Elaborato presentato durante l'esame di Calcolo Numerico (Magistrale Ing. Informatica). Temi trattati: - Trasformata di Fourier - Trasformata dal continuo al discreto - Integrazione numerica - Discretizzazione con formula di quadratura - Fast Fourier Transform - Applicazione FFT in ambito biomedico per il rilevamento della frequenza cardiaca mediante sensore "MAX30100" prodotto dalla Maxim Integrated.

1. Elaborato di
calcolo numerico
Autore:
Marco Vaiano
FFT: Analisi ed applicazioni
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2. Cosa vedremo?
● Cenni sulla Trasformata di Fourier
● Trasformata dal continuo al discreto
● Integrazione numerica
● Discretizzazione con formula di quadratura
● Fast Fourier Transform (FFT): cenni sull’algoritmo Cooley e Tukey
● Applicazione FFT in ambito biomedico: analisi del battito cardiaco
mediante sensore «MAX30100»
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3. Trasformata di Fourier
● La trasformata di Fourier, sviluppata dal matematico francese
Joseph Fourier (nel 1822), è un’operazione che permette di
ottenere il contenuto in frequenza di un segnale.
● L’inversa di questa trasformata consente invece di ricavare un
segnale a partire dal suo contenuto in frequenza.
● Entrambe le trasformazioni si esprimono in forma integrale:
Trasformata di Fourier
Antitrasformata di Fourier
3

4. Trasformata di Fourier
● Questo strumento trova numerose applicazioni nella fisica e
nell’ingegneria permettendo di scrivere una funzione dipendente
dal tempo come combinazione lineare di funzioni di base
esponenziali.
● La trasformata di Fourier associa a una funzione i valori dei
coefficienti di questi sviluppi lineari, dandone una rappresentazione
nel dominio delle frequenze, spesso chiamato spettro della
funzione.
4

