H3 blm221

KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
Prof Dr Mehmet AKBABA
mehmetakbaba@karabuk.edu.tr
3. HAFTA

Temel Kavramlar
• BOOLE CEBİRİ.
• TEMEL TEOREMLER
• BOOLEAN İFADELERİNİN LOJİK
KAPILARLA GERÇEKLEŞTIRILMESİ VE
DOĞRULUK TABLOLARI
Prof. Dr. Mehmet Akbaba BLM221 226.08.2017

BOOLE CEBİRİ
• Elektronik devrelerin bir kısmını oluĢturan
anahtarlamalı sistemlerin temelini oluĢturduğu
Lojik devreler, ikili moda göre çalıĢır ve giris
/çıkıĢları ‘0’ veya ‘1’ değerlerinden birisini
alabilir. Böyle bir devre, cebirsel veya grafiksel
yöntemlerden birisi kullanılarak sadeleĢtirilebilir.
Lojik devrelerin sadeleĢtirilmesinde kullanılan
yöntemlerden birisi, temel prensiplere göre
doğruluğu kabul edilmiĢ iĢlemler, eĢitlikler ve
kanunlardan oluĢan Bool kurallarıdır.

BOOLE CEBĠRĠ
• Diğer bir deyiĢle; ‘Bool kuralları’, dijital
devrelerin sahip oldukları giriĢlerin etkilerini
açıklamak ve verilen bir lojik eĢitliği
gerçekleĢtirilecek en iyi devreyi belirlemek
amacıyla lojik ifadeleri sadeleĢtirmede
kullanılnılır.
• Bool DeğiĢkeni: Ġki adet boolean değiĢkeni
vardır. 0-1, D (doğru)-Y(yanlıĢ), H(high)-L(Low),
ON-OFF bool değiĢkenleri olarak
kullanılmaktadır. Bu derste 0-1 kullanılacaktır.

BOOLE CEBİRİ
Bool ĠĢlemleri: Bool değiĢkenlerinin dönüĢümünde
kullanılan iĢlemlerdir. Bu iĢlemler VE (AND),
VEYA(OR), DEĞĠL (NOT) iĢlemleridir.
• 3.1 VEYA (OR) ĠĢlemi:
• Matematikteki toplama iĢlemine karĢılık gelmektedir.
Elektrik devresi olarak birbirine paralel bağlı
anahtarlar ile gösterilebilir.
• ġekil 3.1.a’de VEYA (OR) iĢleminin doğruluk tablosu,
ġekil 3.1.b’ de simgesi, ve ġekil 3.1.c’ de elektrik
devre eĢdeğeri verilmiĢtir.

Prof. Dr. Mehmet Akbaba BLM221 6
A B C=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
ġekil 3.1.a: VEYA (OR) iĢleminin
doğruluk tablosu
ġekil 3.1.b: VEYA (OR) iĢleminin simgesi
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.1.c: VEYA (OR) ĠĢlemi: Elektrik devre
eĢdeğeri
OR kapısı lojik toplama iĢlemi yapar.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

3.2 VE (AND) ĠĢlemi:
Matematikteki çarpma iĢlemine karĢılık
gelmektedir. Elektrik devresi olarak birbirine seri
bağlı anahtarlar ile gösterilebilir.
ġekil 3.2.a’da VE (AND) iĢleminin doğruluk
tablosu, ġekil 3.1.b’ de simgesi, ve ġekil 3.1.c’ de
elektrik devre eĢdeğeri verilmiĢtir.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.2.a: VE (AND) iĢleminin doğruluk tablosu
ġekil 3.2.b: VE (AND) iĢleminin simgesi
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.2.c: VE (AND) iĢleminin elektrik devre
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Yukarıda iki değiĢkenli Bool iĢlemleri verilmiĢtir.
DeğiĢken sayısı arttığında da iĢlemler benzer olarak
yapılmaktadır. Üç değiĢken için VE (AND) iĢleminin
elektrik devre eĢdeğeri ġekil 3.3.a’da ve doğrurluk
tablosu ġekil 3.3.b’da verilmiĢtir.
ġekil 3.3.a: Üç değiĢkenli VE (AND) iĢleminin
elektrik devre eĢdeğeri
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.3.b: Üç değiĢkenli VE
(AND) iĢleminin doğruluk
tablaosu
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

3.4 DEĞĠL (NOT) ĠĢlemi:
A değiĢkeninin DEĞĠL’i A’ veya 𝑨 ile
gösterilir.
□ A A’
0 1 (A=0 ise A’=1)
1 0 (A=1 ise A’=0)
DEĞĠL (NOT) iĢlemleminin simgesi ġekil 3.4’de
verilmiĢtir.
ġekil 3.4: DEĞĠL (NOT) iĢlemleri verilmiĢtir
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

