Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960
“Hệ thức lượng trong tam giác vuông”

Nội dung
A – LÝ THUYẾT................................................................................................................................... 3
B – CÁC VÍ DỤ. ................................................................................................................................... 5
DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác................ 5
DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh............................... 6
DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. ............................................................................. 7
DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh. ................ 8
DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác............ 9
DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh................. 10
C – BÀI TẬP ÁP DỤNG................................................................................................................... 11
DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác.................. 11
DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh............................. 11
DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. ........................................................................... 12
DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh. .............. 12
DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác.......... 13
D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ ........................................................................................................ 16
DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác.................. 16
DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh............................. 20
DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. ........................................................................... 22
DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh. .............. 24
DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác.......... 29
E. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN ................................................................. 35
1. Hệ thức về cạnh và đường cao ................................................................................................ 35
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn................................................................................................. 39
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông...................................................................... 41

CHUYÊN ĐỀ - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A – LÝ THUYẾT
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I . Hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài
việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam
giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:
1) 2 2 2
a b c .
2) 2 2
. '; . 'b a b c a c
3) 2
'. 'h b c
4) . .a h bc .
5) 2 2 2
1 1 1
h b c
.
6)
2
2
'b b
a a
.
Chú ý: Diện tích tam giác vuông:
1
2
S ab
II . Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
 sin =
đối
huyền
; cos =
kề
huyền
;
tan =
đối
kề
; cot =
kề
đối
.
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:
sin ;cos ;tan ;cot
AB AC AB AC
BC BC AC AB
+ Nếu là một góc nhọn thì
0 sin 1;
0 cos 1;
tan 0;cot 0
c’
A
H C
h
B
c b
b’
a
α
Cạnh đối
Cạnh huyền
Cạnh kề
C
B
A

2. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và tan góc này bằng cot góc
kia.
 Nếu  +  = 900 thì: sin = cos ; cos = sin ;
tan = cot ; cot = tan .
 Nếu hai góc nhọn và có sin sin hoặc cos cos thì .
3. 2 2
sin cos 1; .cot 1tg g
4. Với một số góc đặc biệt ta có:
Góc 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90 0
120 0
135 0
150 0
180
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
 2
2

3
2
 -1
Tan 0
3
3
1 3 KXD 3 -1
3
3
 0
Cot KXĐ 3 1
3
3
0
3
3
 - 1 3 KXĐ
II . Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông:
1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề.
.sin cos ; .sin .cos ; . .cot ;b a B a C c a C a B b ctgB c gC . .cotc btgC b gC
b = a . sinB = a . cosC
c = a . sinC = a . cosB
b = c . tanB = c . cotC
c = b . tanC = b . cotB

2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông
đó.
B – CÁC VÍ DỤ.
DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.
Giải:
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao của hình
thang. Ta có BE // AC, AC  BD nên BE  BD.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác
vuông BDH,
ta có: BH2
+ HD2
= BD2
 122 + HD2 = 152  HD2 = 225 – 144 = 81
 HD = 9 (cm).
Xét tam giác BDE vuông tại B:
BD2 = DE . DH  152 = DE . 9  DE = 225 : 9 = 25 (cm).
Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm).
Do đó: S
ABCD
= 25 . 12 : 2 = 150 (cm2
).
Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường
chéo vuông góc với cạnh bên. Tính đường cao của hình thang.
Giải:
Gọi AH, BK là đường cao của hình thang. Đặt
AB = AH = BK = x. Dễ dàng chứng minh được
DH = CK =
10
2
x
. Do đó HC =
10
2
x
Xét tam giác ADC vuông tại A, ta có AH = HD . HC. Do đó:
2
2 10 10 100
.
2 2 4
x x x
x
  
 
Từ đó x = 2 5 cm. Vậy đường cao của hình thang bằng 2 5 cm.
A
D
B
H C E
A B
D H K C

Ví dụ 3: Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung
tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
Giải:
Kí hiệu như hình bên. Đặt AM = x, ta có
BC = 2x, AH = x – 7.
Theo các hệ thức trong tam giác vuông:
AB2
+ AC2
= BC2
= 4x2
(1)
AB . AC = BC . AH = 2x(x – 7). (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AB2
+ AC2
+ 2AB.AC = 4x2
+ 4x(x – 7)
 (AB + AC)2
= 8x2
– 28x  (72 – 2x)2
= 8x2
– 28x.
Đưa về phương trình x2
+ 65x – 1296 = 0  (x – 16)(x + 81) = 0.
Nghiệm dương của phương trình là x = 16. Từ đó BC = 32cm, AH = 9cm.
Vậy diện tích tam giác ABC là: 32 . 9 : 2 = 144 (cm2
).
DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh.
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD có oB = C = 90 , hai đường chéo vuông góc với nhau
tại H. Biết rằng AB = 3 5 cm; HA = 3cm. Chứng minh rằng:
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8
b) 2 2 2 2
1 1 1 1
AB CD HB HC
  
