Ingeniería de control: Tema 2. compensación LGR

w w w . m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional
de México
Instituto Tecnológico
de Matamoros
CONTROL II
TEMA II: COMPENSACIÓN UTILIZANDO LGR

Aplica los métodos de lugar geométrico de las
raíces (LGR) y de respuesta a la frecuencia (RF)
para diseñar compensadores que mejoren la
respuesta en lazo cerrado de un sistema de
control.
Competencia Específica

SUBTEMAS
2.1 Introducción a la compensación de sistemas de
control.
2.2 Compensadores en adelanto de fase usando
LGR.
2.3 Compensadores en adelanto de fase usando
RF.
2.4 Compensadores en atraso de fase usando LGR.
2.5 Compensadores en atraso de fase usando RF.
2.6 Compensadores en atraso-adelanto usando
LGR.
2.7 Compensadores en atraso-adelanto usando
RF.

1.1 Introducción a la compensación
de sistemas de control
La compensación es la modificación de la
dinámica del sistema, realizada para satisfacer las
especificaciones determinadas.
Los sistemas de control se diseñan para realizar
tareas específicas. Los requerimientos impuestos
sobre el sistema de control se detallan como
especificaciones de desempeño.
Por lo general se refieren a la precisión, la
estabilidad relativa y la velocidad de respuesta.
Para problemas de diseño rutinarios, las
especificaciones de desempeño se proporcionan
en términos de valores numéricos precisos.

Por lo general, las especificaciones de desempeño
no deben ser más rigurosas de lo necesario para
efectuar la tarea definida.
Establecer la ganancia es el primer paso
encaminado a ajustar un sistema para un
desempeño satisfactorio. Sin embargo,
incrementar la ganancia mejora el
comportamiento en estado estable pero produce
una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad.
En este caso, es necesario volver a diseñar el
sistema (modificando la estructura o
incorporando dispositivos o componentes
adicionales) a fin de alterar el comportamiento
general, de modo que el sistema se comporte
como se requiere.

Configuraciones del compensador
Compensación en serie (cascada): Es la más
comúnmente utilizada con el controlador
colocado en serie con el proceso controlado.
Compensación en realimentación (paralelo): El
controlador está colocado en la trayectoria menor
de realimentación.

La compensación en serie es más sencilla que la
compensación mediante realimentación; sin
embargo, aquélla requiere con frecuencia de
amplificadores adicionales para incrementar la
ganancia y/o ofrecer un aislamiento.
En general, la cantidad de componentes
requerida en la compensación mediante
realimentación será menor que la cantidad de
componentes de la compensación en serie,
siempre y cuando se tenga una señal adecuada,
debido a que la transferencia se da de un nivel de
potencia más alto a un nivel más bajo.
Al analizar los compensadores, se suele utilizar
términos como red de adelanto, red de atraso, y
red de atraso-adelanto.

Procedimiento de diseño
1. Elegir una configuración y un tipo de
controlador o compensador que satisfaga las
especificaciones de diseño.
2. Determinar los parámetros del controlador o
compensador. Estos son coeficientes de una o
más funciones de transferencia que conforman
el controlador o compensador.
3. Verificar el desempeño del sistema y en caso
de ser necesario reajustar los parámetros del
compensador. En esta etapa se pueden usar
paquetes de simulación para evitar cualquier
complicación numérica.

4. Una vez obtenido un modelo matemático
satisfactorio, se puede construir un prototipo y
probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura
la estabilidad absoluta en lazo abierto, se
puede cerrar el lazo y probar el desempeño del
sistema en lazo cerrado resultante.
5. Si no se satisfacen todos los requerimientos de
desempeño, se puede usar el enfoque de
prueba y error, donde se puede cambiar el
prototipo hasta que el sistema cumpla las
especificaciones. Se debe analizar cada prueba
e incorporar los resultados de este análisis en la
prueba siguiente. Al final el sistema debe
cumplir las especificaciones de desempeño y,
al mismo tiempo, ser confiable y económico.

Enfoque del LGR
Partiendo de la premisa de que en la mayoría de
las aplicaciones prácticas las plantas son fijas e
inalterables, entonces los problemas de diseño
son aquellos que implican la mejora del
desempeño de un sistema mediante la inserción
de un compensador.
La compensación de un sistema de control se
reduce al diseño de un filtro cuyas características
tiendan a compensar las características
inconvenientes o inalterables de la planta.
El enfoque del LGR es muy poderoso en el diseño
cuando se incorporan las especificaciones en
términos de las cantidades en el dominio del
tiempo (, n, %Ms, tr, ts, polos dominantes).

En la práctica, una gráfica del LGR de un sistema
indica que el desempeño deseado no puede
obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia. En
muchos casos, tal vez el sistema no sea estable
para todos los valores de ganancia. En este caso,
es necesario volver a construir los LGR para
cumplir las especificaciones de desempeño.
Cuando se diseña un sistema de control, si se
requiere de un ajuste diferente al de la ganancia,
debemos modificar los LGR originales insertando
un compensador conveniente.
Una vez comprendidos los efectos de la adición de
los polos y/o ceros sobre el LGR, se puede
determinar con facilidad las ubicaciones de los
polos y los ceros del compensador que volverán a
dar una forma conveniente al LGR.

