Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Lý thuyết, hướng dẫn giải hàm số - Bài tập hè - Toán cấp 3VuKirikou
K50 Sinh - THPT Chuyên Sư Phạm - Hà Nội
Thầy Long Pea
Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
Chủ đề 2: Cực trị hàm số
Chủ đề 3: Max, min
Chủ đề 4: Đường tiệm cận
Chủ đề 5: Đồ thị
Chủ đề 6: 2 đồ thị hàm số tương giao
Chủ đề 7: Tiếp tuyến
Chủ đề 8: Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây là Chuyên đề Toán Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Lý thuyết, hướng dẫn giải hàm số - Bài tập hè - Toán cấp 3VuKirikou
K50 Sinh - THPT Chuyên Sư Phạm - Hà Nội
Thầy Long Pea
Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
Chủ đề 2: Cực trị hàm số
Chủ đề 3: Max, min
Chủ đề 4: Đường tiệm cận
Chủ đề 5: Đồ thị
Chủ đề 6: 2 đồ thị hàm số tương giao
Chủ đề 7: Tiếp tuyến
Chủ đề 8: Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây là Chuyên đề Toán Tích phân của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé!
------------------------------------------------------------------------------
Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;)
http://megabook.vn/
Chúc các em học tốt! ^^
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
1. Kh o sát hàm s
1
th hàm s và
các bài toán liên quan
A. KI N TH C C N NH
1. Tính ơn i u c a hàm s
1.1. nh nghĩa. Cho hàm s f xác nh trên K , v i K là kho ng, o n hay n a kho ng. Khi
ó
f ng bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < .
f ngh ch bi n trên K ( )1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ > .
1.2. i u ki n c n và
Cho hàm s f có o hàm trên kho ng I . Khi ó
f ng bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f ngh ch bi n trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = ch t i m t s i m h u h n thu c I .
f là hàm h ng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ .
2. C c tr c a hàm s
2.1. i u ki n c n có c c tr
Cho hàm s f có o hàm t i 0
x . N u hàm s f t c c tr t i 0
x thì 0
0( )f x′ = .
2.2. i u ki n có c c tr
2.2.1. i u ki n th nh t. Cho hàm s f có o hàm trên kho ng ( ; )a b , 0
( ; )x a b∈ . Khi ó
n u ( )f x′ i d u khi x qua 0
x thì f t c c tr t i 0
x .
x 0
x x 0
x
( )f x′ 0 ( )f x′ 0
( )f x C ( )f x C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
2. Kh o sát hàm s
2
2.2.2. i u ki n th hai. Cho hàm s f có o hàm c p m t trên ( ; )a b ch a 0
x , 0
0( )f x′ =
và 0
0( )f x′′ ≠ . Khi ó
0
0( )f x′′ < ⇒ f t c c i t i 0
x , 0
0( )f x′′ > ⇒ f t c c ti u t i 0
x .
Chú ý. Ta thư ng s d ng i u ki n th hai trong các bài toán có yêu c u liên quan n c c
tr t i nh ng i m c th cho trư c.
2.3. ư ng th ng qua hai i m c c tr
2.3.1. Hàm s 3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . Th c hi n phép chia a th c ( )f x cho
( )f x′ , ta ư c ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi ó ta có
0
( ) ( ). ( )A A A A A A
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + ;
0
( ) ( ). ( )B B B B B B
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = + .
Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
2.3.2. Hàm s
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+
0( )a ≠ , ( )C
Gi s th ( )C có hai i m c c tr ( );A A
A x y , ( );B B
B x y . t 2
( )u x ax bx c= + + ,
( )v x dx e= + . Khi ó 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′−
′ =
. N u f t c c tr t i 0
x thì
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− = 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
hay 0
0
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
.
Do ó ta có
2
( ) A
A A
ax b
y f x
d
+
= = và
2
( ) B
B B
ax b
y f x
d
+
= = . Suy ra
2
, :
ax b
A B y
d
+
∈ ∆ =
nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th ( )C .
Chú ý. Ta thư ng s d ng thu t toán ư ng th ng qua hai i m c c tr i v i các bài toán liên
quan n giá tr c c tr hay i m c c tr c a th hàm s .
3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
0 0
, ( )
max ( )
, ( )x
x f x M
M f x
x f x M∈
∀ ∈ ≤= ⇔
∃ ∈ =
D
D
D 0 0
, ( )
min ( )
, ( )x
x f x m
m f x
x f x m∈
∀ ∈ ≥= ⇔
∃ ∈ =
D
D
D
.
N u ( )y f x= ng bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= .
N u ( )y f x= ngh ch bi n trên [ ; ]a b thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= .
4. Ti m c n
ư ng th ng 0
x x= ư c g i là ti m c n ng c a th hàm s ( )y f x= n u ít nh t m t
trong các i u ki n sau ư c th a mãn
0
lim ( )
x x
f x−
→
= +∞;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= +∞ ;
0
lim ( )
x x
f x−
→
= −∞ ;
0
lim ( )
x x
f x+
→
= −∞.
ư ng th ng 0
y y= ư c g i là ti m c n ngang c a th hàm s ( )y f x= n u
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
3. Kh o sát hàm s
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= ho c 0
lim ( )
x
f x y
→+∞
= .
ư ng th ng y ax b= + 0( )a ≠ ư c g i là ti m c n xiên c a th hàm s ( )y f x= n u
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + = ho c 0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + = .
5. M t s bài toán liên quan n th hàm s
5.1. Tìm i m c nh c a m t h th . Cho hàm s ( , )y f x m= , ( )m
C . Khi ó h ( )m
C
qua i m c nh ( )0 0
;M x y ⇔ 0 0
( , ),y f x m m= ∀
1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,k k
k k
g x y m g x y m g x y m−
−
⇔ + + + = ∀
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )
......................
( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−
= =⇔
=
.
5.2. V trí tương i gi a hai th . Cho hàm s ( )y f x= , ( )C và hàm s ( )y g x= , ( )C ′ .
Giao i m c a hai th
i u ki n hai th ti p xúc nhau
( )C và ( )C ′ ti p xúc nhau
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=⇔
′ ′ =
có nghi m.
5.3. Vi t phương trình ti p tuy n v i th hàm s
Bài toán Cách gi i
Ti p tuy n t i i m thu c th
Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0
; ( )M x y C∈ . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C t i M .
Áp d ng công th c 0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − .
Ti p tuy n qua i m cho trư c
Cho ( )C : ( )y f x= và i m ( );A A
A x y . Vi t
phương trình ti p tuy n c a ( )C qua A .
Cách 1. G i d là ư ng th ng qua ( );A A
A x y và
có h s góc k : ( )A A
y k x x y= − + . Dùng i u
ki n ti p xúc 5.2 xác nh k .
Cách 2. Pttt d t i i m ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên
0 0 0
( )( )A A
y y f x x x′− = − . T ây suy ra 0
x .
Ti p tuy n có h s góc cho trư c
Cho hàm s ( )y f x= , ( )C . Vi t phương
trình ti p tuy n d c a ( )C bi t ti p d có h
s góc k .
Pttt d c a ( )C t i ( )0 0
;M x y b t kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có h s góc k nên
suy ra 0
( )f x k′ = . T ây suy ra 0
x .
5.4. th c a hàm s ch a giá tr tuy t i
S giao i m c a ( )C và ( )C ′ là s nghi m c a phương trình hoành giao i m ( ) ( )f x g x= .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
4. Kh o sát hàm s
4
Hàm s th
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )1
C : ( )y f x= .
Do
0
0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x
≥=
− <
nên ta v th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C không n m phía dư i tr c
Ox .
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Ox , ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )1 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )2
C : ( )y f x= .
Ta có ( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x
≥=
− <
và ( )f x là hàm ch n nên th
i x ng qua tr c tung. Do ó ta v th ( )1
C như sau
Gi ph n th ( )a
C c a ( )C không n m bên trái tr c Oy.
L y i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c Oy, ta
ư c ph n th ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )2 a b
C C C= ∪ .
T th ( )C : ( )y f x= ,
hãy v th ( )3
C :
( )y f x= .
Ta th c hi n như sau
V th c a hàm s ( )y f x= .
V th c a hàm s ( )y f x= .
T th
( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy v
th ( )4
C : ( ). ( )y u x v x= .
Vì ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x
≥=
− <
, nên ta v ( )4
C như sau
Gi l i ph n th ( )a
C c a ( )C ng v i ( ) 0u x ≥ .
L y ph n i x ng ph n th còn l i c a ( )C qua tr c
hoành, ta ư c ( )b
C . Khi ó ( ) ( ) ( )4 a b
C C C= ∪ .
6. M t s ki n th c khác liên quan
6.1. Các v n liên quan n nh lí v d u c a tam th c b c hai
6.1.1. nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có 3 trư ng h p
0∆ <
x −∞ +∞
f(x) cùng d u v i a
0∆ =
x −∞ 0
2
b
x
a
= − +∞
f(x) cùng d u v i a 0 cùng d u v i a
0∆ >
x −∞ 1
x 2
x +∞
f(x) cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
5. Kh o sát hàm s
5
6.1.2. i u ki n tam th c không i d u trên »
Cho tam th c 2
( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi ó ta có
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ <> ∀ ∈ ⇔
>
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ << ∀ ∈ ⇔
<
» .
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔
>
»
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔
<
» .
6.1.3. So sánh các nghi m c a m t phương trình b c hai v i m t s th c cho trư c
Xét phương trình b c hai ( ) 2
0f x ax bx c= + + = (1) và m t s th c α cho trư c. Khi ó
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0x x< < 0P⇔ < .
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0 x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
>
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
0x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
<
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x x α< < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
<
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x xα < < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
>
.
(1) có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
x xα< < . t t x α= − , phương trình (1) tr
thành ( ) 0g t = (2), ta c n ph i có
(2) có hai nghi m 1 2
,t t th a mãn 1 2
0t t< < 0P⇔ < .
6.1.4. Liên h v s nghi m gi a phương trình trùng phương và phương trình b c hai
tương ng
Cho phương trình trùng phương 4 2
0ax bx c+ + = (1). t 2
t x= , phương trình (1) tr thành
2
0at bt c+ + = (2). Khi ó
(1) vô nghi m
⇔
0
0 0 0, ,P S
∆ <⇔ ∆ ≥ > <
.
(1) có m t nghi m ⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t≤ =
0
0
P
S
=⇔
≤
.
(1) có hai nghi m
⇔
0 0
0
,S
P
∆ = >⇔ <
.
(2) vô nghi m
(2) có nghi m 1 2
0t t≤ <
(2) có nghi m 1 2
0t t= >
(2) có nghi m 1 2
0t t< <
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
6. Kh o sát hàm s
6
(1) có ba nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0t t= <
0
0
P
S
=⇔
>
.
