Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh 1

MỤC LỤC
1. Khái niệm tứ giác nội tiếp .......................................................................................................... 4
2. Định lý......................................................................................................................................... 4
3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.................................................................... 4
Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
............................................................ 4
Phương pháp 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. ................................................................................... 4
Phương pháp 3: .Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một
góc  ............................................................................................................................................ 4
Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. (tương
tự phương pháp 1)........................................................................................................................ 4
Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme ........................................................ 4
4. Ví dụ minh hoạ ........................................................................................................................... 4
5. Phân loại bài tập. .................................................................................................................. 6
A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 0
180 (hai góc đối diện bù nhau ). ...... 6
Nhận biết: ................................................................................................................................... 6
Thông hiểu.................................................................................................................................. 6
Vận dụng thấp............................................................................................................................ 6
Vận dụng cao.............................................................................................................................. 7
B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm................................................... 7
Nhận biết: ................................................................................................................................... 7
Thông hiểu:................................................................................................................................. 8
Vận dụng thấp:........................................................................................................................... 8
Vận dụng cao:............................................................................................................................. 9
C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. 9
Nhận biết: ................................................................................................................................... 9
Thông hiểu:................................................................................................................................. 9
Vận dụng thấp:......................................................................................................................... 10
Vận dụng cao:........................................................................................................................... 10
Tài liệu được sưu tầm, tổng hợp các nguôn!
CẢM ƠN "ANH" ĐÃ TẶNG EM TÀI LIỆU QUÝ!

HƯỚNG DẪN GIẢI ..................................................................................................................... 12
180 .................................................... 12
Nhận biết: ................................................................................................................................. 12
Thông hiểu................................................................................................................................ 12
Vận dụng thấp.......................................................................................................................... 13
Vận dụng cao............................................................................................................................ 15
B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm................................................. 16
Nhận biết: ................................................................................................................................. 16
Thông hiểu:............................................................................................................................... 17
Vận dụng thấp:......................................................................................................................... 18
Vận dụng cao:........................................................................................................................... 20
C. CM hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”.............. 20
Nhận biết: ................................................................................................................................. 20
Thông hiểu:............................................................................................................................... 21
Vận dụng thấp:......................................................................................................................... 22
Vận dụng cao:........................................................................................................................... 24

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp
* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh
nằm trên đường tròn đó.
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O)
ngoại tiếp tứ giác ABCD. Hình 1
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
 0
180A C  hoặc 0
180B D 
2. Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o
.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o
thì tứ giác đó nội tiếp được một
đường tròn.
3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.
Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
.
Phương pháp 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là
tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Phương pháp 3: .Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một
góc 
Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. (tương tự
phương pháp 1)
Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme
Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng
tổng các tích của các cặp cạnh đối diện
Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng
tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
4. Ví dụ minh hoạ
Bài 1:
Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác
BCB’C’ nội tiếp.
Giải:
Cách 1: Phương pháp 2:
Gọi O là trung điểm của BC. Xét BB’C có :
0
BB'C 90 (GT)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
O
C
B
D
A
O
C
'
B
'
B C
A

 OB’ = OB = OC = r (1)
Xét BC’C có :
0
BC'C 90 (GT)
Tương tự trên  OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Phương pháp 3:
Ta có: BB’  AC (GT) 
0
BB'C 90 .
CC’  AB (GT) 
0
BC'C 90 .
 B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
 B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay tứ giác ' 'BC B C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Cách 3: (Phương pháp 4 và phương pháp 1)
Ta có: BB’  AC (GT) 
0
BB'A 90 .
CC’  AB (GT) 
0
CC'A 90 .
Xét AB B và AC C có 0
90AB B AC C   và BAC chung.
Vậy AB B AC C   (g-g)
'
'
AB AB
AC AC
 
' 'AB AC
AB AC
 
Xét AB C  và ABC ta có
' 'AB AC
AB AC
 và BAC chung. Vậy AB C ABC   (c-g-c)
'C' ABCAB  . Tứ giác ' 'BC B C có góc ngoài tại đỉnh 'B bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy
tứ giác ' 'BC B C nội tiếp. (Phương pháp 2)
Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác ' 'BC B C có 0
' ' ' 180C BC C B C  nên tứ
giác ' 'BC B C là tứ giác nội tiếp
O
C'
B'
B C
A

