1. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình Lôgarit
PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
0 < a ≠ 1

1. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA: log a f ( x ) = m ⇔ 
 f ( x) = a m

Bài m u. GPT: log x + 3 ( 3 − x 2 − 2 x + 1 ) = 1 (1)
2
0 < x + 3 ≠ 1

(1) ⇔ log x +3 ( 3 − x − 1 ) = log x +3 x + 3 . i u ki n:  ⇔ −2 < x < 4
3 − x − 1 > 0

(1) ⇔ ( 3 − x − 1 ) 2 = x + 3 ⇔ x 2 − 3x + 7 − 6 x − 1 = 0 . Xét hai kh năng:
−3 + 5
N u −2 < x ≤ 1 thì (1) ⇔ x 2 + 3 x + 1 = 0 ⇔ x = ∈ ( −2;1]
2
9 − 29
N u 1 < x < 4 thì (1) ⇔ x 2 − 9 x + 13 = 0 ⇔ x = ∈ (1; 4 )
2
Bài t p. log 2 ( x 2 − 4 x + 7 ) = 2 ; log x ( 2 x 2 − 3 x − 4 ) = 2 ; log x ( 2 x 2 − 4 x + 3) = 2 ;
( )
log x 2 + 6 x +8 log 2 x 2 + 2 x +3 ( x 2 − 2 x ) = 0 ; log 3−4 x 2 ( 9 − 16 x 4 ) = 2 + 1
log 2 ( 3 − 4 x 2 )
0 < a ≠ 1
2. PHƯƠNG PHÁP ƯA V CÙNG CƠ S : log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x) = g ( x) > 0
Bài m u. GPT: log 2 ( 4 x + 1) = x + log 2 ( 2 x +3 − 6 ) (1)
i u ki n: 2 x +3 − 6 > 0 ⇔ 2 x > 3 ⇔ x > log 2 3
4 4
(1) ⇔ log 2 ( 4 x + 1) = log 2 2 x + log 2 ( 2 x + 3 − 6 ) = log 2 2 x ( 2 x + 3 − 6 ) ⇔
4 x + 1 = 2 x ( 2 x+3 − 6) ⇔ 7 ⋅ 2 2 x − 6 ⋅ 2 x − 1 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) ( 7 ⋅ 2 x + 1) = 0 ⇔ 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 0
Bài t p. log 2 ( x 2 + x + 1) + log 2 ( x 2 − x + 1) = log 2 ( x 4 + x 2 + 1) + log 2 ( x 4 − x 2 + 1) ;
log 3 ( 2 x 2 − 54 ) + log 1 ( x + 3) = 2 log 9 ( x − 4 ) ; 2 log 2 x + log 2
x + log 1 x = 9 ;
3 2
log 2 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2 ; log 5 x + log 5 x 5 = 1 ; log 2 x + log 4 x = log 1
2
3 ;
2 x 2
191

2. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình – Tr n Phương
x log 2 x 2 + 1 = 2 x + 2 log 4 x ; 3x log 3 x + 2 = 4 x + log 27 x ; log x +5 5 = log −1 5 ;
3 x +1
2 lg x
2 lg x 2 − 36 + 1 lg ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) = lg ( x + 6 ) + 2 lg 3 + lg 2 ; =1 ;
3 lg ( 5 x − 4 )
log 3 x + log 3
x + log 1 x = 6 ; log 3 ( x + 1 − x ) = log 9 ( 4 x − 3 + 4 1 − x );
3
x 2 log 6 5 x 2 − 2 x − 3 − x log 1 ( 5 x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x ; 4 − lg x = 3 lg x ;
6
x ( lg 5 − 1) = lg ( 2 x + 1) − lg 6 ; 1 ( lg x + lg 2 ) + lg (1 + 2 x ) = lg 6 ;
2
log 2 ( 4.3 x − 6 ) − log 2 ( 9 x − 6 ) = 1 ; log 3 ( x − 2 ) + log 1 2x − 1 = 0 ;
3
log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11 ; log 2 ( x − 2 ) = 2 + 6 log 1 3 x − 5 ;
2 8
log ( x 2 − 4 ) = log ( x 2 − 4 ) ; log 3 ( x 2 − 3) = log 2 ( x 2 − 3) ;
x3 + x 4 x 2 −6 x +x 4 x −6
3. PHƯƠNG PHÁP S D NG CÔNG TH C I CƠ S :
log m b
Công th c i cơ s : log a b.log b c = log a c ; log a b = ; a log m b = b log m a
log m a
Bài m u. GPT: log 2 ( x − x 2 − 1 ) log 3 ( x + x 2 − 1 ) = log 6 ( x − x 2 − 1 ) (*)
Gi i
x − x 2 − 1 > 0

