Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

1. Κεφάλαιο 12ο – Μέρος Α΄
Ευθείες και Επίπεδα στο Χώρο
Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνης , Msc μαθηματικός
ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ «ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Οκτώβριος 2018

2. Παρουσιάζονται οι παράγραφοι 12.1 – 6 του σχολικού
βιβλίου της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου.
Αρχικά δίνονται οι οδηγίες του Υπουργείου για το σχολικό
έτος 18-19.
Γίνεται εκτενής αναφορά στα παρακάτω :
 Πως καθορίζεται ένα επίπεδο,
 Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου ,δυο
επιπέδων και δυο ευθειών στο χώρο,
 Η παραλληλία και η καθετότητα στο χώρο ,
• Καθετότητα ασύμβατων ευθειών,
• Καθετότητα ευθείας και επιπέδου.
 Η απόσταση σημείου από επίπεδο και η απόσταση δυο
παραλλήλων επιπέδων.

4. ΑΞΙΩΜΑΤΑ
I. Τρία μη συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα μοναδικό
επίπεδο.
II. Σε κάθε επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τρία μη
συνευθειακά σημεία.
III. Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο που δεν ανήκει σε
δεδομένο επίπεδο.
 Τα σημεία και γενικότερα τα σχήματα που ανήκουν στο
ίδιο επίπεδο, λέγονται συνεπίπεδα.
IV. Δυο σημεία ενός επιπέδου ορίζουν ευθεία ,τα σημεία
της οποίας ανήκουν στο επίπεδο.

5. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ
 Μια ευθεία και ένα σημείο, που δεν ανήκει στην ευθεία,
ορίζουν ένα επίπεδο , στο οποίο ανήκουν το σημείο και η
ευθεία. Συμβολισμός επιπέδου (ε, Α).
 Δυο τεμνόμενες ευθείες , ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο
ανήκουν. Συμβολισμός (ε, ε΄).
 Δυο παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο , στο οποίο
ανήκουν. Ίδιος συμβολισμός.
ΟΡΙΣΜΟΣ
 Δυο ευθείες λέγονται παράλληλες όταν είναι συνεπίπεδες
και δεν τέμνονται.

8. ΑΞΙΩΜΑΤΑ
V. Κάθε επίπεδο χωρίζει τα σημεία του χώρου , που δεν ανήκουν σε
αυτό, σε δυο περιοχές (ημιχώρους) ξένες μεταξύ τους.
VI. Αν δυο διακεκριμένα επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε
τέμνονται σε μια ευθεία , που περιέχει το σημείο.

10. ΟΡΙΣΜΟΙ
 Μια ευθεία λέγεται παράλληλη σε ένα επίπεδο , αν η
ευθεία και το επίπεδο δεν έχουν κοινό σημείο. (ε//π)
 Αν Α, Β δυο σημεία του χώρου εκατέρωθεν ενός
επιπέδου π , η ευθεία ΑΒ τέμνει το π μόνο σε ένα
σημείο Μ μεταξύ των Α και Β. Το σημείο Μ καλείται
ίχνος ή σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου.

11. ΟΡΙΣΜΟΣ
 Δυο ευθείες λέγονται ασύμβατες , αν δεν υπάρχει
επίπεδο που να τις περιέχει και τις δυο.

15. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι
Αν μια ευθεία ε΄ είναι // στην ε του επιπέδου π και δεν ανήκει σε αυτό ,
τότε είναι παράλληλη στο π. ( ε΄ // π )
ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ
Αν το επίπεδο π τέμνει την ευθεία ε , τότε τέμνει και κάθε παράλληλη της.

16. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ
Αν δυο τεμνόμενες ευθείες ε , ξ είναι παράλληλες σε ένα επίπεδο π , τότε
τα επίπεδα (ε, ξ) και π είναι παράλληλα. (ε , ξ) // π

17. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙV
Έστω σ, τ δυο παράλληλα επίπεδα (σ // τ) , τότε κάθε επίπεδο π που τέμνει
το σ θα τέμνει και το τ και οι ευθείες τομής είναι παράλληλες μεταξύ
τους. (ε//ξ)

22. ΟΡΙΣΜΟΣ Ι
Έστω ε, ξ δυο ασύμβατες ευθείες. Από τυχαίο σημείο Ε της ε κατασκευάζουμε
ε΄ // ξ. Η γωνία ω που σχηματίζουν οι ε , ε΄ λέγεται γωνία των δυο ασύμβατων ε, ξ .
ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΙ
Δυο ασύμβατες ε, ξ λέγονται ορθογώνιες ή ασυμβάτως κάθετες , όταν η γωνία
τους είναι ορθή.

23. ΟΡΙΣΜΟΣ
Μια ευθεία λέγεται κάθετη σε ένα επίπεδο, όταν είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του
επιπέδου που διέρχεται απ το ίχνος της. Το επίπεδο λέγεται κάθετο στην ευθεία.
Κάθε ευθεία που δεν είναι κάθετη ούτε παράλληλη σε ένα επίπεδο π λέγεται
πλάγια ή τέμνει πλάγια το π.

25. Το Ο ανήκει στην ξ Το Ο δεν ανήκει στην ξ

26. σχήμα 28 σχήμα 29

27. σχήμα 26 σχήμα 27

28. σχήμα 30

36. [1] Ευκλείδεια Γεωμετρία , Α΄ και Β΄ Ενιαίου Λυκείου ,
Ο.Ε.Δ.Β , Έκδοση 2005.
[2] Οδηγίες για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών στις Α΄ και
Β΄ Λυκείου για το σχολικό έτος 18-19 , Έγγραφο του
Υπουργείου Παιδείας , Αρ. Πρωτ Εγγράφου : 160253/Δ2 ,
Αθήνα 26-09-2018.