Efectos de la adición de polos. La adición de un
polo a la función de transferencia en lazo abierto
tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las
raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la
estabilidad relativa del sistema y alentar el
asentamiento de la respuesta. La Figura muestra
ejemplos de los lugares geométricos de las raíces,
que presentan el efecto de la adición de uno o dos
polos a un sistema de un solo polo.

Efectos de la adición de ceros. La adición de un
cero a la función de transferencia en lazo abierto
tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las
raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema
tiende a ser más estable, y se acelera el
asentamiento de la respuesta.

2.2 Compensación en adelanto usando
LGR
Al efectuar el diseño de un sistema de control,
colocamos un compensador en serie con la
función de transferencia inalterable G(s) para
obtener la conducta deseada. El problema
principal entonces se convierte en hacer una
elección juiciosa de los polos y ceros del
compensador Gc(s) para tener los polos en lazo
cerrado dominantes en las posiciones deseadas
en el plano-s de forma que se cumplan las
especificaciones de comportamiento.

Existen muchas formas de obtener
compensadores de adelanto en tiempo continuo
(o analógicos), como, por ejemplo, las redes
electrónicas que usan amplificadores
operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de
amortiguadores mecánicos.
Consideremos un problema de diseño donde el
sistema original sea inestable para todos los
valores de la ganancia o estable pero con
características no deseables de la respuesta
transitoria. En este caso, es necesario volver a
construir el lugar de las raíces en la proximidad
del eje j y del origen para que los polos
dominantes en lazo cerrado estén en posiciones
deseadas en el plano s. Este problema se
soluciona introduciendo un compensador de
adelanto adecuado en cascada con la función de
transferencia del camino directo.

Procedimiento para diseñar un
compensador en adelanto usando LGR
1. A partir de las especificaciones de
comportamiento, determine la localización
deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado.
2. Por medio de una gráfica del LGR del sistema
sin compensar (sistema original), comprobar si
el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo
proporcionar los polos en lazo cerrado
adecuados. Si no, calcular la deficiencia de
ángulo . Este ángulo debe ser una
contribución del compensador de adelanto si
el nuevo lugar de las raíces va a pasar por las
localizaciones deseadas para los polos
dominantes en lazo cerrado.

3. Partimos de la función de transferencia del
compensador de adelanto Gc(s) que está dada
por:
Gc s = Kcα
Ts + 1
αTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
αT
, 0 < α < 1
donde  y T se determinan a partir de la
deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del
requisito de la ganancia en lazo abierto.
4. Si no se especifican las constantes de error
estático, determinar la localización del polo y del
cero del compensador de adelanto, para que el
compensador de adelanto contribuya al ángulo 
necesario. Si no se imponen otros requisitos sobre
el sistema, se busca aumentar el valor de  lo más
que pueda, esto proporcionará un valor más
grande de Kv, lo cual, que es deseable.

En este caso:
Kv = lim
s→0
sGc s G s = Kcα lim
s→0
sGc(s)
5. Determine el valor de la Kc del compensador
de adelanto a partir de la condición de
magnitud.
Una vez diseñado el compensador, verificar que se
hayan cumplido todas las especificaciones de
diseño. Si el sistema no las cumple, debe repetirse
el procedimiento ajustando el polo y el cero del
compensador hasta cumplirlas.
Si los polos dominantes en lazo cerrado que se
han seleccionado no son realmente dominantes,
será necesario modificar la situación del par de
polos dominantes en lazo cerrado seleccionados.

EJEMPLO 1
Considere el sistema de control mostrado en la
siguiente figura:
Diseñe un compensador en adelanto Gc(s) de
forma que los polos dominantes en lazo cerrado
tengan un factor de amortiguamiento =0.5 y la
frecuencia natural no amortiguada n=3rad/s.
SOLUCIÓN:
1. Para encontrar la localización de los polos
dominantes de lazo cerrado, se requiere
encontrar la F.T. de lazo cerrado.

Por regla 13:
C(s)
R(s)
=
10
s(s + 1)
1 +
10
s(s + 1)
=
10
s2 + s + 10
Los polos en lazo cerrado se encuentran por regla
general o usando Matlab.
2. Encontramos la gráfica del LGR del sistema
original y la ubicación de los polos para
determinar el valor de . Para ello usamos Matlab
y la F.T. de lazo abierto.

Se observa que en la ubicación de los polos de
lazo cerrado, =0.158 y n=3.16 rad/s.

Se requiere =0.5 y n=3 rad/s. Esto se obtiene a
partir de:
𝑠2
+ 2𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
= 𝑠2
+ 3𝑠 + 9
Es decir, se requiere que los polos en lazo cerrado
se muevan a las posiciones:
De acuerdo a la gráfica del LGR del sistema
original, se observa que con un solo movimiento
de ganancia no es posible alcanzar esos polos. Por
tanto, es necesario agregar un compensador en
adelanto.