Giải:
a) Muốn chứng tỏ HA, HB, HC,
HD tỉ lệ với 1, 2, 4, 8 trước tiên ta tính
độ dài của các đoạn thẳng đó.
 Áp dụng hệ thức b2 = ab’ vào tam
giác vuông BAC ta được
AB2
= AC . AH
A
x
B H M C
A
3
B
H
CD

 AC =
2
AB
AH
= 15cm  HC = 12cm.
 Áp dụng hệ thức h2
= b’c’ vào tam giác vuông BAC và tam giác vuông CBD ta
được:
BH2
= HA . HC = 36  BH = 6 (cm);
CH2
= HB . HD  HD =
2
CH
HB
= 24 (cm).
Vậy HA : HB : HC : HD = 3 : 6 : 12 : 24 = 1 : 2 : 4 : 8.
b) Áp dụng hệ thức 2 2 2
1 1 1
= +
h b c
vào tam giác vuông BAC và CBD ta được:
2 2 2
1 1 1
HB AB BC
  ; 2 2 2
1 1 1
HC BC CD
 
Trừ từng vế của hai đẳng thức ta được: 2 2 2 2
1 1 1 1
AB CD HB HC
  
Nhận xét:
- Trong câu a, để tính HB ta có thể áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông HAB
(vì đã biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
- Trong câu b, điều gì gợi ý cho ta áp dụng hệ thức 2 2 2
1 1 1
= +
h b c
? Đó là vì đẳng thức
cần chứng minh có chứa các nghịch đảo bình phương của các cạnh góc vuông, của
đường cao ứng với cạnh huyền. Vì vậy ta đã vận dụng hệ thức này vào các tam giác
vuông thích hợp.
DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB = 7,5cm; AH = 6cm.
a) Tính AC, BC;
b) Tính cosB, cosC.
Giải: a) Tam giác ABH vuông ở H, theo định lí Py-
ta-go, ta có:
BH2
= AB2
– AH2
= 7,52
– 62
= 20,25
suy ra BH = 20,25 = 4,5 (cm).
A
HB C
7,5 6

Tam giác ABC vuông ở A, có AH  BC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta
có:
AB2
= BH . BC, suy ra BC =
2 2
AB 7,5 56,25
BH 4,5 4,5
  = 12,5 (cm).
Lại áp dụng định lý Py-ta-go với tam giác vuông ABC, ta có:
AC2
= BC2
– AB2
= 12,52
– 7,52
= 156,25 – 56,25 = 100.
suy ra AC = 100 = 10 (cm)
Vậy AC = 10cm, BC = 12,5cm.
b) Trong tam giác vuông ABC, ta có:
cosB =
AB 7,5
BC 12,5
 = 0,6 ;
cosC =
AC 10
BC 12,5
 = 0,8 .
Trả lời: cosB = 0,6 ; cosC = 0,8.
DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh.
Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh
rằng: Với góc nhọn  tùy ý, ta luôn có:
a)
2 2
sin cos 1    ;
c)
2
2
1
1 tan
cos
  

;
b) tan . cot = 1 ;
d)
2
2
1
1 cot
sin
  

.
Giải:
Xét tam giác ABC vuông ở A. Đặt B , BC = a, CA = b, AB = c (h6). Theo định
nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
AC b
sin sinB
BC a
    ;
AB c
cos cosB
BC a
    ;
AC b
tan tanB
AB c
    ;
A
aB C
c b


AC c
cot cotB
AB b
    .
Vậy:
a)
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
b c b c a
sin cos 1
a a a a

        (vì b2
+ c2
= a2
)
b)
b c bc
tan . cot . 1
c b cb
     .
c)
2 2 2 2
2
22 2 2 2
2
b c b a 1 1
1 tan 1
cc c c cos
a

       

.
d)
2 2 2 2
2
22 2 2 2
2
c b c a 1 1
1 cot 1
bb b b sin
a

       

.
DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AC = 15cm, B 50 . Hãy tính độ dài:
a) AB, BC ;
b) Phân giác CD.
Giải:
a) Tam giác ABC vuông ở A, theo hệ thức lượng
về cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
AB = AC.cotB = 15.cot500
 15 . 0.8391  12,59
(cm).
AC = BC.sinB, suy ra
AC 15 15
BC 19,58(cm)
sinB 0,7660sin50
   
Vậy AB  12,59 cm, BC  19,58 cm.
b) Tam giác ABC vuông ở A nên B C 90  ,
suy ra C 90 B 90 50 40     .

