Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan matematika yang membahas sistem pembuktian formal dan kesimpulan yang dapat diambil berdasarkan aturan-aturan logika. Materi utamanya meliputi konsep-konsep seperti pernyataan, negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, tautologi, kontradiksi, dan penarikan kesimpulan.

1. LogikaMatematika
LogikaMatematikaadalahsebuahcabang matematikayangmerupakangabungandari ilmulogika
dan ilmumatematika.Logikamatematikaakanmemberikanlandasanbagaimanacaramengambil
kesimpulan.
LogikaMatematikaadalahcabang logikadan matematikayangmengandungkajianmatematislogika
dan aplikasi kajianini padabidang –bidanglaindiluarmatematika.Logikamatematikaberhubungan
erat denganilmukomputerdanlogikafilosofis.Temautamadalamlogikamatematikaantaralain
adalahkekuatanekspresif formal dankekuatandeduktifdari sistempembuktianformal.Materi
logikamatematikameliputidiantarapernyataan,negasi,konjungsi,disjungsi ,implikasi,biimplikasi,
tautologi,kontradiksi,pernyataanmajemukyangekuivalen,pernyataanberkuantorsertapenarikan
kesimpulan.
Pernyataandalamlogikamatematikaadalahsebuahkalimatyangdidalamnyaterkandungnilai –nilai
yang dapatdinyatakan“benar”atau “salah”namun kalimattersebuttidakbisamemilikikedua-
duanya(salahdanbenar).
Pernyataan
a. PernyataandanBukan Pernyataan
Pernyataandalamlogikamatematikaadalahsebuahkalimatyangdidalamnyaterkandungnilai-nilai
yang dapatdinyatakan“benar”atau “salah”namun kalimattersebuttidakbisamemilikikedua-
duanya(salahdan benar).Sebuahkalimattidakbisadinyatakansebagai sebuahpernyataanapabila
tidakbisamenentukanapakahkalimattersebutbenaratausalahdanbersifatrelatif.Di dalamlogika
matematikadikenalduajenispernyataanyaitupernyataantertutupdanpernyataanterbuka.
Pernyataantertutupadalahkalimatpernyataanyangsudahbisadipastikannilai benar-salahnya.
Sedangkanpernyataanterbukaadalahkalimatpernyataanyangbelumbisadipastikannilai benar-
salahnya.
Suatukalimatmerupakanbukanpernyataanjikakalimattersebuttidakdapatdi tentukanbenaratau
salahnyaatau mengandungpengertianrelatif.
b. Lambangdan Nilai kebenaransuatupernyataan
Dalamlogikamatematikasebuahpernyataanbisadi lambangkandenganhuruf kecil a,b,c ………….p,
q,……z.Setiappernyataanmempunyai nilai kebenaranB(benar),jikapernyataanbernilaibenaratau
mempunyai nilaikebenaranS(salah),jikapernyataansalah.Lambangdari nilai kebenaranadalahτ
(di baca tau) dari huruf bahasa Yunani.
Sehinggadi peroleh:
τ(p) : B di baca nilai kebenaranpernyataanpadalahbenar
τ(q) : B di baca nilai kebenaranpernyataanqadalahsalah
c. KalimatTerbuka
Kalimatterbukaadalahkalimatyangmemuatvariabel (peubah)dimanajikavariabel tersebutdiganti
konstantaakan menjadi sebuahpernyataan.Adapunkonstantaadalahlambanguntukmenunjukkan
anggota tertentudalamsemestapembicaraan.
KalimatIngkaran(Negasi)
Negasi adalahsuatupernyataanyangdiperolehdari suatupernyataansebelumnyadanmempunyai
nilai kebenaranyangberlawanandengansebelumnya.Pernyataanbiasanyadilambangkandengan

