1. Wiskunde B
VWO
Instituut voor Eindexamentraining
www.ivet.nl
mei 2010
1/38

2. 1. Vergelijkingen en ongelijkheden
• eerstegraads vergelijkingen
• tweedegraads vergelijkingen
• hogeregraads vergelijkingen
• wortelvergelijkingen
2/38

3. Tweedegraads vergelijking
ax2 + bx + c = 0
abc-formule: √
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Discriminant: D = b2 − 4ac
• D = 0: vergelijking heeft één oplossing
• D > 0: vergelijking heeft twee oplossingen
• D < 0: vergelijking heeft geen oplossing
3/38

4. Hogeregraads vergelijking
xn = c
• n even en c positief: twee oplossingen.
Vb: x8 = 4
• n even en c negatief: geen oplossing.
Vb: x2 = −1
• n oneven: altijd één oplossing.
√5
Vb: x5 = 3; x = 3
4/38

5. axn + bxm + . . . = 0
• Zo groot mogelijke macht van x buiten haakjes
Vb: x5 − 5x4 + 6x3 = 0; x3 (x2 − 5x + 6) = 0; x = 0 of x = 3
of x = 2.
• Stel xm = p, alleen zin als 2m = n
Vb: x8 − 6x4 + 8 = 0; p2 − 6p + 8 = 0, met x4 = p.
• axn (x − b)(x + c)m = 0.
Vb: 4x2 (x − 8)(3x + 7)5 = 0
5/38

6. Wortelvergelijking
1
1+ 5 − x = 2x
2
Stappen:
1
• schrijf de voorwaarden op: 52 − x ≥ 0
• isoleer de wortel:
1
5 − x = 2x − 1
2
• kwadrateer beide kanten:
1
(5 − x) = (2x − 1)2
2
• los de vergelijking op
• controleer altijd het antwoord!
6/38

7. Ongelijkheden
2
≤5
(x + 2)3
Stappen:
• Bepaal de voorwaarden voor x: x = −2
2
• Los op (x+2)3
=5
3 2
x = −2 +
5
• Plot de grafieken met je GR en maak een schets
• Geef het antwoord
2
←, −2 ∪ [−2 + ,→
3
5
7/38

8. 2. Eenvoudige functies
• lijnen: f(x) = ax + b
– a is richtingscoëfficiënt;
– lijn gaat door het punt (0, b)
• tweedegraadsfunctie: f(x) = ax2 + bx + c
– grafiek is een parabool
∗ a > 0, dalparabool
∗ a < 0, bergparabool
– Snijpunten x-as (wanneer f(x) = 0) afhankelijk van Discriminant
b b
– Top (x, y): x = − 2a en y = f(− 2a )
8/38

9. Gebroken functie
4
f(x) = −1 −
x−2
• grafiek is een hyperbool
• domein: x = 2
• verticale asymptoot x = 2
• horizontale asymptoot y = −1
• symmetrisch t.o.v. (2, −1) (snijpunt asymptoten)
• bereik: R {−1} (y = −1)
9/38

10. Opgave: functies
Gegeven zijn de functies
gp(x) = px2 + px + 3x − 1
waarvan de grafieken parabolen zijn.
1. Voor welke waarde(n) van p heeft de grafiek van gp één gemeenschap-
pelijk punt met de x-as?
2. Voor welke waarde(n) van p heeft de grafiek van gp een positief maxi-
mum?
10/38

11. 3. Differentiëren
• f(x) = 4x3 + 7x + 8
f (x) = 12x2 + 7
• f(x) = (2x + 3)(x − 1)
f(x) = 2x2 − 2x + 3x − 3 = 2x2 + x − 3
f (x) = 4x + 1
7
• f(x) = −
x6
f(x) = −7 · x−6
42
f (x) = −7 · −6x−6−1 = 42x−7 =
x7
4 1
• f(x) = √
x
= f(x) = 4 · x− 2
1 1 2
f (x) = 4 · − x−1 2 = − √
2 x x 11/38