CD là tia phân giác của góc C, ta có
1 1
ACD C .40 20
2 2
  
Trong tam giác vuông ACD vuông ở A, theo hệ thức lượng về cạnh và góc, ta có:
AC CD.cosACD CD.cos20  , suy ra:
AC 15
CD 15,96(cm)
cos20 0,9397
  
Trả lời: CD  15,96cm.
DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, hai đường cao BH, CK.
Chứng minh rằng nếu AB > AC thì BH > CK.
Giải:
Giả sử AB > AC. Trong tam giác vuông
AHB, ta có:
BH = AB.sinA (1)
Trong tam giác vuông AKC, ta có:
CK = AC.sin A (2)
BK AB.sinA AB
1.
CK AC.sinA AC
  
(vì sinA > 0 và AB > AC), do đó BH > CK.

C – BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 7, AH =
42cm. Tính BH, HC.
Bài tập 2: Biết tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5 : 6, cạnh huyền là
122cm. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết BH : HC = 9 : 16, AH =
48cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác.
Bài tập 4: Trong một tam giác vuông, tỉ số giữa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh
góc vuông bằng 40 : 41. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó, biết
cạnh huyền bằng 41cm.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB = 6cm, AC = 8cm. Các đường phân
giác trong và ngoài của góc B cắt AC lần lượt ở D và E. Tính các đoạn thẳng BD
và BE.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD, đường cao AH. Biết CD = 68cm,
BD = 51cm. Tính BH, HC
Bài tập 7: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi B1, C1
là hai điểm tương ứng trên các đoạn HB, HC. Biết 1 1
oABC = AC B = 90 . Tam giác
AB1C1 là tam giác gì? Vì sao?
Bài tập 8: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông của tam
giác là 9cm, còn tổng hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 6cm. Tính chu vi và
diện tích của tam giác vuông đó.
DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh
Bài tập 9: Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B. Tia DI cắt BC ở E. Đường
thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F.
a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng 2 2
1 1
+
DI DE
không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC có oA < 90 , đường cao BH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c,
AH = c’, HC = b’. Chứng minh rằng: a2
= b2
+ c2
– 2bc’

Bài tập 11: Cho tam giác ABC có oB = 60 , AC = 13cm và BC – BA = 7cm. Tính độ dài
các cạnh AB, BC.
Bài tập 12: Cho tam giác ABC có oA > 90 , đường cao BH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c,
AH = c’, HC = b’. Chứng minh rằng: a2
= b2
+ c2
+ 2bc’
Bài tập 13: Cho tam giác ABC cân ở B và điểm D trên cạnh AC. Biết oBDC = 60 , AC
= 3dm, DC = 8dm. Tính độ dài cạnh AB.
Bài tập 14: Biết
5
sin
13
  , tính cos, tan, cot.
Bài tập 15: Biết
7
tan
24
  , tính sin, cos, cot.
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết sinB =
1
4
, tính tanC?
Bài tập 17: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC. Tính tanB : tanC.
Bài tập 18: Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, CA = b và AB = c.
Chứng minh rằng:
a b c
.
sinA sinB sinC
 
Bài tập 19: Cho hai tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE.
Chứng minh: ADE  ABC.
Bài tập 20: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy tính:
a) 2 2 2 2
sin 10 sin 20 ... sin 70 sin 80    ;
b)
2 2 2 2 2 2
cos 12 cos 1 cos 78 cos 53 cos 89 cos 37 3.     
Bài tập 21:
a) Biết
1
cos
3
  , tính A =
2 2
3sin cos   .
b) Biết
8
sin
17
  , tính B =
2 2
4sin 3cos  .
Bài tập 22: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của hai
cạnh với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

Bài tập 23: Cho tam giác nhọn ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b. Tính độ dài
AD theo b, c và A .
Bài tập 24: Chứng minh rằng với góc nhọn  tùy ý, mỗi biểu thức sau không phụ thuộc
vào :
a) A =
2 2
(sin cos ) (sin cos )     ;
b) B = 6 6 2 2sin cos 3sin cos     
Bài tập 25: Cho tam giác ABC có BC = a, Ca = b, AB = c và b + c = 2a. Chứng minh:
a) 2sinA = sinB + sinC ;
b)
2 1 1
h h h
a b c
  , trong đó ha, hb, hc lần lượt là chiều cao của tam giác ứng với
các cạnh a, b, c.
Bài tập 26: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng
minh rằng:
A a
sin
2 2 bc

Bài tập 27: Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau.
Chứng minh: cotB + cotC ≥
2
3
Bài tập 28: Cho tam giác ABC vuông ở A, C   ( < 450), trung tuyến AM, đường cao
AH. Biết BC = a, CA = b, AH = h. Hãy biểu thị sin, cos, sin2 theo a, b, h rồi chứng
minh hệ thức: sin2 = 2sincos.
Bài tập 29: Giải tam giác vuông ABC vuông ở A, biết:
a) a = 50cm; B 50 ;
b) b = 21cm; C 41 ;
c) c = 25cm; B 32 .
Bài tập 30: Tam giác ABC có B 70 , C 35 , đường cao AH = 5cm. Tính các cạnh
của tam giác.