3. Para introducir el compensador en adelanto,
primero, encontrar la suma de los ángulos en la
localización deseada de uno de los polos
dominantes en lazo cerrado con los polos y
ceros en lazo abierto del sistema original, y
determinar el ángulo necesario  que se va a
agregar para que la suma total de los ángulos
sea igual 180(2k+1). El compensador de
adelanto debe contribuir a este ángulo .
Partimos de la función de transferencia del
compensador en adelanto.
Gc s = Kcα
Ts + 1
αTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
αT
, 0 < α < 1

De acuerdo a la figura, el ángulo desde el polo en
el origen al polo en lazo cerrado dominante
deseado en s=-1.5 + 2.5981j es 180-60=120.
El ángulo desde el polo en s=-1 al polo en lazo
cerrado deseado es: 180-tan-1(2.5981/0.5)=
100.893. Por lo tanto la deficiencia del ángulo es:
Def. del ángulo=180-120-100.893=-40.893

El déficit en el ángulo de 40.893 debe estar
contribuido por un compensador de adelanto.
4. Se elije el cero del compensador de adelanto
en s=-1 de forma que se cancele el polo de la
planta, entonces el polo del compensador se
debe colocar en s=-3, para lograr las ubicación
de los polos en lazo cerrado.

La función de transferencia del compensador en
adelanto está dada por:
Gc s = Kc
s + 1
s + 3
Entonces:
1
T
= 1 → T = 1 seg
1
αT
= 3 → α =
1
3T
= 0.3333
5. El valor de Kc se obtiene a partir de la
condición de magnitud.
Kc
s + 1
s + 3
10
𝑠(𝑠 + 1) s=−1.5+j2.5981
= 1
𝐾𝑐 =
𝑠(𝑠 + 3)
10 s=−1.5+j2.5981
= 0.9

Por tanto
Gc s = 0.9
s + 1
s + 3
La función de transferencia del sistema
compensado en lazo abierto es:
0.9
s + 1
s + 3
10
𝑠(𝑠 + 1)
=
9
𝑠(𝑠 + 3)
En lazo cerrado esta dada por:
C(s)
R(s)
=
9
s(s + 3)
1 +
9
s(s + 3)
=
9
s2 + 3s + 9
La constante de error de velocidad estática está
dada por:
Kv = lim
s→0
sGc s G s

Kv = lim
s→0
s
9
𝑠(𝑠 + 3)
= 3
Verifiquemos el LGR y la respuesta al escalón del
sistema compensado.

El sobreimpulso máximo disminuyó de 60% a 16%,
sin embargo, se sacrificó el tiempo de
levantamiento de 0.354 seg a 0.55 seg. El tiempo
de establecimiento mejoró de 7.31 seg a 2.7 seg.
Vemos que con la inserción del compensador se
mejoró la respuesta transitoria del sistema
original.

EJEMPLO 2
Un sistema de control con retroalimentación
unitaria tiene una función de transferencia de lazo
abierto dada por:
G s =
4
s s + 2
Diseñe un compensador en adelanto Gc(s) de
forma que los polos dominantes en lazo cerrado
tengan un factor de amortiguamiento =0.6 y la
frecuencia natural no amortiguada n=4rad/s.
SOLUCIÓN:
1. Para encontrar la localización de los polos
dominantes de lazo cerrado, se requiere
encontrar la F.T. de lazo cerrado.

Por regla 13:
C(s)
R(s)
=
4
s(s + 2)
1 +
4
s(s + 2)
=
4
s2 + 2s + 4
Los polos en lazo cerrado se encuentran por regla
general o usando Matlab.
2. Encontramos la gráfica del LGR del sistema
original y la ubicación de los polos en lazo cerrado,
utilizando el comando zpk y la herramienta rltool
de Matlab.

Se observa que en la ubicación de los polos de
lazo cerrado, =0.5 y n=2 rad/s.

Se requiere =0.6 y n= 4rad/s. Esto se obtiene a
partir de:
𝑠2
+ 2𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
= 𝑠2
+ 4.8𝑠 + 16
Es decir, se requiere que los polos en lazo cerrado
se muevan a las posiciones:
De acuerdo a la gráfica del LGR del sistema
original, se observa que con un solo movimiento
de ganancia no es posible alcanzar esos polos. Por
tanto, es necesario agregar un compensador en
adelanto.

3. Encontremos la suma de los ángulos en la
localización deseada de uno de los polos
dominantes en lazo cerrado con los polos y
ceros en lazo abierto del sistema original, y
determinar el ángulo necesario  que se va a
agregar el compensador.
∅1 = 180° − tan−1
3.2
2.4
= 126.87°
∅2 = 180° − tan−1
3.2
0.4
= 97.125°

Def. de ángulo=180-126.87-97.125=-43.995-44
El déficit en el ángulo de 44 debe estar
contribuido por un compensador de adelanto.
4. Se elije el cero del compensador de adelanto
en s=-2 de forma que se cancele el polo de la
planta, entonces buscamos la ubicación del
polo.
x
sin 44°
=
3.225
sin 53.13°
→ x = 2.8
Entonces tenemos:
1
αT
= 2 + 2.8 = 4.8
Con estos valores tenemos:
1
T
= 2 → T = 0.5 seg
1
𝛼𝑇
= 4.8 → 𝛼 =
1
4.8𝑇
= 0.417

La función de transferencia del compensador en
adelanto está dada por:
Gc s = Kc
s + 2
s + 4.8
5. El valor de Kc se obtiene a partir de la
condición de magnitud.
Kc
s + 2
s + 4.8
4
𝑠(𝑠 + 2) s=−2.4+j3.2
= 1
𝐾𝑐 =
𝑠(𝑠 + 4.8)
4 s=−2.4+j3.2
= 4

Por tanto
Gc s = 4
s + 2
s + 4.8
La función de transferencia del sistema
compensado en lazo abierto es:
4
s + 2
s + 4.8
4
𝑠(𝑠 + 2)
=
16
𝑠(𝑠 + 4.8)
La constante de error de velocidad estática está
dada por:
Kv = lim
s→0
sGc s G s
Kv = lim
s→0
16
𝑠 + 4.8
=
16
4.8
= 3.333

Verifiquemos el LGR y la respuesta al escalón del
sistema compensado usando Matlab.