(1) có b n nghi m⇔ (2) có nghi m 1 2
0 t t< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
>
.
6.2. Góc gi a hai ư ng th ng
Cho hai ư ng th ng 1 1 1 1
0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2
0: a x b y c∆ + + = . Khi ó 1
∆ và 2
∆ t o v i
nhau m t góc α thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b
α
+
=
+ +
.
c bi t
1
∆ song song 2
∆ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 1
∆ vuông góc 2
∆
1 2
1 2
1 2
1.
k k
a a
b b
⇔ − − = −
.
6.3. Kho ng cách
6.3.1. Kho ng cách gi a hai i m
Kho ng cách gi a hai i m ( ; )A A
A x y và ( ; )B B
B x y là 2 2
( ) ( )B A B A
AB x x y y= − + − .
6.3.2. Kho ng cách t m t i m t i m t ư ng th ng
Kho ng cách t i m ( ; )M M
M x y t i 0: ax by c∆ + + = là
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
B. M T S D NG TOÁN VÀ VÍ D CÓ L I GI I
1. Tính ơn i u c a hàm s
D ng toán 1. Tìm các giá tr c a tham s hàm s ơn i utrên m t kho ng cho trư c
Bài 1. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21
3 2 1
3
y x mx m x= + + − + ng bi n trên kho ng
( )1 2; .
Gi i
Cách 1. Phương pháp th hàm s
Yêu c u bài toán ⇔ ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈
⇔ 2
2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x ′ = + + − ≥ ∀ ∈
(vì y′ liên t c t i 1x = và 2x = )
( )
2
2
1 2
2 3
, ;
x
g x m
x
− ⇔ = ≥ − ∀ ∈ +
hay ( )
1 2;
min
x
g x m
∈
≥ − .
Ta có ( )
( )
2
2
2 6 4
2 3
x x
g x
x
+ +
′ =
+
; ( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x
= − ∉ ′ = ⇔ = ∈
, và ( )
1
1
5
g = − , ( )
2
2
7
g = .
Do ó ( ) ( )
1 2
1
1
5;
min
x
g x g
∈
= = − . V y các giá tr c a m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Cách 2. Phương pháp tam th c b c hai
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
7. Kh o sát hàm s
7
Yêu c u bài toán ⇔ ( ) ( )2
2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . i u này x y ra n u m t
trong hai i u ki n sau ây ư c th a mãn
i. 2
2 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ » , t c là 2
3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ ho c 1 2
2 x x≤ < .
Trư ng h p 1. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1x x< ≤ , ta có
( )
2
3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S
m
′∆ = − + > = − ≥
= − <
1 2
1
1 1
5
5 2
1
m m
m
m
m
m
< ∨ > ≤ < ⇔ ≥ ⇔ > > −
.
Trư ng h p 2. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
2 x x< < , ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m
′∆ = − + > = + ≥
= − >
1 2
2
7
2
m m
m m
m
< ∨ >⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅
< −
.
K t h p các trư ng h p trên ta ư c các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
Bài 2. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2 21
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x= + − + − + + ng bi n
trên kho ng ( )1;−∞ .
Gi i
Hàm s ã cho ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ khi và ch khi
( ) ( ) ( )2 2
2 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ .
i u này x y ra khi và ch khi m t trong hai i u ki n sau ư c th a mãn
i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈ » 2 8
3 5 8 0 1
3
m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .
ii. ( ) 0f x = có hai nghi m 1 2
,x x th a mãn 1 2
1 x x≤ < , tương ương v i
( )
( )
2
2
8
13 5 8 0
3
1 5 8 0
0
2 1 1
2
mm m
af m m m
S m
m
− < < ′ ∆ = + − > = − + ≥ ⇔ ∈
< = − − >
»
8
3
m⇔ < − .
K t h p các trư ng h p trên, ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
Bài 3. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21
2 1 1 2 1
3
y x m x m x m= + − + + + −
a. ng bi n trên » ,
b. ng bi n trên )1; +∞
,
c. ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
8. Kh o sát hàm s
8
Ta có ( ) ( )2
2 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + .
a. Hàm s ng bi n trên » khi và ch khi ( )2
2 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈ » . Khi ó
( )
2
2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ .
V y các giá tr c a m c n tìm là 0 5m≤ ≤ .
b. Hàm s ã cho ng bi n trên )1; +∞
khi và ch khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . i u này tương
ương v i ( ) )
2
2
1
4 1
;
x x
g x m x
x
− + = ≤ ∀ ∈ +∞+
hay
)
( )1;
max
x
g x m∈ +∞
≤ .
Ta có ( )
( )
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′ =
+
; ( )
)
)
1 1
0 1
1
2
;
;
x
g x
x
= − ∉ +∞
′ = ⇔
= ∉ +∞
.
B ng bi n thiên
x 1 +∞
( )g x′ −
( )g x 1
5 0
Ta th y
)
( ) ( )1
1
1
5;
max
x
g x g
∈ +∞
= = . Do ó ta có
1
5
m ≥ . V y các giá tr m c n tìm là
1
5
m ≥ .
c. Yêu c u bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x ′ ≤ ∀ ∈ (vì y′ liên t c t i 0x = và 1x = )
( )
2
2
0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− + ⇔ = ≥ ∀ ∈ +
, t c là ( )0 1;
min
x
g x m ∈
≥ .
Ta có ( )
1 0 1
0 1
0 1
2
;
;
x
g x
x
= − ∉
′ = ⇔
= ∈
; ( )0 0g = ;
1 1
2 4
g
=
và ( )
1
1
5
g = .
Do ó ( ) ( )0 1
0 0
;
min
x
g x g ∈
= = nên các giá tr m c n tìm là 0m ≤ .
Bài 4. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
2 1 1
2
x m x
y
x
+ + +
=
−
ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; .
Gi i
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0 1; khi và ch khi
( )
( )
2
2
4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′ = ≥ ∀ ∈
−
, tương
ương v i ( ) ( )2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên t c t i 0x = và t i 1x = nên
( ) 2
4 4 3 0 0 1;g x x x m x = − − − ≥ ∀ ∈ hay ( )0 1
0
;
min
x
g x ∈
≥ .
Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x ′ = − = ⇔ = ∉
; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − .
Suy ra ( ) ( )0 1
1 4 6
;
min
x
g x g m ∈
= = − − . Do ó các giá tr c a m c n tìm là
3
2
m ≤ − .
Bài 5. Tìm các giá tr c a m hàm s
( )2
1 2 1
2
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
ng bi n trên kho ng
( )1;+∞ .
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
9. Kh o sát hàm s
9
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1;+∞ ⇔
( )
( )
2 2
2
4 2 1
0 1;
x mx m
y x
x m
− − −
′ = ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay
( ) ( )2 2
4 2 1 0 1
1
;g x x mx m x
m
= − − − ≥ ∀ ∈ +∞
≤
Ta th y 2
6 1 0g
m m′∆ = + > ∀ ∈ » nên
( ) 0,g x x> ∀ ∈ » . Do ó các giá tr m c n tìm là 1m ≤ .
D ng toán 2. Tìm các giá tr c a tham s hàm s có c c tr th a mãn i u ki n s cho trư c
Bài 6. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
2
3
y x mx mx= + + + có hai c c tr 1 2
,x x th a mãn
1 2
4x x− ≥ .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr 1 2
,x x 2
2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
2
0
3 0
3
m
m m
m
<⇔ − > ⇔ >
(1).
Khi ó ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2).
Theo nh lí Viet ta có 1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
+ = −
=
nên (2) ⇔ 2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m
≤ −− − ≥ ⇔ ≥
(3)
K t h p (1) và (3) ta tìm ư c các giá tr m th a mãn yêu c u bài toán là 1m ≤ − ho c 4m ≥ .
Bài 7. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )3 21 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x= − − + + có hai c c tr 1 2
,x x
th a mãn 1 2
2x x= .
Gi i
Hàm s ã cho các hai c c tr ( )2 50
2 1 0
9
y x m x′⇔ = − − + = có hai nghi m phân bi t 1 2
,x x
( )
2 50
2 1 4 0
9
.m⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2
6
m
m
− <
⇔
+ >
(1)
Ta có 1 2
2x x= nên theo nh lí Viet, ta có 1 2
2 1x x m+ = − 2
2 1
3
m
x
−
⇔ = .
Khi ó 1 2
50
9
x x =
2
2
2
350 2 1 50
2 2
29 3 9
mm
x
m
=− = ⇔ = ⇔ = −
.
Hai giá tr v a tìm ư c c a m u th a mãn (1) nên 3m = và 2m = − th a yêu c u bài toán.
Bài 8. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 21 1
4 2 5 1
3 2
y x m x m x= − + + + + th a mãn
a. có hai c c tr l n hơn 1− ;
b. có úng m t c c tr l n hơn 1− ;
c. có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
;
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
10. Kh o sát hàm s
10
d. có hai c c tr nh hơn 4;
e. có m t c c trong kho ng ( )3 5; ;
f. không có c c tr .
Gi i
Ta có ( )2
4 2 5y x m x m′ = − + + + ;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′ = ⇔ =
−
.
Xét hàm s ( )
2
4 5
2
x x
g x
x
− +
=
−
; ( )
( )
2
2
4 3
2
x x
g x
x
− +
′ =
−
; ( )
1
0
3
x
g x
x
=′ = ⇔ =
.
B ng bi n thiên
x −∞ 1− 1
3
2
2 3 4 5 +∞
( )g x′ + + − − − + + +
( )g x
−∞
10
3
−
2−
5
2
−
−∞
+∞
2
5
2
10
3
+∞
Vì nghi m c a phương trình 0y′ = cũng chính là hoành giao i m c a y m= và ( )y g x=
nên t b ng bi n thiên c a hàm s ( )y g x= ta th y
a. Hàm s có hai c c tr l n hơn 1−
10
2
3
m⇔ − < < − ho c 2m > .
b. Hàm s có úng m t c c tr l n hơn 1−
10
3
m ≤ − .
c. Hàm s có ít nh t m t c c tr l n hơn
3
2
⇔
5
2
m < − ho c 2m > .
d. Hàm s có hai c c tr nh hơn 4 2m⇔ < − ho c
5
2
2
m< < .
e. Hàm s có m t c c trong kho ng ( )3 5;
10
2
3
m⇔ < < .
f. Hàm s không có c c tr 2 2m⇔ − ≤ ≤ .
Bài 9. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 2
1 2 1y x m x m= + − + + có ba c c tr .
Gi i
Hàm s có ba c c tr ( )2
2 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghi m phân bi t
2
2 1 0x m⇔ + − = có hai nghi m phân bi t khác 0
( )2 1 0
3 0
m
m
′∆ = − − >⇔
− ≠
1
3
m
m
>⇔
≠
.