5. Trasformata di Fourier
● Cosa significa rappresentare un segnale nel dominio della
frequenza?
● Essenzialmente la sua base matematica è un’onda sinusoidale, quindi
un segnale rappresentato in frequenza è esprimibile mediante
combinazione lineare di onde sinusoidali caratterizzate da una certa
frequenza, fase e ampiezza.
● In questo modo sapremo quali
sinusoidi sono contenute in quel
segnale.
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6. Trasformata di Fourier a tempo discreto
● Per poter utilizzare la trasformata di Fourier nelle applicazioni
numeriche è necessaria una discretizzazione.
● Viene pertanto introdotta la Trasformata Discreta di Fourier.
● Considerando un segnale tempo discreto x(n), otteniamo le due
equazioni relative alla trasformata diretta e inversa:
● Dove 𝜈 è la frequenza in numero di cicli campione.
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7. Trasformata di Fourier a tempo discreto
● La prima equazione viene detta equazione di analisi, essa permette di
determinare il peso in termini di ampiezza e fase che le vari componenti
sinusoidali hanno nella ricostruzione del segnale
● La seconda è detta formula di sintesi, e mostra come x(n) possa essere
rappresentato come combinazione lineare di esponenziali complessi,
con la frequenza che varia con continuità su intervalli di durata unitaria.
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8. Trasformata di Fourier a tempo discreto
● La trasformata di Fourier è continua nella variabile 𝜈, pertanto risulta
difficile l’analisi e l’elaborazione numerica di un segnale tempo discreto.
● Attraverso la trasformata discreta di Fourier diretta (DFT) e inversa
(IDFT) è possibile definire un segnale x(n) di durata N:
● In questo modo un segnale di durata finita N è rappresentato in
frequenza con N campioni complessi.
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9. Trasformata di Fourier a tempo discreto
● In generale, se consideriamo un segnale periodico di periodo T, la
quantità 1/T è detta frequenza fondamentale, la quale rappresenta la
minima distanza alla quale devono trovarsi due frequenze per
distinguerle nel campionamento del segnale.
● Nella DFT abbiamo un intervallo di campionamento ΔT, quindi T = N*ΔT
dove N è il numero di campioni.
● La frequenza fondamentale pertanto risulta fc/N (fc è la frequenza di
campionamento), ed è la frequenza più bassa che si può rappresentare
effettuando la DFT su N campioni di un segnale periodico di periodo T.
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10. Trasformata di Fourier a tempo discreto
● Il teorema che stabilisce quale sia la frequenza minima di campionamento con
una determinata caratterizzazione in frequenza (nel nostro caso la trasformata
di Fourier) affinché il segnale possa essere ricostruito è il teorema di Shannon-
Nyquist, ovvero: fs > 2*fm, dove fm è la massima frequenza dello spettro del
segnale da campionare.
● Se tale condizione non risulta verificata, si riscontra un effetto conosciuto come
aliasing che comporta una distorsione del segnale ricostruito.
● In generale, le frequenze rappresentabili effettuando su N campioni la DFT di
un segnale periodico di periodo T, tenendo conto del teorema appena descritto,
variano nell’intervallo [fs/N, fs/2]
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11. Integrazione numerica
● Il calcolo della trasformata di Fourier, come visto poc’anzi, richiede il
calcolo di un integrale
● L’approccio naturale per il calcolo dell’integrale è quello di
approssimare l’integrale continuo
con combinazioni lineari della funzione integranda f(x).
● Le formule che realizzano tali approssimazioni sono dette di
quadratura, ovvero un insieme di metodi atti a stimare il valore di un
integrale senza dover calcolare la primitiva della funzione integranda.
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12. Integrazione numerica
● Calcolare un integrale significa trovare l’area di un rettangoloide, ossia
una figura che è delimitata dalla curva di funzione, l’asse delle ascisse
e due perpendicolari, tracciate dagli estremi dell’intervallo di
integrazione (a e b).
● Non essendo possibile effettuare un calcolo preciso, troveremo delle
figure la cui area approssima sufficientemente quella del rettangoloide.
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13. Integrazione numerica
● Di seguito sono riportati alcuni metodi di quadratura numerica più
comuni:
Formula rettangolare
● Area = f(a)(b-a)
Questa semplice formula, fa uso dell’area del rettangolo.
La sua altezza è ricavata dal valore della funzione a inizio
intervallo.
In questo caso, si commette un errore abbastanza
alto nel calcolo dell’integrale.
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14. Integrazione numerica
Formula del punto medio
● Area = f(m)(b-a)
Simile alla formula precedente, però in questo caso viene utilizzata come
altezza il valore della funzione al punto medio
dell’intervallo di Integrazione.
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15. Integrazione numerica
Formula Trapezoidale
● Area = [f(a)+f(b)]*[(b-a)/2]
Questa formula utilizza l’area del trapezio per cercare di approssimare con
maggiore accuratezza il rettangoloide.
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16. Integrazione numerica
Formula di Simpson
● Area = [f(a)+4*f(m)+f(b)]*[(b-a)/6]
La formula di Simpson per l'integrazione numerica è simile a quella dei trapezi, ma
anziché interpolare la funzione da integrare con i
segmenti di retta per due punti, usa archi di parabola
per tre punti.
In tal modo si ha un notevole miglioramento della
accuratezza.
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17. Integrazione numerica
Somme di Riemann
● Le somme di Riemann costituiscono un’approssimazione dell’area in
maniera simile a quella della formula del rettangolo.
● In questo caso però terremo conto di diverse scelte per l’altezza ottenendo
così una decomposizione dell’intervallo da integrare costituito da diversi
rettangoli.
● Tale somma è caratterizzata da come i punti tn sono stati
scelti:
o se ti = xi essa si dice somma sinistra di Riemann
o se ti = xi+1 essa si dice somma destra di Riemann
o se ti = (xi+1+xi)/2 essa si dice somma media di Riemann 17