Bài tập 31: Tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết HB = 12,5cm, HC = 32cm và
B 65 . Tính AB, AC.
Bài tập 32: Cho tam giác ABC, hai đường cao BH, CK. Chứng minh rằng nếu AB > AC
thì BH > CK.
Bài tập 33: Cho tam giác ABC có các cạnh dài 6cm, 7cm và 7cm. Tính các góc của tam
giác này.
Bài tập 34: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm và B 60 .
a) Tính BC ;
b) Tính SABC.
Bài tập 35: Một hình bình hành có hai cạnh là 15cm và 18cm và góc tạo bởi hai cạnh
đó bằng 1350
. Tính diện tích của hình bình hành ấy.
Bài tập 36: Cho hình bình hành ABCD có A 45 , AB = BD = 18cm.
a) Tính AD.
b) Tính SABCD.
Bài tập 37: Cho tam giac ABC vuông ở A, đường cao AH.
Đặt BC = a, CA = b và AB = c.
a) Chứng minh AH = asinBcosB ; BH = acos2
B , CH = asin2
B ;
b) Từ đó suy ra AB2
= BC . BH và AH2
= BH . HC.
Bài tập 38: Một khúc sông rộng khoảng 240m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng
nước đẩy phải chèo khoảng 300m mới tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò
đi một góc bằng bao nhiêu?
Bài tập 39: Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển, nhìn một chiếc
tàu ở xa với góc  = 100
. Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là bao nhiêu mét?
Bài tập 40: Một người quan sát đứng cách một chiếc tháp 10m, nhìn thấy chiếc tháp
dưới góc 550
, được phân tích như hình bên. Tính chiều cao của tháp.

D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Bài tập 1:
ABH  CAH (g – g), ta có:
AB AH
AC CH
 hay
3 42
=
7 CH
,
Suy ra CH =
42.7
3
= 98 (cm).
Mặt khác BH . CH = AH2
, do đó:
BH =
2 2
AH 42
=
CH 98
= 18 (cm).
Bài tập 2:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, có AB :
AC = 5 : 6 và BC = 122cm.
Vì AB : AC = 5 : 6 nên
AB AC
= = k
5 6
;
Suy ra AB = 5k, AC = 6k.
Tam giác ABC vuông ở A, theo định lý Py-ta-
go, ta có:
AB2
+ AC2
= BC2
hay
(5k)2 + (6k)2 = 1222, suy ra 61k2 = 1222, do đó k2 = 244, suy ra k  15,62
Vậy AB  15,62 . 5 = 78,1 (cm)
AC  15,62 . 6 = 93,72 (cm).
Kẻ AH  BC. Theo hệ thức lượng về cạnh góc vuông với hình chiếu của nó trên cạnh
huyền, ta có:
AB2
= BH . BC, suy ra BH =
2 2AB 78,1 6099,61
=
BC 122 122
  50 (cm)
AC2 = HC . BC, suy ra HC = 41  72 (cm)
Vậy: Độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là:
BH  50cm; HC = 72cm.
A
42
HB C
A
B H C

Bài tập 3:
BH : CH = 9 : 16 nên
BH CH
= = k
9 16
, suy ra BH = 9k, CH = 16k.
Mặt khác BH . CH = AH2
, do đó 9k . 16k = 482
hay (12k)2
= 482
nên k = 4.
Từ đó ta có BH = 36cm, HC = 64cm và BC = 100cm.
Tam giác AHB vuông ở H, ta có:
2 2 2 2AB = BH +AH = 36 +48 = 3600 = 60 (cm).
Tam giác AHC vuông ở H, ta có:
2 2 2 2AC = HC +AH = 64 +48 = 6400 = 80 (cm).
Bài tập 4: Giả sử tam giác ABC vuông ở A với đường cao AH trung tuyến
AM và AH : AM = 40 : 41. Do đó nếu AH = 40a thì AM = 41a.
Tam giác AHM vuông ở H, ta có:
HM2
= AM2
– AH2
= (41a)2
– (40a)2
= 81a2
, suy ra HM = 9a.
Từ đó CH = CM + MH = MA + MH = 50a.
AHB  CHA (g – g) nên:
AB HA 40 4
AC HC 50 5
   ,
suy ra
AB AC
4 5
 . Do đó:
2 2 2 2 2
AB AC AC AB BC 41
1
16 25 41 41 41