K: T p các giá tr c a x th a mãn  ⇔ x ≥1
2
x − 1 ≥ 0

−1 −1
V i x ≥ 1 thì (*) ⇔ log 2 ( x + x 2 − 1 ) log 3 ( x + x 2 − 1 ) = log 6 ( x + x 2 − 1 )
⇔ log 2 ( x + x 2 − 1 ) log 3 ( x + x 2 − 1 ) = log 6 ( x + x 2 − 1 )
⇔ log 2 6 ⋅ log 6 ( x + x 2 − 1 ) ⋅ log 3 ( x + x 2 − 1 ) = log 6 ( x + x 2 − 1 )
1 − x ≥ 0

Xét log 6 ( x + x 2 − 1 ) = 0 ⇔ x + x 2 − 1 = 1 ⇔  ⇔ x =1
2
 x 2 − 1 = (1 − x )

192

3. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình Lôgarit
Xét log 2 6.log 3 ( x + x 2 − 1 ) = 1 ⇔ log 3 ( x + x 2 − 1 ) = log 6 2 ⇔ x + x 2 − 1 = 3 log 6 2
1 = log 2 = 3 − log 6 2 nên x = 1 ( 3 6 + 3 6 ) ≥ 1
1 log 2 − log 2
ý x − x2 −1 =
2
x + x −1 3 6 2
Bài t p. log 2 x + log 3 x = 1 ; log 3 x + log 5 x = lg15 ; log x 2 − log 4 x + 7 = 0 ;
6
log 3 x − 2 = log 3 x.log 2 1 + log x 2 ; log x 2 − 14 log x 3 + 40 log x =0 ;
2 x 16 x 4x
x 4 2
log 2 ⋅ log 2 x + log 4 x = 1 ; log 3 ( − x 2 − 8 x − 14 ) log 9 =1 ;
x2 x 2 2 x 2 +4 x+4
5 log x x + log 9 x 3 + 9 log x2 = 2 ; 1 ⋅ log 3 − log x 3 = 1 + log x ;
2 3 3 2
9 x
9x log x 2 x 3 2
log 5 ( x + 20 ) log x 5 = 1 ; log 1− 2 x ( 6 x 2 − 5 x + 1) − log 1−3 x ( 4 x 2 − 4 x + 1) = 2 ;
log 3 x + 7 ( 4 x 2 + 12 x + 9 ) + log 2 x + 3 ( 6 x 2 + 23x + 21) = 4 ; log 16 + log 2 x 64 = 3 ;
x2
log x 2.log 2 ( x + 6 ) = 1 ; log 2 log 3 x = log 3 log 2 x ; log 2 log 2 x = log 5 log 5 x ;
log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 ; log 2 log 3 log 4 x = log 4 log 3 log 2 x ;
log 3 x + log 5 x + log 7 x = log 3 x.log 5 x.log 7 x
4. ƯA V PHƯƠNG TRÌNH MŨ ƠN I U:
Bài m u. GPT: log 2 ( x − 1) = log 5 x (1)
log 5 x = u  u
 x = 5 2
t  ⇔ ⇒ 5 u = ( 2 u + 1) ⇔ 4 u + 2.2 u + 1u = 5 u
log 2 ( x − 1) = u
  x − 1 = 2u