18. Integrazione numerica
● I metodi descritti sono tutte combinazioni lineari della funzione integranda
● Essi introducono sempre un errore di discretizzazione della formula di
quadratura applicata Q[f].
E[f] = I[f] – Q[f]
● Tale errore può essere positivo o negativo a seconda del fatto che lo specifico
metodo potrebbe inscrivere o circoscrivere l’integrale.
E[f]>0 E[f]<0
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19. Integrazione numerica
● Per ridurre l’errore di discretizzazione relativo ad una formula di quadratura,
risulta utile applicarla su dei sotto intervalli dell’intervallo di integrazione.
● Si osserva che dividendo in due l’intervallo di integrazione e applicando la
formula trapezoidale, l’errore si riduce di circa 4 volte.
● L’utilizzo di formule composite con sotto intervalli
sempre più piccoli porta alle stesse conclusioni
ottenute con le somme di Riemann, ovvero che se
il numero di sotto intervalli tende all’infinito, si ottiene
una valutazione precisa dell’integrale della funzione.
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20. Integrazione numerica: Esempio Matlab
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21. Integrazione numerica
● Si può notare che in generale l’errore di una formula trapezoidale dipende
dall’ampiezza dell’intervallo [a, b].
● Si può quindi pensare di dividere tale intervallo in sotto intervalli di uguale
ampiezza: 𝜏 =
𝑏−𝑎
𝑚
mediante punti equidistanti.
● Poiché : ‫׬‬𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = σ𝑗=1
𝑚
‫׬‬𝑡𝑗−1
𝑡𝑗
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, è possibile
utilizzare la formula trapezoidale su ogni
sotto intervallo, migliorando notevolmente il risultato.
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22. Stima dell’errore di discretizzazione
● L’errore di discretizzazione è stato definito in precedenza come E[f]=I[f]-Q[f], ma
I[f] non è noto.
● Dunque vorremmo determinare una stima calcolabile dell’errore di
discretizzazione.
● Se indichiamo con Tm[f] la formula trapezoidale composita su [a,b] con m
sottointervalli, per l’errore di Tm[f] vale: 𝐸𝑚 𝑓 = 𝐼 𝑓 − 𝑇𝑚 𝑓
● Indichiamo con 𝑇2𝑚 𝑓 la formula trapezoidale composita su [a,b] con 2m
sottointervalli. Per l’errore di 𝑇2𝑚 𝑓 vale: 𝐸2𝑚 𝑓 = 𝐼 𝑓 − 𝑇2𝑚 𝑓
● Sottraendo 𝐸𝑚 𝑓 da 𝐸2𝑚 𝑓 , otteniamo:
𝐸2𝑚 𝑓 − 𝐸𝑚 𝑓 = 𝐼 𝑓 − 𝑇2𝑚 𝑓 − 𝐼 𝑓 − 𝑇𝑚 𝑓 = 𝑇𝑚 𝑓 − 𝑇2𝑚 𝑓
● Allora: 𝐸𝑚 𝑓 − 𝐸2𝑚 𝑓 = 𝑇𝑚 𝑓 − 𝑇2𝑚 𝑓 22

23. Stima dell’errore di discretizzazione
● Ricordando che raddoppiando i sottointervalli l’errore diventa di circa un quarto:
𝐸2𝑚 𝑓 =
1
4
𝐸𝑚 𝑓 ⇒ 𝐸𝑚 𝑓 = 4𝐸2𝑚[𝑓]
● Sostituendo quest’ultima espressione nella precedente si ottiene:
𝑇𝑚 𝑓 − 𝑇2𝑚 𝑓 = 𝐸𝑚 𝑓 − 𝐸2𝑚 𝑓 ≅ 4𝐸2𝑚 𝑓 − 𝐸2𝑚 𝑓 ≅ 3 𝐸2𝑚[𝑓]
● Dunque, la stima dell’errore di discretizzazione usando 2m sottointervalli è:
𝐸2𝑚[𝑓] ≅
𝑇𝑚 𝑓 − 𝑇2𝑚[𝑓]
3
● Si otteniene così un miglioramento dell’accuratezza dovuto all’aumento
del numero dei nodi
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24. Discretizzazione con formula di quadratura
● Per l’elaborazione di un segnale di durata finita, occorre utilizzare la
trasformata discreta di Fourier.
● L’obiettivo che ci poniamo adesso è quello di discretizzare la
trasformata di Fourier (1) in modo da ottenere la DFT.
● Per poter ottenere ciò, utilizzeremo la formula di quadratura
trapezoidale vista poc’anzi.
(1)
24

25. Discretizzazione con formula di quadratura
● Per poter applicare le formule di quadratura, è necessario che l’integrale sia
calcolato su un intervallo finito.
● L’obiettivo è quello di ottenere a partire dalla trasformata di Fourier, un
integrale che rispetti questo vincolo.
● Per farlo è quindi necessario effettuare un troncamento della funzione f(t).
A questo scopo, consideriamo il tratto di funzione in [0,T] e lo si rende
periodico su intervalli di ampiezza T.
● A questo punto, è possibile calcolare la trasformata di Fourier come
l’integrale definito tra 0 e T della funzione così ottenuta.
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26. Discretizzazione con formula di quadratura
● Valutiamo la funzione F(ω) in ω = ωn = n/T, n = 0, 1, 2..
● È adesso possibile discretizzare l’integrale utilizzando le formule di
quadratura trapezoidale composita su N punti.
● Posto h = T/N si ottiene:
● Considerati i vettori 𝐹 = {𝑓(𝜔𝑛)}𝑛=0,1,…,𝑁-1 e 𝑓𝑝 = {𝑓𝑝(𝑘ℎ)}𝑘=0,1,…,𝑁-1, segue che
𝑭 = 𝑫𝑭𝑻[𝒇𝒑] 26

