The paper presents a mathematical model of an elastic pipeline, which are a hollow rod with the fluid (gas) runs inside it. The work devoted to the problem of the dynamic stability of the pipeline.

1. Исследование динамической
устойчивости трубопровода
Вельмисов Петр Александрович, д.ф-м. н.,
Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ)
e-mail: velmisov@ulstu.ru
Корнеев Андрей Викторович, аспирант кафедры "Высшая математика",
Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ)
e-mail: a.korneev1@gmail.com
28-29 апреля 2016

2. Физическая модель трубопровода
1а):
x
y
0
( , )w x t
l
U
На плоскости 𝑥𝑂𝑦 трубопроводу соответствует на
оси 𝑂𝑥 отрезок [0; 𝑙]. Скорость жидкости равна 𝑈 и
имеет направление, совпадающее с направлением оси
𝑂𝑥.
w(x,t) – деформация (прогиб) в сечении х в момент времени t
2

3. Одностепенная математическая
модель трубопровода
3
(1)

4. Одностепенная математическая
модель трубопровода
4
(2)

5. Одностепенная математическая
модель трубопровода
5
(3)

6. Двухстепенная математическая
модель трубопровода
6
(4)
(5)

7. Граничные условия
1а):
0 0( , ) ( , ) 0;w x t w x t 1) Жесткое защемление:
2) Шарнирное закрепление: 0 0( , ) ( , ) 0.w x t w x t 
7

8. Пример исследования устойчивости в
линейной одностепенной модели
8
   2
0 * * * 0'''' 2 0Dw m m w N mU w Um w w w Jw Jw               
2 2 2 2 2 2
0 * * 0
0
1
( ) [ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
2
l
J t D w m m w N mU w J w w dx         
(6)
(7)
2 2
0 ( ) 0 ( ) (0)
dJ
w J w J t J
dt
       
2 2 2 2 2 2
0 * * 0
0
2 2 2 2 2 2
0 * * 0 0
0
[ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ] .
l
t t
l
t
D w m m w N mU w J w w dx
D w m m w N mU w J w w dx
 
 


        
        


(8)
(9)

9. Пример исследования устойчивости в
линейной одностепенной модели
9
2 2 2 2 2
1 * 0 * 0
0
2 2 2 2 2 2
0 * * 0 0
0
[( )( ) ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ] .
l
t t
l
t
D N mU w m m w J w w dx
D w m m w N mU w J w w dx
  
 


       
        


(11)
1 – наименьшее собственное значение соответствующей краевой задачи для
уравнения 4
0.   
Имеет место неравенство Релея
2 2
1
0 0
( ) ( )
l l
w dx w dx   (10)

10. Теорема об устойчивости и область
устойчивости
10
N
U
0
1D
*
1
m
D
2
1 *N D mU 
2 2 2 2 2
1 * 0 * 0
0
2 2 2 2 2 2
0 * * 0 0
0
[( )( ) ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ] .
l
t t
l
t
D N mU w m m w J w w dx
D w m m w N mU w J w w dx
  
 


       
        


(11)
1) Жесткое защемление:
2) Шарнирное закрепление:
0 0( , ) ( , ) 0;w x t w x t 
0 0( , ) ( , ) 0.w x t w x t 
Граничные условия:
1 – наименьшее собственное значение соответствующей краевой задачи для
уравнения 4
0.    
Теорема. Если 2
1 *N D mU  , то малым значениям начальных данных
( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0)w x w x w x w x w x   (прогиба, скорости, угла поворота,
кривизны, угловой скорости) будут соответствовать малые (в среднем, в
интегральном смысле) ( , ), ( , ), ( , ), ( , )w x t w x t w x t w x t  в любой момент времени t>0.

11. Теорема об устойчивости
11
Имеет место неравенство, являющееся следствием неравенства Коши-Буняковского:
2 2
0
( , ) ( , )
l
w x t l w x t dx 
2 2 2 2 2
1 * 0 * 0
0
2 2 2 2 2 2
0 * * 0 0
0
1
( ) ( , ) [( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
l
t t
l
t
D N mU w x t m m w J w w dx
l
D w m m w N mU w J w w dx
  
 


      
        


С учетом данного неравенства из (11) получим
Теорема. Если 2
1 *N D mU  , то малым значениям начальных данных
( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0), ( ,0)w x w x w x w x w x   (прогиба, скорости, угла поворота,
кривизны, угловой скорости) будут соответствовать малые значения ( , )w x t для
[0, ]x l  в любой момент времени t>0.
(12)
(13)

12. Численное исследование устойчивости
1
( , ) ( , ) ( )sin , , (0, )
M
M k k k
k
k
w x t w x t w t x x l
l

 

    .
0
( ( , ))sin 0, 1, ,
l
M kL w x t xdx k M  
Начальные условия для ( ), 1,kw t k M получим из начальных условий исходного уравнения,
применяя процедуру Галеркина:
Начальные условия на деформацию трубопровода:
( ,0) ( ), ( ,0) ( ).w x F x w x G x 
0
0
2
(0) ( )sin , 1, ,
2
(0) ( )sin , 1, .
l
k k
l
k k
w f x xdx k M
l
w g x xdx k M
l


 
  


12

13. Пример вычисления колебаний точки 0 / 2x l с разным количеством приближений M
Пример вычисления колебаний точки 0 / 2x l с разным количеством приближений M

14. Пример колебаний
средней точки
трубопровода ( / 2, )w l t
при 750, 12.5N U 
а) Линейная модель (1)
б) Модель с интегральными членами (2)
в) Нелинейная модель (3)

15. а) Линейная модель (1)
б) Модель с интегральными членами (2)
в) Нелинейная модель (3)
Область устойчивости
на плоскости ( , )U N

16. ξ=2 Влияние демпфирования ξ=20

17. Выводы