2. Penjelasan secara sempit :
Ditinjau dari kata-katanya Linear
Programming berarti pembuatan
program atau rencana yang
mendasarkan pada asumsi-asumsi
linear.
Penjelasan secara luas :
Suatu cara alokasi sumber daya yang
terbatas jumlahnya secara optimal
untuk melaksanakan beberapa macam
aktivitas yang semuanya memerlukan
sumber-sumber daya tadi.
4. CONTOH :
Pt. KEMBANGARUM menghasilkan dua macam barang.
Setiap unit barang pertama memerlukan bahan baku A
2 kg dan bahan baku B 2 kg. setiap unit produk kedua
memerlukan bahan baku A 1 kg dan bahan baku B 3
kg. jumlah bahan baku A yang bisa disediakan
perusahaan sebanyak 6.000 kg dan bahan baku B
9.000 kg. sumbangan terhadap laba dan biaya tetap
(yang dihitung dengan harga jual per satuan dikurangi
biaya variabel per satuan) setiap unit produk pertama
sebesar Rp. 3,- dan setiap unit produk kedua Rp. 4,-
Buat alokasi yang optimal dengan metode grafik !
5. Agar masalah dapat jelas kita pahami, maka kita susun
ke dalam tabel sebagai berikut :
Produk
Bahan baku
Kebutuhan bahan baku/unit Kapasitas
max
Produk 1 Produk 2
A 2 1 6.000
B 2 3 9.000
Sumbangan
terhadap laba
(dalam Rp).
3 4
6. Untuk membuat formulasi masalah, marilah kita ikuti langkah-langkah
berikut :
a. Fungsi Tujuan :
Fungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan, bisa
max dan bisa min.
Nilai tujuan di beri simbol “ Z “
Max : Z = 3X1 + 4X2
7. b. Batasan fungsional :
Batasan ini menunjukkan alokasi sumber yang tersedia.
Pada contoh, kita memiliki dua batasan, yaitu bahan baku A dan
bahan baku B.
Bahan baku A dibutuhkan oleh setiap unit produk pertama
sebanyak 2 kg dan oleh setiap unit produk kedua sebesar 2 kg.
Jadi banyaknya kebutuhan setiap unit produk pertama akan
bahan baku A (2 kg) ini dikalikan dengan jumlah produk pertama
yang dihasilkan (X1) ditambah dengan kebutuhan produk kedua
akan bahan baku A ( 1 kg) dikalikan dengan jumlah produk kedua
yang dihasilkan (X2) merupakan kebutuhan bahan baku A untuk
berproduksi, ini tidak boleh melebihi 6.000 kg.
Sehingga formulasi batasan bahan baku A ini sebagai berikut :
2X1 + X2 ≤ 6.000
Demikian pula untuk bahan
baku B, dengan logika yang
sama dapat disusun sbb :
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
8. c. Batasan Non-negatif :
Batasan non negatif mengharuskan hasil aktivitas itu (X1 dan x2)
tidak boleh negatid, harus positif atau paling kecil sebesar 0.
Hal itu dapat dinyatakan sebagai berikut :
X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0
9. Secara keseluruhan dapat kita cantumkan formulasi masalah
diatas ke dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Max : Z = 3X1 + 4X2
Batasan – batasan :
1. 2X1 + X2 ≤ 6.000
2. 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
3. X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0
10. PEMECAHAN MASALAH DENGAN METODE GRAFIK :
Di dalam menggambar grafik hanya mungkin dilakukan dengan baik
kalau dilakukan dengan dua sumbu, yaitu sumbu vertikal dan
sumbu horisontal.
X2
X1
0
11. Menggambarkan semua batasan fungsional :
Semua batasan kita tambahkan pada gambar diatas.
Pada contoh di atas hanya ada dua batasan fungsional, yaitu bahan
baku A dan bahan baku B.