27. Discretizzazione con formula di quadratura
L’espressione ottenuta, ovvero la trasformata discreta di Fourier a partire dalla
funzione fp(t), rappresenta un’approssimazione dei valori assunti dalla
trasformata di Fourier in punti equidistanti. La FT e la DFT, coincidono, nei punti
ωn, a meno di un errore.
Quest’ultimo è dovuto a 2 fattori principali:
• Errore di troncamento della formula di quadratura trapezoidale, introdotto
dall’aver assunto fp=f, ovvero la funzione f nulla al di fuori dell’intervallo [0, T].
• Errore di discretizzazione, introdotto dalla formula di quadratura utilizzata.
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28. Fast Fourier Transform (FFT)
● Il calcolo diretto della DFT ha una complessità dell’ordine di O(n2), poiché per
ciascun componente del vettore DFT bisogna calcolare N somme.
● Ciascuna somma prevede la valutazione di N esponenziali complessi ed N
operazioni complesse.
● Per effettuare un calcolo più rapido della trasformata di Fourier, pertanto sono
state messe a punto diverse versioni di algoritmi che prendono il nome di Fast
Fourier Transform (FFT).
● Uno degli algoritmi fu pubblicato nel 1965 ad opera di Cooley e Tukey.
● Gli autori proposero uno schema di calcolo che utilizzando le proprietà
dell’esponenziale complesso e riorganizzando le operazioni, effettua Nlog2(N)
operazioni. 28

29. Algoritmo di Cooley e Tukey
● L’idea alla base fu quella di semplificare opportunamente i calcoli
decomponendo il problema.
● Dal calcolo di una DFT di lunghezza N, si procede alla decomposizione in sotto
problemi di dimensione più piccola.
● Questa metodologia, nota come «divide et impera», applicata più volte a
ciascuno dei sotto problemi ottenuti, riorganizza efficientemente le operazioni
che coinvolgono gli esponenziali complessi.
● Un metodo importante per la riduzione del numero di calcoli da eseguire è dato
dallo schema «butterfly». Si possono riordinare in questo modo le operazioni
tramite schemi di somma e sottrazioni, passando dal calcolo di una DFT
complessa a quello di n DFT più semplici.
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30. Algoritmo di Cooley e Tukey
● Esistono diversi criteri di divisione del vettore di partenza, nel caso di Cooley e Tukey si
ha che una DFT di lunghezza N è divisa in due DFT di lunghezza N/2 (Radix - 2) ed
applicando ricorsivamente il procedimento otteniamo a valle una coppia di campioni.
● Se il numero di elementi interni al vettore N è una potenza di due, quindi N=2m, è
possibile ottenere N/2 DFT di lunghezza 2.
● Al termine della prima fase di decomposizione detta di «pre-processing», si ottiene un
albero binario.
● La fase dell’algoritmo che invece risale
l’albero chiudendo quindi tutte le chiamate
ricorsive generate, unendo le soluzioni dei
singoli sotto problemi è chiamata «fase di
calcolo».
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31. Algoritmo di Cooley e Tukey
● Risulta possibile applicare l’algoritmo anche per altri tipi di radix, ad
esempio in radix – 3, si decompone una DFT di lunghezza N in N/3 DFT
di lunghezza 3.
● Nel caso invece di mixed radix, l’idea è di decomporre prima rispetto ad
una radice, e poi rispetto all’altra radice.
● Se N= r1 * r2, devo risolvere r1 DFT di lunghezza
r2 oppure r2 DFT di lunghezza r1.
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32. Analisi complessità FFT
● In generale, gli algoritmi FFT effettuano il calcolo di una DFT di lunghezza N
combinando opportunamente DFT di lunghezza inferiore.
● In base alla fattorizzazione del parametro N si distinguono tre tipologie di
algoritmi FFT:
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1. Se N = r1*r2 e sono primi tra loro, gli algoritmi FFT calcolano
r1 DFT di lunghezza r2.
La complessità di questi algoritmi è:
T(n)=O(N(r1+r2))

