Cinemàtica per 1r de batxillerat. MRU. MRUA. Circular. Parabòlic. Vectors

1. ESTUDI DELS MOVIMENTS

2. 1- CONCEPTE DE MOVIMENT 2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) 3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) 3.1- Moviment vertical dels cossos 4-COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS 4.1- Composició de dos MRU perpendiculars 4.2- Moviment parabòlic 5-MOVIMENT CIRCULAR 5.1--Moviment circular uniforme (MCU) 5.2--Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

3. Sistema de referència: un punt o un conjunt de punts respecte dels quals descrivim el moviment d’un cos. Un objecte està en moviment respecte un sistema de referència determinat quan la seva posició respecte d’aquest sistema varia amb el temps; en cas contrari, diem que està en repòs. El moviment és relatiu , ja que l’estat de moviment o de repòs d’un cos depèn del sistema de referència adoptat. No existeix el moviment absolut. 1-CONCEPTE DE MOVIMENT

4. Posició O= Origen: punt de referència. Punt on diem x=0 X=0 X 0 =2 X 0 =- 6 X 0 =5 X 0 =-7 X=8 X=2 X=- 3 X=- 3 x 0 = Posició inicial: posició del mòbil respecte l’origen inicialment x= Posició: posició del mòbil respecte l’origen en un instant t Posició X=0 X=0 X=0

5. Un vector és un segment orientat. A més d’ indicar una quantitat (el mòdul), cal precisar la seva direcció i sentit. Sentit Mòdul Direcció Vector  Mòdul és la longitud del vector.  Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva inclinació.  Sentit , indicat per la fletxa.  Punt d’aplicació , punt on comença el vector

6. Desplaçament X 0 =2 X 0 =-6 X 0 =5 X 0 =-7 X=8 X=2 X=-3 X=-3  x = Desplaçament: (vector) Posició final menys posició inicial Desplaçament positiu: ∆x>0 es mou cap a la dreta Desplaçament negatiu: ∆x<0 es mou cap a l’esquerra  x= 8-2 = 6 cm >0  x= 2-(-6) = 8cm >0  x= -3-5= -8 cm < 0  x= -3-(-7)= 4 cm > 0

7. Trajectòria, desplaçament i espai recorregut Trajectòria: línia de punts per on passa el mòbil Espai recorregut, s: distància recorreguda sobre la trajectòria  x = Desplaçament: vector que va des de la posició inicial a la final Posició inicial x 0 posició final x  x s s  x  x ≠ s  x = s

8. Lineal o unidimensional El vector desplaçament (en vermell) coincideix en direcció amb la trajectòria en un moviment lineal. Pla o bidimensional Espaial o tridimensional El vector desplaçament (en vermell) no coincideix amb la trajectòria.  r El vector desplaçament tampoc coincideix amb la trajectòria.  r -> Trajectòria i vector desplaçament ∆ x x 0 = posició inicial x= posició final trajectòria trajectòria desplaçament desplaçament s, espai s O O X Y O Z Y X

9. La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció) x= x 0 + v (t - t 0 ) ∆ x= desplaçament, x 0 = posició inicial 2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) x= x 0 + v t Quan t o =0  x= v · t

10. Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància de dos metres respecte l’ origen de coordenades i porta una velocitat constant de 5 m/s. x = x 0 + v ⋅ t -> x = 2 + 5 t La gràfica x - t és una línia recta que talla a l’eix d’ ordenades en la posició inicial ( x 0 ). La gràfica v - t és una línia horitzontal, paral·lela a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades en el valor de la velocitat del mòbil. Representació gràfica del MRU a partir de l’equació

11. Valor de la posició inicial x 0 = 92,5 m Per trobar la velocitat, ens fixem en els valors de temps i posició ( t, x ) de dos punts de la línia i apliquem l’expressió de la velocitat: L’equació del MRU corresponent a la gràfica és: x = x 0 + v t -> Pendent de la recta. Inclinació Equació d’un MRU a partir de la gràfica x = 92,5 − 6,25 ⋅ t x 2 – x 1 t 2 – t 1 10 – 2 30 – 80 = – 6,25 m/s = v =

12. Sabadell Barcelona 20 km v = 10 m/s v = -8 m/s 1. Elegim un origen del sistema de referència. x 0 = 0 m x 0 = 20 000 m 2. Elegim un origen de temps t o = 0 t o = 600 s 3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor x = 10 t x = 20 000 – 8 ( t -600) 10 t = 20 000 – 8 ( t -600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s 1377,8 s = 23 min 4. La posició a la que es troben és x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min Moviment de 2 mòbils x= x 0 + v (t - t 0 ) Joan Pere Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu

13. El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on la trajectòria és una línea recta i l’ acceleració és constant. Equació de posició Equació de velocitat Acceleració tangencial 3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció) v = v 0 + a (t - t 0 ) v = v 0 + a t Quan t o =0 Quan t o =0 v 2 = v 0 2 + 2a (x - x 0 ) x = x 0 + v 0 (t  t 0 ) + a (t  t 0 ) 2 x = x 0 + v 0 t + a t 2

