Mantık Devreleri Ders Notları

1. 4. HAFTA
Boole Cebiri Uygulamaları
Standart Formlar
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic1
Prof. Dr. Mehmet Akbaba

2. 4.1 STANDART FORMLAR: SOP VE POS
FORMALRININ BĠRĠBĠRĠLERĠNE DÖNÜġTÜRÜLMESĠ
POS( product-of-sums) formunda verilmiĢ bir ifade,
aĢağıdaki Ģekilde çarpıp açtıktan sonra ikinci dağılma
kuralı uygulanarak SOP (sum-of-products) formuna
dönüĢtürülür.:
X(Y + Z) = XY + XZ
(X + Y)(X + Z) = X + YZ
(4-1)
(4-2)
Ayrıca aĢağıdaki teoremdende sıkça yararlanılır:
(X + Y)(X' +Z) = XZ + X'Y (4.3)
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic2

3. Ġspat:
X = 0 için (4-3) Y(1 + Z) = 0 + 1 . Y = Y
X = 1 için(4-3) (1 + Y)Z =1. Z = Z.
Bağıntı hem X = 0 ve X = 1 geçerli olduğundan her
zaman doğrudur.
Ayrıca AĢağıdaki örnek (4-3) teoreminin faktörlerin ne
kadar yaralı olduğunu göstermektedir:
AB+A'C = (A + C)(A' + B)
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic3

4. Teorem (4-3) ifadelerin kolayca çarpılıp açılmasında
kullanılır. AĢağıdaki örnek bu kavramı açıklamaktadır.
Dikkat edilmesi gereken husus teimlerin brinde X
diğerinde X’ (X in tümleyeni veya değili) olmalıdır.
(Q + AB')(CD+ Q') = QCD + Q'AB'
Dağılma kuralı yalın olarak uygulanırsa aĢağıdaki gibi 2
terim yerine 4 terim elde edilir ve ifade gereksiz olarak
uzar. Buda istenmeyen bir durumdur. Buradan (4.3)
eĢitliğinin önemi açıkça görülmektedir.
(Q + AB')(CD + Q') = QCD + QQ' + AB'CD + AB'Q'
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic4

5. Genel kural olarak gereksiz terimler üretmemek için
fonksiyonların çarpılarak açılmasında (4-3) eĢitliği (4-1)
ve (4-2) ile beraber kullanılır ve çoğunlukla (4-2) ve (4-3),
(4-1) den önce uygulanır.
ĠĢlemi hızlandırmak için aĢağıda görüldüğü gibi
guruplandırma yapılır.
[(X+A)(X+B)=X+AB, (X+A)(X’+B)=XB+X’A]
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic5

6. Sadece (4.1) kullanılsaydı 162 terim
ortaya çıkacaktı ve bunlardan 158 nin bir
Ģekilde elimine eldilmesi gerekecekti ve
buda çok içinden çıkılmaz bir durum
olacaktı.
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic6

7. = (A + B + C’DE)(A + C‘DE + D' + E)(A' + C)
=(A+B+C’DE)(A+E(1+C’E)+D’)(A’+C)
=(A+B+C’)(A+B+DE)(A+D’+E)(A’+C)
= (A + B + C’)(A + B + D)(A + B + E)(A + D' + E)(A' + C)
Prof. MehmetAkbaba Digital Logic7
Faktörlere ayırma örneği (standart POS
(toplamların çarpımı) elde edilmesi örneği)

8. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic8
Konsensus Teoremi
Kosenüs teoremi lojik ifadelerin (fonksiyonların)
basitleĢtirilmesinde kullanılan önemli bir tuldur.
Ġki formu vardır. Form 1:
XY + X' Z + YZ=XY+X’Z
YZ terimi anlamsız terimdir ve denklemden elimine
edilebilir (atılabilir) ve bu terime konsensüs terimi denir.
Form 2:
(X+Y)(X’+Z)(Y+Z)=(X+Y)(X’+Z)
Y+Z terimi konsensüs terimidir ve atılabilir.

9. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic9
Örneğin ab ve a' c terimlerinin konsesüsü bc dir.
abd ve b' de' trimlerinin konsensüs (ad)(de') = ade' dir.
ab'd ve a' bd' terimlerinin konsensüsü yoktur.
Konsensüs teoreminin ispatı:
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z (Form 1)
İspat:
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z + (X + X')YZ
= (XY + XYZ) + (X'Z + X'YZ)
= XY(1 + Z) + X'Z(1 + Y) = XY + X'Z

10. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic10
Konsensüs teoremi Boole bağıntılarından anlamsız
terimleri elimine ederek basitleĢtirilmelerine çok iĢe yarar.
Örneğin b' c termi a' b' ve ac terimlerinin
konsensüsü, ve ab terimi ac ve bc‘ terimlerinin
konsensüsüdür, ve her iki konsensüs terimleri
bağıntılardan atılabilir.
(a’b’+ac+b’c=a’b’+ac ve ac+bc’+ab=ac+bc’) AĢağıdaki
örnek bu konsepti açıklamaktadır.

11. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic11
AĢağıdaki örnekte BCD terimi hemen yokedilebir
(2. ve 4. terimlerin konsensüsü):
Form 2 konsensüs örneği:
Bazen kolayca yokedilebiecek terimleri hemen
yok etmek yararlı olmamaktadır (Fonsiyonun
minimum halini almasını engellemektedir.

12. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic12
BCD yok edilince geriye 4 terim kalır. Fakat BCD yok
edilmezse bu sefer verilen ifsdede 2. ve 4. terimler yok
edilebilir ve geriye 3 terim kalır ve fonksiyon aĢağida
görüldüğü gibi daha çok basitleĢir
(C ve C’ ve D ve D’ göz önüne alınmıĢtır.)

13. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic13
Bazen fonksiyonların minimum halini
bulmak imkasız olabilir. Böyle durumlarda
uygun konsensüs terimi veya terimleri
eklenerek fonksiyonun bazı terimleri elimine
edilerek basitleĢtirilebilir. Örneğin aĢağıdaki
bağıntıyı göz önüne alalım:
ABCD+B’CDE terimlerinin konsensüsü
ACDE. Bu terimi fonksiyona eklersek
fonksiyonun iki terimi konsensüs terimi
haline dönüĢür elimine edilebilir:
F=ABCD+B’CDE+A’B’+BCE’+ACDE

14. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic14
Bu durumda ABCD ve B‘CDE terimleri
konsensüs terimleri olur. Bu terimler yok
edildiğinde fonksiyon aĢağıda görüldüğü gibi 4
terimden 3 terime basitleĢtirilmiĢ olur.
ACDE terimi artık gereksiz bir terim değil ve
sonuç fonksiyonun bir parçası olarak kalacaktır.

15. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic15
Boole ifadelerinin Cebirsel Olarak
BasitleĢtirilmesi:
AĢağıdaki adımlar uygulanır:
a) Terimler birleĢtirilir (XY+XY’=X veya
X(Y+Y’)=X)
b) Terimler eliminate (X+XY=X veya (1+Y)=1) ve
mümkün olan yerde konsensüs teoremi uygulanır
( XY+X’Z+YZ=XY+X’Z)
c) Literaller elimine edilir. (X+X’Y=X+Y)
[XX+X’Y=(X+Y)(X+X’)=X+Y]
d) Etkisiz terimler ilave edilir. xx’ ilave edilir veya
(x+x’) ile çarpılır veya xy+x’z terimine yz ilave
edilir veya (x+y)(x’+z) terimi (y+z) ile çarpılır.
(konsensüs teoremi)

16. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic16
1. Terimler birleştirilir. XY + XY' = X teoremi
kullanılır. Örnek:
BaĢka bir örnek:
ab’c+abc+a’bc=ab’c+abc+abc+a’bc=ac+bc
(=ac( b’+b )+bc( a+a’ )=ac+bc)

17. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic17
X ve Y yalın literaller olma yerine birer bağımsız ifadede
olabilirler. Bu durmdada konsensüs teoremi aynen
uygulanabilir. AĢağıdaki örnek bu kavramı
açıklamaktadır:
2. Terimler kosensüs Teoremi kullanılarak
Elimine edilir. X + XY = X ve konsensüs teoremi
kullanılarak gereksiz termler elimine edilir.
XY + X' Z + YZ = XY + X' Z
=(d+e’)[ (a+bc) +a’(b’+c’) ]=d+e’
[x(y+y’)=x]

18. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic18
a’b c’ +b c d + a’bd =a’bc’+bcd
(Konsensüs teoremi)
ÖRNEK:

19. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic19
3. Literaller Elimine edilir. Bunun için
X + X' Y = X + Y teoremi kullanılır.
ÖRNEK:
(B+B’C’D’=B+C’D)
[(bb+b’c’d)=(b+c’d)(b+b’)=b+c’d]

20. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic20
4. Etkisiz terimler ilave edilmesi. İşe yaramayan
(Redundant) terimler değiĢik Ģekillerde örneğin xx‘
ekleme, veya (x + x') terimi ile çarpma, veya yz terimini
xy + x‘z terimine ekleme veya xy terimini x terimine
ekleme gibi.
Örnek:

21. Prof. MehmetAkbaba Digital Logicnsensus term)
AĢağıdaki örnek sözü edilen 4 metodu içinde
barındırmaktadır:
(consensus term)

22. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic22
Eğer fonksiyon SOP yerine POS (product-of-sums)
formmuna getirilmesi isteniyorsa teoremlerin dualı
kullanılır.
Burada aĢağıdaki bağıntılar kullanıldı:
(x+y’)(x+y)=x (x=A’+B’) (bu terim xy+xy’=x
ifadesinin dualıdır.)

23. 8/26/2017Prof. M.Akbaba Digital Logic23
NAND ve NOR kapıları (NAND and NOR Gates)
Ünite 3 de lojik devreleri AND, OR, and NOT, Exclusive-OR (EX-
OR) ve EX-NOR (equivalence) kapıları ile gerçekleĢtirilmesini
gördük. Bu bölümde NAND (VE-DEĞĠL) ve NOR (VEYA-DEĞĠL)
kapılarını iĢleyeceğiz. NAND ve NOR kapıları tasarımcılar
tarafından sıkça tercih edilen kapılardır. Bunun nedeni bu
kapıların AND ve OR kapılarına göre daha hızlı çalıĢmaları
yapıları daha az elemandan oluĢmasıdır. Daha sonra
göreceğimiz gibi lojik ideleri gerçekleĢtiren devreler sadece
NAND kapıları veya sadece NOR kapıları ile gerçekleĢtirilebilir.
NAND kapısı AND kapısının tümleyeni, NOR kapısıda OR
kapısının tümleyenidir.
NAND KAPISININ ÇALIġMASI
NAND kapısının çalıĢma prensibi aĢağıda açıklanmaktadır.

24. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic24

25. 8/26/2017Prof. M.Akbaba Digital Logic25
ġekil 4.8(a) üç giriĢli NAND kapısını göstermektedir.
ÇıkıĢtaki küçük daire (veya "bubble") tümleyen (tersi)
alma iĢlemini göstermektedir. O halde AND kapısının
çıkıĢına NOT kapısı ilave edilerek NAND kapısı elde edilir.
Buda NAND kapısının AND-NOT kapısına eĢit olduğunu
gösterir.
NAND kapısı AND+NOT kapısına eĢit olduğuna göre,
örneğin üç giriĢli bir NAND kapısının çıkıĢı aĢağıdaki gibi
olur:
F=(ABC)’=A’+B’+C’. O halde NAND kapısının çıkıĢı giriĢ
değiĢkenlerinin tümleyenlerinin toplamına eĢittir.

26. Şekil 4-8: NAND kapısı
8/26/201726 Prof. M.Akbaba Digital Logic

27. 8/26/2017Prof. M.Akbaba Digital Logic27
AĢağıdaki Ģekil NOR kapısının simgesini göstermektedir.
ÇıkıĢtaki küçük daire (buble) tümleyen iĢlemini
göstermektedir. O halde NOR kapısı OR kapısının çıkıĢına
NOT kapısı eklemeye eĢdeğerdir (OR-NOT). NOR kapısı
baĢta söylendiği gibi tasarımcılar tarafından çokça tercih
edilen kapılardandır. NOR kapısının çıkıĢı OR kapısının
çıkıĢının tümleyenine eĢittir ve burdan bu kapının
çıkıĢının giriĢ değiĢkenlerinin tümleyenlerinin çarpımına
eĢit olduğu sonucu çıkar. AĢağıdaki Ģekil bu tanımı
göstermektedir.
NOR KAPISININ ÇALIġMASI

28. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic28
OR+NOT equivalent of NOR gate
NOR kapısının OR+NOT kapıları eĢdeğeri
(A+B+C)’=A’B’C’

29. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic29

30. Prof. MehmetAkbaba Digital Logic30

31. REFEENCES»
8/26/2017
• 1. Prof. M. Akbaba Mantık Devreleri
Notları
• 2. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri,
Değişim Yayınları, 4. Baskı, 2005
• 3 .Thomas L. Floyd, Digital
Fundamentals, Prentice-Hall Inc. New
Jersey, 2006
• 4 .M. Morris Mano, Michael D. Ciletti,
Digital Design, Prentice-Hall, Inc.,New
Jersey, 1997