El sobreimpulso máximo disminuyó de 16.3% a
9.48%, el tiempo de levantamiento disminuyó de
0.819 seg a 0.464 seg. El tiempo de
establecimiento mejoró de 4.04 seg a 1.49 seg.
Vemos que con la inserción del compensador se
mejoró la respuesta transitoria del sistema
original, sobre todo en la velocidad de respuesta.

2.3 Compensación en atraso de fase
usando LGR.
Este tipo de compensador se emplea para
mejorar la respuesta en estado estable sin
modificar la respuesta transitoria, por lo que
pretende no cambiar el lugar geométrico de las
raíces en la vecindad de los polos dominantes en
lazo cerrado.
Generalmente se ubican el polo y el cero próximos
entre sí y cerca del origen. De este modo, los polos
en lazo cerrado del sistema compensado sólo se
alejarían ligeramente de sus posiciones originales.
Por tanto las características de la respuesta
transitoria cambiarán muy poco.

Un compensador de retardo, Gc(s), se caracteriza
por la siguiente función de transferencia.
Gc s = 𝐾𝑐β
Ts + 1
βTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
βT
, β > 1
Si se sitúan el cero y el polo del compensador de
retardo muy cerca uno del otro, en s=s1, donde s1
es uno de los polos dominantes en lazo cerrado,
las magnitudes s1+(1/T) y s1+[1/(T)] serán casi
iguales, o bien:
Gc(s1) = Kc
𝑠1 +
1
T
𝑠1 +
1
βT
≈ Kc

Para hacer que la contribución de ángulo de la
parte de retardo del compensador sea pequeña,
se requiere:
−5° < 
𝑠1 +
1
T
𝑠1 +
1
βT
< 0°
Esto implica que, si la ganancia Kc del
compensador de retardo se hace igual a 1, la
característica de la respuesta transitoria no se
alterará.
Si el polo y el cero se colocan muy cerca del
origen, puede aumentarse el valor de .

Un incremento en la ganancia significa un
incremento en las constantes de error estático. Si
la función de transferencia en lazo abierto del
sistema no compensado es G(s), la constante de
error estático de velocidad Kv del sistema no
compensado es:
Kv = lim
s→0
sG s
Para el sistema compensado esta constante está
dada por Kv:
Kv = lim
s→0
sGc s G s = lim
s→0
Gc s Kv = KcβKv
El principal efecto negativo de la compensación
de retardo es que el cero del compensador que se
generará cerca del origen da lugar a un polo en
lazo cerrado cerca del origen, esto aumentará el
tiempo de asentamiento.

Procedimiento para diseñar un
compensador en atraso usando LGR
1. Dibujar la gráfica del LGR para el sistema no
compensado, cuya función de transferencia en
lazo abierto sea G(s). En función de las
especificaciones de la respuesta.
2. Suponga que la función de transferencia del
compensador de retardo es:
Gc s = Kcβ
Ts + 1
βTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
βT
, β > 1
Así, la función de transferencia en lazo abierto del
sistema compensado se convierte en Gc(s)G(s).

3. Calcular la constante de error estático
especificada en el problema.
4. Determinar el incremento necesario en la
constante de error estático para satisfacer las
especificaciones.
5. Determinar el polo y el cero del compensador
de retardo que producen el incremento
necesario en la constante de error estático sin
modificar apreciablemente los LGR.
6. Dibujar una nueva gráfica del LGR para el
sistema no compensado. Localizar los polos
dominantes en lazo cerrado deseados sobre el
lugar de las raíces.

7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir
de la condición de magnitud, para que los
polos dominantes en lazo cerrado se
encuentren en la localización deseada.
EJEMPLO 1
abierto dada por:
G s =
16
s s + 4
Diseñe un compensador en atraso Gc(s) de forma
que la constante de error de velocidad estática
Kv20s-1.

1. Analizamos las características de la planta. Para
ello, utilizamos la F.T. de lazo cerrado.
C(s)
R(s)
=
16
s(s + 4)
1 +
16
s(s + 4)
=
16
s2 + 4s + 16
Usamos Matlab para encontrar los polos de lazo
cerrado:
Encontramos la gráfica del LGR del sistema
original, la ubicación de los polos en lazo cerrado,
y demás características de la respuesta transitoria
de Matlab.

Características de la respuesta
transitoria:
tr=0.41 seg
tp=0.898 seg
%Mp=16.3%
ts=2.02 seg
El sistema no presenta
problemas con su respuesta
transitoria.