12. Kettingregel:
[f(g(x))] = f (g(x)) · g (x)
2
f(x) = 2 + 2x + 1
= 2 · (x2 + 2x + 1)−1
x
f (x) = 2 · −1 · (x2 + 2x + 1)−2 · (2x + 2)
−2(2x + 2) −4x − 4
f (x) = = 2
(x2 + 2x + 1)2 (x + 2x + 1)2
12/38

13. Kettingregel (2):
dy dy du
= ·
dx du dx
2
f(x) =
x2 + 2x + 1
2
Neem u = x2 + 2x + 1 en y = = 2u−1
u
Dan is
dy −2 du
= −2u−2 = 2 en = 2x + 2
du u dx
Dus
dy −2 −4x − 4
= · (2x + 2) = 2
dx (x2 + 2x + 1)2 (x + 2x + 1)2
13/38

14. Productregel:
p(x) = f(x) · g(x) → p (x) = f (x) · g(x) + f(x) · g (x)
√
f(x) = 3x2 · x−1
√ 1 1
f (x) = 6x · x − 1 + 3x2 · (x − 1)− 2
2
√ 3x2
f (x) = 6x · x−1+ √
2 x−1
14/38

15. f (x) voor het berekenen van de richtingscoëfficiënt
• f (x) = 0: rc van de raaklijn is 0; extreme waarde (controleer op GR)
• f (x) > 0: de grafiek van f stijgt
• f (x) < 0: de grafiek van f daalt
Grafieken f en g raken elkaar, dan geldt
f(x) = g(x) ∧ f (x) = g (x)
Grafieken f en g snijden loodrecht, dan geldt
f(x) = g(x) ∧ f (x) · g (x) = −1
15/38

16. Voorbeeld: Raaklijn
Gegeven:
2 1
f(x) = 1 + + 2
x x
Vraag: Stel een vergelijking op van de raaklijn in punt A met x-coördinaat
1.
• raakpunt A is (1, 4), want f(1) = 4
−2
• f (x) = x2
− x23 .
• f (1) = −4 is de rc van de raaklijn door A.
• y = −4x + b; punt A invullen: 4 = −4 + b, dus b = 8
y = −4x + 8
• Controleer dit op je GR.
16/38

17. Voorbeeld: Buigpunten
Gegeven
f(x) = 3x3 − 3x2 + 2
• Bereken f (x) en f (x)
– f (x) = 9x2 − 6x
– f (x) = 18x − 6
• Los op f (x) = 0
1
18x = 6; x=
3
• buigpunt ( 1 , f( 1 )) (controleer op GR)
3 3
17/38

18. 4. Exponenten en logaritmen
• 3 · 92x+5 = 27; x = −2
• 3 · 52x−4 = 12; x ≈ 2, 43
• ex = 9; x = ln 9
• 2 log(x + 3) + 3 ·2 log 5 = 4
Voorwaarden: x + 3 > 0
• ln x − 2 = ln(x − 3)
Voorwaarden: x > 0 en x − 3 > 0
18/38

19. Differentiëren
1 1
• f(x) =g log x; f (x) = ln g
·x
1
• f(x) = ln x; f (x) = x
• f(x) = ax ; f (x) = ax · ln a
• f(x) = ex ; f (x) = ex
Voorbeelden:
• f(x) = 8 · 3x ; f (x) = 8 · 3x · ln 3
1 1
• f(x) =4 log (3x − 1); f (x) = ln 4
· 3x−1 · 3
19/38

20. Exponentiële groeifuncties
• Algemene formule: N = b · gt
– b is beginhoeveelheid op t = 0
– g is groeifactor per tijdseenheid
g > 1: er is exponentiële groei;
0 < g < 1: er is exponentieel verval.
• Bepaling van g
t 2 5
– twee waarden van N gegeven:
N 12 96
1 1
96 5−2
96 3
1
g= = = 8 3 = 2.
12 12
– groeipercentage p is gegeven:
p
g = 1 ± 100
• halveringstijd t: gt = 0, 5;
verdubbellingstijd t: gt = 2
20/38