     .
Suy ra: AB2
= 16, do đó AB = 4 (cm).
AC2
= 25, do đó AC = 5 (cm).
A
HB M C

Bài tập 5: Tam giác ABC vuông ở A:
BC2
= AB2
+ AC2
= 62
+ 82
= 100,
suy ra BC = 10 (cm).
BD là phân giác của góc ABC, ta có:
AD AB 6
DC BC 10
 
suy ra
AD 6
DC AD 10 6

 
hay
AD 6
AC 16
 hay
AD 6
8 16

do đó AD =
6.8
16
= 3 (cm).
BD và BE theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B nên BD  BE.
Tam giác BDE vuông ở B, có BA  DE nên:
BA2
= AD . AE suy ra AE =
2 2AB 6
AD 3
 = 12 (cm).
Mặt khác với tam giác vuông BDE, ta lại có:
BD2
= AD . DE = 3 . 15 = 45, suy ra BD = 3 5 (cm).
BE2
= EA . ED = 12 . 15 = 180, suy ra BE = 6 5 (cm).
Bài tập 6: Đặt BC = a, CA = b, AB = c, BH = c’ và HC = b’
Ta có: b2
= ab’ , c2
= ac’
suy ra
2b b'
c c'
 
 
 
(1)
AD là phân giác của góc A nên:
b DC 68 4
c DB 51 3
   (2)
A
HB D C
c b
c’ b’

Từ (1) và (2) suy ra
2b' 4 16
c' 3 9
 
  
 
Do đó
b' c' b' c' 68 51 119
16 9 16 9 25 25
 
   

Suy ra b’ =
119.16
25
= 76,16 ; c’ =
119.9
25
= 42,84.
Vậy BH = 42,84cm, HC = 76,16cm.
Bài tập 7:
Tam giác AB1C vuông ở B1, có B1D 
AC
nên: AB12 = AD . AC (1)
Tam giác AC1B vuông ở C1,
có C1E  AB
nên: AC1
2
= AE . AB (2)
Mặt khác ABD  ACE (g – g), ta có
AB AD
AC AE
 hay AB . AE = AD . AC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AB1
2
= AC1
2
suy ra AB1 = AC1
Vậy tam giác AB1C1 là tam giác cân tại A.
Bài tập 8: Giả sử tam giác vuông có cạnh huyền là a, hai cạnh góc vuông là b và c.
Giả sử a lớn hơn b là 9cm. Theo đề bài ta có:
a – b = 9 (1)
b + c – a = 6 (2)
b2
+ c2
= a2
(3)
Từ (1) và (2) ta có c = 15.
Thay c = 15, b = a – 9 vào (3), ta được:
(a – 9)2
+ 152
= a2
 a2
– 18a + 81 + 225 = a2
 –18a + 306 = 0
 a = 17.
Suy ra b = 17 – 9 = 8. Vậy a = 17cm, b = 8cm và c = 15cm.
B1
C1

DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh.
Bài tập 9:
a) AID = CFD (g.c.g) nên DI = DF. Vậy tam giác DIF
là tam giác vuông cân ở D.
b) Tam giác EDF vuông ở D, có DC  EF
suy ra 2 2 2
1 1 1
DE DF DC
  , mà DF = DI
do đó 2 2 2
1 1 1
DE DF DC
  không đổi.
Bài tập 10:
Xét hai trường hợp: H nằm giữa A và C; H nằm trên tia đối của tia CA.
Cả hai trường hợp ta đều có:
HC2 = (AC – AH)2 = (AH – AC)2 = (b – HA)2
Do đó:
BC2
= BH2
+ HC2
= (AB2
– AH2
) + (b – AH)2
Hay a2 = c2 – AH2 + b2 – 2.b.AH + AH2
= b2
+ c2
– 2bc’.
A B
D C
F
I
E
b
c’

Bài tập 11: Kẻ AH  BC.
Tam giác vuông AHB có oB = 60 nên oBAH = 30 , suy ra BH =
1
2
AB.
Trong tam giác ABC cạnh AC đối
diện với góc nhọn nên theo bài 10, ta
có:
AC2
= AB2
+ BC2
– 2BC.BH (1)
Do BC – AB = 7 nên BC = 7 + AB.
Thay BC = 7 + AB và BH =
1
2
AB
vào (1) ta được:
AB2
+ 7AB – 120 = 0.
 (AB – 8)(AB + 15) = 0.
Vì AB + 15 > 0 nên AB – 8 = 0  AB = 8, suy ra BC = 15.
Vậy AB = 8cm, BC = 15cm.
Bài tập 12:
Ta có:
a2 = BH2 + HC2
= (c2 – HA2) + (b + HA)2
= c2 – c’2 + (b + c’)2
= c2
– c’2
+ b2
+ 2bc’ + c’2
= b2
+ c2
+ 2bc’
Bài tập 13: Đặt AB = BC = x, BD = y.
ABD 180 60 120  
Trong tam giác ABD cạnh AB đối
diện với góc tù nên theo bài 12, ta có:
AB2
= AD2
+ BD2
+ 2AD.DH (1)
Vì DH = HA – DA =
1
2
AC – AD
A
B H C
600
c’

