Документ посвящен параметрическим колебаниям в системах линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Он охватывает свойства решений, устойчивость, уравнения Хилла и явление параметрического резонанса, а также включает диаграмму устойчивости Айнса-Стретта и практические примеры. В работе рассматриваются основные понятия и теории, связанные с разработкой решений данных уравнений.

1. Южно-Уральский государственный университет
Кафедра «Приборостроение»
Математическое моделирование
в приборных системах
Тема:
«Параметрические колебания»
Левина Галина Абрамовна
Челябинск 2012

2. И то, что носится в колеблющихся
очертаниях,
пусть закрепится в прочных мыслях.
( Гете. «Фауст» )

3. Оглавление
1. Свойства решений и устойчивость линейных систем
с периодическими коэффициентами
1.1. Основные понятия
1.2. Нормальные решения. Мультипликаторы
1.3. Выводы об устойчивости
2. Уравнения Хилла и Матье. Явление параметрического
резонанса
3. Диаграмма устойчивости Айнса-Стретта
4. Примеры
5. Опыты
Слайд 3

4. 1. Свойства решений и устойчивость линейных
систем с периодическими коэффициентами
1.1. Основные понятия
Параметрическими называются колебания,
которые описываются системой линейных
однородных дифференциальных уравнений (ДУ)
с периодическими коэффициентами.
В нормальной форме система ДУ записывается

xi pi1 x1 pi 2 x2 ... pin xn , (1)
где pi j (t T ) pi j (t ), i, j 1,n.
Период коэффициентов уравнений T
период параметрического возбуждения. Слайд 4

5. 1.1. Основные понятия
Система ДУ с периодическими коэффициентами
называется параметрически возмущенной.
В матричной форме система (1) записывается
x P(t ) x ,
 (2)
где x вектор-столбец, P(t ) периодическая матрица
n n:
x1
x2
x , x colon( x1, x2 ,..., xn) , P(t T ) P(t ).

xn
Теория решений ДУ вида (1, 2) построена Флоке
(Floquet) и дополнена А.М. Ляпуновым. Слайд 5

6. 1.1. Основные понятия
Совокупность n линейно независимых решений
x1, x 2 , …, x n уравнения (2) образует фундаментальную
систему решений. Из этих решений составляется
фундаментальная матрица
x11 x12 ... x1n
x21 x22 ... x2 n
X (x1 , ..., xn ) .
. . ... .
xn1 xn 2 ... xnn
Общее решения уравнения (2) есть суперпозиция
x(t ) C1x1 (t ) C2x 2 (t ) ... Cn xn (t ),
где С1,…, Сn – произвольные постоянные. Слайд 6

7. 1.1. Основные понятия
В матричной форме общее решение представим
x(t ) X (t ) C,
где C colon(C1 ,C2 ,..., Cn ).
Пусть начальным значением фундаментальной матрицы
является единичная матрица E
X (0) E. (3)
Фундаментальная матрица, удовлетворяющая
начальному условию (3), называется
матрицантом.
Слайд 7

8. 1.1. Основные понятия
Каждому решению xk фундаментальной системы
соответствует решение x k (t T ), которое можно
представить с помощью матрицанта
xk (t T ) X (t ) ak ,
где ak colon (a1k , a2 k ,...ank ).
Составим матрицу таких решений
X(t T ) X (t ) A. (4)
В равенстве (4): A ( aik ) – квадратная
ak
матрица, векторы – столбцы aik
матрицы, –
Слайд 8
некоторые числа.

9. 1.1. Основные понятия
При t = 0 из равенства (4) с учетом (3) следует
X (T ) A. (5)
Матрица A называется матрицей монодромии.
Обращаемся к формуле Лиувилля-Остроградского
t
( p11 p22 ... p nn ) dt
X (t ) X (0) e0 .
С помощью формулы Л.-О. получаем определитель
матрицы монодромии
T
( p11 p22 ... pnn ) dt (6)
A X (T ) e0 .
Слайд 9