21. 5. Integreren
Voorbeeld: Oppervlakte berekenen
Gegeven f(x) = x2 − 1 met x > 0. Bereken exact voor welke x-coördinaat a
de oppervlakte van het gebied onder de x-as even groot is als de oppervlakte
boven de x-as.
• Snijpunt x-as bij x = 1; want f(1) = 0. Teken of plot de grafiek!
1 1
1 2 2
• Oppervlakte A = − (x − 1)dx = − x3 − x
2
= −0=
0 3 0 3 3
a a
2 1 3 1 2
• Oppervlakte B = (x − 1)dx = x −x = ( a3 − a) +
1 3 1 3 3
• opp A = opp B, dus
1 2 2 1
( a3 − a) + = ; a( a2 − 1) = 0
3 3 3 3
√ √
• Conclusie: a = 3 (a = 0 en a = − 3 vervallen) 21/38

22. Voorbeeld: Oppervlakte berekenen
√
V wordt ingesloten door f(x) = x en g(x) = x2 beide met x ≥ 0.
Bereken de oppervlakte van V.
• Snijpunten van f en g: f(x) = g(x); x = 0 en x = 1; (0, 0) en (1, 1).
• Opp. onder f is
1 1 1
√ 1 2 3 2 2
x dx = x dx = x 2
2 = −0=
0 0 3 0 3 3
• Opp. onder g is
1 1
1 1 1
2
x dx = x3 = −0=
0 3 0 3 3
• Oppervlakte van V
2 1 1
V= − = 22/38
3 3 3

23. Voorbeeld: Wentel V om de x-as en bereken de inhoud van het omwente-
lingslichaam L.
b
Lx = π · y2 dx
a
• Inhoud bij f:
1 1 1
√ 2 1 1 1
π· x dx = π · x dx = π · x2 = π−0= π
0 0 2 0 2 2
• Inhoud bij g:
1 1 1
2 2 1 1 1
π · (x ) dx = π · x dx = π · x5
4
= π−0= π
0 0 5 0 5 5
• Gevraagde inhoud
1 1 3
L= π− π= π
2 5 10
23/38

24. Voorbeeld: Inhoud berekenen door wentelen om y-as
q
Ly = π · x2 dy
p
Het deel van de grafiek van de functie f(x) = x2 dat wordt ingesloten door
de grafiek van f, de y-as en de lijn y = 4 wordt gewenteld om de y-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam L.
• Bepaal de grenzen van het y-interval: p = f(0) = 0 en q = f(2) = 4.
• Bepaal x2 : √
x= y, dus x2 = y
q 4
2
• Inhoud L = π · x dy = π · y dy =
p 0
4
1
π · y2 = 8π − 0 = 8π
2 0
24/38

25. 6. Goniometrie
Algemeen:
f(x) = a + b sin c(x − d)
• evenwichtsstand: y = a
• amplitude is |b|
2π
• periode is c
• startpunt:
– als b > 0 dan (d, a) en eerst een maximum.
– als b < 0 dan (d, a) en eerst een minimum.
• Snijpunten met de evenwichtsstand aan het begin, halverwege en het
einde van een periode
• Toppen op een kwart en op driekwart van een periode.
25/38

26. Algemeen:
f(x) = a + b cos c(x − d)
• evenwichtsstand: y = a
• amplitude is |b|
2π
• periode is c
• startpunt:
– als b > 0 dan (d, a + b), dus begin in een maximum.
– als b < 0 dan (d, a + b), dus begin in een minimum.
• Snijpunten met de evenwichtsstand op een kwart en op driekwart van
een periode
• Toppen aan het begin, halverwege en het einde van een periode.
26/38

27. Gegeven de functie:
1
f(x) = 2 + cos(x − π)
3
Voor f geldt:
• evenwichtsstand: y = 2
• amplitude is 1
• periode is 2π
• startpunt: max. ( 1 π, 3)
3
27/38

28. Gegeven de functie:
g(x) = −1 − cos x
Voor g geldt
• evenwichtsstand: y = −1
• amplitude is 1
• periode is 2π
• startpunt: min. (0, −2)
28/38