14. Un mòbil es mou en línia recta des d’ un punt situat a 2 metres de l’origen amb una velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració constant de 2 m/s 2 . x = x 0 + v 0 t + 1/2 at 2 La gràfica v-t serà: x = 2 + 3 t + t 2 v = 3 + 2 t v = v 0 + at Representació gràfica del MRUA

15. Representació gràfica del MRUA

16. En ambdós casos, l’acceleració “ g ” és de -9,8 m/s 2 . MRUA Quan baixa , la seva velocitat és cada cop més negativa, es a dir, el seu mòdul augmenta, però el seu signe és negatiu, ja que el mòbil va cap avall. v 0 < 0 v 0 > 0 v f = 0 Quan llancem un cos cap amunt , la seva velocitat disminueix en mòdul fins que es fa zero. Equacions del moviment de caiguda lliure: 3.1-Moviment vertical dels cossos v= v o - 9’8 (t – t 0 ) Quan t o =0 v= v o - 9’8 t Quan t o =0 v 2 = v 0 2 - 2 · 9’8 (y - y 0 ) y = y 0 + v 0 (t - t 0 ) - 9’8 (t - t 0 ) 2 y = y 0 + v 0 t - 9’8 t 2

17. 3.1-Moviment vertical dels cossos

18. Moviments en dues dimensions. Són moviments compostos i són la combinació de 2 o més moviments simples. Cal distingir els moviments simples components, i veure de quin tipus són (MRU o MRUA). Aplicar a cada moviment les seves equacions. Obtenir les equacions del moviment compost Cal treballar amb vectors : 4- COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS Un vector és un segment orientat que consta dels següents elements:  Mòdul és la longitud del vector, es a dir, del segment AB. Es denota per o v. Es denomina vector unitari al que té mòdul 1.  Direcció és la de la recta r que conté el vector. Indica la seva inclinació.  Sentit , indicat per la fletxa. (des d’A fins a B)  Punt d’aplicació , punt on comença el vector

19. Si projectem el vector sobre cada eix, obtindrem els vectors els quals es poden expressar com el producte d’un nombre real pel vector unitari corresponent. Mòdul a) Vectors en dues dimensions Els vectors són vectors unitaris (de mòdul unitat), la seva direcció és la dels eixos de coordenades X i Y, i amb sentit positiu. 09 x y O(0, 0) a b 

20. b) Vectors en tres dimensions a b c    x y z

21. P 1 P 2 El vector posició d’un mòbil, és el vector amb origen en O i extrem en P 0 . El vector desplaçament, entre dos punts P 0 i P 1 és el vector amb origen en P 0 i extrem en P 1 . | | Si la trajectòria és una recta: Trajectòria: Corba que ens indica els punts per on passa un mòbil. ∆ S : Distància recorreguda pel mòbil sobre la trajectòria. c) Trajectòria, posició i desplaçament = Es representa per X Y

22. Una barca que pretén creuar un riu perpendicularment a la riba. El moviment real de la barca està compost per: MRU perpendicular a la riba, a causa de l’esforç del remer MRU paral.lel a la riba, degut al corrent del riu Vector velocitat Vector posició Trajectòria x= v x t y= v y t 4.1- Composició de 2 MRU perpendiculars

23. Una pilota de futbol llançada cap a la porteria. La trajectòria és parabòlica. El moviment està compost per dos moviments simples: MRU horitzontal de velocitat v x constant MRUA vertical amb velocitat inicial v 0y cap amunt V oX = V 0 . cos  V 0Y = V 0 . sin  Equació de la velocitat v x =v ox = constant v y = v oy - g (t – t 0 ) Inicialment 4.2- Moviment parabòlic  V 0Y V 0X V 0

24. Equació de la posició x= x o + v 0x (t – t 0 ) MRU MRUA  Temps de moviment: Temps total que el mòbil està en moviment. Quan el mòbil arriba a terra. y=0  Abast: Distància horitzontal que recorre el mòbil. Substituïm el temps de moviment en l’equació de x  Alçada màxima: v y =0 4.2- Moviment parabòlic Trobem t i el substituïm en l’equació de y X V 0 Y abast r y 0 V alçada màxima V 0x V 0y y = y 0 + v 0y (t - t 0 ) - g (t - t 0 ) 2

25. 4.2- Moviment parabòlic Descomposició del vector velocitat en el tir parabòlic

26. 4.2- Moviment parabòlic

27. Vector velocitat mitjana: quocient entre el vector desplaçament i l’interval de temps transcorregut Vector velocitat instantània: és el vector al qual tendeix el vector velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t  0 (velocitat en un instant determinat) d) Velocitat mitjana i velocitat instantània =  t quan  t  0

28. Vector acceleració mitjana: quocient entre el vector velocitat instantània i l’interval de temps transcorregut entre dos punts de la trajectòria. Vector acceleració instantània: és el vector al qual tendeix el vector acceleració mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t  0 (acceleració en un instant determinat) e) Acceleració mitjana i acceleració instantània = =  t - t 2 - t 1 =  t quan  t  0 A A X Y X Y    B