3. 5. BOOLEAN ĠFADELERĠNĠN LOJĠK KAPILARLA
GERÇEKLEġTIRILMESĠ VE DOĞRULUK TABLOLARI
(TRUTH TABLES)
a) AB’+C (3.1)
b) [A(C+D)]’+BE (3.2)
AĢağıdaki lojik bağıntılar lojik kapılarla kolayca
gerçekleĢtirilebilir:
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.4 :(3.1) ve (3.2) bağıntılarını gerçekleĢtiren
lojik devreler
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

A’+B bağıntısının devresi ve doğruluk tablosu
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.5 AB’+C ve (A+C)(B’+C) lojik ifadelerinin
doğruluk tablosunu göstermektedir. 3 tane
değiĢken söz konusu olduğu için doğruluk
tablosunda
23=8 kombinasyon dolayısı ile 8 satır olacaktır (n
deiğiĢkenin 2n kombinasyonu vardır).
ġekil 3.5 deki tablo aynı zamanda
AB’+C=(A+C)(B’+C) (3.3)
Lojik eĢitliğin ispatınıda vermektedir.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.6: (3.3) Lojik ifadesinin (eĢitliğinin)
doğruluk tabloları ile ispatı
BOOLE CEBĠRĠ
26.08.2017

TEMEL TEOREMLER
0 ve 1 ile iĢlem:
X+0=X (3.4) X.1=X (3.4D)
X+1=1 (3.5) X.0=0 (3.5D)
Idempotent kuralı:
X+X=X (3.6) X.X=X (3.6D)
Involution (involüsyon ) kuralı:
(X’)’=X (3.7)
Tümlerin varlığı (complementarity) kuralı:
X+X’=1 (3.8) X.X’=0 (3.8D)
Bu teoremlerde X herhangi bir bağıntı (lojik ifade) olabilir.
. Bu durumda teorem (3.5) ten:
(AB’+D)E+1=1 Ve teorem (3.8D) den:
(AB’+D)(AB’+D)’=0
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

=
Teorem A.A=A nın anahtarlama devresi karşılığı
=
=
Teorem A+A=A nın anahtarlama devresi karĢılığı
Teorem A+0=A nın anahtarla devresi karĢılığı
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Yer değiĢtitme (Commutative), BirleĢme (Associative)
ve Dağılma (Distributive) kuralları
Yer değiĢtitme (Commutative ) kuralı:
XY=YX (3.9) X+Y=Y+X (3.9D)
Yer değiĢtitme (Associative) kuralda boole ifadelerini
istediğimiz Ģekilde yazabiliriz:
(XY)Z=X(YZ)=XYZ (3.10)
(X+Y)+Z=X+(Y+Z)=X+Y+Z (3.10D)
BOOLE CEBĠRĠ
26.08.2017

©2004 Brooks/Cole
Table 2-2: Proof of Associative Law for AND
BirleĢme (Associative) kuralının doğruluk tablosu ile
ispatı
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ġekil 3.7: AND and OR için Associative kural
(kanun) (Law) devreleri
Gereksiz parantezler dereyi karmaĢık hale getiriyor.
Gereksiz parantez kullanılmamalıdır.
26.08.2017

Dağılma (Distributive) kuralı
Birinci dağılma (distributive) kuralı:
X(Y+Z)=XY+XZ
Ġkinci dağılma (distributive) kuralı:
X+YZ=(X+Y)(X+Z)
(bildiğimiz normal matematik kurallarında bu
bağıntı geçerli olmaz)
Ġspat (doğrulama) (Proof):
(X+Y)(X+Z)=X(X+Z)+Y(X+Z)=XX+XZ +YX+YZ
=X+XZ+XY +YZ=X.1+XZ+XY+YZ
=X(1+Z+Y)+YZ=X.1+YZ=X+YZ
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Bu iki dağılma (distributive) kurallar çok önemlidir ve
aĢağidaki hallerde kullanılır:
1. Boole bağıntılarının basitleĢtirilmesinde (Aynı
fonksiyonu gerçekleĢtiren iki Boole bağıntısından
basit olanı ile gerçekleĢtirilecek olan lojik devre daha
ucuz, daha hafif, daha güvenilir (reliable) daha az yer
kaplar ve bu önemli nedenlerle daha çok tercih edilir)
2. SOP (some of products = Çarpımların toplamı ve
POS (product of sums) = Toplamların çarpımı
formlarının elde edılmesinde
3. Minterm ve Maxtermlerin elde edilmesinde
2 ve 3 teki terimlerin anlamlarını, ne iĢe yaradıklarını
daha sonraki derslerimizde açıklanacaktır.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

