudinea acestuia se fixează la U = 3 V);
- VE - voltmetru electronic (instrument de nul);
- R2 şi C2 sunt o rezistenţă şi un condensator reglabile (cutii decadice de
rezistoare, respectiv de condensatoare);
- R1 = R3 = 1 KΩ sunt rezistenţe fixe;
- Tr1:1 este un transformator de separare galvanică între masa generatorului G şi
a voltmetrului electronic VE.

6. Figura 6. Puntea Maxwell-Wien pentru determinarea
dependenţei de frecvenţă a permeabilităţii
magnetice relative complexe.
Principiul de determinare a inductanţei L şi rezistenţei de pierderi r ale bobinei
B folosind schema din Figura 6 (punte Maxwell-Wien) se bazează pe
particularităţile acestei punţi. Se observă în Figura 6 că puntea Maxwell-Wien se
alimentează pe o diagonală cu un semnal sinusoidal de frecvenţă reglabilă, iar pe
cealaltă diagonală se măsoară diferenţa de tensiune. Dacă este îndeplinită condiţia
de acord a punţii:
Z1·Z3 = Z2·Z4 (16)
unde Z1 şi Z3, respectiv Z2 şi Z4 sunt impedanţele de pe laturile opuse ale punţii,
atunci tensiunea măsurată de voltmetrul electronic VE este nulă, indiferent de
valoarea amplitudinii semnalului sinusoidal al generatorului G. Ţinând cont de
acestea măsurătorile se vor efectua în felul următor:
- se acordează puntea prin modificarea valorilor rezistenţei R2 şi a capacităţii C2
(cutii decadice);
Observaţie: Reglajul celor două cutii decadice se face alternativ, pornind de la
cifra cea mai semnificativă spre cea mai nesemnificativă, căutând ca indicaţia
voltmetrului electronic VE să devină minimă, acesta fiind pe scara cea mai
sensibilă!
- în momentul când acordul a fost realizat, valorile L şi r pot fi calculate din
condiţia de acord a punţii Maxwell-Wien, rezultând:
231 CRRL =
2
31
R
RR
r = (17)
Se dispune de 3 înfăşurări : bobina fără miez L0 (N=300 spire) şi bobinele L1
şi L2, identice din punct de vedere geometric şi având acelaşi număr de spire ca şi
L0, realizate pe miezuri din tole E+I din tablă de siliciu. Diferenţa între L1 şi L2
rezidă în modul de asamblare a miezului: pentru bobina L1 miezul este realizat din
tole întreţesute (fără întrefier), iar pentru bobina L2 din tole asamblate neîntreţesut,
cu întrefier.

7. Se conectează, pe rând, bobina L1, respectiv L2 în locul bobinei B din
Figura 6. Se fixează frecvenţa la valorile specificate în Tabelul 1 şi se face
acordul punţii pentru ca indicaţia voltmetrului electronic VE să fie minimă. Datele
obţinute se trec în Tabelul 1.
Tabelul 1
f [KHz] 0,5 0,8 1 2 5 8 10 12 15 18
Măsurători
Bobina fără
întrefier L1
C21 [µF]
R21 [Ω]
Bobina cu
întrefier L2
C21 [µF]
R21 [Ω]
Calcule
Bobina fără
întrefier L1
L1 [mH]
r1 [Ω]
µ′
µ′′
Bobina cu
întrefier L2
L2 [mH]
r2 [Ω]
efµ′
efµ′′
Se calculează L1, r1, L2 şi r2 din condiţiile de acord ale punţii Maxwell-Wien,
trecându-se datele în secţiunea a doua din Tabelul 1.
Se măsoară L0 şi r0 cu puntea BM 504 la f = 32 Hz şi f = 800 Hz. Se
completează Tabelul 2. Media acestor valori (vezi Tabelul 2) se va folosi pentru
calculul permeabilităţii relative complexe după cum se va arăta.
Tabelul 2
Bobina fără
miez L0
f [Hz] 32 800 Valorile medii
L0 [mH]
r0 [Ω]
Se va observa slaba dependenţă a valorilor L0 şi ro de frecvenţa de măsură în
domeniul frecvenţelor joase.
Se vor calcula cu ajutorul relaţiei (6) partea reală µ' şi cea imaginară µ''
pentru bobina fără întrefier L1, respectiv µ'ef şi µ''ef pentru bobina cu întrefier L2,
pentru cele 10 frecvenţe din Tabelul 1, completându-se secţiunea de calcule a
acestuia.
Pe baza Tabelului 1 se vor reprezenta grafic dependenţele µ'(f), µ''(f) şi
Qm(f), respectiv µ'ef(f), µ''ef(f) şi Qmef(f), unde Qm = µ' / µ'' şi Qmef(f) = µ'ef / µ''ef
sunt, respectiv, factorul de calitate al miezului magnetic pentru bobina fără
întrefier şi factorul de calitate echivalent pentru bobina cu întrefier. Cele 6 grafice