u u u
5 () () ()
⇔ f ( u ) = 4 + 2 2 + 1 = 1 . Ta có:
5 5
f (u ) gi m và f ( 2) = 1 nên
f ( u ) = 1 ⇔ f ( u ) = f ( 2 ) ⇔ u = 2 ⇔ x = 25
Bài t p. log ( x 2 − 8 x − 7 ) = log 2+ 3 ( x 2 − 8 x − 8 )
8+ 4 3
log 4 ( x 2 − x − 8 ) = log 3 3 x ; log 3 ( x 2 − 3x − 13) = log 2 x ;
log 3 ( 5 + 3 x ) = log 2 ( x − 4 ) ; log 2 (1 + 3 x ) = log 7 x ; 2 log 3 cot x = log 2 cos x ;
3log 3 (1 + x + 3 x ) = 2 log 2 x ; ( x − 2) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2)  = x + 1
 
193

4. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình – Tr n Phương
5. PHƯƠNG PHÁP HÀM S
Bài 1. Gi i phương trình: ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = x + 1
 
Gi i
i u ki n: x > 3 . Bi n i phương trình ⇔ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) = x + 1
x−2
t f ( x ) = log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) ⇒ f ′ ( x ) = 1 + 1 > 0 ∀x > 3
( x − 3) ln 2 ( x − 2 ) ln 3
g ( x) = x + 1 ⇒ g ′ ( x) = − 3 < 0 . Như v y f ( x ) ng bi n và g ( x ) ngh ch
x−2 ( x − 2) 2
bi n nên phương trình f ( x ) = g ( x ) có không quá m t nghi m.
M t khác f ( 5 ) = 2; g ( 5 ) = 2 nên f ( x ) = g ( x ) có nghi m duy nh t x = 5 .
Bài 2. Gi i phương trình: log 2 (1 + x 2 − 5 x + 5 ) + log 3 ( x 2 − 5 x + 7 ) = 2
Gi i
t u = x 2 − 5 x + 5 ≥ 0 ⇒ u 2 + 2 = x 2 − 5 x + 7 . Khi ó phương trình
⇔ f ( u ) = log 2 (1 + u ) + log 3 ( 2 + u 2 ) = 2 .
Ta có f ′ ( u ) = 1 + 2u > 0 ⇒ f (u ) ng bi n. Khi ó
(1 + u ) ln 2 ( 2 + u 2 ) ln 3
x =1
f ( u ) = 2 ⇔ f ( u ) = f (1) ⇔ u = 1 ⇔ x 2 − 5 x + 5 = 1 ⇔ x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ 
x = 4
Bài 3. Tìm m ( )
phương trình (1 − x ) ln 2m + 1 − 2mx − 1 = 0 có nghi m.
2mx − 2m + 1
Gi i
N u m = 0 thì hi n nhiên phương trình vô nghi m.
Xét m ≠ 0 . t u = 2m (1 − x ) ⇔ 1 − x = u . Khi ó phương trình tr thành
2m
2m ( )
1− u 1− u ( ) 1− u ( )
u ln 1 + u − 1 = 0 ⇔ u ln 1 + u = 2m . Xét hàm s f ( u ) = u ln 1 + u ; − 1 < u < 1
2 (1 + u 2 )
( )
Ta có f ′ ( u ) = ln 1 + u + 2u 2 ; f ′′ ( u ) =
1− u 1− u
2
(1 − u )
⋅1− u +
2 1+ u
(1 − u 2 )2
= 4
(1 − u 2 ) 2
>0
⇒ f ′ ( u ) tăng mà f ′ ( 0 ) = 0 nên phương trình f ′ ( u ) = 0 có nghi m duy nh t
u = 0 và hàm y = f ( u ) t c c ti u t i x = 0 . L p b ng bi n thiên suy ra
phương trình có nghi m ⇔ m > 0
194

5. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình Lôgarit
II. B T PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. ƯA V CÙNG CƠ S
Bài m u. GBPT: 1 > 1 (1)
log 1 2
2 x − 3x + 1 log 1 ( x + 1)
3
3
log 2 x 2 − 3x + 1 > 0 > log ( x + 1)  1
 1 1  2 x 2 − 3 x + 1 < 1 < x + 1 0 < x <
3 3
 2
 
 
(1) ⇔ 0 < log 1 2 x 2 − 3x + 1 < log 1 ( x + 1) ⇔ 1 > 2 x 2 − 3x + 1 > x + 1 ⇔ 1 < x < 3
 2
 3 3  
  2 x 2 − 3x + 1 > x + 1 > 1  x > 5
2  
log 1 2 x − 3x + 1 < log 1 ( x + 1) < 0
 3 3
1 log 2 ( x + 3)
Bài t p. log 2 x 64 + log 16 ≥ 3 ; +1> ;
x2
log 2 ( x − x + 1)
2
log 2 ( x 2 − x + 1)
log 1 (1 + x ) ≤ log 5 ( 2 − x ) ; log x ( 3 − 2 x ) > 1 ; log x 3 > −2 ; log 2x ≤ 1 ;
8 − 2x x2 x − 3 2
5
log x ( 9 − x 2 − x − 1) ≥ 1 ; log 2 ( 2 − x ) − 8 log 1 ( 2 − x ) ≥ 5 ; log 3 x − 2 log 9 x > 2
2
4
; 2 log 7 x − log x > 4 ; 3log 2 3
x − 4 log 4 x > 2 ; 1 + 1 − log 2 14 > log 2 x ;
7 4 x
log 2 ( 3 x − 1) 2 1 1
< ; >
1 + log 2 ( 3 x − 1) 3 + log 2 ( 3 x − 1)
log 2 4 − 3 log 2 x − 1
x 2
log 3 x 2 − 5 x + 6 + log 1 x − 2 > 1 log 1 ( x + 3)
3 2 3
2. S D NG CÔNG TH C I CƠ S
Bài m u. Gi i BPT: log 2 x.log 3 2 x + log 3 x.log 2 3x ≥ 0 (1)
N u x ≥ 1 thì log 2 x ≥ 0, log 3 2 x > 0; log 3 x ≥ 0; log 2 3 x > 0 nên (1) th a mãn
N u 0 < x < 1 ⇒ log 2 x < 0, log 3 x < 0 ⇒ log 2 x log 3 x > 0 . Khi ó bi n i (1) ta có
195

6. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình – Tr n Phương
log 2 x log 3 2 x log 3 x log 2 3 x
(1) ⇔ + ≥ 0 ⇔ log x 2 x + log x 3 x ≥ 0 ⇔
log 2 x log 3 x log 3 x log 2 x
6
1 + log x 2 + 1 + log x 3 ≥ 0 ⇔ log x 6 ≥ −2 ⇔ 0 < x 2 ≤ 1 ⇔ 0 < x ≤ (do 0 < x < 1 )
6 6
 6
V y nghi m c a (1) là ( x ≥ 1) ∨  0 < x ≤ 
 6 
Bài t p. 3log x 4 + 2 log 4 x 4 + 3log 16 x 4 ≤ 0 ; log 3 ( log 2 x ) < log 2 ( log 3 x ) ;
log x 2 ⋅ log 2 x 2 > log 4 x 2 ; log 1 x + log 4 x ≥ 1 ; log 16 + log 2 x 64 ≤ 3 ;
x2
5
2 3
log 5 ( x 2 − 4 x − 11) − log 11 ( x 2 − 4 x − 11)
2 3
log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1)
>0 ; ≥0
x 2 − 3x − 4 2 − 5 x − 3x 2
5 8
log 2 ( x 2 − 2 x − 7 ) − log 3 ( x 2 − 2 x − 7 ) 1 − 5x ≤ 1
≤ 0 ; log x 3.log 9 3
2
3 x − 13x + 4 6x − 4 6
3 B T PHƯƠNG TRÌNH HÀM H P:
Bài m u. Gi i BPT: log x  log 2 ( 4 x − 6 )  ≤ 1 (1)
 