. POS (Product Of Sums) Toplamların Çarpımı
Örnekleri:
(A + B')(C + D' + E)(A + C' + E‘)
veya
B(A+B’+C’+E)(A+D’+ E)
SOP ( Sum Of Product ) Çarpımlar ın Toplamlamı
Örnekleri:
AB’C+CD+ABD
Veya
A+CDE+ACE +D
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

XY + XY' = X (3.12)
(X + Y)(X + Y') = X (3.2D)
X + XY = X (3.13)
X(X + Y) = X (3.13D)
(X + Y')Y = XY (3.14)
XY' + Y = X + Y (3.14D)
Basitleştirme Teoremleri
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

(3.13) ün ispatı:
X+XY=X.1+XY=X(1+Y)=X.1=X
(3.13D) ın ispatı:
X(X+Y)=XX+XY=X+XY=X(1+Y)=X
(3.14D) ispatı:
Y+XY’=(Y+X)(Y+Y’)=(Y+X).1=Y+X
ĠSPATLAR
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Örnek 1: AĢağıdaki devrelerin çıkıĢında elde edilen
lojik fonksiyonları basitleĢtirin:
ġekil 3.8.a daki F=A(A’+B) ifadesi (3.14) bağıntısı
kullanılırsa F=AB. BasitleĢtirilmiĢ logic fonksiyon Ģekil
3.8.b deki basit hale dönüĢür.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Örnek 2: Z=A’BC+A’ ifadesini basitleĢtirin
Çözüm:
BC=Y ve A’=X yazasak yukarıdaki ifade Z=X+XY =X(1+Y)
olur. 1+Y=1 olduğundan Z=X.1=X olur.
Teorem (3.13) kullanılırsa
Z=X veya Z=A’ elde edilir. Veya:
A’(1+BC) 1+BD=1 Sonuç: Z=A’ olur.
Örnek 3:
Z=[A+B’C+D+EF][A+B’C+(D+EF)’] ifadesini basitleĢtirin.
Çözüm: X=A+B’C ve Y=D+EF yazılırsa
Z=[X+Y][X+Y’] =XX+XY’+XY+XY’+YY’=X+X(Y+Y’)+YY’
Z=(X+Y)(X+Y’) olur. Teorem (3.12D) uygulanırsa :
Z=X veya Z=A+B’C
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

ÖRNEK 4: Z= (AB+C)(B’D+C’E’)+(AB+C)’
Lojik Ġfadesini basitleĢtirin.
Çözüm:
X=AB+C ve Y=B’D+C’E’ yazarsak:
Z=XY+X’ =X’+XY =(X’+X)(X’+Y), X+X’=1,
Z=Y+X’ Elde edilir.
X ve Y nin ifadeleri yerlerine yazılırsa:
Z=B’D+C’E’+(AB+C)’ olur.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Örnek 5: A + B'CD ifadesini faktörlerine ayırınız (POS:
Toplamların çarpımı şeklinde yazınız)
Çözüm: Verilen Lojik ifade X + YZ Ģeklindedir. Burada
X = A, Y = B', ve Z = CD, Dolayısiyle:
A + B'CD = (X + Y)(X + Z) = (A + B')(A + CD)
A + CD ifadesi ikinci dağılım kuralı uygulanarak
faktörlerine ayrılabilir ve sonuç olarak
A + B'CD = (A + B')(A + C)(A + D) elde edilir.
SOP formunda verilen lojik ifade (fonksiyon) POS
formuna dönüştürülmüş oldu.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Örnek 6: AB' + C'D lojik ifadesini faktörlere ayırınız
(SOP formundan POS formuna dönüĢtürünüz).
ÇÖZÜM:
X + YZ = (X + Y)(X + Z) kuralını (ikinci dağılma kuralı)
arka arkaya uygulanırsa:
AB' + C'D = (AB' + C')(AB' + D)
= (A + C')(B' + C')(A + D)(B' + D)
elde edilir.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

C'D + C' E' + G' H SOP ifadesini POS formuna
dönüştürünüz. =C’(D+E’)+G’H
ÖRNEK 7:
= (C' + G'H)(D + E' + G'H)
= (C' + G')(C + H)(D + E' + G')(D + E' + H)
Çarpımların toplamını toplamların çarpımına
dönüĢtürürken birinci dağılma kuralı ikinci dağılma
kuralından önce kullanılmalıdır.
SOP=Çarpımların toplamı ifadesi her zaman birden fazla
AND kapısının sonunda tek bir OR kapısına
uygulanması ile elde edilir. OR kapısının çıkıĢı sonuçtur.
ġekil 3-9 (3-15) ve (3-16) eĢitliklerinin devresini
göstermektedir.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