2. Calculemos la constante de error estático del
sistema original.
Kv = lim
s→0
sG s = lim
s→0
𝑠
16
𝑠 𝑠 + 4
=
16
4
= 4
Esto no cumple con la constante solicitada.
3. Para lograr esta constante diseñemos un
compensador en atraso de fase.
Gc s = 𝐾𝑐β
Ts + 1
βTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
βT
, β > 1
Entonces para el sistema compensado tenemos:
Kv = lim
s→0
sGc s G s = lim
s→0
Gc s Kv = KcβKv

20 = lim
s→0
Gc(s)Kv = lim
s→0
4 Kcβ
Ts + 1
βTs + 1
20 = 4Kcβ → Si Kc = 1 → β =
20
4
= 5
4. Determinar los polos y ceros del compensador.
Escogiendo el cero del compensador lo más
cercano al origen: s=-0.05. Entonces:
1
T
= 0.05 → T = 20 seg
Con esto se calcula el polo de acuerdo a:
1
βT
=
1
(5)(20)
= 0.01
5. El compensador en atraso sería: Kc
s+0.05
s+0.01

6. Se ajusta la ganancia del compensador de
acuerdo a la condición de magnitud:
Kc
s + 0.05
s + 0.01
16
𝑠(𝑠 + 4)
= 1
Kc =
𝑠(𝑠 + 4)(s + 0.01)
16(s + 0.05) s=−2+3.4641j
= 1.004
El aporte de fase del compensador es:
 1.004
s + 0.05
s + 0.01 s=−2+3.4641j
− 0.499
Lo cual es correcto ya que el ángulo debe ser
menor a 5
Comprobemos la respuesta en Matlab.

transitoria:
tr=0.404 seg
tp=0.907 seg
%Mp=17.7%
ts=1.46 seg
Se observa una mejoría en tr de
0.41 a 0.404 seg y en ts de 2.02 a
1.46 seg.

EJEMPLO 2
abierto dada por:
G s =
1.06
s s + 1 𝑠 + 2
Diseñe un compensador en atraso Gc(s) de forma
que la constante de error de velocidad estática
Kv5s-1.
SOLUCIÓN:
C(s)
R(s)
=
1.06
s(s + 1) 𝑠 + 2
1 +
1.06
s(s + 1) 𝑠 + 2
=
1.06
s3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 1.06

Usamos Matlab para encontrar los polos de lazo
cerrado:
Se tiene un polo real en s=-2.3386 y dos polos
complejos conjugados en s=-0.33070.5864j, los
cuales son los polos dominantes en lazo cerrado.
original, la ubicación de los polos en lazo cerrado y
demás características de la respuesta transitoria
de Matlab.

transitoria:
tr=2.55 seg n=0.673 rad/seg
tp=5.85 seg =0.491
%Mp=16.2%
ts=12.5 seg
El sistema no presenta
problemas en el %Mp, pero se
puede mejorar la velocidad.

2. Calculemos la constante de error estático del
sistema original.
Kv = lim
s→0
sG s = lim
s→0
𝑠
1.06
𝑠 𝑠 + 1 (𝑠 + 2)
=
1.06
2
= 0.53
Esto no cumple con la constante solicitada.
3. Para lograr esta constante diseñemos un
compensador en atraso de fase.
Gc s = 𝐾𝑐β
Ts + 1
βTs + 1
= Kc
s +
1
T
s +
1
βT
, β > 1
Entonces para el sistema compensado tenemos:
Kv = lim
s→0
sGc s G s = lim
s→0
Gc s Kv = KcβKv

5 = lim
s→0
Gc(s)Kv = lim
s→0
0.53 Kcβ
Ts + 1
βTs + 1
5 = 0.53Kcβ → Si Kc = 1 → β =
5
0.53
= 9.434
4. Determinar los polos y ceros del compensador.
Escogiendo el cero del compensador lo más
cercano al origen: s=-0.05. Entonces:
1
T
= 0.05 → T = 20 seg
Con esto se calcula el polo de acuerdo a:
1
βT
=
1
(9.434)(20)
= 0.0053
5. El compensador en atraso sería: Kc
s+0.05
s+0.0053

6. Se ajusta la ganancia del compensador de
acuerdo a la condición de magnitud:
Kc
s + 0.05
s + 0.0053
1.06
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
= 1
Kc =
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(s + 0.0053)
1.06(s + 0.05) s=−0.3307+j0.5864
= 1.0315
El aporte de fase del compensador es:
 1.0315
s + 0.05
s + 0.0053 s=−0.3307+j0.5864
− 3.45°
Lo cual es correcto ya que el ángulo debe ser
menor a 5
Comprobemos la respuesta en Matlab.

transitoria:
tr=2.32 seg n=0.654 rad/seg
tp=5.89 seg =0.466
%Mp=27.3%
ts=29.5 seg
Se observa sólo una pequeña
mejoría en tr. En este caso se
requiere un compensador en
atraso-adelanto.

2.3 Compensación en atraso-adelanto
de fase usando LGR.
La compensación de adelanto acelera la
respuesta e incrementa la estabilidad del sistema.
La compensación de retardo mejora la precisión
en estado estacionario del sistema, pero reduce la
velocidad de la respuesta.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria
como la respuesta en estado estacionario, deben
utilizarse de forma simultánea un compensador
de adelanto y un compensador de retardo.
La compensación de retardo-adelanto combina
las ventajas de las compensaciones de retardo y
de adelanto.