Bài 10. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
4 2
6
2
m
y x mx= + + − có ba i m c c tr
, ,A B C (trong ó i m A thu c tr c tung) sao cho t giác ABOC là hình bình hành.
Gi i
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
11. Kh o sát hàm s
11
Hàm s ã cho có ba c c tr ( )2
2 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghi m phân bi t
2
2 0x m⇔ + = có hai nghi m phân bi t khác 0
0m⇔ < .
V i 0x = ta có
2
6
2
m
y = − nên
2
0 6
2
;
m
A
−
. Hai nghi m còn l i c a 0y′ = là
2
m
x
−
= ± .
Ta u có
2
3
6
2 4
m m
y
− − = −
và có th gi s
2
3
6
2 4
;
m m
B
− − −
và
2
3
6
2 4
;
m m
C
− −
.
Khi ó
2
2 4
;
m m
BA
= −
và
2
3
6
2 4
;
m m
OC
= − −
.
Yêu c u bài toán BA OC⇔ = 2
2 2
2 2 6 6
3
6
4 4
m m
m m
m m
− = −⇔ ⇔ = ⇔ = −
= −
(vì 0m⇔ < )
Bài 11. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
3 1
2
mx mx
y
x
+ +
=
+
có hai i m c c tr n m v
hai phía tr c tung.
Gi i
Ta có
( )
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′ =
+
.
Hàm s ã cho có hai c c tr 2
4 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 2−
2
0
2 0
2 1 0
m
m m
m
≠ ′⇔ ∆ = − + >
− ≠
1
0
2
m⇔ < < (2).
Khi ó g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1). Yêu c u bài toán tương ương v i
1 2
0x x <
6 1 1
0 0
6
m
m
m
−
⇔ < ⇔ < < (th a mãn (2)).
Bài 12. Tìm các giá tr c a m th hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= + − + − + có hai i m
c c tr , ng th i ư ng th ng n i hai i m c c tr i qua i m ( )0 3;A − .
Gi i
Hàm s ã cho có hai c c tr khi và ch khi ( ) ( )2
3 6 1 3 1 0y x m x m′ = + − + − = có hai nghi m
phân bi t. i u này x y ra khi ( )( )
1
1 2 0
2
m
m m
m
<′∆ = − − > ⇔ >
(1).
G i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c y cho y′ , ta ư c
( )( ) 21 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
− ′= + + − − − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
12. Kh o sát hàm s
12
Vì 1 2
,x x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ta có ( )( ) 2
1 1
2 1 2 2y m m x m m= − − − + và
( )( ) 2
2 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + . Do ó 1
M , 2
:m
M d∈ ( )( ) 2
2 1 2 2y m m x m m= − − − + ,
và như v y m
d là ư ng th ng i qua hai i m c c tr 1
M và 2
M .
Ta có ( ) 2
1
0 3 2 3 0
3
; m
m
A d m m
m
= −− ∈ ⇔ − − = ⇔ =
(th a mãn i u ki n (1)). V y các giá tr
m c n tìm là 1m = − và 3m = .
Bài 13. Tìm các giá tr c a m th hàm s 3 21
3 3
m
y x mx x= + + + có hai i m c c tr n m
cùng phía i v i ư ng th ng 2: y x∆ = − .
Gi i
Hàm s có hai c c tr 2
2 1 0y x mx′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
2
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m > (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia y cho
y′ ư c
( )21 1 2
1
3 3 3
y x m y m x
′= + + −
(2)
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )2
1 1
2
1
3
y m x= − và
( )2
2 2
2
1
3
y m x= − . Các i m ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y n m cùng phía i v i 2 0: x y∆ + =
tương ương v i
( ) ( )2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 0
3 3
.x m x x m x
+ − + − >
( )
2
2
1 2
4 0m x x⇔ − > ( )
2
2
4 0m⇔ − > hay 2m ≠ ± (3).
K t h p (1) và (3) ta ư c các giá tr m c n tìm là 1m > và 2m ≠ ± .
Bài 14. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 21
3
y x x mx m= + + + có c c i và c c ti u, ng th i
kho ng cách gi a hai i m c c tr b ng 2 15 .
Gi i
Hàm s có c c i và c c ti u 2
2 0y x x m′⇔ = + + = có hai nghi m phân bi t
1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m < (1).
V i i u ki n (1), ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr . Th c hi n phép chia a th c
y cho y′ ư c
( ) ( )
1 2 2
1 1
3 3 3
y x y m x m′= + + − + (2).
Vì 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình 0y′ = nên t (2) ta suy ra ( )1 1
2 2
1
3 3
y m x m= − + và
( )2 2
2 2
1
3 3
y m x m= − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
13. Kh o sát hàm s
13
Ta có ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15M M x x y y= − + − =
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4
1 1 4 60
9
m x x x x
⇔ + − + − =
( )
24
1 1 4 4 60
9
m m
⇔ + − − =
3 2
4 12 21 122 0m m m⇔ − + + =
( )( )2
2 4 20 60 0m m m⇔ + − + =
2m⇔ = − (vì 2
4 20 60 0m m m− + > ∀ ∈ » ).
Ta th y giá tr 2m = − th a mãn i u ki n (1) nên 2m = − là giá tr c n tìm.
Bài 15. Tìm các giá tr c a m th hàm s
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
−
có hai i m c c tr cách u
ư ng th ng 2 0: x y∆ + − = .
Gi i
Hàm s có hai c c tr ⇔
( )
2
2
2 3
0
1
x x m
y
x
− − −
′ = =
−
có hai nghi m phân bi t
⇔ 2
2 3 0x x m− − − = có hai nghi m phân bi t khác 1
⇔
4 0
4
4 0
m
m
m
′∆ = + > ⇔ > −
+ ≠
(1).
Khi ó, ta g i ( )1 1 1
;M x y và ( )2 2 2
;M x y là các i m c c tr .
t ( ) 2
3u x x mx= + + ; ( ) 1v x x= − thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
u x v x u x v x
y
v x
′ ′−
′ =
.
Vì 1
x là nghi m c a phương trình 0y′ = nên ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
1 1
0
u x u x
u x v x u x v x
v x v x
′
′ ′− = ⇔ =
′
,
t c là 1 1
2y x m= + . Tương t 2 2
2y x m= + .
Do 1 2
,M M cách u ∆ nên
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
x x m x x m+ + − + + −
=
( ) ( )1 2 1 2
3 3 2 4 0x x x x m ⇔ − + + − =
( )1 2
3 2 4 0x x m⇔ + + − = (vì 1 2
x x≠ )
3 2 2 4 0. m⇔ + − =
2m⇔ = − (th a mãn i u ki n (1)).
V y 2m = − là giá tr c n tìm.
D ng toán 3. Các bài toán liên quan n ti p tuy n c a th hàm s
Bài 16. Cho hàm s 3 21
1
3
y x x x= + + + có th ( )C và ba i m ( ) ( )
22 27
1 1 0 2
5 5
; , ; , ;A B C
.
Vi t phương trình ti p tuy n ∆ v i th ( )C bi t r ng giao i m c a ∆ và ư ng th ng
1:d y x= + là tr ng tâm c a tam giác ABC .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
14. Kh o sát hàm s
14
Gi i
Ta có 2
2 1y x x′ = + + . Phương trình ti p tuy n ∆ c a ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x= + − − + .
Hoành giao i m G c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1 1
3
x x x x x+ − − + = +
( )
( )
2
0 0
0 0
0
2 3
0 2
3 2
;
x x
x x x
x
+
⇔ = ≠ ≠ −
+
(1).
Tung giao i m tương ng là
( )
( )
2
0 0
0
2 3 3
3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
( )
( )
22
0 00 0
0 0
2 3 32 3
3 2 3 2
;
x xx x
G
x x
+ + + + +
.
i m G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔
( )
( )
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
22
1 02 3 95
3 53 2
27
1 22 3 3 145
3 53 2
x x
x
x x
x
+ + + = = +
+ + + + = = +
.
Gi i h phương trình trên ta ư c 0
3x = ho c 0
9
5
x = − . C hai giá tr này u th a mãn i u
ki n phương trình (1).
V i 0
3x = ho c 0
9
5
x = − ta ư c các ti p tuy n c n tìm là 16 26y x= − và
16 206
25 125
y x= + .
Bài 17. Cho hàm s ( )3 21
2 3 1 1
3
y x mx m x= + + − + có th ( )m
C . Vi t phương trình ti p
tuy n ∆ c a ( )m
C t i i m có hoành b ng 1. Tìm các giá tr c a m giao i m c a ∆ và
2:d y x= cách u các tr c t a .
Gi i
Ta có 2
4 3 1y x mx m′ = + + − ; ( )1 7y m′ = và ( )
1
1 5
3
y m= + .
Phương trình ti p tuy n c a ( )m
C t i
1
1 5
3
; m
+
là
1
7 2
3
y mx m= − + .
Hoành giao i m c a ∆ và d là nghi m c a phương trình
1
7 2 2
3
mx m x− + =
( )
6 1
3 7 2
m
x
m
−
⇔ =
−
.
Tung giao i m tương ng là
( )
12 2
3 7 2
m
y
m
−
=
−
. Giao i m c a ∆ và d cách u hai tr c t a
khi và ch khi
( ) ( )
6 1 12 2
3 7 2 3 7 2
m m
m m
− −
=
− −
2
7
6 1 12 2
6 1 12 2
m
m m
m m
≠⇔ − = − − = − +
2
7
1
6
m
m
≠⇔
=
1
6
m⇔ = .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
15. Kh o sát hàm s
15
Bài 18. Cho hàm s
2
1
x
y
x
+
=
−
có th ( )C . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a
( )C . Ch ng minh r ng m t ti p tuy n b t kỳ v i ( )C luôn c t hai ti m c n t i hai i m ,A B sao
cho tam giác IAB có di n tích không i.
Gi i
Trư c h t ta th y
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y−
→
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
1lim
x
y
→+∞
= và
1
1lim
x
y
→ −∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
1: y∆ = .
Do ó giao i m c a 1
∆ và 2
∆ là ( )1 1;I .
Ta có
( )
2
3
1
y
x
−
′ =
−
. Phương trình d ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;x y có d ng
( )
( ) 0
02
0
0
23
11
x
y x x
xx
+−
= − +
+−
hay
( ) ( )
2
0 0
2 2
0 0
4 23
1 1
x x
y x
x x
+ −−
= +
− −
.
V i 1x = thì
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
x x
y
x
+ −
=
−
nên
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
1
;
x x
A
x
+ − −
là giao i m c a d và 1
∆ .
V i 1y = thì x = 0
2 1x x= − nên ( )0
2 1 1;B x − là giao i m c a d và 2
∆ .