33. Analisi complessità FFT
33
2. Se N=r1
p * r2
q, gli algoritmi FFT calcolano p DFT di lunghezza r, e q DFT di lunghezza r.
Tipicamente la radice in questo caso è un numero primo sufficientemente piccolo (ad es.
r=3, 5)
La complessità di questi algoritmi è:
T(n)=O(p logr1 N + q logr2 N)
3. Se N=rp gli algoritmi FFT calcolano p DFT di lunghezza r (radix-r). In particolare i più
efficienti sono quelli del tipo radix-3.
Tuttavia nella pratica, seguendo il vantaggio dell’uso degli «shift register» nei calcolatori, gli
algoritmi più utilizzati sono quelli del tipo radix-2.
Tipicamente la radice in questo caso è un numero primo sufficientemente piccolo (ad es.
r=3, 5)
La complessità di questi algoritmi è:

34. Esempio di applicazione FFT: Introduzione
● Come già discusso in precedenza, la FFT ha riscosso notevole successo
nell’analisi ed elaborazione dei segnali tenendo conto dei vantaggi descritti in
precedenza, ovvero una riduzione significativa della complessità
computazionale rispetto all’applicazione diretta della DFT.
● Questo elaborato si sofferma sull’analisi di un particolare segnale proveniente
da un sensore impiegato in ambito biomedico, utile soprattutto in questo
periodo di pandemia da Covid19.
● Attraverso questo sensore risulta possibile rilevare ed analizzare due parametri
vitali per il monitoraggio dei pazienti: la frequenza del battito cardiaco e il
livello di saturazione di ossigeno nel sangue.
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35. Esempio di applicazione FFT: Sensore
● Il sensore, denominato MAX30100 e prodotto dalla Maxim Integrated, viene
ampiamente utilizzato nei dispositivi indossabili per il monitoraggio dell’attività
fisica, quali smartwatch, smartband o nei pulsossimetri (saturimetri).
● Il principio di funzionamento si basa sull’emissione di una luce rossa e
infrarossa ad una certa lunghezza d’onda, 650nm per la luce rossa e 950 per
quella infrarossa.
● Entrambi i fasci di luce emessi contemporaneamente, attraversano il tessuto della
pelle del paziente e ne viene riflessa una quantità
la quale viene opportunamente rilevata da un fotosensore.
● La quantità di luce non assorbita dall’emoglobina viene
campionata e convertita in digitale mediante un
componente ADC.
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36. Esempio di applicazione FFT: Sistema
● I campioni ottenuti sono poi memorizzati in registri di memoria interni al sensore
e inviati in tempo reale tramite interfaccia seriale connessa al computer per
l’elaborazione nell’ambiente di Matlab.
● Un ulteriore tassello di questo sistema va individuato nel microcontrollore
ESP8266, il quale effettua la configurazione ed inizializzazione (driver) del
sensore nonché l’interfacciamento con il computer.
● In figura (1) il sistema sviluppato e
il sensore utilizzato (2):
(1)
(2)
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37. Esempio di applicazione FFT: Configurazione
● Come anticipato in precedenza, la configurazione del sensore avviene
mediante il microcontrollore ESP8266.
● La programmazione è effettuata in un linguaggio simile al C attraverso
l’ambiente di sviluppo Arduino.
● Tra i parametri rilevanti:
o Modalità luce rossa e
infrarossa
o Corrente dei led a 24mA
o Larghezza impulso 1600µs
o Risoluzione ADC a 16bit
o 100 campioni al secondo
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38. Esempio di applicazione FFT: Analisi
● I segnali biomedici sono in genere molto rumorosi e necessitano di un
processo di filtraggio prima di essere utilizzati.
● Nel caso del sensore trattato in questo elaborato, la luce ambientale può
interferire con la misurazione del corretto valore di assorbimento della luce
rossa e infrarossa.
● Un’ulteriore difficoltà in generale è legata alla quasi periodicità della maggior
parte dei segnali utilizzati in ambito biomedico.
● Risulta pertanto difficoltoso individuare cicli periodici effettuando un semplice
campionamento, ma è necessaria una procedura preliminare che consente di
individuare i punti più importanti per poi risalire al ciclo attraverso opportune
traslazioni temporali.
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39. Esempio di applicazione FFT: Analisi
● Effettuando un plot dei campioni ricevuti dal sensore, otterremo il seguente
grafico, espresso nel dominio del tempo:
● Sulle ordinate avremo i valori di segnale riflesso, mentre sulle ascisse i valori
del tempo espresso in secondi.
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40. Esempio di applicazione FFT: Analisi
● In una ricerca pubblicata nel 2014 su «U.S. National Library of Medicine» (link),
gli autori analizzano il segnale tracciato su un fotopletismogramma (1)
individuando alcune caratteristiche importanti.
● La luce trasmessa attraverso il tessuto mostra un andamento decrescente
durante un evento noto come «sistole», nel quale il cuore si contrae e fa fluire
il sangue dalle sue camere alle arterie.
● Viceversa cresce durante un
evento «diastole» nel quale il
cuore si rilassa e le sue camere
si riempiono di sangue.
(1)
40