5. Phân loại bài tập.
180 (hai góc đối diện bù nhau ).
Nhận biết:
Câu 1: Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành. Hình nào nội tiếp được trong đường
tròn? Chứng minh.
Câu 2: Cho tứ giác ABCD sao cho: AD cắt BC tại M và . .MA MD MB MC . Chứng minh
tứ giác ABCD nội tiếp được.
Câu 3: Cho đường tròn  ;O R ,đường kính AB . Dây BC R . Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với
đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M . Gọi E là trung điểm của AC .
Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
Thông hiểu
Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( I
nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD
tại F . Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 5: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB ,điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M
khác A , B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia
BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E ; cắt tia BM
tại F tia BE cắt Ax tại H ,cắt AM tại K .Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
Câu 6: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D
thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E , F ( F ở giữa B và E )
1. Chứng minh: ABD DFB .
2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Vận dụng thấp.
Câu 7: Cho đường tròn  ;O R ; AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp
tuyến tại B của đường tròn  ;O R cắt các đường thẳng AC , AD thứ tự tại E và F .
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ACD CBE 
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
Câu 8: Cho nửa đường tròn đường kính 2BC R . Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ
AH BC . Nửa đường tròn đường kính BH , CH lần lượt có tâm 1O ; 2O cắt AB và
CA thứ tự tại D và E .
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết 25R  và 10BH 
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.

Câu 9: Cho nữa đường tròn  ,O R đường kính AB . Các tia AC , AD cắt Bx lần lượt ở E và
F ( F nằm giữa B và E ).
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp
Vận dụng cao.
Câu 10: Cho ABC cân tại A , I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK . Chứng minh bốn điểm , , ,B I C K cùng thuộc một đường
tròn tâm O
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông ở A  AB AC , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E , nửa đường tròn đường
kính HC cắt AC tại F . Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa O và A . Đường
thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ
nằm trên đoạn thẳng CI ( K khác C và I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O tại M , tia
BM cắt tia CI tại D
Chứng minh:
1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) ~ABD MBC 
3) AKDE là tứ giác nội tiếp.
B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
Nhận biết:
Câu 13: Cho hình thang ABCD / / ,( )AB CD AB CD có 0
60C D  , 2CD AD . Chứng
minh bốn điểm , , ,A B C D cùng thuộc một đường tròn.
Câu 14: Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. , ,M N R và S lần lượt là
hình chiếu của O trên , ,AB BC CD và DA . Chứng minh bốn điểm , ,M N R và S
cùng thuộc một đường tròn.
Câu 15: Cho tam giác ABC có các đường cao BH vàCK .
Chứng minh , , ,B K H C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

Thông hiểu:
Câu 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( I
nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD
tại F . Chứng minh: BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 17: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  ;O R ta vẽ hai tiếp tuyến ,AB AC với đường
tròn ( B , C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M , vẽ MI AB ,
MK AC , MI AB, MK  AC  ,I AB K AC 
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ  MP BC P BC  . Chứng minh: CPMK là tứ giác nội tiếp.
Câu 18: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Lấy I thuộc cạnh AB , M
thuộc cạnh BC sao cho: 0
IEM 90 ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông)
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc IME
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC ; K là giao điểm của BN và tia EM .
Chứng min BKCE là tứ giác nội tiếp.
Vận dụng thấp:
Câu 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 2AB R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB . Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn  O tại D (
D khác B ).
Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 20: Cho hai đường tròn  O và (O ) cắt nhau tại A và B . Vẽ AC , AD thứ tự là đường
kính của hai đường tròn  O và (O ) .
a) Chứng minh ba điểm , ,C B D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn(O ) tại E ; đường thẳng AD cắt đường tròn  O tại
F ( ,E F khác A ). Chứng minh bốn điểm , , ,C D E F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 21: Cho 2 đường tròn  O và (O ) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Đường thẳng
OA cắt  O , (O ) lần lượt tại điểm thứ hai C và D . Đường thẳng O A cắt  O , (O )
lần lượt tại điểm thứ hai E E, F .
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB , CE và DF đồng quy tại một điểm I.
2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.