Khi ó
0
6
1
IA
x
=
−
và 0
2 1IB x= − nên di n tích tam giác IAB là
0
0
1 1 6
2 1 6
2 2 1
. . .IAB
S IAIB x
x
= = − =
−
(không i) ( ccm).
Bài 19. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C hàm s
2
2
x
y
x
+
=
−
, bi t ti p tuy n c t Ox và
Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Gi i
Ta có
( )
2
4
2
y
x
−
′ =
−
. Phương trình ti p tuy n v i ( )C t i i m ( )0 0
;M x y , ( )0
2x ≠ có d ng
d :
( )
( ) 0
02
0
0
24
22
x
y x x
xx
+−
= − +
−−
.
Do ti p tuy n d c t Ox và Oy l n lư t t i A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông
góc v i m t trong các ư ng th ng 1
: y x∆ = ho c 2
: y x∆ = − .
N u 1
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
= −
−
( )
2
0
0
0
4
2 4
0
x
x
x
=⇔ − = ⇔ =
.
V i 0
0x = ta có ti p tuy n 1y x= − − .
V i 0
4x = ta có ti p tuy n 7y x= − + .
N u 2
d ⊥ ∆ thì
( )
2
0
4
1
2x
−
=
−
. Phương trình này vô nghi m.
V y có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là 1y x= − − và 7y x= − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
16. Kh o sát hàm s
16
Bài 20. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3 2
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
i qua i m ( )2 3;A − .
Gi i
G i k
d là ư ng th ng i qua i m ( )2 3;A − và có h s góc k thì ( )2 3:k
d y k x= − − .
Khi ó, k
d ti p xúc v i ( )C
( )3 2
2
3 1 2 3 1
3 6 2
( )
( )
x x k x
x x k
− + = − −⇔
− =
có nghi m.
Thay (2) vào (1), ta ư c ( )( )3 2 2
3 1 3 6 2 3x x x x x− + = − − −
3 2
2 9 12 4 0x x x⇔ − + − =
2
1
2
x
x
=
⇔
=
.
V i 2x = , thay vào (2) ư c 0k = , ta có ti p tuy n 3:k
d y = − .
V i
1
2
x = , thay vào (2) ư c
9
4
k = − , ta có ti p tuy n
9 3
4 2
:k
d y x= − + .
Bài 21. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − + , bi t ti p tuy n
t o v i ư ng th ng 3: y x∆ = + m t góc α sao cho
5
41
cosα = .
Gi i
Gi s ti p tuy n d c n tìm có h s góc k . Các VTPT c a d và ∆ l n lư t là ( )1;d
n k= − và
( )1 1;n∆
= − . Ti p tuy n d t o v i ∆ m t góc α sao cho
5
41
cosα = ⇔
2
1 5
412 1
k
k
+
=
+
( ) ( )
2
2
41 1 50 1k k⇔ + = +
2
9 82 9 0k k⇔ − + =
9
1
9
k
k
=
⇔
=
.
V i 9k = ta có ( ) 2
0 0
3 3 9f x x′ = − = 0
2x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i 0
2x = và
0
2x = − l n lư t có phương trình 9 15y x= − và 9 17y x= + .
V i
1
9
k = ta có ( ) 2
0 0
1
3 3
9
f x x′ = − = 0
2 21
9
x⇔ = ± . Các ti p tuy n c a ( )C t i
0
2 21
9
x = ± có phương trình
1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
D ng toán 4. Tìm các giá tr c a tham s giao i m th hàm s và ư ng th ng th a mãn
i u ki n cho trư c
Bài 22. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng :m
d y mx m= − c t th ( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−
t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác ABC vuông t i nh ( )1 2;C .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
17. Kh o sát hàm s
17
Gi i
ư ng th ng m
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2
2 1
1
x x
mx m
x
+ −
⇔ − =
−
có hai nghi m phân
bi t, t c là
( ) ( )2
1 2 1 1 0m x m x m− − − + + = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( ) ( )( )
( )
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m
− ≠⇔ ′∆ = − − − + >
− − − + + ≠
1
1 1
m
m m
m
≠⇔ < ⇔ <
∈
»
.
V i i u ki n ó, g i 1 2
,x x là các nghi m c a phương trình (1); các giao i m c a m
d và ( )C là
( )1 1
;A x mx m− , ( )2 2
;B x mx m− .
Ta có ( )1 1
1 1;CA x mx m= − − − ; ( )2 2
1 1;CB x mx m= − − − .
ABC vuông t i nh C 0.CACB⇔ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 1 1 1 0x x mx m mx m⇔ − − + − − − − =
( ) ( )( ) ( )
2
2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 0m x x m m x x m
⇔ + − + + + + + + =
( ) ( ) ( )
2
2 1
1 2 1 2 2 1 0
1
.
m
m m m m
m
+
⇔ + − + + + + + =
−
( )2 2 1 0m m⇔ − = 0m⇔ = (vì 1m < ).
Bài 23. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 1 3 1, m
y x m x x C= − + − + . Tìm các giá tr c a m ư ng th ng
1:d y x= + c t ( )m
C t i ba i m phân bi t ( )0 1; ; ;A B C sao cho 5 2AC = .
Gi i
Giao i m c a ( )m
C và d có hoành là nghi m c a phương trình
( )3 2
3 1 3 1 1x m x x x− + − + = + (1)
( )( )2
3 1 4 0x x m x⇔ − + − =
( )2
0
3 1 4 0 2( )
x
x m x
=⇔ − + − =
.
( )m
C và d có 3 giao i m ⇔ (1) có 3 nghi m phân bi t
⇔ (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
( )
( )
2
9 18 25 0
3 0
m m m
m
∆ = + + > ∀ ∈⇔
≠ ∀ ∈
»
»
.
Gi s ( )1 1
1;A x x + và ( )2 2
1;C x x + thì 2
50AC = ( ) ( ) ( )
22
2 1 2 1
1 1 50x x x x ⇔ − + + − + =
( )
2
2 1
25x x⇔ − =
( )
2
1 2 1 2
4 25x x x x⇔ + − =
( )
2
9 1 16 25m⇔ + + =
0
2
m
m
=⇔ = −
.
Bài 24. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng 2:k
d y kx k= + − c t th ( )C c a hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
t i hai i m phân bi t A và B sao cho A và B cách u i m ( )2 1;D − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
18. Kh o sát hàm s
18
x
y
1
2
-1
3
O 1
Gi i
k
d c t ( )C t i hai i m phân bi t
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghi m phân bi t
2
2 3 0kx kx k⇔ − + − = (1) có hai nghi m phân bi t khác 1
( )2
0
3 0
k
k k k
≠⇔
′∆ = − − >
0k⇔ > (2)
Gi s ( ) ( )1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các giao i m c a k
d và ( )C . Ta có
AD BD= ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +
( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k x x k ⇔ − + − + − + − + =
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k k ⇔ − + − + + − + =
( ) ( )2 2
1 2 1 2
4 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + = (vì 1 2
x x≠ )
2 2
2 4 2 2 6 0k k k⇔ − + − + = (do 1 2
;x x là nghi m c a phương trình (1)
1
3
k⇔ = (th a mãn i u ki n (2))
D ng toán 5. Các bài toán liên quan n th c a hàm s ch a d u giá tr tuy t i
Bài 25. T th c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + hãy v th c a các hàm s sau
a. 3 2
3 3y x x= − + b.
3
2
3 3y x x= − + c.
3
2
3 3y x x= − +
Gi i
Trư c h t ta v th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3y f x x x= = − + .
a. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x
≥= − + =
− <
, ( )1
C .
Do v y ta v ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên dư i tr c hoành,
ta g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c Ox, ta g i là ( )1
b
C .
th ( )1
C g m có hai ph n ( )1
a
C và ( )1
b
C .
b. Ta có
( )
( )
3
2
0
3 3
0
,
,
f x x
y x x
f x x
≥= − + =
− <
, ng th i hàm s ( )f x
là hàm ch n nên th c a nó i x ng qua tr c tung. Do ó ta
v th ( )2
C c a nó như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m bên trái tr c hoành, ta
x
y
-1
2
3
O 1
( )C
( )1
C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
19. Kh o sát hàm s
19
g i là ( )2
a
C .
L y i x ng ( )2
a
C qua tr c tung ta ư c ( )2
b
C .
th ( )2
C g m có hai ph n ( )2
a
C và ( )2
b
C .
c. Ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + như sau
T th ( )C c a hàm s ( ) 3 2
3 3:C y x x= − + , ta v th
( )2
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
T th ( )2
C , ta v th ( )3
C c a hàm s
3
2
3 3y x x= − + .
Bài 26. Cho hàm s ( )4 2
4 3,y x x C= − + .
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + = có 8 nghi m phân bi t.
Gi i
a. (H c sinh t kh o sát)
b. Ta bi n i 4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + =
4 2
2
4 3 1logx x m⇔ − + = − (1).
S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao i m c a
( ) 4 2
1
4 3:C y x x= − + và ư ng th ng 2
1: logm
d y m= − .
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 3 4 3 0
4 3
4 3 4 3 0
,
,
x x x x
x x
x x x x
− + − + ≥− + =
− + − + <
, nên ta v
th ( )1
C như sau
Gi l i ph n th c a ( )C không n m dư i tr c hoành, ta
g i là ( )1
a
C .
L y i x ng ph n còn l i c a ( )C qua tr c hoành, ta ư c ( )1
b
C .
th g m có ( )1
a
C và ( )1
b
C .
x
y
1
-1
3
O 1
x
y
1
-1
-2
2
3
O 1
x
y
1
-1
3
O 1
( )C
m
d
( )1
C
x
y
-1
-2 2
3
O 1
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
20. Kh o sát hàm s
20
D ng toán 6. Tìm các i m trên th hàm s th a mãn i u ki n cho trư c
Bài 27. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm i m M thu c ( )C sao cho
a. M có t a nguyên;
b. M cách u hai tr c t a ;
c. T ng kho ng cách t M t i hai ư ng ti m c n là nh nh t;
d. M cách u g c t a O và ( )2 2 5 2;A + ;
e. M có kho ng cách t i 3 2 3 0: x y∆ + − = b ng
3 3
2
.
Gi i
V i ( )M C∈ b t kỳ, ta có 0
0
0
2 1
1
;
x
M x
x
+ −
, 0
1x ≠ .
a. i m M có t a nguyên, t c là
0
0
0 0
2 1 3
2
1 1
x
x
x x
∈ +
= + ∈ − −
»
»
( )0
1 3x⇔ − và 0
x ∈ »
( ) { }0
1 1 3;x⇔ − ∈ ± ±
{ }0
2 0 2 4; ; ;x⇔ ∈ − .
