Теоретична механіка. Лекція 1.5

1. РІВНОВАГА ЗБІЖНИХ СИЛ. МОМЕНТ СИЛИ.
1. Рівновага збіжної системи сил.
2. Момент сили відносно центру (точки).
3. Момент сили відносно осі.
4. Теорема Варіньона про момент
рівнодійної плоскої системи сил.

2. Рівновага збіжної системи сил
Для рівноваги прикладених до твердого тіла
збіжних сил необхідно і достатньо, щоб
рівнодійна цих сил дорівнювала нулю.

3. Рівновага збіжної системи сил
• умовам рівноваги статики задовольняють
сили, що діють як на тіло у стані спокою,
так і на тіло, яке рухається за інерцією;
• зрівноваженість сил, прикладених до
вільного твердого тіла, є необхідною, але не
достатньою умовою рівноваги (спокою)
самого тіла. У стані спокою, в такому
випадку, тіло буде знаходитися лише тоді,
якщо воно було у стані спокою і до моменту
прикладання до нього врівноважених сил.

4. Рівновага збіжної системи сил
Для рівноваги прикладених до твердого тіла системи
збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна
сил цієї системи дорівнювала нулю.
Геометрична умова рівноваги
O
1
F

2
F

1−n
F
n
F

Для рівноваги системи збіжних
сил необхідно і достатньо, щоб
силовий багатокутник,
побудований із сил цієї
системи, був замкненим.
Аналітична умова рівноваги
0222
=++= zyx
RRRR
.0,0,0 === zyx
RRR
.0,0,0 === ∑∑∑ kzkykx
FFF
Для рівноваги просторової
системи збіжних сил необхідно і
достатньо, щоб суми проекцій
цих сил на кожну з трьох
координатних осей були рівні
нулю.

5. Рівновага збіжної системи сил
Теорема про три сили
Якщо вільне тверде тіло знаходиться у рівновазі під
дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній
площині, то лінії дії цих сил перетинаються в одній
точці.
A
D
B
P

D
N

K
D
N

A
R

P

A
R


6. 2. Момент сили відносно центру (точки)
O
A
B
F

C
h
Перпендикуляр h, який проведений
з центру О на лінію дії сили,
називають плечем сили відносно
центру О.
Центр обертання О, точка А початку
вектора сили і точка В кінця вектора
сили визначають площину повороту
(трикутник ОАВ) фігури під дією сили.
Обертальний ефект сили залежить від:
• модуля сили F і довжини її плеча h;
• положення площини повороту ОАВ;
• напрямку повороту в цій площині.

7. Момент сили відносно центру (точки)
Моментом сили відносно центру О називається векторна
величина, яка дорівнює добутку радіус-вектора ,
проведеного з центра О до точки прикладання сили, на
вектор цієї сили .
Момент сили має знак “+”, якщо сила намагається
повернути тіло навколо центру О проти
годинникової стрілки, і знак “-”, - якщо за
годинниковою стрілкою.
F

r

F

( ) [ ]FrFMO

×=
O
A F
r

M

h
C
( ) FhFrFM FrO
=




⋅=
∧ 
,sin

8. Момент сили навколо центру (точки)
Властивості моменту сили:
• момент сили не змінюється при переносі точки
прикладання сили вздовж лінії її дії;
• момент сили відносно центру О дорівнює нулю
тільки тоді, коли або сила дорівнює нулю, або лінія дії
сили проходить через центр обертання О (плече
дорівнює нулю);
• сума моментів двох рівних за модулем сил, що лежать
на одній прямій і напрямлені в протилежні боки,
відносно будь-якої точки дорівнює нулю;
• момент сили чисельно дорівнює подвійні площі
трикутника ОАВ:
( ) OABO
SFM ∆
±= 2


9. Момент сили відносно осі
Момент сили відносно осі дорівнює проекції
на цю вісь моменту сили відносно будь-якої
точки, яка лежить на цій осі.
O
z
A
B
F

a
r
 b
ϕ
O
M

ϕ
ϕcos⋅= ∆∆ OABOab
SS
ϕcosOz
MM =
z
M


10. Момент сили відносно осі
Аналітичні вирази моментів сили відносно осей
координат
Модуль моменту сили відносно точки
[ ]
ZYX
zyx
kji
FrMO


=×=
( ) ( ) ( )kyXxYjxZzXizYyZMO

−+−+−=





−=
−=
−=
.
;
;
yXxYM
xZzXM
zYyZM
z
y
x
222
zyxO
MMMM ++=

11. Теорема Варіньона про момент
рівнодійної плоскої системи сил
Момент рівнодійної плоскої системи збіжних сил
відносно будь-якого центру дорівнює алгебраїчній
сумі моментів сил системи відносно того самого
центру.
A
B
1
F

2
F

n
F
O
x ( ) OABO
SFM ∆
+= 21

b
x
F1
xOAB
FOAObOAS 1
2 ⋅=⋅=∆
( ) xO
FOAFM 11
⋅=

∑= k
FR
R

∑= kxx
FR
( )∑ ⋅=⋅ kxx
FOAROA
( ) ( )∑= kOO
FMRM