Vận dụng cao:
Câu 22: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm
N thuộc nửa đường tròn  O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng
qua V và vuông góc với NM cắt ,Ax By thứ tự tại C và D .
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp.
C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”.
Nhận biết:
Câu 23: Cho tam giác ,ABC lấy điểm D thay đổinằm trên cạnh BC (D không trùng với B và
).C Trên tia AD lấy điểm P sao cho D nằm giữa A và P đồng thời
. . .DADP DB DC Đường tròn T đi qua hai điểm ,A D lần lượt cắt cạnh ,AB AC
tại F và E . Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp
Câu 24: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  ;O R ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường
MK AC ( ,I AB K AC  ). Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 25: Cho đường tròn  O có đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N
thuộc nửa đường tròn  O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua
N và vuông góc với MN cắt Ax và By thứ tự tại C và D . Chứng minh ACNM và
BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
Thông hiểu:
Câu 26: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn  ;O R ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường
MK AC ( ,I AB K AC  )
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP BC  P BC . Chứng minh: MPK MBC .
Câu 27: Cho đường tròn  ;O R có đường kính AB . Vẽ dây cung CD vuông góc với AB ( CD
không đi qua tâm O ). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S ; SC cắt  ;O R tại điểm thứ
hai là M . Gọi H là giao điểm của MA và BC ; K là giao điểm của MD và AB .
Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp.

Câu 28: Cho đường tròn  O có đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N
thuộc nửa đường tròn  O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua
N và vuông góc với MN cắt Ax và By thứ tự tại C và D .
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ANB CMD  .
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM , K là giao điểm của BN và DM . Chứng minh
IMKN là tứ giác nội tiếp.
IEM 90 ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông
).
Chứng min BKCE là tứ giác nội tiếp.
Câu 30: Cho đường tròn  O với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC
sao cho AC AB và AC BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC . Các tiếp
tuyến của  O tại D và C cắt nhau tại E . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của các cặp
đường thẳng AB với CD ; AD với CE .
1) Chứng minh rằng: / /DE BC
2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
Câu 31: Cho tam giác ABC có 0
90C B  , đường cao AH và trung tuyến AM .
a) Chứng minh rằng nếu 0
90BAC  thì BAH MAC .
b) Nếu BAH MAC thì tam giác ABC có vuông không, tại sao?
Vận dụng cao:
Câu 32: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD , tâm O . Hai
đường chéo AC và BD cắt nhau tại E . Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD
và I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng:
1) Các tứ giác ABEH , DCEH nội tiếp được đường tròn.
2) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH .
3) Năm điểm , , , ,B C I O H cùng thuộc một đường tròn.

IEM 90 ( I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông).
Chứng minh BKCE là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra : CK BN .
Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  O , đường cao BD , CE cắt nhau tại H
 ;D AC E AB  . Kẽ đường kính BK , Kẽ CP BK  P BK
a) Chứng minh rằng BECD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng EDPC là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra ED CP
( trích HK2-Sở Bắc Ninh 2016-2017)

HƯỚNG DẪN GIẢI
180 (hai góc đối diện bù nhau ).
Nhận biết:
Câu 1:
Ta có hình chữ nhật và hình thang cân đều có tổng hai góc đối
diện bù nhau nên chúng nội tiếp trong một đường tròn.
Câu 2:
Xét hai tam giác MAB , MCD
Có AMB CMD và . .
MA MC
MA MD MB MC
MB MD
   hay
MAB MCD  hay o
180MCD MAB DAB BCD   
hay tứ giác ABCD nội tiếp được
Câu 3:
Ta có E là trung điểm của AC OE AC 
Mà Bx AB o
ABx 90  nên tứ giác OBME nội tiếp.
Thông hiểu
Câu 4:
Tứ giác BEFI có: 0
BIF 90 (gt) 0
BEF BEA 90  (gócnội
tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF .
Câu 5: .
Ta có: 90o
AMB  ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
90o
KMF  (vì là hai góc kề bù).
90o
AEB  ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 90o
KEF  (vì là hai
góc kề bù).
180o
KEF KMF   do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
Câu 6:
F
E
I O
D
C
BA
M
D
C
A
B

