Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập website tuituhoc.com để tải nhé :)

1. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
Trong các ph n trư c chúng ta ñã ñi xét m t s d ng h mà có ñư ng l i gi i t ng quát.
Trong ph n này chúng ta ñi xét m t s h mà không có ñư ng l i gi i t ng quát. ð tìm
l i gi i c a nh ng h này
1. Phương pháp th :
N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a
h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào
phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a
vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách
bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau.
• N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n
ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n.
• V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm
này ta s ñư c h v phương trình m t n t.
• Phương trình f (x; y) = f (y;x) luôn có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích
vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y)g(x; y) = 0 .
• Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai phương trình thì ta có th
ñ t t = u(x) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán.
 x 3 y = 16

Ví d 1: Gi i h phương trình: 
3x + y = 8

(1)
(2)
.
Gi i :
Ta th y (2) là m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n này qua n kia.
T phương trình (2) ⇒ y = 8 − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c:
x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔ x = 2
V y h có nghi m là x = y = 2 .
Chú ý : cách gi i trên ta th y h có nghi m duy nh t x = y = 2 , ñ ng th i t hai
phương trình ta có nh n xét x, y > 0 và phương trình (2) VT là 3x + y , phương trình
(1) có tích x 3 y . ði u này g i cho chúng ta liên tư ng ñ n BðT Cauchy. Ta có cách
gi i khác như sau:
Ta th y n u h có nghi m (x;y) thì x, y > 0 .
Áp d ng bñt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 4 x 3 y = 8 . ð ng th c x y ra
⇔ x = y = 2 . Th l i ta th y th a mãn.
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
1

2. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
(
 y(1 + x 2 ) = x 1 + y 2

Ví d 2:Gi i h phương trình: 
 x 2 + 3y 2 = 1

http://www.toanthpt.net
)
(1)
.
(2)
Gi i:
D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , do ñó ta bi n ñ i phương trình (1) c a
h ra th a s (x − y) .
x = y
.
Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔ 
xy = 1

1
* x = y ⇒ 4x 2 = 1 ⇔ x = ± .
2
1
* x = ⇒ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m.
y
1
V y nghi m c a h là: x = y = ± .
2
1
1

(1)
x − x = y − y
.
Ví d 3: Gi i h phương trình: 
2y = x 3 + 1
(2)

Gi i: xy ≠ 0
x = y
x−y
1
Ta có (1) ⇔ x − y +
= 0 ⇔ (x − y)(1 + ) = 0 ⇔ 
.
y = − 1
xy
xy

x
* x = y thay vào (2), ta ñư c:
−1 ± 5
.
2
1
1
1
3
* y = − thay vào (2), ta ñư c: x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 2 − ) + (x + ) 2 + = 0 vô
x
2
2
2
nghi m.
−1 ± 5
V y h ñã cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y =
.
2
x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1;x =
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
2

3. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
 x+y=3x+y

Ví d 4: Gi i các h phương trình sau: 
.
3 x − y − 12
 x−y=

x + y ≥ 0
Gi i: ðK: 
.
x−y≥0

Ta th y m i phương trình c a h là phương trình m t n x + y và x − y . Do ñó ñi u
mà chúng ta nghĩ t i là ñi gi i t ng phương trình tìm x + y và x − y , khi ñó ta có ñư c
h phương trình m i ñơn gi n hơn nhi u.
ð ñơn gi n v m t hình th c ta ñ t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ 0 ta có h :
2
 3
 a =3a
a = 0 V a = 1

a = a
⇔
⇔
.