29. Quan un conductor d’un automòbil agafa un revolt, el vector velocitat canvia de direcció en cada instant, i quan prem l’accelerador, canvia el mòdul de la velocitat. En tot dos casos, si canvia la direcció o el mòdul de la velocitat, hi ha una acceleració. f) Components intrínseques de l’acceleració

30. A qualsevol punt de la trajectòria se li pot associar un sistema de referència format per un eix tangent a la trajectòria, i un altre de perpendicular a la trajectòria. Definim el vector unitari , de direcció tangent a la trajectòria, i el vector unitari , de direcció normal a la trajectòria. El vector acceleració instantània es pot descompondre, en aquest sistema de referència, en dues components intrínseques: una tangencial i una normal . f) Components intrínseques de l’acceleració x y

31. Component tangencial, a t : expressa la variació del mòdul de la velocitat. El seu valor és: quan ∆t  0 Component normal, a n : expressa la variació de la direcció de la velocitat. El seu valor és: v: mòdul de la velocitat R: radi de curvatura de la trajectòria Pot ser positiva o negativa. Sempre positiva Un mòbil té acceleració si varia com a mínim algun factor (mòdul o direcció) del vector velocitat f) Components intrínseques de l’acceleració

32. Component tangencial, a t : Variació del mòdul de la velocitat. Component normal, a n : expressa la variació de la direcció de la velocitat. El seu valor és: f) Components intrínseques de l’acceleració L’acceleració normal o centrípeta té la direcció del radi de curvatura i sentit cap al centre del revolt.

33. f) Components intrínseques de l’acceleració

34. f) Components intrínseques de l’acceleració

35. Un moviment és circular quan la trajectòria d’un mòbil és una circumferència. Quan el disc gira un angle  (es llegeix «fi»), els tres punts A, B i C es desplacen fins les posicions A', B' i C'. r = radi  φ = angle  s =arc Quan l’angle recorregut es mesura en radiants , la relació entre l’angle (  ϕ ) i l’espai lineal (  s ) que descriu el mòbil és: arc = angle ⋅ radi 5- MOVIMENT CIRCULAR  s =  ϕ ⋅ r    φ  s A B C A’ B’ C’

36. 5-Velocitat angular Velocitat angular mitjana,  m : quocient entre l’angle girat, ∆  , i el temps recorregut. (rad/s) Velocitat angular instantània,  : velocitat angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s) Quan ∆t  0

37. ∆ s= longitud d’arc ∆  = angle (en radiants) Quan la roda d’una bicicleta gira amb MCU, tots els punts del radi tenen la mateixa velocitat angular , ja que recorren angles igual en el mateix temps. Però com més allunyat del centre és el punt, més gran la distància que recorre, i en conseqüència, major la seva velocitat lineal. 5-Relació entre velocitat angular i velocitat lineal

38. Acceleració angular mitjana,  m : quocient entre la variació de la velocitat angular , ∆  , i el temps recorregut. (rad/s 2 ) Acceleració angular instantània,  : acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s 2 ) Quan ∆t  0 5-Acceleració angular Després demostrarem que:

39. Moviment en què un mòbil descriu una trajectòria circular amb velocitat angular ,  , constant. El mòdul de la velocitat lineal, és constant, però la seva direcció varia en cada instant. No hi ha acceleració tangencial, però si normal. Equació del moviment: Constant 5.1-Moviment circular uniforme (MCU)

40. El mòbil descriu una trajectòria circular amb acceleració angular ,  , constant. La direcció i el mòdul de la velocitat lineal varien en cada instant. Hi ha acceleració tangencial i normal. quan ∆t  0 Variable Constant Equació de la velocitat angular Equació del moviment  2 =  0 2 + 2  (  -  0 ) 5.1-Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)  =  0 +  0 (t  t 0 ) +  (t  t 0 ) 2

41. ∆ S (espai en metres) = ∆  ( angle en rad ) · R V (velocitat) =  (velocitat angular ) · R a t (acceleració tangencial) =  (acceleració angular) · R 6-Classificació dels moviments segons l’acceleració Moviments rectilinis a n = 0 Moviment rectilini uniforme (MRU) a t = 0 Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) a t  0 Moviments circulars a n  0 i R = cte Moviment circular uniforme (MCU) a t = 0 Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) a t = cte magnitud lineal= magnitud angular · radi

42. 6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

43. x= x 0 + v  t MRU v = v 0 + a  t x = x 0 + v 0  t + a (  t) 2 v 2 - v 0 2 = 2a  x MRUA v x =v ox = constant v y = v oy - 9’8  t Parabòlic v ox = v o. cos  v oy = v o . sin  x= x o + v ox  t MRU y = y 0 + v 0y  t - 4’9 (  t) 2 MRUA MCU  =  0 +  0  t +  (  t) 2  2 -  0 2 = 2  (  -  0 ) MCUA