V y có 4 i m trên ( )C có t a nguyên là ( )1
2 1;M − ; ( )2
0 1;M − ; ( )3
2 5;M và ( )4
4 3;M .
b. Kho ng cách t i m M t i các các tr c Ox và Oy l n lư t là 0
0
2 1
1
x
x
+
−
và 0
x .
Yêu c u bài toán 0
0
0
2 1
1
x
x
x
+
⇔ =
− ( )
2
0 0 0
2
0 0 0
3 1 0 3 13
1 0 3 13
x x x
x x VN x
− − = = +⇔ ⇔ + + = = −
.
V y có hai i m tho n mãn yêu c u bài toán là 5
4 13
3 13
3
;M
+ +
và 6
4 13
3 13
3
;M
− −
.
c. Ta có
1
lim
x
y+
→
= +∞ và
1
lim
x
y
→ −
= −∞ nên ( )C có ti m c n ng là 1
1: x∆ = .
2lim
x
y
→+∞
= và 2lim
x
y
→−∞
= nên ( )C có ti m c n ngang là 2
2: y∆ = .
Kho ng cách t i m M l n lư t t i các ti m c n là ( )1 0
1,d M x∆ = − và ( )2
0
3
1
,d M
x
∆ =
−
.
Khi ó ( ) ( )1 2 0
0
3
1
1
, ,d M d M x
x
∆ + ∆ = − +
−
0
0
3
2 1 2 3
1
.
Cosi
x
x
≥ − =
−
ng th c x y ra 0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2
0
1 3x⇔ − = 0
0
1 3
1 3
x
x
= +
⇔
= −
.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )7
1 3 2 3;M + + và ( )8
1 3 2 3;M − − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
21. Kh o sát hàm s
21
d. Ta có
( )
2
4 3 2
2 0 0 0 0 0
0 2
0
0
2 1 2 5 4 1
1 1
x x x x x
MO x
x x
+ − + + + = + = − −
;
( )
2
2
0
0
0
2 1
2 2 5 2
1
x
MA x
x
+ = − − + − −
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
0 0 0 0
2
0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
1
x x x x
x
− + + + − + + +
=
−
.
Khi ó yêu c u bài toán tương ương v i
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
=
− −
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1
1 1
x x x xx x x x
x x
− + + + − + + +− + + +
⇔ =
− −
( ) ( ) ( )3 2
0 0 0
4 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0x x x⇔ + − + + + − − =
( )( ) ( )0 0
1 2 4 4 5 16 4 5 0x x x
⇔ − − + − − =
0
0
2
1 3 5
4
x
x
=
⇔ + =
.
V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )9
2 5;M và 10
1 3 5
3 5
4
;M
+ +
.
e. Ta có ( )
0
2
0
0 00
2 1
3 2 3
3 31
2 2
.
,
x
x
x xx
d M
+
+ −
− +−
∆ = = .
Do ó ( ) 3 3
2
,d M ∆ =
2
0 0
3 3 3 3
2 2
x x− +
⇔ =
( )
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN
− =⇔
− + =
0
0x⇔ = .
V y có m t i m th a mãn yêu c u bài toán là ( )11
0 1;M − .
Bài 28. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − − , ( )C . Tìm trên ư ng th ng 2:d y = − nh ng i m mà t
ó có th k ư c 3 ti p tuy n n ( )C .
Gi i
Ta có 2
3 6y x x′ = − . G i ( )2;M a d− ∈ b t kỳ. Khi ó, ti p tuy n ∆ b t kỳ c a ( )C qua M có
d ng ( ) 2y k x a= − − . Hoành ti p i m c a ∆ và ( )C là nghi m c a h phương trình
( )3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
( )
( )
( )
x x k x a
x x k
− − = − − ∗
− =
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
22. Kh o sát hàm s
22
Thay (2) vào (1) ta ư c
( )( )3 2 2
3 2 3 6 2x x x x x a− − = − − − ( )3 2
2 3 1 6 0x a x ax⇔ − + + =
( )2
0
2 3 1 6 0 3( )
x
x a x a
=⇔ − + + =
.
T M có th k ư c 3 ti p tuy n v i ( )C ⇔ ( )∗ có 3 nghi m phân bi t
⇔ (3) có 2 nghi m phân bi t khác 0
( )
2
9 1 48 0
6 0
a a
a
∆ = + − >⇔
≠
1
3
3
0
a
a
a
<⇔ > ≠
.
C. CÁC BÀI T P VÀ THI
Tính ơn i u c a hàm s
1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau
a. 2
5 1y x x= − + − b. 3 2
3 3y x x= − + c. 3 2
5 7 1y x x x= − + − +
d. 4 2
4 2y x x= − + e.
1
3 2
x
y
x
+
=
−
f.
3
3 2
x
y
x
−
=
+
g.
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
h. 2
4y x= − i.
1
3
x
y
x
+
= .
2. Tìm các giá tr c a m hàm s
a.
3
2 2
1 1 3 5
3
( ) ( )
x
y m m x x= − + + + + luôn ng bi n.
b. 2 3 21
2 3 1
3
( )y m m x mx x= − + + − luôn ngh ch bi n.
c. 2 3 21
2 1
3
( )y m m x mx x= + + + + luôn ng bi n.
d. 3 21
2 2 1 3 2
3
( ) ( )f x x x a x a= − + + + − + ngh ch bi n trên » .
e. ( ) ( )
3
2 2
1 1 3 5
3
x
y m m x x= − + + + + ng bi n trên » .
3. Cho hàm s . V i các giá tr nào c a m thì hàm s 2
1
m
y x
x
= + +
−
ng bi n trên t ng
kho ng xác nh? ( 0m ≤ )
4. Cho hàm s 3 21 2
1 2 3
3 3
( ) ( )y x m x m x= + − + − − .
a. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên kho ng 1( ; )+∞ ? 1( )m ≥
b. V i các giá tr nào c a m , hàm s ng bi n trên » ? 2( )m =
5. Cho hàm s
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Xác nh m hàm s (1) ngh ch bi n trên o n 1 0[ ; ]− .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = . ( )9m ≥
6. Cho hàm s ( )3 2
3 1 4y x x m x m= + + + + .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
23. Kh o sát hàm s
23
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )1 1;− . ( )10m < −
7. Cho hàm s ( )3 21
2 1 2
3
y x mx m x m= − + − − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )2 0;− .
1
2
m
< −
8. Cho hàm s 3 2
3 1y x mx m= − + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên ( )0;−∞ . ( )0m ≥
9. Cho hàm s 3 21
1 3 4
3
( ) ( )y x m x m x= − + − + + − .
a. Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s ng bi n trên ( )0 3; .
12
7
m
≥
10. Tìm các giá tr c a m hàm s
2
2 1 2
1
( )x m x
y
x
+ + +
=
+
ng bi n trên ( )0;+∞ . ( )0m ≥
11. Cho hàm s ( ) ( ) ( )3 2
1 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − .
a. Ch ng minh r ng hàm s không th ng bi n trên » .
b. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )1m ≥
c. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )0;−∞ ; ( )3m ≤ −
d. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )1;−∞ ( )1m ≥
e. Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng ( )4;+∞ ( )13m ≥
f. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( )1 4; ( )5 13m− ≤ ≤
12. Cho hàm s
2
3x x
y
x m
−
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s (1) ng bi n trên 1[ ; )+∞ . ( )1 1m− ≤ <
13. Tìm các giá tr c a m hàm s
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
ngh ch bi n trên 1[ ; )+∞ .
14
5
( )m ≤ −
14. Gi i các h phương trình sau
a.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
= + + − = + + −
= + + −
; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z
z z z z x
+ − + − + = + − + − + =
+ − + − + =
;
c.
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
= = =
; d.
3
3
3
6
6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x
= + = +
= +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
24. Kh o sát hàm s
24
15. Tìm các giá tr c a m phương trình
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
có úng hai nghi m th c phân bi t. ( )4
2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ +
16. Cho hàm s 2
2 2( )f x x x= − .
a. Ch ng minh r ng f ng bi n trên n a kho ng 2[ ; )+∞ .
b. Ch ng minh r ng phương trình 2
2 2 11x x − = có m t nghi m duy nh t.
17. Tìm các giá tr c a m phương trình
3 6 3 6( )( )x x x x m− + − − − − =
có nghi m. ( )9 6 2 3m− + ≤ ≤
C c tr c a hàm s
18. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 3 2
2 9 12 3( )f x x x x= − + − b. 3 2
5 3 4 5( )f x x x x= − + − +
c. 3 2
2 1( )f x x x x= − + − + d. 2 2
1( ) ( )f x x= −
e.
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
−
f.
2
8 24
2
( )
x x
f x
x
+ −
=
−
g. 2
4
( )
x
f x
x
=
+
h. 4( )f x x x= −
i.
4
3
2
( )f x x
x
= − +
−
j. 4 2
2 1( )f x x x= − + .
19. Tìm c c tr các hàm s sau
a. 2
3( ) sin cosf x x x= − trên o n 0[ ; ]π ,
b. 2 2( ) sin cosf x x x= + trên o n 0[ ; ]π ,
c. 2
2 3 2 3( ) sin sinf x x x= + − trên o n [ ; ]π π− ,
d. 2( ) sin cosf x x x= + trên o n [ ; ]π π− .
20. Tìm m các hàm s sau có c c i và c c ti u
a. 3 21
6 2 1
3
( ) ( )y x mx m x m= + + + − + 2(m < − ho c 3)m >
b. 3 2
2 3 5( )y m x x mx= + + + − . 3 2 1( )m− < ≠ <
21. Tìm m hàm s 3 2 2 21
2 3 1 5
3
( ) ( )y x m m x m x m= + − + + + + − t c c ti u t i 2x = − .
3( )m =
22. Tìm m hàm s 3 21 1
1 3 2
3 3
( ) ( ) ( )f x mx m x m x= − − + − + t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u
ki n 1 2
2 1x x+ = . 2(m = ho c
2
3
)m =
23. Tìm m hàm s 3 21
1
3
( )f x x mx mx= − + − t c c tr t i 1 2
,x x th a mãn i u ki n
1 2
8x x− > .