3
2
3
b=4

 b = b − 12
b = (b − 12)


a = 0
x + y = 0 x = 2
*V i 
⇔
⇔
b = 4  x − y = 4  y = −2
5

x=

a = 1
x + y = 1

2
⇔
⇔
*V i 
b = 4  x − y = 4  y = − 3


2
5 3
V y nghi m c a h là: (x; y) = (2; −2), ( ; − ) .
2 2
 x+y − x−y=2

Ví d 4: Gi i h phương trình: 
 x 2 + y2 + x 2 − y2 = 4

(1)
.
(2)
Gi i: ðK : x ≥| y |
Vì (1) trong căn ch ch a lũy th a b c 1 ñ i v i x,y còn (2) thì trong căn ch a lũy th a
b c 2 ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên là ta s bình phương hai v phương trình (1) ñ
ñưa v hai phương trình ñ ng b c.
T (1) ⇒ x + y > x − y ⇒ y > 0 .
2≤x≤6
x − x 2 − y2 = 2
 x 2 − y2 = x − 2 
 2


H ⇔
⇔
⇔  x − y 2 = (2 − x)2
 x 2 + y2 = 4 − x 2 − y2
 x 2 + y2 = 6 − x
 2
2
2


 x + y = (6 − x)
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
3

4. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
2 ≤ x ≤ 6
2 ≤ x ≤ 6
5

 2
 2
x =
2
2
2
2 .
⇔ 2x = (2 − x) + (6 − x) ⇔ 2x = 40 − 16x + 2x ⇔ 
 2
 2
y = 6
2
2

 x + y = (6 − x)
 y = 36 − 12x
5
V y nghi m c a h ñã cho là: ( ; 6) .
2
 x 2 + 1 + y(y + x) = 4y

Ví d 6: Gi i h phương trình: 
2
(x + 1)(y + x − 2) = y

Gi i:
ð t a = x + y t (1) ⇒ x 2 + 1 = y(4 − a) th vào (2), ta có:
(1)
.
(2)
y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a 2 − 6a + 9) = 0 ⇔ y = 0; a = 3
* V i y = 0 thay vào (1) ta th y h vô nghi m.
* V i a = 3 ⇔ x + y = 3 thay vào h ta có:
x = 1 ⇒ y = 2
x2 + 1 = y = 3 − x ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔ 
.
x = −2 ⇒ y = 5

V y h ñã cho có hai c p nghi m: (x; y) = (1;2), (−2;5) .
 x 3 − 8x = y3 + 2y

Ví d 7: Gi i h phương trình: 
2
2
 x − 3 = 3(y + 1)

(1)
.
(2)
Gi i:
Cách 1: T (2) ⇒ x 2 = 3(y 2 + 2) (3) thay vào (1) ta ñư c :
x = 0
x2
3
2
2
2
.
⇔ x(3x − xy − 24) = 0 ⇔ 
x − 8x = y(y + 2) = y
 y = 3x − 24
3


x
2
* V i x = 0 thay vào (3) ta có: y + 2 = 0 vô nghi m.
2
 3x 2 − 24 
3x 2 − 24
2
*V i y=
thay vào (3) ta ñư c: x = 3 
 +6


x
x


 x = ±3 ⇒ y = ±1
x2 = 9
⇔ 13x 4 − 213x 2 + 864 = 0 ⇔  2 96 ⇔ 
.
 x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78
x =


13
13
13


Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
4

5. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
96
78
;∓
).
14
13
Cách 2: Ta th y x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành
V y h có b n c p nghi m: (x; y) = (±3; ±1), (±
 x 3 − 8x = t 3 x 3 + 2tx
 x 2 (1 − t 3 ) = 2t + 8
1 − t3 t + 4


⇔
⇒
=
 2
3
1 − 3t 2
x − 3 = 3(t 2 x 2 + 1)
x 2 (1 − 3t 2 ) = 6




 1
t = 3
3
2
2
⇔ 3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔ 
.
1
t = −


4
2
2
 x (1 − 3t ) = 6
 x = ±3
1 
* t= ⇒
⇔
.
x
y = ±1
3 y =

3


4 78
x = ±
1 
13
.
* t=− ⇒
4 
78
 y = ∓ 13

| x 2 − 2x | + y = 1

Ví d 8: Gi i h phương trình: 
2
 x + | y |= 1

(1)
.
(2)
Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 .
Ta xét các trư ng h p sau
* y ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ x 2 + y = 1 ⇔ y = 1 − x 2 thay vào (2) ta ñư c:
| x 2 − 2x | +1 − x 2 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= x 2 ⇔ x 2 (x − 2)2 = x 4 ⇔ x 2 (−4x + 4) = 0
x = 0 ⇒ y = 1
⇔
x = 1 ⇒ y = 0
* y < 0 ⇒ (1) ⇔ y = x 2 − 1 thay vào (2) ta có:
| x 2 − 2x | + x 2 − 1 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= 2 − x 2 ⇔ x 3 − 2x 2 + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 1) = 0
x = 1
⇔
.
x = 1 − 5 ⇒ y = 1 − 5