El compensador de retraso-adelanto se
caracteriza por la siguiente función de
transferencia:
Gc s = Kc
β
γ
T1s + 1 T2s + 1
T1
γ s + 1 βT2s + 1
= Kc
s +
1
T1
s +
γ
T1
s +
1
T2
s +
1
βT2
Se cumple que >1 y >1. (Se supone que Kc
pertenece a la parte de adelanto del
compensador de retardo-adelanto.)
Al diseñar los compensadores de retardo-
adelanto, se consideran dos casos:  y =.
Caso 1: 
En este caso, el proceso de diseño es una
combinación del diseño del compensador de
adelanto con el del compensador de retardo.

comportamiento dadas, determinar la
localización deseada para los polos dominantes
en lazo cerrado.
2. Utilizar G(s) para determinar la deficiencia de
ángulo  si los polos dominantes en lazo
cerrado estuvieran en la posición deseada. La
parte de adelanto de fase del compensador de
retardo-adelanto debe contribuir a este
ángulo.
3. Suponiendo que después selecciona un T2
suficientemente grande para que la magnitud
de la parte de retardo

s +
1
T2
s +
1
βT2
se acerque a la unidad, de modo que s=s1 es uno
de los polos dominantes en lazo cerrado, elegir los
valores de T1 y  a partir de la siguiente igualdad:

𝑠1 +
1
T1
𝑠1 +
γ
T1
= ∅
La elección de T1 y  no es única.
A continuación determinar el valor de Kc a partir
de la condición de magnitud:

Kc
s1 +
1
T1
s1 +
γ
T1
G s1 = 1
4. Si se especifica la constante de error estático
de velocidad Kv, determinar el valor de  que
satisfaga el requisito para Kv. La constante de
error estático de velocidad Kv se obtiene
mediante:
𝐾v = lim
s→0
sGc s G s
Kv = lim
s→0
sKc
s +
1
T1
s +
γ
T1
s +
1
T2
s +
1
βT2
G s = lim
s→0
sKc
β
γ
G(s)

donde Kc y  se determinaron en el paso 3. Por
tanto, dado el valor de Kv, el valor de  se
determina a partir de esta última ecuación.
Después, usando el valor de  calculado,
seleccionar un valor de T2 tal que:
s +
1
T2
s +
1
βT2
≈ 1
−5° < 
s +
1
T2
s +
1
βT2
< 0°

Caso 2: =
comportamiento dadas, determinar la
localización deseada para los polos dominantes
en lazo cerrado.
2. El compensador de retardo-adelanto se
modifica a:
Gc s = Kc
T1s + 1 T2s + 1
T1
β
s + 1 βT2s + 1
= Kc
s +
1
T1
s +
1
T2
s +
β
T1
s +
1
βT2
donde   1. La función de transferencia en lazo
abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s). Si se
especifica la constante de error estático de
velocidad Kv, determinar el valor de la constante
Kc a partir de la ecuación siguiente:

Kv = lim
s→0
sGc s G s = lim
s→0
sKcG(s)
3. Para tener los polos dominantes en lazo
cerrado en la localización deseada, calcule la
contribución requerida del ángulo  de la parte
de adelanto de fase del compensador de
retardo-adelanto.
4. Para el compensador de retardo-adelanto,
seleccione una T2 suficientemente grande, con
el fin de que:
s +
1
T2
s +
1
βT2
se aproxime a la unidad, de modo que s=s1 sea
uno de los polos dominantes en lazo cerrado.

Determinar los valores de T1 y  a partir de las
condiciones de magnitud y de ángulo:
Kc
s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
G s1 = 1

s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
= ∅
5. Utilizando el valor de  que se acaba de
calcular, seleccione T2 de modo que:
s +
1
T2
s +
1
βT2
≈ 1

−5° < 
s +
1
T2
s +
1
βT2
< 0°
El valor de T2, la constante de tiempo mayor del
compensador retardo-adelanto, no debe ser
demasiado grande con el fin de que pueda
materializarse físicamente.
EJEMPLO 1
abierto dada por:
G s =
4
s s + 0.5

Se desea que el factor de amortiguamiento
relativo de los polos dominantes en lazo cerrado
sea igual a 0.5, la frecuencia natural no
amortiguada sea 5 rad/seg y la constante de error
estático de velocidad a 80 seg-1
SOLUCIÓN:
C(s)
R(s)
=
4
s(s + 0.5)
1 +
4
s(s + 0.5)
=
4
𝑠2 + 0.5𝑠 + 4
Los polos en lazo cerrado son:

original, la ubicación de los polos en lazo cerrado,
y demás características de la respuesta transitoria
de Matlab.
Se observa que =0.125
lo cual no es
adecuado, n=2rad/seg

Calculemos la constante de error estático del
sistema original.
Kv = lim
s→0
sG s = lim
s→0
𝑠
4
𝑠 𝑠 + 0.5
=
4
0.5
= 8
transitoria:
tr=0.575 seg
tp=1.57 seg
%Mp=67.3%
ts=14.7 seg
Se observa un comportamiento
transitorio no adecuado por el
alto %Mp