2. huruf kecil p.q. r, dan sebagainya.Negasidari pernyataanpditulisdengan“~p”dibaca“non p”.
tabel kebenaran:
p ~p
B S
S B
Konjungsi
Di dalamlogikamatematika,duabuahpernyataandapatdigabungkandenganmenggunakansimbol
(˄) yang dapatdiartikansebagai “dan”.Konjungsi mempunyaikemiripandenganoperasi irisan(∩)
pada himpunan.Sehinggasifat-sifatirisandapatdigunakanuntukmempelajaribagianini.Tabel
berikutini menunjukkanlogikayangberlakudalamsistemkonjugsi.
p q p ˄ q Logikamatematika
B B B Jikap benardan q benarmaka p dan q adalahbenar
B S S Jikap benardanq salah makap dan q adalahsalah
S B S Jikap salahdanq benar makap dan q adalahsalah
S S S Jikap salahdan q salah maka p dan q adalahsalah
Ingkarankonjungsi p^ q adalah~p ^ ~q. Persamaaningkarankonjungsi dapatditulis~(p^ q) ≡ ~p ˅
~q.
Disjungsi
Disjungsi adalahgabunganduapernyataanyangmenggunakankatapenghubunglogika“atau”
sehinggamembentukduapernyataanmajemuk.Katapenghubung“atau”dalamlogikamatematika
dilambangkandengan“˅ ”. Disjungsi duapernyataanpdanq dapat dituliskan“p˅q” dan dibaca ”p
atau q”. Dalamkehidupansehari-hari,kata“atau”dapat berarti salahsatuatau kedua-duanya, dapat
pulaberarti salahsatu tetapi tidakkedua-duanya.Dari pengertiankata“atau” di atas maka muncul
dua macam disjungsi yaitusebagaiberikut:
Disjungsi inklusif,yaituduapernyataanyangbernilai benarapabilapalingsedikitsatudari keduanya
bernilai benar.Disjungsi inklusif duapernyataanpdanq ditulisp˅ q.
Disjungsi eksklusif,yaituduapernyataanbernilai benarapabilahanyasatudari dua pernyataan
bernilai benar.Disjungsi eksklusif duapernyataanpdanq ditulisp˅ q.
Tabel kebenaranduamacam disjungsi diberikansebagaiberikut.
p q p ˅ q Logikamatematika
B B B Jikap benardan q benarmaka p atau q adalahbenar
B S S Jikap benardanq salah makap atau q adalah benar
S B S Jikap salahdanq benar makap atau q adalah benar
S S S Jikap salahdan q salahmaka p atau q adalahsalah
Ingkarandisjungsi p˅q adalah~p ^ ~q. Persamaaningkarandisjungsidapatditulissebagai berikut
~(p ˅ q) ≡ ~p ^ ~q.
Implikasi
Gabungandua pernyataanp danq sehinggamembentukpernyataanmajemukdengan
menggunakankatapenghubung“Jika..,maka..”dinamakanimplikasi,ditulis“p□(⇒┴ ) q”.
Pernyataanpdinamakanantesedenatauhipotesis,sedangkanpernyataanqdinamakankonsekuen
atau kesimpulan.Pernyataanimplikasi“p□(⇒┬ ) q” bernilai salahapabilahipotesisbenardan
kesimpulansalah.Selainitu,pernyataanimplikasi “p□(⇒┴ ) q”bernilai benar.
Tabel kebenarandalamimplikasi diberikansebagaiberikut.

3. p q p □(⇔┬ ) q Logikamatematika
B B B Jikaawalnyabenarlaluakhirnyabenarmakadianggapbenar
B S S Jikaawalnyabenarlaluakhirnyasalahmaka dianggapsalah
S B B Jikaawalnyasalahlaluakhirnyabenarmakadianggapbenar
S S B Jikaawalnyasalahlau akhirnyasalahmakadianggapbenar
Ingkaranimplikasi p□(⇒┬ ) qadalah p ^ ~q. Persamaaningkaranimplikasidapatditulissebagai
berikut~(p□(⇒┬ ) q) ≡ p ^ ~q
Biimplikasi
Biimplikasi ataubikondisional ialahsuatupernyataanmajemukyangberbentuk”pjikadanhanya
jikaq” yang berarti “jikap makaq dan jikaq maka p”. Pernyataan“pjikadan hanyajikaq”
dilambangkandengan“p□(⇔┬ ) q”.Pernyataanbiimplikasi “p□(⇔┬ ) q”bernilai benarjikapdan q
mempunyai nilaikebenaranyangsama(semuabenaratausemuasalah),sedangkanjikanilai
kebenaranpdan q tidaksama makap □(⇔┬ ) q merupakanpernyataanyangsalah.
Tabel kebenaranbiimplikasi diberikansebagai berikut.
p q p □(⇔┬ ) q Logikamatematika
B B B p adalahbenarjikadan hanyajikaq adalah benar(dianggapbenar)
B S S p adalah benarjikadanhanya jikaq adalahsalah(dianggapsalah)
S B B p adalahsalahjikadan hanyajikaq adalahbenar(dianggapsalah)
S S B p adalah salahjikadanhanya jikaq adalahsalah(dianggapbenar)
Ingkaranbiimplikasi p□(⇔┬□) qadalah(p^ ~q) ˅ (q ^ ~p). Persamaaningkaranbiimplikasi dapat
ditulissebagai berikut~(p□(⇔┬ ) q) ≡ (p^ ~q) ˅ (q^ ~p)
≡ (p□(⇔┬ ) ~q) ≡ (~p □(⇔┬ ) q)
Konvers,Invers,danKontraposisi
Dari implikasi “p□(⇒┬ ) q”dapat dibuatimplikasi-implikasibaruberikut.
q □(⇒┬ ) p disebutkonvers
~p □(⇒┬ ) ~q disebutinvers
~q □(⇒┬ ) ~p disebutkontraposisi
Hubunganantara konvers,invers,dankontraposisi dapatdilihatpadatabel berikut.
p q ~p ~q Implikasi KonversInversKontraposisi
p □(□(⇒┬ )) qq □(⇒┬ ) p ~p □(⇒┬ ) ~q ~q □(⇒┬ ) ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Tautologi
Tautologi adalahsuatupernyataanmajemukyangbernilaibenaruntuksetiapkemungkinan.Hal ini
dapat dibuktikanmenggunakantabelkebenaranataupunsifat-sifatlogika.
p q ~p ~q p □(⇒┬ ) q (p □(□(⇒┬ )) q) ^ ~q [(p□(⇒┬ ) q) ^ ~q □(⇒┬ ) ~p
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B