8. se vor realiza pe 3 diagrame diferite sau pe aceeaşi diagramă, însă cu scale diferite
pentru cele 3 mărimi. Explicaţia este următoarea: cele 3 mărimi studiate au game
de valori care diferă cu câteva ordine de mărime, astfel că reprezentarea lor pe o
diagramă cu o singură etalonare pe axa ordonatelor este practic imposibilă!
2. Caracterizarea materialelor feromagnetice în regim de semnal mare.
Principiul de măsură a fost prezentat în secţiunea I.B. Cu ajutorul schemei
din Figura 7 se vor vizualiza pe osciloscop curbele de histerezis dinamic pentru un
material feromagnetic (circuit magnetic închis) Tr1 şi pentru un material
ferimagnetic în două variante: Tr2 ( circuit magnetic închis) şi Tr3 (circuit magnetic
cu întrefier). Înfăşurările celor 3 transformatoare sunt identice ca geometrie şi
număr de spire (N = 1000 spire).
Figura 7. Montaj pentru vizualizarea caracteristicii de histerezis pentru diferite
miezuri magnetice şi pentru determinarea dependenţei µ = f(H).
Din relaţiile (10) şi (14) rezultă că tensiunile în punctele de măsură 1, 2 şi 3
sunt proporţionale cu inductia câmpului magnetic în miez B, iar căderea de
tensiune pe rezistenţa R1 este proporţională cu intensitatea câmpului magnetic H.
Se calculează constantele de scară kx şi ky folosind relaţiile (15) şi următorii
parametri ai torului de substituţie pentru miezurile considerate:
le = 190 mm Ae= 190 mm2
(18)
Se calibrează osciloscopul cu ajutorul generatorului intern de semnal
dreptunghiular, astfel încât amplificarea pe canalele X, respectiv Y să fie
Ax = 1V/div şi Ay = 0,1 V/div.

9. Se execută montajul din Figura 7 utilizând ambele canale Y(1,2) ale
osciloscopului pentru a vizualiza simultan ciclurile de histerezis ale miezurilor de
fier-siliciu Tr1 (tablă de siliciu 4%) şi ferită (fără întrefier) Tr2 pentru a compara
materialele. De asemenea, se vor vizualiza simultan ciclurile corespunzătoare
miezului de ferită Tr2 (circuit magnetic închis, fără întrefier) şi miezului de ferită cu
întrefier Tr3 pentru a pune în evidenţă influenţa întrefierului asupra proprietăţilor
magnetice de material.
Observaţie: Înainte ca generatorul să fie cuplat la reţea nivelul acestuia va fi redus
la minim pentru ca apoi să fie crescut progresiv.
Se va lucra la frecvenţele f1 = 50Hz şi f2 = 100Hz. Se vor lua, pe rând,
câmpuri a căror amplitudine să fie (măsurate vârf la vârf) de 2, 4, 6, 8 şi 10
diviziuni pe orizontală, notându-se amplitudinile corespunzătoare ale inducţiei B.
Pentru Tr1 şi Tr2 se va completa Tabelul 3. Se vor utiliza constantele de scară kx şi
ky pentru conversia din diviziuni în unităţi magnetice, astfel că:
H = kx·nr.div/oriz.; B = ky·nr.div/vert.
Tabelul 3
Nr. div./oriz. 2 4 6 8 10
H [A/m]
Tr1
Nr. div./vert.
B1 [T]
Tr2
Nr. div./vert.
B2 [T]
Se vor ridica curbele µ1,2 = f(H), unde H
B
0
2,1
2,1
µ
=µ . Se va observa cum
permeabilitatea magnetică creşte de la o valoare iniţială µi, atinge o valoare
maximă µmax, apoi scade către o valoare µsat.
Se determină permeabilitatea magnetică relativă efectivă µef pentru miezul
cu întrefier Tr3 prin măsurarea pantei caracteristicii de histerezis a acestuia.
Cunoscând relaţia care defineşte permeabilitatea efectivă a unui miez cu
întrefier:
σµ+
µ
=µ
1
ef
în care:
− µ este permeabiltatea miezului magnetic;
−
l
δ
≅σ unde δ reprezintă grosimea întrefierului, iar l este lungimea totală a
miezului (circuitului magnetic)
să se determine grosimea întrefierului δ folosit în cazul miezului Tr3, utilizând
pentru µ valoarea maximă a curbei µ2 = f(H) determinată anterior.

10. Conţinutul referatului
 scopul lucrării;
 Tabelul 1 şi Tabelul 2 împreună cu relaţiile de calcul folosite;
 graficele de la punctul II.1. realizate după indicaţiile de la paragraful respectiv;
 calculul constantelor de scară kx şi ky;
 Tabelul 3 împreună cu relaţiile de calcul folosite, precum şi graficele µ = f(H);
 calculul grosimii întrefierului pentru miezul Tr3;
 concluzii şi comentarii.