1) ADB có o
90ADB  ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
o
90ABD BAD   (vì tổng ba góc của một tam giác
bằng o
180 )(1)
ABF có o
90ABF  ( BF là tiếp tuyến ).
o
90AFB BAF   (vì tổng ba góc của một tam giác
bằng o
180 ) (2)
Từ (1) và (2) ABD DFB 
2) Tứ giác ACDB nội tiếp  O o
180ABD ACD   .
o
180ECD ACD    ( Vì là hai góc kề bù) ECD DBA 
Theo trên ABD DFB , ECD DBA ECD DFB  . Mà o
180EFD DFB  ( Vì
là hai góc kề bù) nên o
180ECD AEFD   , do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội
tiếp.
Vận dụng thấp.
Câu 7:
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,
suy ra ACBD là hình chữ nhật.
b) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật suy ra
0
CAD BCE 90  (1).
Lại có
1
CBE
2
 sđ BC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung);
1
ACD
2
 sđ AD (góc nội
tiếp), mà BC AD (do BC AD ) CBE ACD  (2).
Từ (1) và (2) suy ra ACD CBE  .
c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE DFE (3).
Từ (2) và (3) suy ra ACD DFE do đó tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
D
C
A O B
F
E
X
FE
O
D
C
B
A

Câu 8:
a) Ta có o
BAC 90 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có o
BDH CEH 90 
Xét tứ giác ADHE có o
A ADH AEH 90  
hay ADHE là hình chữ nhật.
Từ đó DE AH mà 2
.=AH BH CH (Hệ thức
lượng trong tam giác vuông)
hay  2 2
10.40 20 10; 2.25 10 40 20AH BH CH DE      
b) Ta có:BAH = C (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH ADE (1)
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => C ADE do o
C BDE 180  nên tứ giác BDEC nội
tiếp đường tròn.
Câu 9:
D
C
A O B
F
E
X
thật vậy. ABD BFD (1) (cùng phụ với DBF )
Mặt khác , , ,A B C D cùng nằm trên một đường tròn nên ECD ABD (2)
Từ (1) và (2) 180o
ECD BFD ECD EFD    hay CEFD là tứ giác nội tiếp
O1 O2
D
O
B CH
A
E

Vận dụng cao.
Câu 10:
Theo giả thiết ta có: 1 2 3 4B = B , B = B Mà
0
1 2 3 4B + B + B + B = 180 0
2 3B B 90 
Tương tự 0
2 3C + C = 90
Xét tứ giác BICK có 0
B + C = 180  bốn
điểm , , ,B I C K thuộc đường tròn tâm O đường
kính IK .
Câu 11:
Từ giả thiết suy ra
0 0
CFH = 90 , HEB = 90 . (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
Trong tứ giác AFHE có: o
A=F=E= 90
AFHE là hình chữ nhật
2) Vì AFHE là hình chữ nhật  AFHE nội tiếp
AFE = AHE (góc nội tiếp chắn AE ) (1)
Ta lại có AHE = ABH (góc có cạnh tương ứng
 ) (2)
Từ (1) và (2)
 AFE = ABH mà 0
CFE + AFE = 180
0
CFE + ABH = 180 .
Vậy tứ giác BEFC nội tiếp.
Câu 12:
1) Ta có: 0
AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) 0
AMD 90  . Tứ giác ACMD
có 0
AMD ACD 90  , suy ra ACMD nội
tiếp đường tròn đường kính AD .
2) ABD và MBC có: B chung và BAD BMC (do ACMD là tứ giác nội tiếp).
Suy ra: ~ABD MBC  (g – g)
3) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC BDC , lại có: BDC CAK
(cùng phụ với B ), suy ra: EDC CAK . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp.
2
1
2
3
44
1
3
K
I
HB C
A
O
E
D
M
I
C
K
O
BA

B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
Nhận biết:
Câu 13:
Gọi I là trung điểm CD , ta có
/ /
IC AB
ICBA
IC AB



là hình hành BC AI  (1)
Tương tự AD BI (2)
ABCD là hình thang có 0
60C D  nên ABCD là hình thang cân(3); mà
Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ;ICB IAD đều hay DIA IB IC I   hay bốn điểm
, , ,A B C D cùng thuộc một đường tròn.
Câu 14:
Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của ,BDAC ; ,BDAC là phân giác góc
, , ,A B C D nên MAO SAO NCO PDO OM ON OP OS           hay bốn
điểm , ,M N R và S cùng thuộc một đường tròn.
I
D C
A B
M
S
N
R
O
B
D C
A

