Dokumen ini membahas deret Taylor dan Maclaurin, termasuk definisi, rumus umum, dan contoh penggunaannya untuk menentukan pendekatan polynomial suatu fungsi. Metode ini digunakan untuk mengevaluasi fungsi dengan pendekatan berdasarkan turunan dan nilai fungsi pada titik acuan tertentu. Diberikan pula soal latihan penggunaan deret Taylor dan Maclaurin untuk memperkirakan nilai fungsi.

1. 1
HANDOUT DERET TAYLOR
PERTEMUAN 2
Topik / Pokok Bahasan : Deret Taylor dan Penggunaannya
Capaian Pembelajaran :
Menjelaskan pengertian deret Taylor, deret Maclaurin serta menggunakannya untuk
menentukan pendekatan polynomial suatu fungsi
Indikator :
1. Menjelaskan pengertian deret Taylor dan Maclaurin
2. Menggunakan deret untuk menentukan pendekatan polynomial suatu fungsi
3. Membandingkan kesalahan pemotongan deret Taylor
A. Uraian Pokok-pokok Materi Perkuliahan
DERET TAYLOR
Mengevaluasi fungsi dengan suatu pendekatan.
Diasumsikan suatu fungsi 𝑓 𝑥 dan turunannya mempunyai nilai pada titik 𝑥 𝑜.
Bentuk umum deret Taylor adalah sebagai berikut:
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 𝑜) + 𝑓′
𝑥0 (𝑥 − 𝑥0) +
1
2
𝑓′′ 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0)2
+ ... +
1
𝑛!
𝑓′′ 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0) 𝑛
+ …
atau
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝑥 − 𝑥0
𝑛!
∞
𝑛=0
Contoh:
Evaluasi fungsi 𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) dengan ekspansi deret Taylor untuk n=0 hingga 6 pada
𝑥𝑖+1 = 𝜋
3 dan 𝑥𝑖 = 𝜋
4. Petunjuk: harga eksak 𝑓 𝜋
3 = 0.5 dan h= 𝜋
3 − 𝜋
4 = 𝜋
12
Penyelesaian:
Orde n 𝒇 𝒏
(𝒙) 𝒇 𝝅
𝟑
𝑬 𝒓%
0 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 0.707106781 41.4
1 −𝑆𝑖𝑛(𝑥) 0.521986659 4.4
2 −𝐶𝑜𝑠(𝑥) 0.497754491 0.449
3 𝑆𝑖𝑛(𝑥) 0.499809147 2.62 x 10-2
4 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 0.500007551 1.51 x 10-3

2. 2
Orde n 𝒇 𝒏
(𝒙) 𝒇 𝝅
𝟑
𝑬 𝒓%
5 −𝑆𝑖𝑛(𝑥) 0.500000304 6.08 x 10-5
6 −𝐶𝑜𝑠(𝑥) 0.499999988 2.40 x 10-6
DERET MACLAURIN
Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor dengan titik x0=0.
Bentuk umum deret Mclaurin adalah:
Contoh:
Untuk f(x) = sin x diketahui nilai f’(x) = cos x, f’’(x) = - sin x, f’’’(x) = -cos x, dst….
B. Latihan / Tugas-tugas
DERET TAYLOR:
1. Carilah ekspansi fungsi-fungsi berikut dengan deret Taylor untuk 𝑥0 = 0
a. Sin x c.
1
1−𝑥
e. 𝑒−𝑥
b. 1 + 𝑥 d. Cos x
2. Gunakan deret Taylor untuk menaksir 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
pada 𝑥0 = 2 untuk tiga peristiwa
terpisah 𝑥0 = 0.5, 1.0, dan 1.5. Gunakan ekspansi dengan mengambil 1, 2, 3, ..., 6 suku
pertama dan hitunglah 𝐸𝑟 untuk setiap peristiwa.
3. Gunakan penyelesaian pada soal 1.a dan 1.b untuk mengevaluasi sin 𝜋
2 dan
cos 𝜋
2 . Tambahkan suku-suku hingga 𝐸𝑟 ≤ 10−5
.
4. Gunakan perluasan deret Taylor 1, 2, 3, dan 4 suku pertama untuk menaksir f(3) untuk
fungsi
𝑓 𝑥 = 25𝑥3
− 6𝑥2
+ 7𝑥 − 88
dengan 𝑥0 = 2. Hitunglah 𝐸𝑟 untuk setiap suku yang ditambahkan
5. Gunakan perluasan deret Taylor 1, 2, 3, dan 4 suku pertama untuk menaksir f(4) bagi
fungsi 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , dengan 𝑥0 = 2. Hitunglah 𝐸𝑟 untuk setiap suku yang ditambahkan.
 
!
)0(
!2
)0()0()0()( )(
2
n
x
f
x
fxffxf
n
n
...
1206
)(
53

xx
xxf
...
!3
0cos
.
!2
0sin
.
!1
0cos
.0sin)( 32




 xxxxf

3. 3
C. Referensi
Nakamura, Soichiro. 1991. Applied Numerical Methods with Software. Prentice-Hall
International Edition
Atkinson, Kendall. 1985. Elementary Numerical Analysis. New York: John Wiley & Sons
Web:
http://masdukiums.wordpress.com
http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/n2003/numericalundergradmod.html