= 5,5 – 3 = 2,5.
Thay vào (1) ta được:
AB2
= AD2
+ BD2
+ 5AD,
Hay x2
= 32
+ y2
+ 15 (2)
Trong tam giác BCD cạnh BC đối diện với góc nhọn nên theo bài 10, ta có:
BC2
= BD2
+ DC2
– 2DH.DC = BD2
+ DC2
– BD.DC (vì DH =
1
2
BD)
Hay x2
= 82
+ y2
– 8y (3)
32
+ y2
+ 15 = 82
+ y2
– 8y.
Từ đó tìm được y = 5, suy ra x = 7.
Vậy AB = 7 dm.
Bài tập 14:
Xét tam giác ABC vuông ở A, có C  .
Cách 1:
Vì
AB 5
sin sinC
BC 13
    ,
suy ra
AB BC
k
5 13
  , do đó AB = 5k, BC = 15k.
Tam giác ABC vuông ở A, ta có:
AC2 = BC2 – AB2 = (13k) 2 – (5k)2 = 144k,
Suy ra AC = 12k.
Vậy:
AC 12k 12
cos 0,9231
BC 13k 13
    
AB 5k 5
tan 0,4167
AC 12k 12
    
AC 12k 12
cot 2,4
AB 5k 5
    
Cách 2:
C
A B


Vì
2 2
sin cos 1    , nên
2 2
2 2 5 12
cos 1 sin 1
13 13
   
         
   
Do đó
12
cos 0,9231
13
  
sin 5 12 5
tan : 0,4167
cos 13 13 12

    

cos 12 5 12
cot : 2,4
sin 3 13 5

    

Bài tập 15:
Tương tự bài 14.
Đáp số: sin = 0,28 ; cos = 0,96 ; cot  3,4286.
Bài tập 16:
B C 90   cosC = sinB =
1
4
.
2 2 1 15 15
sin C 1 cos C 1 sinC
16 16 4
       .
tanC =
sinC 15 1
: 15
cosC 4 4
  .
Bài tập 17:
Vẽ đường cao AH. Do AM = AC nên CH = HM =
BC
2
. Do đó
tanB AH AH CH 1
:
tanC BH CH BH 3
  

Bài tập 18:
Kẻ AH  BC.
Đặt AH = h. Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có:
AH
sinB
AB
 ;
AH
sinC
AC

Do đó
sinB AH AH h b b
: .
sinC AB AC c h c
   ,
Suy ra
b c
sinB sinC

Tương tự
a b
sinA sinB

Vậy
a b c
sinA sinB sinC
 
Bài tập 19:
Xét các tam giác vuông ADB và AEC,
ta có:
cosA =
AD
AB
, cosA =
AE
AC
Suy ra
AD
AB
=
AE
AC
Vậy ADE  ABC (c.g.c)
Bài tập 20:
a) A = 2 2 2 2
sin 10 sin 20 ... sin 70 sin 80   
= 2 2 2 2 2 2
(sin 10 sin 80 ) (sin 20 sin 70 ) (sin 30 sin 60 )    
2 2
(sin 40 sin 50 ) 
= 2 2 2 2 2 2
(sin 10 cos 10 ) (sin 20 cos 20 ) (sin 30 cos 30 )    
2 2
(sin 40 cos 40 ) 
= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 (vì
2 2
sin cos 1    ) (ví dụ 6)

b) B =
2 2 2 2 2 2
cos 12 cos 1 cos 78 cos 53 cos 89 cos 37 3.     
=
1
AC.AB.sin
2
 
= 1 + 1 + 1 – 3 = 0.
Bài tập 21:
a) Cách 1:
A =
2 2
3sin cos  
= 2 2 2
2sin (sin cos )    
=
2
2sin 1 
=
22(1 cos ) 1   (vì
2 2
sin 1 cos   )
2
2 2cos 1   
2
1 7
3 2 2
3 9
 
   
 
Cách 2:
A = 2 2
3(1 cos ) cos   
=
2
3 2cos 
2
1 7
3 2 2
3 9
 
   
 
b) Biến đổi thành:
B =
2
3 sin . Đáp số: B  2,78
Bài tập 22:
Gọi  là góc tạo bởi hai
đường thẳng AB và AC của
tam giác ABC. Kẻ BH  AC,
ta có:
BH
sin
AB
 