log 2 ( 4 − 6 ) > 0
x
4 x − 6 > 1

T i u ki n 4 x − 6 > 0 ⇒ x > 1 nên (1) ⇔  ⇔ x
log 2 ( 4 − 6 ) ≤ x
x

x
4 − 6 ≤ 2

2 x > 7
 2 x > 7

⇔ ⇔ ⇔ 7 < 2 x ≤ 3 ⇔ 1 log 2 7 < x ≤ log 2 3 .
x )2 2
( 2
x

x
−2 −6≤0 −2 ≤ 2 ≤ 3

  2  
Bài t p. log x log 2 ( 4 x − 6 ) ≥ 1 ; log 3 log 1  x + 2 log 2 x −1  + 3 ≤ 0 ;
2  3  2  
log 3 log 4 3x − 1 ≤ log 1 log 1 x + 1 ; log 2 log 3 x − 3 ≥ 0 ; log 1 log 3 x + 1 ≥ 0 ;
x +1 3 4 3x − 1 3 2 x −1
log 3 log 9 ( x 2 − 4 x + 3) ≤ 0 ; log 8 log 1 ( x 2 − x − 6 ) ≥ 0 ; log x +1 log 2 2 x − 1 < 0 ;
16 3 2 2
x+3
log ( x 2 − 10 x + 22 ) > 0 ; log log x ( x 2 − 5 x + 7 ) > 0 ; log x + 4 log 2 2 x − 1 < 0 ;
log 2 x 5 x+3
2 2
16 32
(8 )
log 7 log 11 11 − 13 x − x 2 < 0 ; log 1 log 5 ( x 2 + 1 + x ) > log 3 log 1
3 5
( x 2 + 1 − x)
196

7. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình Lôgarit
4. S D NG PHÉP LOGARIT HÓA
x−4
Bài m u. Gi i b t phương trình log 2 x + log 1 ( x + 3)  ≥ 1 (1)

 4 

i u ki n là x > 0 . Khi ó
(1) ⇔ ( x − 4 ) log 2 log 2 x − log 2 x + 3  ≥ log 2 1 ⇔ ( x − 4 ) log 2 log 2 x ≥ 0 ( 2)
 
x+3
N u x = 4 thì (2) ư c nghi m úng nên x = 4 là 1 nghi m c a (1)
x > 4 x > 4 x > 4
  
N u x > 4 thì (1) ⇔ 
log log 2 x ≥ 0 log 2 x ≥ 1  x ≥ 2
⇔ ⇔ ⇔x≥6
 2
 x+3 
 x+3  x+3

N u x < 4 , thì (1) ⇔
x < 4 x < 4 x < 4
   1 + 13
log log x ≤ 0 ⇔ 0 < log x ≤ 1 ⇔ 1 < x ≤ 2 ⇔ <x<4
 2 2  2  2
 x+3  x +3  x+3
1 + 13
V y nghi m c a (1) là < x ≤ 4 ho c x ≥ 6 .
2
5. ƯA V B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ ƠN I U:
Bài m u. Gi i BPT: log 7 x < log 3 ( 2 + x ) (1)
u
t u = log 7 x ⇒ x = 7 u . Ta có: (1) ⇔ u < log 3 ( 2 + x ) ⇔ 3 u < 2 + ( 7 )
u
u
 