1 65
2
(m
−
< ho c
1 65
2
)m
+
>
24. Tìm m hàm s 3 2 2 2
2 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x m x m m x m= + − + − + − + t c c tr t i 1 2
,x x
th a mãn i u ki n 1 2
1 2
1 1 1
2
( )x x
x x
+ = + . 1(m = ho c 5)m =
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
25. Kh o sát hàm s
25
25. Cho hàm s ( ) ( )3 2 22
1 4 3 1
3
y x m x m m x= + + + + + − .
a. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x ; ( )5 1m− < < −
b. Tìm m hàm s t c c tr t i hai i m n m bên ph i tr c tung; .( )5 3m− < < −
c. Tìm m hàm s t c c i và c c ti u t i 1
x và 2
x sao cho ( )1 2 1 2
2A x x x x= − + t giá tr
l n nh t. ( )4m = −
26. Cho hàm s 4 2 2
9 10( )y mx m x= + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m hàm s (1) có ba i m c c tr . 3(m < − ho c 0 3)m< <
27. Cho hàm s 3
3( )y x m x= − − , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Xác nh m hàm s (1) t c c ti u t i i m có hoành 0x = . 1( )m = −
28. Cho hàm s
2
2
2
2 2
x x m
y
x x
+ +
=
− +
.
a. V i giá tr nào c a m , hàm s t c c i t i 2x = . ( )2m =
b. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 2m = .
29. Cho hàm s
2
1
x mx
y
x
+
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 0m = .
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai i m
c c tr c a hàm s (1) b ng 10? 4( )m =
30. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )
( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 0m = .
b. Tìm m hàm s (1) có c c tr và tính kho ng cách gi a hai i m c c tr ó. ( )1 2
4 2M M =
31. Cho hàm s
2
1 1
1
( )x m x m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, th ( m
C ) c a hàm s (1) luôn luôn có i m c c i, i m
c c ti u và kho ng cách gi a hai i m ó b ng 20 .
32. Cho hàm s
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
, ( m
C ) (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th ( m
C ) có hai i m c c tr n m v hai phía c a tr c tung. ( )1 1m− < <
33. Cho hàm s
2
2 2
1
x mx
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th hàm s (1) có hai i m c c tr ,A B . Ch ng minh r ng khi ó ư ng th ng
AB song song v i ư ng th ng 2 10 0x y− − = .
3
2
m
<
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
26. Kh o sát hàm s
26
34. Cho hàm s 3 2
3 4y x x m= − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = .
b. Ch ng minh r ng th hàm s luôn có hai i m c c tr . Khi ó xác nh m m t trong hai
i m c c tr này thu c tr c hoành. ( 0m = ho c )1m =
35. Cho hàm s 3 2
2 3 3 11 3( )y x m x m= + − + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 3m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng n i hai i m c c tr c a
th i qua i m 0 1( ; )A − . ( )4m =
36. Cho hàm s 3 2
3 2 1 3( )y mx mx m x m= − + + + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u. Ch ng minh r ng ư ng th ng n i các
i m c c tr luôn i qua m t i m c nh. ( )0 1m m< ∨ >
37. Tìm các giá tr c a m hàm s ( ) ( )3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + t c c i và c c
ti u sao cho 1CD CT
y y+ = .
39. Cho hàm s 4 2 4
2 2y x mx m m= − + + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm m th hàm s có ba i m c c tr là ba nh c a m t tam giác u. ( )3
3m =
40. Cho hàm s 4 2
1 1 2( )y mx m x m= + − + − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m hàm s có úng m t i m c c tr . ( )0 1m m≤ ∨ ≥
41. V i giá tr nào c a m , g c t a thu c ư ng th ng n i các i m c c tr c a th hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
.
( )1m = −
42. Cho hàm s
2
8
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát hàm s (1) khi 1m = − .
b. Ch ng minh r ng th c a hàm s (1) luôn có c c i và c c ti u v i m i giá tr m . Tìm giá
tr c a m 2 2
72cd ct
y y+ = . ( )2m = −
43. Tìm m hàm s 3 2 2
3( )f x x x m x m= − + + có c c i và c c ti u i x ng nhau qua ư ng
th ng
1 5
2 2
y x= − . 0( )m =
44. Tìm m hàm s 3 21
1
3
y x mx x m= − − + + có kho ng cách gi a các i m c c i và c c ti u
là nh nh t. 0( )m =
45. Cho hàm s ( ) ( )3 2
3 3 1 , m
y x x m x C= + − − . Tìm các giá tr c a m
a. ( )m
C t c c tr t i ,A B sao cho ABO∆ vuông t i O; ( )1m =
b. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m khác phía i v i tr c hoành; { }
1
1
4
; m
∈ +∞
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
27. Kh o sát hàm s
27
c. ( )m
C t c c tr t i ,A B cách u ư ng th ng 5y = ; ( )2m =
d. ( )m
C t c c tr t i ,A B n m trên ư ng th ng cách g c t a m t kho ng b ng 1; ( )m ∈ ∅
e. ( )m
C có ư ng th ng i qua hai i m c c tr t o v i tr c hoành m t tam giác có di n tích b ng
1
6
.
1
2
2
m m
= ∨ =
46. Tìm các giá tr c a m hàm s ( )4 3 2
4 3 1 1y x mx m x= + + + + ch có c c ti u, không có c c
i. { }
1 17 1 17
1
8 8
; m
− + ∈ −
47. Tìm m hàm s
2
1 1( )x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
có c c i và c c ti u n m v cùng m t phía tr c
Ox . 3 2 3(m < − − ho c 3 2 3)m > − +
48. Tìm m hàm s
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có c c ti u có hoành nh hơn 1.
49. Tìm các giá tr c a m th c a hàm s 3 2
1 2 2 2( ) ( )y x m x m x m= + − + − + + có hai
i m c c tr , ng th i hoành c a i m c c ti u nh hơn 1. 1(m < − ho c
5 7
4 5
)m< <
50. Tìm các giá tr c a m hàm s 3 2 21
2 5 4 1
3
( ) ( )y x m x m x m= + − + + + + t c c tr t i
1 2
,x x th a mãn i u ki n 1 2
1x x< − < .
7
3
2
m
− < < −
51. Tìm các giá tr c a m th m i hàm s sau có hai i m c c tr n m khác phía i v i tr c
hoành
a. 3
3 1y mx mx= − +
1
2
m
>
b. 3 2
2 2 1y x mx m= − + −
3 1
2 2
3
4
m m
m
< − ∨ > ≠
52. Cho hàm s 3 2 3
2 3 2 6 5 1 4 2( ) ( ) ( )y x m x m x m= − + + + − + . Tìm m th hàm s có
a. úng m t i m c c tr có hoành l n hơn 1. 0( )m <
b. Hai i m c c tr có hoành nh hơn 2 .
1
0
3
( )m− < <
c. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành thu c kho ng 1 1( ; )− .
2
0
3
( )m− < <
d. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành l n hơn 9. 16( )m >
e. Có ít nh t m t i m c c tr có hoành 4i
x > . 16(m > ho c
25
9
)m < −
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
53. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a các hàm s sau
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
28. Kh o sát hàm s
28
a. 3 2
3 9 1y x x x= + − + trên o n 4 4[ ; ]− ; b.
2
x
y
x
=
+
trên n a kho ng 2 4( ; ]− ;
c.
1
2
1
y x
x
= + +
−
trên kho ng 1( ; )+∞ ; d.
2
2
2
1
x
y
x x
+
=
+ +
;
e. sin cosy a x b x= + 2 2
0( )a b+ > ; f. 4 2sin cosy x x= + ;
g.
1
3
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+ −
=
− +
; h.
2
2
2 2
cos
cos
x
y
x
=
+
;
i. 3 2
6 9 5cos cos cosy x x x= − + + ; j. 3
2 2sin cos siny x x x= − + + ;
k. 2
4y x x= + − ; l.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên o n 1 2[ ; ]− .
54. Ch ng minh r ng
a.
3 3 5
3 3 5
sin
! ! !
x x x
x x x− < < − + , v i m i 0x > ; b.
2 2 4
1 1
2 2 4
cos
! ! !
x x x
x− < < − + , v i m i 0x ≠ ;
c. 2sin tanx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π ∈
; d. 1x
e x> + , v i m i 0x > ;
f.
2
1
2
ln( )
x
x x x− < + < , v i m i 0x > ; g. 1sin cosx x x+ > , v i m i 0
2
;x
π ∈
.
Ti m c n c a th hàm s
55. Cho hàm s
4
1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Xác nh t a giao i m E c a hai ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng n u m t ư ng
th ng d qua E và c t ( )C thì s giao i m là 2 và hai giao i m i x ng nhau qua E . T ó
suy ra E là tâm i x ng c a ( )C .
56. Cho hàm s
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
.
a. Kh o sát hàm s khi 1m = .
b. V i giá tr nào c a m thì ti m c n xiên c a hàm s t o v i các tr c t a m t tam giác có
di n tích b ng 4. ( )1 2 2m = − ±
57. Cho hàm s
1
2
x
y
x
+
=
−
, ( )C .
a. Tìm trên ( )C nh ng i m có t a nguyên.
b. Tìm trên ( )C nh ng i m có t ng kho ng cách n hai ti m c n là nh nh t.
( )1 2
2 3 1 3,
( ; )M ± ±
58. Cho hàm s
1
1
x
y
x
−
=
+
, ( )C . Ch ng minh r ng kho ng tích các kho ng cách t m t i m b t kỳ
trên ( )C n hai ư ng ti m c n c a ( )C là m t h ng s .
59. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, ( )C . Tìm t t c các i m ( )M C∈ sao cho kho ng cách t M n giao
i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C là ng n nh t. ( )1 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ; ), ( ; )M M+ + − −
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
29. Kh o sát hàm s
29
60. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
4 9
3
( ) :
x
C y
x
−
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n th ng
1 2
M M là nh nh t.
61. Tìm trên hai nhánh khác nhau c a
2
2 5
1
( ) :
x x
C y
x
− + −
=
−
các i m 1 2
,M M dài c a o n
th ng 1 2
M M là nh nh t.
Ti p tuy n c a th hàm s
62. Cho hai hàm s
21 1
4 4
( )f x x x= − + + và 2
1( )g x x x= − +
a. Ch ng minh r ng th ( )P c a hàm s f và th ( )C c a hàm s g ti p xúc nhau t i i m
A có hoành 1x = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n chung ( )d c a ( )P và ( )C t i i m A.
c. Ch ng minh r ng ( )P n m phía trên ư ng th ng ( )d và ( )C n m phía trên ư ng th ng ( )d .
63. Ch ng minh r ng các th c a ba hàm s
2
3 4( )f x x x= − + ,
1
1( )g x
x
= + và 4 6( )h x x x= − +
ti p xúc nhau t i m t i m.
64. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3
3 5y x x= − + khi bi t
a. Hoành ti p i m là 1
1x = − , 2
2x = .
b. Tung ti p i m là 5 3,y y= = .
65. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C c a hàm s 3 2
3 2 1y x x x= + + + xu t phát t
i m u n c a ( )C . ( )y x= −
66. Cho hàm s 3 2
2 3 9 4y x x x= − + − , ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C t i các giao
i m c a ( )C v i các th sau
a. ư ng th ng ( )d : 7 4y x= + ; b. Parabol ( )P : 2
8 3y x x= − + − .
67. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C : 3 2
3y x x= − , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng
th ng
1
3
y x= . 3 1( )y x= − +
68. Cho hàm s 3 21
2 4
3
y x x x= − + − ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n
a. Có h s góc 2k = − ; b. T o v i chi u dương tr c Ox m t góc 0
60 ;
c. Song song v i ư ng th ng 2y x= − + ; d. Vuông góc v i ư ng th ng 2 3y x= + ;
e. T o v i
1
3
2
:d y x= − + m t góc 0
30 ; f. Qua i m ( )0 4;A − .
69. Cho hàm s 3
3 7y x x= − + ( )C . Vi t phương trình ti p tuy n v i ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Có h s góc b ng v i h s góc c a ư ng th ng 12 2 1 0x y− + = ;
b. Song song v i ư ng th ng 6 1y x= − ; c. Vuông góc v i ư ng th ng
1
2
9
y x= − + ;
d. T o v i chi u dương Ox m t góc 0
45 ; e. T o v i ư ng th ng 2y = m t góc 0
45 ;
f. T o v i ư ng th ng 2 3y x= + m t góc 0
45 ; g. Qua i m ( )1 9;A − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
30. Kh o sát hàm s
30
70. Vi t phương trình ti p tuy n v i
3 2
1
( ) :
x
C y
x
−
=
−
t o v i tr c hoành m t góc 0
45 .
2 6( , )y x y x= − + = − +
71. Cho hàm s
3 7
2 5
x
y
x
−
=
− +
( )C . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n:
a. Song song v i ư ng th ng
1
1
2
y x= + ; b. Vuông góc v i ư ng th ng 4y x= − .
c. T o v i ư ng th ng 2y x= − m t góc 0
45 ; d. T o v i ư ng th ng y x= − m t góc 0
60 ;
72. Cho hàm s 3 21 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó song song v i ư ng th ng d :
4 2y x= + .
26
4
3
(y x= − và
73
4
6
)y x= +
73. Cho hàm s 2
1 2( ) ( )y x x= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Xác nh các giáo i m c a ( )C v i tr c hoành và ch ng minh ( )C ti p xúc v i tr c hoành t i
m t trong các giao i m ó.
74. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm i m ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a
( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
75. Cho hàm s 3 21
2 3
3
y x x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p ti p ∆ c a ( )C t i i m u n và ch ng minh r ng ∆ là ti p tuy n c a
( )C có h s góc nh nh t.
8
3
y x
= − +
76. G i ( )m
C là th c a hàm s 3 21 1
3 2 3
m
y x x= − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 2m = .
b. G i M là i m thu c ( )m
C có hoành b ng 1− . Tìm m ti p tuy n c a ( )m
C t i M song
song v i ư ng th ng 5 0x y− = . 4( )m =
77. Cho hàm s
1
y x
x
= + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C qua 1 7( ; )M − . 15 8(y x= − và 3 4)y x= − +
78. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Ch ng minh r ng không có ti p tuy n
nào c a ( )C qua I .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
31. Kh o sát hàm s
31
79. Cho hàm s
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th ( )C , bi t ti p tuy n ó vuông góc v i ti m c n xiên
c a ( )C . ( )2 2 5y x= − ± −
80. Cho hàm s
1
1
x
y
x
+
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Xác nh m ư ng th ng d : 2y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các
ti p tuy n c a ( )C t i A và B song song v i nhau. ( )1m = −
81. Cho hàm s
2
2
1
x mx m
y
x
+ +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m phân bi t ,A B sao cho các ti p
tuy n c a th c a hàm s (1) t i A và B vuông góc v i nhau. ( )4 17m = ±
82. Cho hàm s 3
1y x mx m= − − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó qua i m 0 2( ; )A .
c. Tìm m th hàm s (1) ti p xúc v i tr c Ox . 3(m = ho c
3
4
)m =
83. Cho hàm s 3 2
3 3 5y x x x= + + + ( )C .
a. CMR không t n t i hai i m nào trên ( )C các ti p tuy n t i ó vuông góc v i nhau.
b. Tìm k trên ( )C luôn t n t i ít nh t m t i m sao cho ti p tuy n t i ó vuông góc v i
ư ng th ng y kx m= + . 0( )k <
84. Cho hàm s 3 2
3 1y x x mx= + + + ( )m
C .
a. Tìm m ( )m
C c t ư ng th ng 1y = t i ba i m phân bi t 0 1( ; ), ,C D E .
9
0
4
m
≠ <
b. Tìm m các ti p tuy n c a ( )m
C t i D và E vuông góc nhau.
9 65
8
m
± =
85. Cho hàm s 3 2
3 2y x x= − + ( )C .
a. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C i qua
23
2
9
;A
−
.
5 61
2 9 25
3 27
, ,y y x y x
= − = − = − −
b. Tìm trên 2:d y = − các i m k n ( )C hai ti p tuy n vuông góc v i nhau.
55
2
27
;M
−
86. Cho hàm s 3 2
2 3 5y x x= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng qua i m ( )1 4;A − có th k ư c ba ti p tuy n phân bi t c a ( )C .
87. Cho hàm s 3 2
6 9 1y x x x= − + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
32. Kh o sát hàm s
32
b. T m t i m b t kỳ trên ư ng th ng 2x = , có th k ư c bao nhiêu ti p tuy n c a ( )C .
88. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + + ( )C . Tìm trên tr c hoành các i m k ư c 3 ti p tuy n n
th ( )C . ( )0 2( ; ,M m m > ho c
2
1
3
)m− ≠ < −
89. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
( )C và i m ( )M C∈ . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n. Ti p
tuy n t i M c t hai ti m c n t i A và B .
a. Ch ng minh r ng M là trung i m c a AB .
b. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB là m t h ng s .
c. Tìm M chu vi tam giác IAB bé nh t. ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M−
90. Cho hàm s 4 21 5
3
2 2
y x x= − + .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm các i m thu c ( )C sao cho t i ó, ti p tuy n c a ( )C có ba i m chung phân bi t v i
( )C . 4 21 5
3
2 2
;A x x x
− +
, v i ( )3 3 1; { }x ∈ − ± .
Giao i m c a ư ng cong và ư ng th ng
91. Cho hàm s 31
1
3
( )y x m x= − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 4m = .
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 3
3 1 0( )x m x− + = có ba nghi m phân bi t?
9
4
m
>
92. Cho hàm s 4 2
2 3y x x= − + + .
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 4 2 4 2
2 2x x m m− = − .
93. Cho hàm s 3
2( )y x m x m= − + + , m là tham s .
a. Tìm m hàm s ã cho có c c tr t i 1x = − .
b. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ng v i 1m = .
c. Bi n lu n theo k s giao i m c a ( )C v i ư ng th ng y k= .
94. Cho hàm s 3 2 2 3 2
3 3 1( )y x mx m x m m= − + + − + − , (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) ng v i 1m = .
b. Tìm k phương trình 3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − = có 3 nghi m phân bi t.
1 3( k− < < và 0 2, )k k≠ ≠
c. Vi t phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th hàm s (1). ( )2
2y x m m= − +
95. Cho hàm s 4 2 2
2 2 5 5( )y x m x m m= + − + − + , ( )m
C
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ( )C và tr c hoành.
16
15
S
=
c. Tìm giá tr c a m th ( )m
C c t tr c hoành t i 4 i m phân bi t.
5 5
1
2
m
− < <
96. Cho hàm s 3 2
3 9y x x x m= − − + .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
33. Kh o sát hàm s
33
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 2m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )11m =
97. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= + − + − + − − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )1m ≠ −
98. Cho hàm s 3 2 2
3 2 4 9( )y x mx m m x m m= − + − + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p
thành c p s c ng. ( )1m =
99. Cho hàm s 3
2y x mx= + − .
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s khi 3m = .
b. Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i úng m t i m. ( )3m > −
100. Cho hàm s
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, ( )C (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Tìm m ư ng th ng 2 2y mx m= + − c t th ( )C t i hai i m phân bi t. ( )1m >
101. Cho hàm s 3 2
2 3 1y x x= − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i k
d là ư ng th ng qua 0 1( ; )M − và có h s góc b ng k . Tìm k ư ng th ng k
d c t
( )C t i 3 i m phân bi t.
9
8
(k > − và 0)k ≠
102. Cho hàm s
2
3 3
2 1( )
x x
y
x
− + −
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m :m
d y m= c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho 1AB = .
1 5
2
m
± =
103. Cho hàm s
2
2
1
x
y x
x
= − +
+
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng m t ti p tuy n tùy ý c a ( )C luôn t o v i hai ti m c n c a nó thành m t
tam giác có di n tích không i.
104. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , ư ng th ng 2 0:d x y m+ + = luôn c t ( )C t i hai
i m phân bi t. Xác nh m kho ng cách gi a hai giao i m này nh nh t.
105. Cho hàm s 3
3 2y x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
34. Kh o sát hàm s
34
b. G i m
d là ư ng th ng qua 3 20( ; )A và có h s góc là m . Tìm m m
d c t ( )C t i 3 i m
phân bi t.
15
4
(m > và 24)m ≠
106. Cho hàm s
2
4
1
x x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s .
b. Tìm a ư ng th ng y a= c t ( )C t i hai i m phân bi t? 3(a < − ho c 5)a >
107. Cho hàm s
2
x x m
y
x m
− + +
=
+
, ( )m
C v i m là tham s khác 0.
a. Kh o sát và v th 2
( )C c a hàm s khi 2m = .
b. Tìm m ti m c n xiên c a ( )m
C i qua i m 3 0( ; )A .
c. V i giá tr nào c a m thì ( )m
C c t ư ng th ng d : 1y x= − t i hai i m phân bi t?
6 4 2(m < − − ho c 6 4 2m > − + và 0)m ≠
108. Cho hàm s
3
2
x
y
x
+
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Ch ng minh r ng ư ng th ng
1
2
y x m= − c t ( )C t i 2 i m phân bi t ,A B . Xác nh m
sao cho dài o n AB nh nh t. ( )2m = −
109. Cho hàm s
1
2
2
y x
x
= + +
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m ư ng th ng y m= c t th ( )C t i hai i m phân bi t sao cho kho ng cách gi a
chúng b ng 12 . ( )4m = ±
110. Cho hàm s
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
, ( )m
C (1).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i hai i m phân bi t có hoành dương.