2
2
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
5

6. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
V y h có ba c p nghi m (x; y) = (0;1), (1;0), (
http://www.toanthpt.net
1− 5 1− 5
;
).
2
2
2xy
 2
2
x + y + x + y = 1
Ví d 9: Gi i h phương trình: 
 x + y = x2 − y

(1)
.
(2)
Gi i: ðK : x + y > 0
Ta có: (1) ⇔ x 2 + y 2 +
(x + y)2 − (x 2 + y 2 )
−1= 0 .
x+y
(x 2 + y 2 )(x + y) − (x 2 + y 2 )
x 2 + y2
⇔
+ x + y − 1 = 0 ⇔ (x + y − 1)(
+ 1) = 0 .
x+y
x+y
x 2 + y2
⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ y = 1 − x ( Do
> 0 ) Thay vào (2), ta ñư c:
x+y
x = 1 ⇒ y = 0
x 2 − (1 − x) = 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ 
.
x = −2 ⇒ y = 3

V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (1;0), (−2;3) .
 7x + y + 2x + y = 5

Ví d 10: Gi i h phương trình: 
(HSG Qu c Gia – 2001).
 2x + y + x − y = 2

Gi i:
8x + t = (3 − t) 2
 7x + y = 3 − t



Cách 1: ð t t = y − x ⇔ y = x + t ta có h : 
⇔ 3x + t = (2 + t) 2
 2x + y = 2 + t
−2 ≤ t ≤ 3



2
2
2
3t − 8t = 3(3 − t) − 8(2 + t)
 t + 9t + 1 = 0
−9 + 77


.
⇒
⇔
⇔t=
2
−2 ≤ t ≤ 3
−2 ≤ t ≤ 3



(t + 2) 2 − t
x=
= 10 − 77


3
là nghi m c a h ñã cho.
⇒
11 − 77
y = t + x =


2
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
6

7. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
u + v = 5
Cách 2: ð t u = 7x + y, v = 2x + y . H tr thành: 
.
v=2+ y−x

5−x
(Do u + v = 5 ).
M t khác u 2 − v 2 = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒ v =
2
5−x
1+ x
1+ x 5 − x
T ñó ⇒
=2+ y−x⇒y=
thay vào h ta có ñư c: 2x +
=
2
2
2
2
x ≤ 5
x ≤ 5
11 − 77


⇔
⇔ 2
⇔ x = 10 − 77 ⇒ y =
.
2
2
10x + 2 = (5 − x)
 x − 20x + 23 = 0


 x = 10 − 77

Thay vào h ta th y th a mãn. V y h ñã cho có nghi m 
11 − 77 .
y=


2
1

3x (1 +
)=2

x+y

Ví d 11: Gi i h phương trình: 
(HSG Qu c Gia – 1996 ).
1
 7y(1 −
)=4 2

x+y

Gi i: ðK : x, y ≥ 0 . Vì x=0 hay y=0 không là nghi m c a h nên ta có:
1

1+
 x+y=

H ⇔
1 − 1 =

 x+y

1
2 2
+
1 =
3x
7y

⇔
4 2
 1 = 1 −2 2
x + y
7y
3x
7y

2
3x
(1)
. Nhân (1) v i (2) ta ñư c:
(2)
1
1
2 2
1
2 2
1
8
)(
)=
=(
−
−
−
⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x)
x+y
3x 7y
3x
7y
3x
7y
⇔ 24x 2 + 38xy − 7y 2 = 0 ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = 0 ⇔ y = 6x (Do x, y > 0 )
1
2
11 + 4 7
22 + 8 7
+
⇔x=
⇒ y = 6x =
21
7
3x
7x
Th l i h ta th y th a mãn.