Batasan bahan baku A adalah :
2X1 + X2 ≤ 6.000
Karena maksimum jumlah bahan baku A yang tersedia 6.000 kg,
berarti penggunaan tidak lebih lebih dari 6.000 kg. yang mula-mula
bisa kita gambarkan adalah penggunaan maksimumnya, baru
kemudian daerah yang bisa dicapai.
Maksimum penggunaan kapasitas bahan baku A ditunjukkan oleh garis
:
2X1 + X2 = 6.000
12. Untuk menggambarkannya mula-mula harus kita cari titik
potongnya dengan sumbu X2, yaitu pada nilai X1 = 0, sehingga nilai
X2 = 6.000.
Kemudian kita peroleh nilai X1 = 3.000.
Dari kedua titik itu bisa kita gambar maksimum penggunaan bahan
baku A.
Tetapi garis ini menunjukkan keadaan andaikata bahan baku A
yang ada dimanfaatkan sepenuhnya, padahal sebenarnya hanya
maksimumnya saja yang terletak pda garis itu.
Oleh karena itu untuk menunjukkan daerah feasible (yang bisa
dicapai) menurut batasan ini, kita beri tanda anak panah ke kiri
bawah dari garis itu.
Untuk batasan kedua (bahan baku B) juga kita gambarkan dulu
garis maksimumnya dengan cara seperti pada batasan pertama
diatas, sehingga titik potong pada sumbu X1 pada titik X2 = 0 dan
X1 = 4.500.
Titik potong dengan sumbu X terletak pada titik dimana nilai X1 =
0 dan nilai X2 = 3.000.
Setelah bisa digambarkan garis maksimumnya maka kita beri
tanda anak panah ke kiri bawah untuk menunjukkan bahwa
daerah yang feasible.
13. Menggambarkan batasan non negatif :
Batasan non negatif adalah batasan yang tidak mengizinkan nilai
sesuatu variabel itu negatif, berarti nilai X1 maupun X2 harus paling
kecil sebesar 0, atau dengan simbol X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0.
Untuk menggambarkan batasan X1 ≥ 0 cukup dengan memberi anak
panah ke kanan pada sumbu X2, karena pada sumbu itu nilai X1 = 0.
Demikian pula untuk menggambarkan batasan X2 ≥ 0 kita gambarkan
anak panah ke atas pada sumbu X1, karena pada sumbu itu nilainya X2 =
0.
15. Mencari titik optimal dengan menghitung nilai Z tiap-tiap titik-titik
sudut.
Mula-mula kita cari dulu nilai-nilai Z dari tiap-tiap titik sebagai berikut
:
Titik O : X1 = 0, X2 = 0
nilai Z = 0
Titik A : X1 = 3.000, X2 = 0,
nilai Z = 3 (3.000) + 4 (0) = 9.000
Titik C : X1 = 0, X2 = 3.000,
nilai Z = 3 (0) + 4 (3.000) = 12.000
16. Titik B : terletak pada perpotongan antara garis batasan bahan baku A
dan batasan bahan baku B. oleh karena itu kita cari dulu titik
potongnya dengan menggunakan kedua persamaan batasan itu
:
2X1 + X2 = 6.000
2X1 + 3X2 = 9.000
-
2X2 = 3.000 jadi X2 = 1.500
Nilai X dimasukkan pada salah satu persamaan itu :
2X1 + 1.500 = 6.000
jadi X1 = (6.000 – 1.500) : 2 = 2.250
Z = 3 (2.250) + 4 (1.500) = 12.750
17. Ternyata diantara titik-titik sudut itu yang terbesar nilai Z-nya adalah
titik B.
Sehingga titik B lah yang kita pilih sebagai titik optimal dalam
pemecahan masalah ini, dengan nilai X1 = 2.250 dan nilai X2 = 1.500
serta nilai Z = 12.750.
