Документ объясняет принципы математической индукции как метод доказательства утверждений о натуральных числах. Приводятся примеры применения индукции для решения задач, включая раскраску плоскости и количество рукопожатий. В конце рассматриваются ошибки в рассуждениях и дополнительная информация о методах индукции.

2. Наряду с
дедукцией, понятием, которое всем
знакомо, существует понятие индукции –
перехода от частных примеров к общим
закономерностям.
Разберѐм сегодня, что такое
математическая индукция.

3. Математическая индукция – метод
доказательства утверждений вида:
«Для
каждого натурального n верно, что…»
Такое утверждение можно рассматривать
как цепочку утверждений:
«Для n = 1 верно, что…»,
«Для n =2 верно, что…» и т. д.
Рассмотрим пример.

4. Задача.
Несколько прямых делят плоскость на
части. Доказать, что можно раскрасить еѐ в
два цвета так, чтобы соседние части имели
разный цвет (как на рисунке.)

5. Рассмотрим сначала ситуацию, когда
прямая одна. Тогда мы легко можем
раскрасить.
С двумя прямыми
получаем
четыре части.
А как быть, если мы проведем еще
одну прямую?

6. Эта прямая поделит некоторые участки, и с
обеих сторон от неѐ будут одинаковые
цвета.
Тогда
поменяем все
цвета с одной
стороны от
прямой
Новый рисунок
будет иметь уже
правильную
раскраску.

7. Аналогично мы можем добавлять еще
прямые.
Как же теперь решить задачу?
Сотрем все прямые с плоскости, но
запомним их расположение.
Затем будем восстанавливать прямые по
одной описанным способом, пока не
получим искомый рисунок.
Пришло время уточнить, что такое принцип
математической индукции.

8. База индукции – первое утверждение
цепочки. (Т. е. «Для n = 1 верно, что…»)
Оно проверяется непосредственно.
 Далее следует предположение
индукции. («Пусть для n = k утверждение
верно.»)
 Остаѐтся доказать индукционный
переход: «Если верно утверждение с
номером k, то верно и утверждение с
номером k+1. »
Тогда утверждение оказывается верным для
всех натуральных чисел.


9. Разберем еще пример.
Задача.
Несколько человек, придя на
встречу, пожали друг другу руки.
Докажите, что количество
человек, сделавших нечѐтное число
рукопожатий чѐтно .

10. Решаем индукцией по n - количеству
человек.
1. База индукции: n = 2 – верно.
(Действительно, оба сделали по одному
рукопожатию.)
2. Предположение: пусть для n = k
утверждение верно.
3. Переход: проверим утверждение для
n = k + 1.

11. Уберем из рассмотрения одного человека
и все рукопожатия с ним. Без него
утверждение выполнено по
предположению.
Рассмотрим по очереди все рукопожатия
выбранного нами человека.
Возможны три различных варианта:
1. Жмут друг другу руки два «нечѐтных»
человека. Тогда оба они становятся
«чѐтными», и количество «нечѐтных»
уменьшается на 2. (Чѐтность количества
не меняется.)

12. Аналогично при встрече двух «чѐтных»
людей.
Количество «нечѐтных» увеличивается
на 2, и его чѐтность не меняется.
3. При встрече «чѐтного» с «нечѐтным», они
меняются чѐтностью, и количество
нечѐтных не изменяется.
Тем самым чѐтность числа «нечѐтных»
людей не меняется, и мы доказали
переход.
В соответствии с принципом
математической индукции задача
доказана.
2.

13. Задача.(Все кони одного цвета.)
 База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного
(одинакового) цвета.
 Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K
лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим
K + 1 каких-то лошадей. Уберѐм одну лошадь.
Оставшиеся K лошадей одного цвета по
предположению индукции. Возвратим убранную
лошадь и уберѐм какую-то другую. Оставшиеся
K лошадей снова будут одного цвета.
Значит, все K + 1 лошадей одного цвета.
 Отсюда следует, что все лошади одного цвета.
Утверждение доказано.
Найдите ошибку в рассуждениях.

14. 1.
2.
3.
Ханойская башня.
Даны три стержня, на один из которых нанизаны
восемь колец, причем кольца отличаются
размером и лежат меньшее на большем.
Необходимо перенести пирамиду за
наименьшее число ходов на другой стержень.
За один раз разрешается переносить только
одно кольцо, причѐм нельзя класть большее
кольцо на меньшее.
Для любого натурального k докажите, что 2k > k.
Показать, что любую сумму, начиная с 8
копеек, можно уплатить монетами в 3 и 5
копеек.

15. 

16. Иногда для доказательства очередного
утверждения цепочки надо опираться на
все предыдущие утверждения. Тогда
переход звучит так: «Если верны все
утверждения с номерами от 1 до n, то
верно утверждение с номером n + 1».
 Бывает удобен индуктивный спуск – если
утверждение с номером n (n > 1) можно
свести к одному или нескольким
утверждениям с меньшими номерами и
первое утверждение верно, то все
утверждения верны.


17. А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи
«Как решают нестандартные задачи»
 А. Х. Шень «Математическая индукция»
