Чётность

1. Чётность

2. Четные числа - это те, которые делятся
на 2 без остатка
Нечетные числа - это те, которые при
делении на 2 дают в остатке 1

4. Пример 1
Кузнечик прыгал вдоль прямой, а потом вернулся в
исходную точку. Все прыжки имеют одинаковую
длину. Докажите, что он сделал чётное число
прыжков.

5. Чётное число
𝑛 + 𝑛 = 2𝑛

6. Нечётное число
2𝑛 + 1
2𝑛 − 1

7. Произведение любого чётного числа на
чётное число чётно
𝑛 ∙ 2𝑚 = 2𝑚𝑛
(2𝑛 + 1) ∙ 2𝑚 + 1 = 4𝑚𝑛 + 2𝑛 + 2𝑚 + 1

8. 1) 2𝑚 ∙ 2𝑛 + 1 = 2 𝑚 + 𝑛 + 1
2) 2𝑚 + 2𝑛 = 2(𝑚 + 𝑛)
3) (2𝑛 + 1) + 2𝑚 + 1 = 2(𝑚 + 𝑛 + 1)

9. Пример 2
В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли
между ними расставить знаки «+» и «-»,
чтобы получилось выражение, равное нулю?
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10 = 55

10. Сложение и вычитание:
Чётное ± Чётное = Чётное
Чётное ± Нечётное = Нечётное
Нечётное ± Чётное = Нечётное
Нечётное ± Нечётное = Чётное

11. Умножение:
Чётное × Чётное = Чётное
Чётное × Нечётное = Чётное
Нечётное × Нечётное = Нечётное

12. Пример 3
Пусть m и n — целые числа. Докажите, что
mn(m + n) — четное число.

13. 1) 𝑛, 𝑚 − чётные ⇒ mn n + m − чётное
2) 𝑛, 𝑚 − нечётные ⇒ 𝑚𝑛 𝑛 + 𝑚 − чётно
3) 𝑛, 𝑚 − разный чётности ⇒ 𝑚𝑛 𝑛 + 𝑚 − чётно

14. Пример 4
На доске написано 613 целых чисел. Докажите,
что можно стереть одно число так, что сумма
оставшихся чисел будет чётной. Верно ли это для
612 чисел?

15. Пример 5
Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он
прыгнул на 1 см, во второй раз – на 2 в какую-
то сторону, и так далее. Докажите, что после
1985 прыжков он не сможет оказаться там,
где начинал.

16. Пример 6
Числа 1, 2, … , 714 записаны по порядку.
Разрешается менять местами числа, стоящие
через одно. Можно ли с помощью таких
перестановок расположить все числа в обратном
порядке?

17. Пример 7
Круг разбит на 6 секторов. В секторах стоят фишки
(сначала в каждом по одной). За один ход
разрешается передвинуть две фишки на один
сектор в противоположных направлениях. Можно
ли за несколько ходов собрать все фишки в одном
секторе?

18. Изменится ли ответ в предыдущей задачи,
если увеличить количество секторов с 6 до
12?

19. Пример 8
Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых,
отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих.
Петя взял одну монету и за одно взвешивание на
весах со стрелкой, показывающей разность
весов на чашках, хочет определить фальшивая
ли она. Сможет ли он это сделать?

20. 1) Монета фальшивая
Настоящие n
Фальшивые 50 - n
Настоящие 51 - n
Фальшивые n - 1
𝑛 ∙ 𝑚 + 50 − 𝑛 ∙ 𝑚 + 1 − 51 − 𝑛 ∙ 𝑚 − 𝑛 − 1 𝑚 + 1
= 𝑛𝑚 + 50𝑚 + 50 − 𝑚𝑛 − 𝑛 − 51𝑚 + 𝑛𝑚 − 𝑛𝑚 − 𝑛 + 𝑚 + 1
= 51 − 2𝑛
=
=

21. 2) Монета настоящая
Настоящие n
Фальшивые 50 - n
Настоящие 50 - n
Фальшивые n
𝑛 ∙ 𝑚 + 50 − 𝑛 ∙ 𝑚 + 1 − 50 − 𝑛 ∙ 𝑚 − 𝑛 𝑚 + 1
= 𝑛𝑚 + 50𝑚 − 𝑚𝑛 + 50 − 𝑛 − 50𝑚 + 𝑛𝑚 − 𝑛 − 𝑛𝑚 = 50 − 2𝑛
=

22. Отложим данную монету в сторону. Разделим
остальные 100 монет на две кучки по 50 монет и
сравним веса этих кучек. Если они отличаются на
четное число грамм, то интересующая нас
монета настоящая. Если же разность весов
нечетна, то монета фальшивая.

23. Пример 9
Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по
монетке: в одну — 10 коп., а в другую — 15. После этого
содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а
содержимое правой руки — на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя
складывает два получившихся произведения и называет Мише
результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в
какой руке у Пети — правой или левой — монета достоинством
в 10 коп.? Почему?

24. Пример 10
Произведение 22 целых чисел равно 1.
Докажите, что их сумма не равна нулю.

25. Пример 11
Голодный удав разлёгся вокруг камня и с голодухи
прикусил свой хвост. В это время кролик, пользуясь
беспомощностью удава, начал издеваться над ним,
перепрыгивая через лежащего удава на камень и
обратно. Но через полчаса ему это надоело, и он пошёл
домой, где с гордостью заявил, что ровно 357 раз
перепрыгнул через бедное животное. Докажите, что он
заблуждается.

26. Если нечто может находиться в двух состояниях,
причём на каждом шаге эти состояния чередуются,
то после чётного числа шагов оно будет находиться
в исходном состоянии, а после нечётного – в
противоположном.

27. Пример 12
Девять шестерёнок зацеплены по кругу:
первая со второй, вторая – с третьей, … ,
восьмая – с девятой, девятая – с первой.
Могут ли они вращаться?

28. Если нечётное число объектов стоит по
кругу, то их чередование невозможно.

29. Пример 13
Три кузнечика играют на прямой в чехарду.
Каждый раз один из них прыгает через
другого (но не через двух сразу!).
Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на
прежних местах?

30. Пример 14
Кузнечик прыгает по прямой. За один раз он
прыгает на 15 или 17 см вправо или влево.
Может ли он за 20 прыжков продвинуться на
101 см (от исходного положения)?

31. Если к какой-то величине на каждом
шаге добавляется нечётное число, то
чётность этой величины на каждом
шаге совпадает с исходной, а на
каждом нечётном отличается от
исходной.