Jadi kesimpulannya sebagai berikut :
Produk pertama dihasilkan 2.250 unit
Produk kedua dihasilkan 1.500 unit
Sumbangan terhadap laba seluruhnya = Rp. 12.750,-
18. LATIHAN 1:
Suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk, yaitu produk I dan
produk II. Setiap unit produk pertama memerlukan bahan baku 2 kg,
memerlukan bahan pembantu 1 kg, memerlukan 2 jam kerja buruh
langsung dan dikerjakan dalam mesin selama 2 jam kerja mesin. Untuk
setiap unit produk kedua memerlukan bahan baku 5 kg, bahan pembantu
4 kg, memerlukan 2,5 jam kerja buruh langsung dan dikerjakan dengan
mesin selama 1,5 jam. Pada minggu ini jumlah maksimum yang tersedia
untuk berproduksi sebagai berikut :
Bahan baku sebanyak 1.000 kg
Bahan pembantu 600 kg
Jam kerja buruh langsung 500 jam
Kapasitas mesin sebanyak 450 jam kerja mesin.
Harga jual setiap unit untuk produk pertama sebesar Rp. 500,- dan produk
kedua Rp. 700,-
Biaya variabel untuk setiap unit produk pertama Rp. 350,- dan untuk
produk kedua Rp. 480,-
Hitunglah banyaknya produk pertama dan produk kedua yang sebaiknya
dihasilkan agar diperoleh laba maksimum !
19. LATIHAN 2 :
PT. Dimensi adalah sebuah perusahaan furnitur
produsen meja dan kursi yang harus diproses melalui
perakitan dan pemolesan. Fungsi proses perakitan
memiliki 60 jam kerja dan fungsi proses pemolesan
memiliki 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja
dibutuhkan masing-masing 4 jam dan 2 jam untuk
perakitan dan pemolesan, sedang satu kursi
membutuhkan masing-masing 2 jam dan 4 jam untuk
perakitan dan pemolesan. Laba untuk tiap meja $ 8
dan tiap kursi $ 6. tentukan kombinasi terbaik dari
jumlah meja dan kursi yang harus diproduksi, agar
menghasilkan laba maksimal.
20. LATIHAN 3 :
Sebuah industri ekramik membuat dua jenis produk
unggulan A dan B. untuk menghasilkan satu buah jenis
A diperlukan waktu pengerjaan 1 jam dan bahan baku
4 kg, sedangkan jenis B membutuhkan 2 jam dan
bahan baku 3 kg. waktu dan bahan baku yang tersedia
masing-masing 40 jam dan 120 kg. keuntungan tiap
unit A dan B masing-masing $ 40 dan $ 50. tentukan
metode grafik berapa jumlah yang harus diproduksi
untuk masing-masing jenis produk, sehingga
keuntungan mencapai maksimum !
21. LATIHAN 4 :
Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua
merek pupuk kimia, yaitu super dan top. Setiap jenis mengandung
campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.
Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg
fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk super dan top masing-
masing $ 6 dan $ 3. petani tersebut ingin mengetahui berapa sak
masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk
mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi.
Selesaikan dengan metode grafik !
Jenis
Kandungan bahan kimia
Nitrogen (Kg/sak) Fosfat (kg/sak)
Super 2 4
Top 4 3
22. LATIHAN 5 :
Sebuah industri kerajinan kulit membuat tas yang
terdiri dari jenis A dan B. keuntungan masing-masing
jenis tas adalah $ 400 dan $ 200 dolar per unit.
Industri mendapat pesanan dari sebuah toko sebesar
30 (A dan B) buah per bulan. Suplai bahan kulit paling
sedikit 80 lembar per bulan, dan industri kerajinan ini
harus memesan paling tidak 80 lembar per bulan.
Setiap barang A memerlukan 2 lembar kulit sedangkan
barang B membutuhkan 8 lembar. Dari pengalaman
sebelumnya industri ini tidak bisa membuat barang
jenis A lebih dari 20 buah per bulan. Mereka ingin
mengetahui berapa jumlah masing-masing jenis A dan
B yang harus dibuat supaya keuntungan yang didapat
maksimum. Tentukan model program liniernya dan
selesaikan persoalan dengan metode grafik.!