1. 2. Estudiem el creixement i decreixement de la funció f(x)=x 3+3x2+1
Calculem la funció derivada que es
f'(x)=3x2+6x
Per resoldre aquesta equació podem primer simplificar-la i ens queda:
x2+2x=0
Traiem factor comú x i ens queda:
x(x+2)=0
Per tant les solucions son:
x=0 x2=0
x+2=0 x1=-2
Així ens queden tres intervals a on hem d'estudiar el signe: ]-∞,-2[, ]-2,0[ i ]0,+∞[
Agafem un número de cada interval (-3, -1, 1) i el substituïm a la derivada
f'(-3)=3·(-3)2+6·(-3)=27-18=9 signe positiu, per tant es creixent en aquest interval
f'(-1)=3·(-1)2+6·(-1)=3-6= -3 signe negatiu, per tant la funció es decreixent en aquest interval
f'(1)=3·1+6·1=3+6=9 signe positiu, per tant es creixent en aquest interval
També tenim que els punts x1=-2 i x2=0, son extrems relatius. En el punt x1=-2, la funció passa de
creixent a decreixent, per tant serà un màxim relatiu. En el punt x2=0, la funció passa de
decreixent a creixent, per tant serà un mínim relatiu. Substituïm aquests punts a la funció per
trobar la y d'aquests punts.
f(-2)=(-2)3+3·(-2)2+1=-8+12+1=5 (-2,5)= màxim relatiu
f(0)=03+3·02+1=1 (0,1)= mínim relatiu
Ho podem resumir en el següent quadre:
]-∞,-2[ (-2,5) ]-2,0[ (0,1) ]0,+∞[
creixent Màxim decreixent mínim creixent
relatiu relatiu