1
0
2
m
− < <
111. Cho hàm s 2
1( )( )y x x mx m= − + + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 4m = .
b. Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t. 0(m < ho c 4m > và
1
2
)m ≠ −
112. Cho hàm s 3 2
3y x x m= − + , ( )m
C (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát và v th hàm s (1) khi 2m = .
b. Tìm m ( )m
C có hai i m phân bi t i x ng nhau qua g c t a . ( )0m >
113. Cho hàm s
2
1
x x m
y
x
+ −
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th c a hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i hai i m ,A B phân bi t và các ti p tuy n
c a th hàm s (1) t i ,A B vuông góc v i nhau.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
35. Kh o sát hàm s
35
114. Cho hàm s 3 2 2
3 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= − + + + + − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t
tr c hoành t i 3 i m phân bi t có hoành l n hơn 1.
1
1
2
m
< ≠
115. Cho hàm s 3 2 2 2
2 2 1 1( ) ( )y x mx m x m m= − + − + − ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i
3 i m phân bi t có hoành dương.
2
1
3
m
< <
116. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 1( )y x mx m x m= − + − − + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 3
i m phân bi t có hoành dương. ( )3 1 2m< < +
117. Cho hàm s 3 2
3 3 1 1 3( )y x x m x m= − + − + + ( )m
C . Tìm m ( )m
C c t tr c hoành t i 1
i m, 2 i m, 3 i m phân bi t.
i m c nh c a ư ng cong
118. Cho hàm s
1mx
y
x m
−
=
−
, 1m ≠ ± ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i 1m ≠ ± , ư ng cong ( )m
C luôn i qua hai i m c nh ,A B .
b. G i M là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )m
C . Tìm t p h p các i m M khi m thay
i.
119. Cho hàm s 3 2
3 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C và ư ng th ng m
d : 2 4 3y mx m= − + luôn có
m t i m chung c nh.
b. Tìm các giá tr c a m sao cho m
d c t ( )m
C t i ba i m phân bi t.
c. Kh o sát và v th c a hàm s v i 1m = .
120. Cho hàm s 3 2
1 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( )m
C .
a. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ( )m
C luôn i qua m t i m c nh.
b. Ch ng minh r ng m i ư ng cong ( )m
C ti p xúc v i nhau t i m t i m. Vi t phương trình
ti p tuy n chung c a các ư ng cong ( )m
C t i i m ó.
121. Cho hàm s 3 2
9 9y x mx x m= + − − .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 3m = .
b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s ã cho luôn i qua hai i m c nh. V i
giá tr nào c a m , tr c hoành là m t ti p tuy n c a th hàm s ã cho ? ( )3m = ±
122. Cho hàm s 3
1 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + .
a. Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i 1m = .
` b. Ch ng minh r ng v i m i giá tr m , th hàm s luôn i qua ba i m c nh th ng hàng.
Xác nh i m trên ư ng cong
123. Cho hàm s
2
3
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho cách u hai ư ng ti m c n c a ( )C . ( )3 5 1 5;M ± ±
124. Cho hàm s
2
2
x
y
x
−
=
+
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
36. Kh o sát hàm s
36
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho t ng kho ng cách t M t i Ox và Oy là nh nh t. ( )0 1( ; )M −
125. Cho hàm s
2
1
x
y
x
−
=
−
.
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s ã cho.
b. Tìm các i m ( )M C∈ sao cho M cách u hai i m 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 2
0 2 2 0( ; ), ( ; )M M
126. Cho hàm s 3 21 11
3
3 3
y x x x= − + + − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m phân bi t ,M N i x ng nhau qua tr c tung. 1 2
16 16
3 3
3 3
; , ;M M
−
127. Cho hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C hai i m ,A B sao cho A và B i x ng nhau qua ư ng th ng 4 0x y− + = .
7 23 15 23 7 23 15 23
2 2 2 2
; , ;A B
− + + −
128. Tìm
2
1
, ( ) :
x
A B C y
x
∈ =
−
i x ng nhau qua 1:d y x= − .
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
; , ;A B
− − − −
129. Cho th
2
2
2
( ) :
x x
C y
x
+ −
=
−
. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C qua ư ng
th ng 2y = .
2
3 6
2
x x
y
x
− + − = −
130. Vi t phương trình th ( )C ′ i x ng v i ( )C :
2
2 3 7
1
x x
y
x
− +
=
−
qua ư ng th ng 2x = .
2
2 13 17
3
x x
y
x
− + = −
131. Cho hàm s
2
5 4
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C các i m có t a nguyên.
132. Cho hàm s
1
x
y
x
=
+
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C hàm s (1).
b. Tìm trên ( )C các i m M sao cho kho ng cách t M n ư ng th ng 3 4 0x y+ = b ng 1.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
37. Kh o sát hàm s
37
1 2 3 4
1 61 9 61 9 21 1 21
6 2 6 2, ,
; , ;M M
± ± −
133. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm các i m trên ( )C mà ti p tuy n t i m i i m y v i th ( )C vuông góc v i ư ng
th ng qua hai i m c c tr . 1 2
2 5 2 5
1 3 1 3
3 36 6
; , ;M M
− − + +
134. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n c a ( )C . Tìm trên ( )C i m M sao cho ti p tuy n
c a ( )C t i M vuông góc v i ư ng th ng IM . ( )1 2
0 1 2 3( ; ), ( ; )M M
135. Tìm trên
3 4
2 1
( ) :
x
C y
x
+
=
−
các c p i m i x ng v i nhau qua i m ( )1 1;I .
( ) ( )( )1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + +
Hàm s ch a d u GTT
136. Cho hàm s 3
3 1( )y f x x x= = − − , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s 3
3 1y x x= − − .
c. T th ( )C , hãy suy ra th 2
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
d. T th ( )C , hãy suy ra th 3
( )C c a hàm s
3
3 1y x x= − − .
137. Cho hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
, (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. T th ( )C , hãy suy ra th 1
( )C c a hàm s
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
.
138. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. V i các giá tr nào c a m , thì phương trình
2
1
1
x x
m
x
+ +
=
+
có 4 nghi m phân bi t? 3( )m >
139. Cho hàm s 4 2
4 3y x x= − + , (1).
a. Kh o sát và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm m phương trình 4 2
4 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghi m phân bi t.
1
0
2
m
< <
140. Cho hàm s 3 2
2 9 12 4y x x x= − + − , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
38. Kh o sát hàm s
38
b. Tìm m phương trình sau
3
2
2 9 12x x x m− + = có 6 nghi m phân bi t. ( )4 5m< <
141. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Tìm các giá tr c a m phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghi m.
142. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
3 1( )x x m+ = + .
143. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2 1 1 0x m x− − + = .
144. Cho hàm s 3 2
3 6y x x= − − .
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 3 21 1
2 0
3 3
m
x x
+
− − − = .
145. Cho hàm s
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
a. Kh o sát và v th c a hàm s ã cho.
b. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình 2
1 1 0( )x m x m+ − + − = .
thi các năm g n ây
1. Cho hàm s
2 2
2 1 4
2
( )x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = − .
b. Tìm m hàm s có c c i và c c ti u, ng th i các i m c c tr c a th cùng v i g c t a
O t o thành m t tam giác vuông cân t i O . ( )4 2 6m = − ± ( H A_2007)
2. Cho hàm s
2 2
3 2 2
3
( )mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m góc gi a hai ư ng ti m c n c a hàm s (1) b ng 0
45 . 1( )m = ± ( H A_2008)
3. Cho hàm s
2
2 3
x
y
x
+
=
+
, ( )C (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )C , bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i
hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân t i O . ( 2y x= − − )( H A_2009)
4. Cho hàm s 3 2
2 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 1m = .
b. Tìm m th c a hàm s (1) c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành 1 2 3
, ,x x x
th a i u ki n 2 2 2
1 2 3
4x x x+ + < .
1
1 0
4
m m
− < < ∧ ≠
( H A_2010)
5. Cho hàm s
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
.
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
39. Kh o sát hàm s
39
b. Ch ng minh r ng v i m i m ư ng th ng y x m= + luôn c t ( )C t i hai i m phân bi t A
và B . G i 1
k và 2
k l n lư t là h s góc c a ti p tuy n t i A và B . Tìm m t ng 1 2
k k+ t
giá tr l n nh t. ( )1m = − ( H A_2011)
6. Cho hàm s 3 2 2 2
3 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m hàm s (1) có c c i, c c ti u và các i m c c tr c a hàm s (1) cách u g c t a
O .
1
2
m
= ±
( H B_2007)
7. Cho hàm s 3 2
4 6 1y x x= − + , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n ó i qua i m
1 9( ; )M − − . ( H B_2008)
8. Cho hàm s 4 2
2 4y x x= − , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1).
b. V i các giá tr nào c a m , phương trình 2 2
2x x m− = có 6 nghi m th c phân bi t?
0 1( )m< < ( H B_2009)
9. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, ( )C .
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm m ư ng th ng 2y x m= − + c t ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho tam giác
OAB có di n tích b ng 3 . 2( )m = ± ( H B_2010)
10. Cho hàm s ( )4 2
2 1y x m x m= − + + (1)
a. Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi 1m = .
b. Tìm m th hàm s (1) có 3 i m c c tr , ,A B C sao cho OA BC= , trong ó O là g c t a
, A là c c tr thu c tr c tung và ,B C là hai c c tr còn l i. ( )2 2 2m = ± ( H B_2011)
11. Cho hàm s
2
1
x
y
x
=
+
, (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Tìm ( )M C∈ sao cho ti p tuy n c a ( )C t i M c t các tr c ,Ox Oy l n lư t t i các i m ,A B
sao cho tam giác OAB có di n tích b ng
1
4
. ( )1 2
1
2 1 1
2
; , ;M M
− −
( H D_2007)
12. Cho hàm s 3 2
3 4y x x= − + , (1).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s (1).
b. Ch ng minh r ng m i ư ng th ng qua i m 1 2( ; )I v i h s góc k ( 3k > − ) u c t ( )C t i
3 i m phân bi t , ,A I B ng th i I là trung i m c a o n th ng AB . ( H D_2008)
13. Cho hàm s 4 2
3 2 3( )y x m x m= − + + có th ( )m
C (m là tham s ).
a. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi 0m = .
b. Tìm m ư ng th ng 1y = − c t th ( )m
C t i 4 i m phân bi t có hoành nh hơn 2.
1
1 0
3
( , )m m− < < ≠ ( H D_2009)
14. Cho hàm s 4 2
6y x x= − − + , ( )C .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
40. Kh o sát hàm s
40
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Vi t phương trình ti p tuy n v i th ( )C , bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
1
1
6
y x= − . 6 10( )y x= − + ( H D_2010)
15. Cho hàm s
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a. Kh o sát s bi n thiên và v th ( )C c a hàm s ã cho.
b. Tìm k ư ng th ng 2 1y kx k= + + c t th ( )C t i hai i m phân bi t ,A B sao cho
kho ng cách t A và B n tr c hoành b ng nhau. ( )3k = − ( H D_2011)
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com