Câu 15:
Gọi I là trung điểm CB , do ;CHB CKB  vuông tại ,H K nên IC IB IK IH   hay
, , ,B K H C cùng nằm trên một đường tròn tâm I .
Thông hiểu:
Câu 16:
Tứ giác BEFI có: 0
BIF 90 (gt)
0
BEF BEA 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính
BF
Câu 17:
a) Ta có: 0
AIM AKM 90  (gt), suy ra tứ giác AIMK nội
tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tứ giác CPMK có 0
MPC MKC 90  (gt).
Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
I
K
H
B C
A
F
E
I O
D
C
BA
H
O
P
K
I
M
C
B
A

Câu 18:
a)Tứ giác BIEM : 0
IBM IEM 90  (gt);hay tứ giác
BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM .
b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: 0
IME IBE 45 
(do ABCD là hình vuông).
c) EBI và ECM có BE CE , BEI CEM ( do
0
IEM BEC 90  )
 =EBI ECM  (g-c-g) MC IB MB IA  
Vì / /CN BA nên theo định lí Thalet, ta có:
MA MB
MN MC
 =
IA
IB
. Suy ra IM song song với BN
(định lí Thalet đảo)
0
BKE IME 45   (2). Lại có 0
BCE 45 (do ABCD là hình vuông).
Suy ra BKE BCE  BKCE là tứ giác nội tiếp.
Câu 19:
Vì ,MA MC là tiếp tuyến nên: 0
MAO MCO 90   AMCO là tứ giác nội tiếp đường
tròn đường kính MO.
0
ADB 90 (gócnội tiếpchắnnửađườngtròn) 0
ADM 90  (1)
Lại có: OA OC R  ; MA MC (tính chất tiếp tuyến). Suyra OM là đường trung trực của
AC 0
AEM 90  (2).
Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
x
N
I
H
E
DM
C
O BA
I
E
M
N
B C
A D
K

Câu 20:
a) ABC và ABDlần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O và (O )
0
ABC ABD 90  
Suy ra , ,C B D thẳng hàng.
b) Xét tứ giác CDEF có:
0
CFD CFA 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
0
CED AED 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/
)
0
CFD CED 90   suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp.
Câu 21:
Ta có: o
ABC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
o
ABF 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng. AB , CE và
DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.
2. Do 0
IEF IBF 90  suy ra BEIF nội tiếp đường tròn.
d
K
I
N
M
F E
O/
O
C
D
B
A
I
Q
O O'
F
H
P
E
D
C B
A

Vận dụng cao:
Câu 22:
a)Ta có tứ giác ACNM có: 0
MNC 90 (gt) 0
MAC 90 ( tínhchất tiếp tuyến).
 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM
nội tiếp đường tròn đường kính. MD
b) ANB và CMD có:
ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB CMD  (g.g)
c) ANB CMD   o
CMD ANB 90  (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn  O )
Suy ra 0
IMK INK 90   IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK
C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”.
Nhận biết:
Câu 23:
Ta có . .
DA DC
DA DP DB DC
DB DP
   mà
ADB CDP nên hai tam giác ,ADB CDP đồng
dạng. Suy ra, DAB DCP Tứ giác ABPC
nội tiếp.
KI
yx
D
C N
M O BA
1
1
1
1
1
2
P
HK
F
E
D
CB
A

Câu 24:
Ta có: 0
AIM AKM 90  (gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính
AM .
Câu 25:
Tứ giác ACNM có: o
MNC 90 (gt) o
 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM
nội tiếp đường tròn đường kính MD .
Thông hiểu:
Câu 26:
a) Ta có: 0
AIM AKM 90  (gt), suy ra tứ giác AIMK
nội tiếp đường tròn đường kính AM .
b) Tứ giác CPMK có 0
MPC MKC 90  (gt). Do đó
CPMK là tứ giác nội tiếp MPK MCK  (1).
Vì KC là tiếp tuyến của  O nên ta có: MCK MBC
(cùng chắn MC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra MPK MBC (3)
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội
tiếp.
H
O
P
K
I
M
C
B
A
KI
yx
D
C N
M O BA
H
O
P
K
I
M
C
B
A