⇔ f (u ) = 2 1
3 () +  7  > 1 . Do f ( u ) gi m và f ( 2 ) = 1 nên b t phương trình
 3 
f ( u ) > 1 ⇔ f ( u ) > f ( 2 ) ⇔ u < 2 ⇔ log 7 x < 2 ⇔ 0 < x < 49
Bài t p. log 5 (1 + x ) > log 16 x ; log 3 ( 7 + 3 x ) > log 5 ( 2 x 2 − 3)
6. CÁC BÀI TOÁN T NG H P
(1 + x 2 − 4 x + 3 ) log 5 x + 1 1 + 8 x − 2 x 2 − 6  ≤ 0 ; log x ( 2 x ) ≤ log x ( 2 x 3 ) ;
 
5 x
x 2 − 5 x + 6 + x + 10 x − 2 x 2 − 12 + 3log 4 3 ≥ 3 ; log 3 x − 3log x 3 − 2 ≤ 0 ;
x
197

8. www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và b t phương trình – Tr n Phương
x 2 − 7 x + 10 + 9.log 4 x ≥ 2 x + 14 x − 20 − 2 x 2 − 13 ;
8
12 x + 3x 4 + 4 x 5 − 4 x 6 .log 2 x 2 > 3 3 + 4 x − 4 x 2 + 4 x 3 log 4 x 4
5 x + 6 x 2 + x 3 − x 4 .log 2 x > ( x 2 − x ) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 ;
x log 5 x ( 2 − log 3 x ) 2
log 5 x + log x < ; log 3 x − 4 log 3 x + 9 ≥ 2 log 3 x − 3 ;
3 log 3 x
( 4 x 2 − 16 x + 7 ) log 3 ( x − 3) > 0 ; log 2 (1 + x 2 − 5 x + 5 ) + log 3 ( x 2 − 5 x + 7 ) ≤ 2 ;
log x + 6 2.log 2 ( x 2 − x − 2 ) ≥ 1 ; log 9 ( 3 x 2 − 4 x + 2 ) + 1 > log 3 ( 3 x 2 − 4 x + 2 ) ;
4 log 2 x + log 2 x 2 ≤ 4 − log ( x − 1) − log 2 x ;
8 ( x − 1) 2 2
log 3 27 − 3 < log 1 ( 3 + 9 x − x 2 ) ;
2 2
9x − x + 5 − x + 2 3
log 2 ( x 2 − 4 x + 3) > log 1 2 +1
2
2 x − 4x + x + 1 + 1
log 5 ( 4 + 2 + x − x 2 ) > log 1 25 +2 ;
2
5 2 + x − x + 1− x + 2
log 1 ( x 2 − 3x + 2 + 3 + 1) < log 4 16 −2 ;
4 x − 3x + 2 + x 2 − 1 + 1
2
(4x − 12 ⋅ 2 x − 32 ) log 2 ( 2 x − 1) ≤ 0 ; log 2 x + log 1 x 2 − 3 > 5 ( log 4 x 2 − 3) ;
2
2
2 x + log 2 ( x 2 − 4 x + 4 ) > 2 − ( x + 1) log 1 ( 2 − x ) ; log 2 ( 2 x + 1) + log 3 ( 4 x + 2 ) ≤ 2 ;
2
2 3
log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1)
log 9 ( 3 x 2 + 4 x + 2 ) + 1 > log 3 ( 3 x 2 + 4 x + 2 ) ; >0
x 2 − 3x − 4
3
log 4 ( 2 x 2 + 3x + 2 ) + 1 > ( 2 x 2 + 3x + 2 ) ; log 4 x − log 2 x + 9 log 2 32 < 4 log 2 x ;
2 1 1
2 8 x2 2
4 ( m + 1) ( m + 1) 2
Tìm m BPT sau úng ∀x: x 2 .log 2 + 2 x.log 2 2m + log 2 >0
m m +1 4m 2
Ch ng minh r ng: log n ( n + 1) > log n +1 ( n + 2 ) ; log 2 (1 + 2 x ) > log 3 (1 + 3 x )
198

9. www.VNMATH.com
Phương trình và b t phương trình Lôgarit
199