Se requiere =0.5 y n= 5 rad/s. Esto se obtiene a
partir de:
s2
+ 2ωns + ωn
2
= s2
+ 5s + 25
Se requiere que los polos en lazo cerrado se
muevan a las posiciones:
Para mover los polos a las posiciones deseadas se
requiere insertar un compensador, para ello
utilizaremos uno de retraso-adelanto con  cuya
función de transferencia está dada por:

Gc s = Kc
β
γ
T1s + 1 T2s + 1
T1
γ s + 1 βT2s + 1
= Kc
s +
1
T1
s +
γ
T1
s +
1
T2
s +
1
βT2
2. Utilicemos G(s) para determinar la deficiencia
de ángulo , y así diseñar la parte de adelanto
de fase del compensador.
3. ∅1 = 180° − tan−1 4.33
2.5
= 120°
4. ∅2 = 180° − tan−1 4.33
2
= 115°
5. ∅ = 180° − 120° − 115° = −55°

Para diseñar la parte de adelanto de fase del
compensador, primero se determina la
localización del cero y el polo que dan una
aportación de 55. Se elige el cero en s=0.5, para
que cancele el polo de la planta.
Geométricamente calculamos la ubicación del
polo.

Con estos valores tenemos:
1
T1
= 0.5 → T1 = 2 seg
γ
T1
= 5.012 → γ = 10.024
La parte de adelanto está dada por:
Kc
s + 0.5
s + 5.012
3. Determinar el valor de Kc a partir de la
condición de magnitud evaluando en s1=-
2.5+j4.33:
Kc
𝑠1 + 0.5
𝑠1 + 5.012
4
𝑠1(𝑠1 + 0.5)
= 1
Kc =
s1 s1 + 0.5 s1 + 5.012
4 s1 + 0.5
= 6.27

4. Para diseñar la parte de atraso consideramos la
constante de velocidad estática:
Kv = lim
s→0
sKc
β
γ
G s = lim
s→0
s 6.27
β
10.024
4
s s + 0.5
80 = β
6.27
10.024
4
0.5
→ β =
80 10.024 0.5
4 6.27
= 16
5. Elegir un valor de T2 lo suficientemente grande
de manera que se cumpla que:
s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2
≈ 1
−5° < 
s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2
< 0°

Probemos con T2=6
s1 +
1
6
s1 +
1
16 6
= 0.985 ≈ 1
Veamos el ángulo

s1 +
1
6
s1 +
1
16(6)
= −1.58°
Como si cumple el compensador queda diseñado
con la función de transferencia:
Gc s = 6.27
s + 0.5
s + 5.012
s + 0.167
s + 0.104

El sistema compensado queda como:
Gc s G(s) = 6.27
s + 0.5
s + 5.012
s + 0.167
s + 0.104
4
s(s + 0.5)
Aplicamos este resultado a Matlab y
comprobemos:

Se logró mover los polos en lazo cerrado muy
aproximadamente a la posición deseada s=-
2.474.32j. El valor de =0.497 y n=4.98 rad/seg.
Veamos la respuesta transitoria:
Características de la
respuesta transitoria:
tr=0.323 seg
tp=0.725 seg
%Mp=17.9%
ts=1.18 seg.
Se observa que tr mejoró de
0.575 a 0.323 seg, tp
disminuyó de 1.57 a 0.725
seg, %Mp disminuyó de 67.3
a 17.9% y ts mejoró de 14.7 a
1.18 seg.

EJEMPLO 2:
Resuelva el ejercicio anterior utilizando un
compensador de retraso-adelanto con .
Considere las mismas características de
desempeño.
G s =
4
s s + 0.5
,  = 0.5, ωn = 5
rad
s
, Kv = 80s−1
SOLUCIÓN:
1. Del problema anterior sabemos que las
características de la planta son las siguientes:
Polos en lazo cerrado: −0.251.9843j
Valor de  y n: =0.125, n=2 rad/s

Características de la respuesta transitoria:
Kv de la planta: Kv=8s-1
Ubicación deseada de los polos en lazo cerrado:
−2.54.3301j
tr=0.575 seg
tp=1.57 seg
%Mp=67.3%
ts=14.7 seg
El comportamiento transitorio no
es adecuado por el alto %Mp

Para mover los polos a las posiciones deseadas se
insertará un compensador atraso-adelanto con
= cuya función de transferencia está dada por:
Gc s = Kc
T1s + 1 T2s + 1
T1
β
s + 1 βT2s + 1
= Kc
s +
1
T1
s +
1
T2
s +
β
T1
s +
1
βT2
2. A partir de la especificación deseada de Kv se
obtiene el valor de Kc utilizando la expresión:
Kv = lim
s→0
sGc s G s = lim
s→0
sKcG(s)
80 = lim
s→0
sKc
4
s s + 0.5
→ KC =
80 0.5
4
= 10
3. El análisis para calcular la contribución de
ángulo de la parte de adelanto es igual al caso
anterior, por lo que se requieren 55