41. Esempio di applicazione FFT: Analisi
● Comparando il grafico pubblicato nella ricerca (1) con quello ottenuto dai valori
raw (non processati) provenienti dal sensore, otteniamo un profilo molto simile.
● Possiamo usare questo comportamento ciclico per approssimare l’intervallo
tra i battiti cardiaci e determinare quindi la frequenza cardiaca di un individuo.
● Attraverso l’analisi nel dominio della frequenza risulta possibile determinare la
periodicità delle pulsazioni della frequenza cardiaca e i livelli di
ossigenazione del sangue.
(1) (2)
41

42. Esempio di applicazione FFT: Analisi
● Uno dei modi per calcolare la frequenza cardiaca è registrare per alcuni
secondi i dati di riflettanza del rosso (o infrarosso) e rilevare la
frequenza dominante (attraverso un rilevatore di picchi) del segnale.
● In questo caso si utilizzerà la Fast Fourier Transform, già discussa in
precedenza, elaborando il segnale attraverso l’ambiente Matlab.
● Il picco della FFT si avvicina alla frequenza del ciclo di contrazione e
rilassamento del cuore, ciò che chiamiamo frequenza cardiaca.
● Di seguito verrà mostrato il codice Matlab nel quale oltre al rilevamento
della frequenza cardiaca, verranno effettuate alcune operazioni di
filtraggio, di tipo passa-banda e passa-basso (Butterworth).
42

43. • In questa prima parte del codice
Matlab si prelevano i dati provenienti
dal microcontrollore, e quindi dal
sensore, attraverso interfaccia
seriale.
• I dati prelevati vengono pre-elaborati:
o Per distinguere i valori di
ampiezza e di tempo
o Per convertire il tempo da
microsecondi a secondi
43

44. o Filtro passa-banda per
analizzare solo le frequenze
cardiache comprese tra
36bpm e 240bpm
o Filtro Butterworth per
eliminare le alte frequenze
(rumore)
• In questa porzione di codice i dati
vengono elaborati e filtrati:
44

45. • In questa porzione di
codice invece si rileva la
frequenza dominante
effettuando una ricerca
del picco massimo del
segnale nel dominio della
frequenza.
• La ricerca viene applicata
sul segnale non filtrato,
filtrato passa-banda,
filtrato Butterworth.
• Output:
45

46. Esempio di applicazione FFT: Grafici
Frequenza rilevata:
65 BPM
46

47. Esempio di applicazione FFT: Grafici
47
Frequenze rilevate:
• FFT: 35 BPM
• Con filtro Passabanda:
• 65 BPM
• Con filtro Butterworth:
• 65 BPM

48. Esempio di applicazione FFT: Grafici
Frequenze rilevate:
• FFT: 23 BPM
• Con filtro Passabanda:
83 BPM
• Con filtro Butterworth:
• 65 BPM
48

49. Esempio di applicazione FFT: Errori
● Nella stessa ricerca del 2014, già menzionata
in precedenza, si analizza anche
l’accuratezza delle misure calcolando l’errore
nel seguente modo:
● Dove «expected value» si riferisce alla
misura effettuata con uno strumento
professionale, mentre «actual value»
mediante il sensore trattato in questo
elaborato.
● Gli autori hanno poi costruito una tabella
degli errori rilevati dalle misurazioni
effettuate in diverse parti del corpo e in
diverse condizioni («a riposo» e «in
cammino»). 49

50. Grazie per l’attenzione!
50