Download to read offline
computational geometry - computer graphics.pptx
- 1.
- 2. COMPUTATIONAL GEOMETRI? Berfokus pada algoritmadan teknik untuk memahami, memanipulasi, dan menganalisis objek geometris. Tujuannya adalah untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan geometri.
- 4. Delaunay Triangulationadalah sebuah konsep dalam geometri komputasional yang digunakan untuk membagi suatu set titik dalam sebuah bidang menjadi segitiga. Setiap titik dalam set memiliki segitiga sekitarnya yang membentuk triangulasi, dengan sifat bahwa tidak ada titik di dalam lingkaran bersegitiga yang menghubungkan ketiga titik dalam segitiga tersebut. Dengan kata lain, untuk setiap segitiga dalam triangulasi, lingkaran yang menghubungkan ketiga titik sudutnya tidak mengandung titik lain di dalamnya. Delaunay Triangulation CONVEX POLYGON
- 5. Delaunay pertamakali digunakan oleh Boris N. Delaunay (1890 - 1980) Delaunay digunakan untuk membangun sebuah model dari permukaan, dapat dimulai dengan sejumlah titik sampel yang kita ketahui tingginya. Delaunay Triangulation STANFORD BUNNY
- 6. HEIGHT INTERPOLATION Teknik inidigunakan dalam pembuatan model digital permukaan bumi, pembuatan relief, atau dalam rendering grafika komputer untuk menciptakan efek visual yang realistis. Salah satu teknik yang umum digunakan untuk menghitung Height Interpolation adalah interpolasi linear. Dalam interpolasi linear, kita menghubungkan dua titik yang diketahui dengan garis lurus, dan kemudian menentukan nilai ketinggian di titik-titik antara kedua titik tersebut dengan memperhitungkan proporsi jarak antara titik-titik tersebut. Height Interpolation adalah proses untuk mengestimasi atau menentukan nilai ketinggian (atau tinggi) di antara dua titik yang diketahui pada suatu permukaan. Delaunay Triangulation
- 7. LINEAR INTERPOLATION Misalnya, jika kitamemiliki titik A dengan ketinggian 100 meter dan titik B dengan ketinggian 200 meter, dan kita ingin mengetahui ketinggian di titik tengah antara A dan B, kita dapat menggunakan interpolasi linear untuk menentukannya. Jika titik tengah tersebut berjarak tepat di tengah antara A dan B, maka ketinggiannya akan menjadi 150 meter. Delaunay Triangulation 100M 200M A B ----------------------------- 150M
- 8. Muncul pada abad17, pertama kali dipikirkan oleh Rene Descartes (1644) dan digunakan oleh Dirichlet (1850). Kemudian Voronoi pada tahun 1907 mengembangkannya ke dimensi yang lebih tinggi. Voronoi dan Dirichlet pertama kali memperkenalkan konsep voronoi secara formal dalam kajian bentuk kuadrat. Hasil studi tersebut kemudian dikenal sebagai Dirichlet tessellation atau Voronoi Diagram Voronoi Diagram GEORGY VORONOI PETER GUSTAV LEJEUNE DIRICHLET
- 9. Diagram Voronoi adalahjenis pola tesselasi di mana sejumlah titik yang tersebar pada suatu bidang terbagi menjadi tepat n sel yang melingkupi bagian bidang yang paling dekat dengan setiap titik. Pola tersebut dapat ditemukan di alam, seperti pada sel dan bulu jerapah, arsitektur, seni, dan ilmu komputer. Singkatnya, diagram Voronoi adalah cara untuk membagi wilayah menjadi bagian- bagian berdasarkan kedekatan dengan titik- titik tertentu. Voronoi Diagram DIAGRAM VORONOI JARINGAN EPIDERMIS BAWANG
- 10. Jika kita mengambiltitik –titik dari sebuah voronoi dan menghubungkannya dengan titik- titik yang lain maka akan didapati sebuah grafik delaunay triangulation didalamnya. Dalam aturan matematika, Delaunay adalah grafik ganda dari Voronoi diagram. Voronoi Diagram Voronoi diagram with Delaunay triangulation. | Image: Francesco Bellelli PERBEDAAN DIAGRAM VORONOI DAN DELAUNAY
- 11. Voronoi Diagram Salah satualgoritma pembentuk voronoi adalah Llyod’s algorithm. Algoritme ini terdiri dari pembuatan diagram Voronoi berulang kali dan mencari pusat massa (yaitu pusat massa) setiap sel. Pada setiap iterasi, algoritme memberi jarak pada titik-titik tersebut dan menghasilkan sel Voronoi yang lebih homogen. Steps in Lloyd’s relaxation algorithm. | Image: Francesco Bellelli LANGKAH DALAM ALGORITMA LLOYD
- 12. Voronoi Diagram Setelah beberapakali iterasi, sel akan memiliki aspek yang “lebih bulat”, dan titik-titiknya akan lebih merata. Belleli telah memplot 30 iterasi pertama algoritma Lloyd untuk sekumpulan titik acak. Untuk setiap titik ia mencatat posisi awalnya dengan lingkaran berongga abu-abu untuk melacak pergerakan setiap sel dengan lebih baik. Untuk jumlah iterasi yang tinggi, diagram cenderung menyatu menuju diagram Voronoi yang stabil di mana setiap benih juga merupakan pusat massa sel — juga dikenal sebagai diagram pusat Voronoi. Menariknya, dalam 2D, sel Voronoi cenderung berubah menjadi segi enam karena menyediakan cara paling efisien dalam mengemas bentuk ke dalam bidang. Seperti yang digunakan oleh lebah yang membangun sarangnya, sel heksagonal memiliki dua keuntungan besar: 1. Memastikan tak ada ruang kosong diantara selnya (Mentesselasi bidang) 2. Segi enam (hexagonal) menawarkan rasio tertinggi antara permukaan dan keliling sel. Dugaan Honeycomb ini membutuhkan waktu 2.000 tahun bagi para matematikawan untuk membuktikannya. 30 iterations of the Lloyd’s algorithm. Source: Francesco Bellelli
- 13. 1. Metode inibekerja dengan cara menguji apakah titik yang diberikan berada di dalam atau di luar poligon tertentu. 2. Langkah-langkahnya melibatkan: 1. Menggambar garis lurus dari titik tersebut ke arah luar. 2. Menghitung berapa kali garis tersebut bersilangan dengan tepi poligon. 3. Jika jumlah persilangan ganjil, maka titik berada di dalam poligon. Jika genap, titik berada di luar poligon. 1. Metode ini juga digunakan untuk menentukan apakah titik berada di dalam atau di luar suatu poligon. 2. Langkah-langkahnya melibatkan: 1. Menggambar garis lurus dari titik tersebut ke arah yang jauh. 2. Menghitung jumlah titik persilangan antara garis tersebut dengan tepi poligon. 3. Jika jumlah persilangan ganjil, maka titik berada di dalam poligon. Jika genap, titik berada di luar poligon. Algoritma Deteksi Titik ALGORITMA POINT-IN-POLYGON TEST ALGORITMA RAY CASTING
- 14.