4. Para calcular T1 y  utilizamos las condiciones
de magnitud y ángulo, considerando s1=-2.5 +
4.33j
10
s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
4
s1 s1 + 0.5
= 1 →
s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
8
4.77
= 1
s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
=
4.77
8
= 0.59625

s1 +
1
T1
s1 +
β
T1
= 55°

Usando el método gráfico tenemos:
Entonces:
1
T1
= 2.38 → T1 = 0.42 seg
β
T1
= 8.33 → β = 3.5
La parte de adelante queda como:
10
s + 2.38
s + 8.33
PA
PB
= 0.59625 → APB = 55°
El cero queda en s=2.38
El polo queda en:
𝑥 =
4.332 sin 55
sin 36.6
= 5.95
polo = 5.95 + 2.38 = 8.33

5. Elegir un valor de T2 lo suficientemente grande
de manera que se cumpla que:
s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2
≈ 1 − 5° < 
s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2
< 0°
De igual manera seleccionamos T2=10 y probamos
con s1=-2.5+4.33j
s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2

s1 +
1
T2
s1 +
1
βT2
= 0.993 − 0.72
Lo cual cumple con las condiciones requeridas. La
parte de atraso queda como:
s1 + 0.1
s1 + 0.0286

El sistema compensado queda como:
Gc s G(s) = 10
s + 2.38
s + 8.33
s + 0.1
s + 0.0286
4
s(s + 0.5)
Aplicamos este resultado a Matlab y
comprobemos:

Se logró mover los polos en lazo cerrado muy
aproximadamente a la posición deseada s=-
2.454.32j. El valor de =0.494 y n=4.96 rad/seg.
Veamos la respuesta transitoria:
Características de la
respuesta transitoria:
tr=0.236 seg
tp=0.62 seg
%Mp=37.9%
ts=1.66 seg.
Se observa que tr mejoró de
0.575 a 0.236 seg, tp
disminuyó de 1.57 a 0.62 seg,
%Mp disminuyó de 67.3 a
37.9% y ts mejoró de 14.7 a
1.66 seg.

Topologías de los compensadores con
Amplificadores Operacionales
COMPENSADOR EN ADELANTO DE FASE
Condición: R1C1>R2C2

Análisis:
Para el primer A.O. tenemos:
Vo(s)
Vin(s)
= −
Zf
Zi
(inversor)
Donde: Zf =
R2
sC2
R2+
1
sC2
=
R2
sC2R2 +1
=
1
C2
∗
1
s+
1
C2R2
Zi =
R1
sC1
R1+
1
sC1
=
R1
sC1R1 +1
=
1
C1
∗
1
s+
1
C1R1
Entonces:
Vo(s)
Vin(s)
= −
C1
C2
∗
1
s+
1
C2R2
1
s+
1
C1R1
= −
C1
C2
∗
s+
1
C1R1
s+
1
C2R2
El segundo A.O. es un inversor tal que:
Vsal(s)
Vo(s)
= −
R4
R3
Finalmente:
Vsal(s)
Vin(s)
=
Vsal(s)
Vo(s)
∗
Vo s
Vin s
=
R4C1
R3C2
∗
s+
1
C1R1
s+
1
C2R2
Por tanto: Kc =
R4C1
R3C2
,
1
T
=
1
C1R1
,
1
αT
=
1
C2R2

COMPENSADOR EN ATRASO DE FASE
Condición: R1C1<R2C2
Análisis:
Vsal(s)
Vin(s)
=
Vsal(s)
Vo(s)
∗
Vo s
Vin s
=
R4C1
R3C2
∗
s+
1
C1R1
s+
1
C2R2
Kc =
R4C1
R3C2
,
1
T
=
1
C1R1
,
1
βT
=
1
C2R2

COMPENSADOR EN ATRASO-ADELANTO
Análisis:
Z1 =
R3 R1 +
1
sC1
R3 + R1 +
1
sC1
=
R3
sC1R1 + 1
sC1
sC1R3 + sC1R1 + 1
sC1
=
R3 sC1R1 + 1
sC1 R1 + R3 + 1

Z2 =
R4 R2 +
1
sC2
R4 + R2 +
1
sC2
=
R4
sC2R2 + 1
sC2
sC2R4 + sC2R2 + 1
sC2
=
R4 sC2R2 + 1
sC2 R2 + R4 + 1
Para el primer Amplificador Operacional
E(s)
Ei s
= −
R4 sC2R2 + 1
sC2 R2 + R4 + 1
R3 sC1R1 + 1
sC1 R1 + R3 + 1
E(s)
Ei s
= −
R4
R3
∗
sC1 R1 + R3 + 1
sC1R1 + 1
∗
sC2R2 + 1
sC2 R2 + R4 + 1
El segundo Amplificador operacional es un
inversor básico.
𝐸𝑜(s)
𝐸 s
= −
R6
R5

La función de transferencia final es.
Eo(s)
Ei s
=
R4R6
R3R5
sC1 R1 + R3 + 1
sC1R1 + 1
sC2R2 + 1
sC2 R2 + R4 + 1
De acuerdo a la función de transferencia general
para este compensador se define:
𝑇1 = C1 R1 + R3 →
𝑇1
𝛾
= C1R1
𝑇2 = C2R2 → 𝛽𝑇2 = C2 R2 + R4
Finalmente:

Ingeniería de control: Tema 2. compensación LGR

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