29. Opgave: Teken de grafiek van
1
f(x) = 1 − 2 sin πx voor 0 ≤ x ≤ 6
3
• evenwichtsstand: y = 1
• amplitude is 2
2π
• periode is 1
=6
3
π
• startpunt: (0, 1)
29/38

30. Belangrijke formules
• sin2 t + cos2 t = 1
1
• cos( 2 π − t) = sin t
1
• sin( 2 π − t) = cos t
• cos(π − t) = − cos t
• sin(−t) = − sin t
• sin(2t) = 2 sin t cos t
• cos(2t) = cos2 t − sin2 t
• cos(2t) = 2 cos2 t − 1
• cos(2t) = 1 − 2 sin2 t
30/38

31. Oplossen van vergelijkingen:
1. Los op: cos x = −0, 35 voor x op [−2π, 2π]. Rond je antwoord af op
twee decimalen nauwkeurig.
2. Los algebraïsch en exact op sin x = −0, 5 voor x op [−π, 3π].
Maak bij algebraïsch oplossen gebruik van de volgende formules:
• sin t = sin u; t = u + 2kπ of t = π − u + 2kπ
• cos t = cos u; t = u + 2kπ of t = −u + 2kπ
31/38

32. Differentiëren:
• Als f(x) = sin(x), dan geldt f (x) = cos x
• Als f(x) = cos(x), dan geldt f (x) = − sin x
Als f(x) = cos(3x2 + 5x) dan is
f (x) = − sin(3x2 + 5x) · (6x + 5) = −(6x + 5) sin(3x2 + 5x)
32/38

33. Voorbeeld: Snelheid op t=0
Punt P beweegt volgens:
x(t) = 2 cos2 t
y(t) = sin(2t)
Bereken de snelheid van P op t = 0.
Snelheid:
v(t) = x (t)2 + y (t)2
• x (t) = 4 cos t · − sin t en y (t) = 2 cos(2t)
√
• x (0) = 0 en y (0) = 2, dus v(0) = 02 + 22 = 2.
33/38

34. Voorbeeld:
Punt P beweegt volgens
x(t) = 2 sin t
y(t) = 3 cos t
- Bereken de snelheid van P in het hoogste punt
- Benader in twee decimalen de helling (ook wel de richting) van de parame-
ter kromme als t = 1
• Hoogste punt als y(t) = 3 cos t is maximaal, dus t = 0.
Snelheid:
v(t) = x (t)2 + y (t)2
– x (t) = 2 cos t en y (t) = −3 sin t
√
– x (0) = 2 en y (0) = 0, dus v(0) = 2 2 + 02 = 2 .
y (t) y (1) −3 sin(1)
• Helling (rc.)= = = ≈ −2, 34
x (t) x (1) 2 cos(1)
34/38

35. Opgave: Parabool
Voor t op [−π, π] beweegt punt P volgens
x(t) = sin t
y(t) = cos(2t)
1. Bereken de coördinaten van het rechter snijpunt met de x-as.
2. Bewijs dat de parameterkromme twee keerpunten heeft.
3. Toon aan dat het punt P zicht beweegt langs de grafiek van y = 1 − 2x2 .
4. Bereken de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek en de x-as.
35/38

36. Open deurtjes: 1
• Lees de vraag aandachtig. Kijk goed wat er gevraagd wordt (een coördi-
naat, een percentage etc.).
• Werk netjes.
• Schrijf altijd iets op, een punt is erg snel verdiend.
• Maak een schets van de situatie.
• Als gevraagd wordt iets aan te tonen dan heb je het zeer waarschijnlijk
nodig bij de volgende opgave.
• Als je vraag (a) niet weet, probeer dan vraag (b)!
36/38

37. Open deurtjes: 2
• Let op het aantal decimalen bij het afronden.
• Als er iets staat van algebraïsch of exact, doe dit dan ook.
• Schrijf op wat je doet met je GR.
• Controleer gevonden antwoorden (plot grafieken o.i.d.).
• Als je tijd over hebt, maak de sommen nog een keer voor extra controle.
37/38

38. SUCCES!
38/38