Suy ra BH = AB . sin
Vậy
1
S AC . BH
ABC 2

1
AC . AB . sin
2
 

B
A H C A CH
B


Bài tập 23: Theo bài 22, ta có:
1 1 A
S AB . AD . sinBAD AB . AD . sin
ABD 2 2 2
 
1 1 A
S AC . AD . sinCAD AC . AD . sin
ACD 2 2 2
 
Vậy
1 A
S AD sin (AB AC)
ABC 2 2
 
1 A
AD sin (b c)
2 2
 
Mặt khác cũng theo bài 22 thì:
1
S bcsinA
ABC 2

Suy ra
1 1 A
bcsinA ADsin (b c)
2 2 2
 
Do đó AD =
bcsinA
A
(b c)sin
2

Bài tập 24:
a) A = 2, không phụ thuộc vào .
b) Đặt a =
2sin , b =
2cos  thì:
B = a3
+ b3
+ 3ab
= (a + b)3
– 3ab(a + b – 1)
= 13
– 3ab(1 – 1) = 1
Bài tập 25:
a) Theo bài 18, ta có:
a b c
sinA sinB sinC
 
Suy ra
a b c 2a
sinA sinB sinC sinB sinC

 
 
Hay 2a sinA = a(sinB + sinC), do đó
2sinA = sinB + sinC
A
B D C
c b

b) Trên hình bên, ta có:
h
bsinA
c
 ,
h
csinB
a
 ,
h
bsinC
a

Khi đó từ câu a), ta suy ra:
2h h h
b b c
c a

 (*)
Mặt khác 2S ah bh ch
ABC a b c
   nên c =
ah
a
h
c
. Thay kết quả này vào (*),
ta được:
2h h h h
b c b c
ah a
a


hay
h h2 1 1b c
h h h h h
a b c b c

  
Bài tập 26: Gọi Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM  Ax, CN  Ax.
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
A BM
sinMAB sin
2 AB
  ,
suy ra BM =
A
csin
2
A CN
sin NAC sin
2 AC
  ,
suy ra CN =
A
bsin
2
Do đó: BM + CN =
A
sin (b c)
2

Mặt khác, ta luôn có:
BM + CN ≤ BD + DC = BC = a,
vì thế
A
sin (b c) a
2
  (vì
A
sin 1
2
 )
A
c H
b
cB a
hb
hc
K

Do b c 2 bc  nên
1 1
b c 2 bc


.
Suy ra
A a
sin
2 2 bc

Bài tập 27:
Gọi G là giao điểm của BN và CM, tia
AG cắt BC ở D thì D là trung điểm của
BC, ta có BC = 2GD, AD = 3GD.
Trong hai tam giác vuông AHB và
AHC thì:
BH
cotB
AH
 ;
HC
cotC
AH

Do đó
BH HC
cotB cotC
AH AH
  
=
BH HC
AH

BC BC 2GD 2
.
AH AD 3GD 3
   
Bài tập 28:
Trong các tam giác vuông AHC, ABC
và AHM ta lần lượt có:
AH h
sin sinC
AC b
    (1)
AC b
cos cosC
BC a
    (2)
AH h 2h
sin2 sinM
aAM a
2
     (3)
Từ (1) và (2) suy ra 2sin cos =
h b 2h
2. .
b a a
 (4)
Từ (3) và (4), ta có: 2sin cos = sin2.
a
2 

Bài tập 29:
a) C 90 50 40  
c = asinC = a . sin400  50 . 0,6428  32,14 (cm).
b = asinC = a . sin500
 50 . 0,7660  38,30 (cm).
b) B 90 41 49  
c = btanC = 21 . tan410
 21 . 0,8693  18,26 (cm).
b 21 21
a 27,82(cm)
sinB 0,7547sin49
    .
c) C 90 32 58  
b = ctanB = 25 . tan320
 25 . 0,6249  15,62 (cm).
c 25 25
a 29,48(cm)
sinC 0,8480sin58
    .
Bài tập 30:
Tam giác AHB vuông ở H.
AH = AB.sinB
nên AB =
AH 5 5
sinB 0,9397sin70
  
5,32 (cm).
Tam giác AHC vuông ở H.
AH = AC.sinC
nên AC =
AH 5 5
8,72(cm)
sinC 0,5736sin35
  
Ta lại có:
BH = AH . cotB = AH . cot700
 5 . 0,3640  1,82 (cm)
CH = AH . cotC = AH . cot350  5 . 1,4281  7,14 (cm)
Vậy BC = BH + CH  1,82 + 7,14 = 8,96 (cm).

Bài tập 31:
Ta có:
AH2
= BH . HC = 12,5 . 32  400, suy ra AH = 20 (cm).
AB = BC . cosB = (12,5 + 32) . cos650  44,5 . 0,42260  18,81 (cm).
AC = BC . sinC = (12,5 + 32) . sin650
 44,5 . 0,9063  40,33 (cm).
Bài tập 32:
Giả sử AB > AC. Trong tam giác vuông
AHB, ta có:
BH = AB.sinA (1)
Trong tam giác vuông AKC, ta có:
CK = AC.sinA (2)
BH AB.sinA AB
1
CK AC.sinA AC
  