F=C'D + C' E' + G' H SOP ifadesini POS formuna
dönüştürünüz.
Çözüm:
Önce birinci dağılma kuralını uygulayalım:
F=C’(D+E’)+G’H elde edilir.
Şimdi ikinci dağilma kuralını arka arkaya uygulayalım:
ÖRNEK 7:
F= (C' + G'H)(D + E' + G'H)
F= (C' + G')(C + H)(D + E' + G')(D + E' + H)
elde edilir.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Çarpımların toplamı ifadesi genel olarak bir kaç
tane VE (AND) kapılarının ortak bir VEYA (OR)
kapısının GiriĢine bağlanması ile gerçekleĢtirilir.
AĢağıdaki Ġki lojik fonksiyonun bu Ģekilde
GerçekleĢtirilmesi ġekil 3.6 da örneklenmiĢtir.
F1=AB+CD’E+AC’E’ (3.15)
F2=D’E+AB’C (3.16)
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

Şekil 3.9: (3-15) ve (3-16) lojik fonksiyonlarını gerçekleĢtiren
lojik devreler.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

26.08.2017
DE MORGAN TEOREMİ
1) TOPLAMIN TÜMLEYENİ TÜMLEYENLERİN ÇARPMINA
EŞİTTİR:
(A+B+C)’=A’.B’.C’
1) ÇARPIMIN TÜMLEYENİ TÜMLEYENLERİN TOPLAMINA
EŞİTTİR:
(A.B.C)’=A’+B’+C’

ÖRNEKLER:
a) (A+B+C)’ = A’.B’.C’
b) (AB+C)’ = (AB)’.C’ = (A’+B’).C’
c) (A.B’.C)’ = A’+B+C’
d) ((A+B).C’)’ = (A+B)’+C= A’.B’+C
e) ((AB).C+A(B+C’))’ = (ABC)’.(A(B+C’)’
=(A’+B’+C’).(A’+B’.C)
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

(XYZ ... )D = X + Y + Z + ...
Bir lojik fonksiyonun Dualı AND leri OR lar ile OR
ları AND ler ile 0 ları 1 ile ve 1 leri 0 ile yer
değiĢtirerek elde edilir. AND in dualı OR, OR un
dualı AND dir. Bu aĢağıdaki Ģekilde ifade
edilmektedir:
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017
(X+Y+Z+.......)D=XYZ........
DUAL İFADESİ

Bir lojik ifadenin dualı tüm ifadenin değilini aldıktan
sonra her bir değiĢkeninde değilini alarak bulunabilir..
Örneğin
AB’+C
Ġfadesinin dualı aĢağıdaki gibi olur.
(AB’+C)D =(A+B’)C
olur.
((A+B)C+DCE+E’)D = (AB+C).(D+C+E). E’ olur.
BOOLE CEBİRİ
26.08.2017

X Y X Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Prof. Mehmet Akbaba Digital Logic 42
Exclusive-OR ve Equivalence ĠĢlemleri
Exclusive-OR iĢlemi ( ) aĢağıdaki Ģekilde ifade edilir:
0 0=0 0 1=1 1 1=0
1 0=1
X Y nin doğrululuk tablosu aĢağıda verimiĢtir

X Y = (X + Y)(XY)' = (X + Y)(X' + Y') = X' Y + XY' (3.17)
(3.17), bağıntısıaki (X Y)' =(X’+Y’)= 1 sadece X veya Y den
birinin 1 diğerinin 0 olması durmunda gerçekleĢir.
EX-OR kapısının simgesi aĢağıda gösterilmiĢtir:

X 0=X X 1=X’
X X=0 X X’=1
X Y=Y X (commutative law)
(X Y) Z = X (Y Z)=X Y Z
(Associative law)
X(Y Z)= XY XZ (Distributive law)
AĢağıdaki teoremler EX-OR içinde geçerlidir:
(X Y)’=X Y’=X’ Y= X’Y’+XY= EX-NOR

X Y X Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ex-NOR
Doğruluk tablosu
Veya simgesi kullanılır
X Y= X Y+X’ Y’
X-NOR=Equivalance ve aĢağıdaki simgeler
kullanılır.

ÖRNEK 2: AĢağıdaki lojik eĢitliğin açık ifadesini
bulunuz
F=A’ B C=[A’B’+(A’)’B] C
=(A’B’+AB)C’+(A’B’+AB)’C
=(A’B’+AB)C’+((A+B).(A’+B’)C
=(A’B’+AB)C’+(AA’+AB’+A’B+BB’)C
=A’B’C’+ABC’+AB’C+A’BC
=(A’B’+AB)C’+(AB’+A’B)C (**)
Dikkatli bakılırsa (**) eĢitliğinin problemde
Verilen eĢitlikle aynı olduğu gözlemlenebilir.
F=A’ B C
Çözüm:

Kaynakça
• Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları
• Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
Yayınları, 4. Baskı, 2005
• Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006
• M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997

H3 blm221

More Related Content

What's hot

Similar to H3 blm221

More from karmuhtam

Recently uploaded

H3 blm221