Câu 27:
Vì AB CD nên AC AD .
Suy ra MHB MKB (vì cùng bằng
1
(sdAD sdMB)
2
  tứ giác BMHK nội
tiếp được đường tròn.
Câu 28:
a) Tứ giác ACNM có: o
MNC 90 (gt)
o
 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường
kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp
đường tròn đường kính MD .
b) ∆ANB và ∆CMD có:
ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)  ANB CMD  (g.g)
c) ANB CMD   o
CMD ANB 90  (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn (O)).
Suy ra o
IMK INK 90   IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK
Câu 29:
a)Tứ giác BIEM : 0
IBM IEM 90  (gt);hay tứ giác
BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM .
IME IBE 45 
c) EBI và ECM có BE CE , BEI CEM ( do
0
IEM BEC 90  )
 =EBI ECM  (g-c-g)  MC IB MB IA  
I
E
M
N
B C
A D
K
KI
yx
D
C N
M O BA

Vì / /CN BA nên theo định lí Thalet, ta có:
MA MB
MN MC
 =
IA
IB
. Suy ra / /IM BN (định
lí Thalet đảo)
0
BKE IME 45   (2). Lại có 0
Câu 30:
1)
1
CDE DC BD = BCD
2
1
2
Sđ Sđ / /DE BC
2)
1
APC (AC - DC) = AQC
2
sđ
 PACQ nội tiếp đường tròn (vì APC = AQC)
Câu 31:
Ta có: BAH BCA (cùng phụ với ABC )
MCA MAC (Tam giác MAC cân tại M theo tính chất trung tuyến trong tam giác
vuông)
Suy ra BAH MAC
b) Giả sử tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
Kẻ đường cao CN của tam giác ABC
Ta có MAC BAH (giả thiết)
BAH BCN (cùng phụ với ABC )
MCN MNC (Tam giác MNC cân tại N )
Suy ra MAC MNC . Do đó ACMN là tứ giác
nội tiếp mà 0 0
90 90ANC AMC H M  
Suy ra tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết)
Vậy khi BAH MAC thì tam giác ABC là tam giác vuông
q
o
p
ed
cb
a
M
H
B
A C
N

Vận dụng cao:
Câu 32:
1) Tứ giác ABEH có: o
B = 90 (góc nội tiếp trong
nửa đường tròn); o
H = 90 (giả thiết)
nên tứ giác ABEH nội tiếp được.
Tương tự, tứ giác DCEH có o
C = H = 90 , nên
nội tiếp được.
2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH , ta có:
EBH = EAH (cùng chắn cung EH )
Trong  O ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD).
Suy ra: EBH = EBC, nên BE là tia phân giác của góc HBC.
Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE là tia phân giác của góc BCH .
Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH .
3) Ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD , nên BIC = 2EDC
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung EC ). Mà EDC = EHC, suy ra BIC = BHC
+ Trong  O , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC ).
Hay năm điểm , , , ,B C I O H cùng thuộc một đường tròn.
Câu 33:
a) Tứ giác BIEM có: 0
IBM IEM 90  (gt); suy ra tứ
giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM.
IME IBE 45 
c) EBI và ECM có: 0
IBE MCE 45  , BE CE
, BEI CEM ( do 0
IEM BEC 90  )
I
OH
E
D
C
B
A
I
E
M
N
B C
A D
K

 . .EBI ECM g c g MC IB MB IA       . Vì / /CN BA nên theo định lí
Thalet, ta có:
MA MB
MN MC
 =
IA
IB
. Suy ra / /MI BN (định lí Thalet đảo)
0
BKE IME 45   (2). Lại có 0
Suy ra: 0
BKC BEC 180  mà 0
BEC 90 ; suy ra 0
BKC 90 ; hay CK BN .
Câu 34:
Do , ,E D P nhìn BC dưới một góc vuông nên , , , ,B E D P C nằm trên một đường tròn
đường kính BC .
Nên BECD , EDPC là tứ giác nội tiếp.
Phương pháp 4 ta có thể chứng minh bằng cách đưa về phương pháp 1.
Phương pháp 5 ta chỉ ra tam giác đồng dạng rồi đưa về chứng minh như phương pháp 3.
Tài liệu ở đây chỉ tập trung vào 3 phương pháp hay gặp trong đề tuyển sinh THPT
Chúc các em học tốt!
P
K
H
E
D
O
B
A
C

Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Similar to Chuyên đề tứ giác nội tiếp (20)

More from Toán THCS

More from Toán THCS (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (14)

Chuyên đề tứ giác nội tiếp