11 + 4 7
x =

21
.
V y h có c p nghi m duy nh t 
22 + 8 7
y =

7

Thay vào (1) ta có: 1 =
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
7

8. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
 x 3 + 3xy 2 = −49

Ví d 12: Gi i h phương trình: 
2
2
 x − 8xy + y = 8y − 17x

http://www.toanthpt.net
(1)
(HSG QG – 2004 ) .
(2)
Gi i:
Cách 1: Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a h nên
x 3 + 49
2
T (1) ⇒ y = −
(*) th vào phương trình (2) ta ñư c:
3x
x 3 + 49
2
x − 8xy −
= 8y − 17 ⇔ 24y(x 2 + x) = 2x 3 + 51x 2 − 49
3x
 x = −1
2
2
⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔ 
 y = 2x + 49x − 49


24x
* x = −1 th vào (*) ⇒ y = ±4 .
2x 2 + 49x − 49
* y=
th vào (*), ta có:
24x
2
x 3 + 49  2x 2 + 49x − 49 
3
2
2
−
=
 ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49)


3x
24x


Bi n ñ i rút g n ta ñư c:
4x 4 + 4x 3 + 45x 2 + 94x + 49 = 0 ⇔ (x + 1)2 (4x 2 − 4x + 49) = 0 ⇔ x = −1 .
V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (−1; ±4) .
Cách 2: Nhân phương trình (2) v i 3 r i c ng v i (1) theo t ng v ta ñư c:
x 3 + 3x 2 + 3xy 2 − 24xy + 3y 2 = 24y − 51x − 49
⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 + 3y 2 (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = 0
(
)
⇔ (x + 1) (x + 1) 2 + 3y 2 − 24y + 48 = 0 ⇔ x = −1.
Th x = −1 vào phương trình (1) ta có: y 2 = 16 ⇔ y = ±4 .
V y h có hai c p nghi m (x; y) = (−1; ±2) .
Cách 3: Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành:
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
8

9. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507
http://www.toanthpt.net
−49
−49
−49
 3
 x = 1 + 3t 2 = 49 + 3(t 2 − 16) = 49 + 3a
 x (1 + 3t ) = −49


⇔
 2
2
8t − 17
b
 x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17)  x = 8t − 17 =

=

t 2 − 8t + 1 (t 2 − 16) − (8t − 17) a − b

(Trong ñó ta ñã ñ t: a = t 2 − 16; b = 8t − 17 ).
3
⇒
2
(
)
b3
−49
=
⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3a = 0
3
49 + 3a (a − b)
(
)
⇔ a  49 b 2 − b(a − b) + (a − b) 2 + 3 = 0 ⇔ a = 0 ⇔ t 2 = 16 .


2
Th t = 16 vào h ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 .
Bài t p: Gi i các h phương trình sau:
3 x − y = x − y
3 x − y = x − y
 2x + y + 1 − x + y = 1



2) 
1) 
3) 
3x + 2y = 4
x + y = x + y + 2
 x + 4 − 1 − y = 1 − 2x



1
1
x 3

 x 2
 x 3 y = 16

x − x = y − y
( y ) + ( y ) = 12
7) 
5) 
6) 
3x + y = 8

2y = x 3 + 1
(xy)2 + xy = 6


 2 1 x
 2x
2y
 x+ y + x− y =2
 x + y2 + y = 3
+
=3



8)  y
9) 
10) 
x
 y + x − y − x =1
 x − y + xy = 3
x + x + 1 = 3



y y

3
85

2
2
2
2
4xy + 4(x + y ) + (x + y) 2 = 3
 x − xy + y = 3(x − y)


12) 
11) 
2
2
2
 x + xy + y = 7(x − y)
2x + 1 = 13


x+y 3

x 2 + y2 = 1
 x 2 + y 2 + xy = 1
 x 3 + y3 − xy 2 = 1



14) 
15) 
13)  3
1
3
3
3
4
4
4x + y = 4x + y
 x + y = x + 3y
3x − y = x + y



 x 2 + y2 + x + y − 4 = 0

16) 
2
2
2x + xy − y − 5x + y + 2 = 0

Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
9