4. Kontradiksi
Kontradiksi adalahsuatupernyataanmajemukyangbernilaisalahuntuksemuakemungkinandari
premis-premisnya.Jadi,kontradiksi berlawanandngantautology.Hal ini dapatdibuktikan
menggunakantable kebenaranataupunsifat-sifatlogika.
p ~p p ^ ~p
B S S
B S S
S B S
S B S
Pernyataanmajemukyangekuivalen
Dua pernyataanmajemukdisebutekuivalen,jikamempunyai nilai kebenaranyangsama.Ekuivalen
dua pertanyaandinaotasikandengantanda“≡”.
Contohekuivalensi:
p ^ ~q ≡ ~(q˅ ~p)
p □(⇒┬ ) q ≡ ~p ˅ q
p ^ q ≡ q ˅ p
p □(⇒┬ ) ~q ≡ q □(⇒┬ ) ~p
p □(⇒┬ ) q ≡ ~q ≡ ~p
p □(⇒┬ ) (p˅ q) ≡ (~p ^ ~q) □(⇒┬ ) ~p
p □(⇔┬ ) q ≡ (p□(⇒┬ ) q) ^ (q□(⇒┬ ) p) ≡ (~p ˅ q) ^ (~q ˅ p)
p ˅ q ≡ ~p □(⇒┬ ) q
PernyataanBerkuantor
Pernyataanberkuantoradalahpernyataanyangmengandungukurankuantitas.Adaduamacam
kuantor,yaitu:
KuantorUniversal
Dalampernyataankuantoruniversal terdapatungkapanyangmenyatakansemua,setiap.Kuantor
universal dilambangkandengan“∀ ” (dibacauntuksemuaatauuntuksetiap).
KuantorEksistensial
Dalampernyataanberkuantoreksistensial terdapatungkapanyangmenyatakanada,beberapa,
terdapat,sebagian).Kuantoreksistensial dinotasikandengan“∃“ (dibacaada,beberapa,terdapat,
sebagian).
Ingkarandari pernyataanberkuantoruniversal adalahkuantoreksistensial,sebaliknyaingkaran
pernyataanberkuantoreksistensialadalahkuantoruniversal dapatditulissebagai berikut:
(∀x).p(x)negasinya(∃x).~p(x)
(∃x).p(x) negasinya(∀x).~p(x)
PenarikanKesimpulan
Kesimpulandapatdilakukandenganmenelaahpremisataupernyataan –pernyataanyang
kebenaranyatelahdiketahui.Perhatikanbeberapakonseppenarikankesimpulandidalamlogika
matematikaberikutini:
Modus Ponens
Premis1 : p □(⇒┬ ) q
Premis2 : p
Kesimpulanq

5. Dasar argumentasi modusponens:
p q p □(⇒┬ ) q
B B B
B S S
S B B
S S B
Baris pertamatabel implikasi menunjukkanvaliditasmodusponens.
Modus Tollens
Premis1 : p □(⇒┬ ) q
Premis2 : ~q
Kesimpulan~p
Dasar argumentasi modustollens:
p q p □(⇒┬ ) q ~p ~q
B B B S S
B S S S B
S B B B S
S S B B B
Baris ke-4tabel kebenaranini menunjukkanvaliditasargumentasi modustollens.
Silogisme
Premis1 : p □(⇒┬ ) q
Premis2 : q □(⇒┬ ) r
Kesimpulanq □(⇒┬ ) r
Dasar argumentasi silogisme:
p q r p □(⇒┴ ) q q □(⇒┴□) r p □(⇒┴ ) r
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B
Baris ke-1,ke-5,ke-7,danke-8menunjukkanvaliditasargumentasi silogisme