(vì sinA > 0 và AB > AC), do đó BH > CK.
Bài tập 33: Giả sử tam giác ABC cân ở A, thế thì AB = AC = 7cm, còn BC = 6cm.
Kẻ AH  BC thì HB = HC = 3cm.
Tam giác AHB vuông ở H, ta có:
BH = AB . cosB, suy ra:
cosB =
BH 3
0,4286
AB 7
  , do đó
B 64 37' , suy ra C 64 37'
Vậy A 180 (64 37' 64 37') 50 46'   

Bài tập 34:
a) Trong tam giác vuông AHB, ta có:
BH = AB . cosB = 16 . cos600
= 16 . 0,5 = 8 (cm).
Trong hai tam giác vuông AHB và AHC, theo định lý Py-ta-go, ta có:
AH2
= AB2
– HB2
AH2
= AC2
– HC2
Suy ra AB2
– HB2
– AC2
– HC2
Hay 162 – 82 = 142 – HC2,
Do đó HC2
= 4 nên HC = 2 (cm)
Vậy BC = BH + HC = 8 + 2 = 10 (cm).
b) Cách 1:
1 1
S BA.BC.sinB .16.10.sin60
ABC 2 2
 
 80 . 0,8660  69,28 (cm2)
Cách 2: Trong tam giác vuông AHB, ta có:
AH = AB . sinB = 16.sin600
= 80 . sin600  80 . 0,8660  69,28 (cm2).
Bài tập 35:
Giả sử hình bình hành ABCD có AB = 15cm, AD = 18cm và A 135 .
Khi đó CD = 15cm
và D 180 135 45  
1
S DA.DC.sinD
ACD 2

=
1
.15.18.sin45
2

1
.15.18.0,7071
2
 95,46 (cm2
)
2
S 2S 2.95,46 190,92(cm )
ABCD ACD
  
B C
A D
15
18
1350

Bài tập 36:
a) BA = BD nên tam giác ABD
cân ở B. Kẻ BH  AD thì H là
trung điểm của AD.
Trong tam giác vuông AHB, ta
có:
BH = AB . sinA = 18 . sin450
= 18 .
2
2
= 9 2 (cm)
AH = AB . cosA = 18 . cos450
=
2
18.
2
= 9 2 (cm).
Suy ra AD = 2AH = 18 2 (cm)
b)
1
S 2S 2. BH.AD 18 2.9 2 342
ABCD ABD 2
    (cm2
).
Có thể tính như sau:
1
S 2.S 2. AB.ADsinA
ABCD ABD 2
 
= AB . AD . sin450
=
2
18.18 2. 342
2
 (cm2
)
Bài tập 37:
a) Trong tam giác vuông AHB, ta
có:
AH = AB . sinB
BH = AB . cosB
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
CH = AC . cosC = AC . sinB.
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB = BC . cosB = a . cosB

AC = BC . sinB = a . sinB.
Do đó:
AH = asinB . cosB
BH = acosB . cosB = acos2B
CH = asinB . sinB = asin2
B.
b) Từ câu a suy ra:
BC . BH = a . acos2
B = (acosB)2
= AB2
BH . HC = acos2
b . asin2
B = (asinBcosB)2
= AH2
Bài tập 38:
Coi hai bờ sông là hai đường thẳng d1 và d2 mà d1 // d2. Giả sử chiếc đò xuất phát từ
điểm
A thuộc bờ d1 và đến điểm B thuộc bờ d2,
khi đó:
AC = 240m, AB = 300m.
Trong tam giác vuông ACB, ta có:
AC 240
cos cosA 0,8
AB 300
    
Từ đó   370
.
Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc
 370
.
Bài tập 39: Gọi chiều cao của hải đăng là h,
khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là l.
Ta có:
h = l . tan,
suy ra l =
h 150
851 (m)
tan tan10
 

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân
đài quan sát gần bằng 851m.
B
A
C d2
d1
240
300

h
l



Bài tập 40:
Trong tam giác vuông AHB, ta có:
BH = AH . tan450
.
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
HC = AH . tan100
.
Vậy BC = BH + HC = AH (tan450
+
tan100
)
 10(1 + 0,1763)  12 (m)
Vậy chiều cao của tháp gần bằng 12m.
100

E. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN
1. Hệ thức về cạnh và đường cao
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết : 3 : 4AB AC
và 21AB AC cm .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính độ dài các đoạn , ,AH BH CH .
Giải:
a). Theo giả thiết: : 3 : 4AB AC ,
suy ra 3
3 4 3 4
AB AC AB AC
. Do đó
3.3 9AB cm ; 3.4 12AC cm .
Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý
Pythagore ta có:
2 2 2 2 2
9 12 225BC AB AC , suy ra 15BC cm .
b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có . .AH BC AB AC , suy ra
. 9.12
7,2
15
AB AC
AH cm
BC
.
2
.AH BH HC . Đặt 0 9BH x x thì 15HC x , ta có:
2
2
7,2 15 15 51,84 0 5,4 9,6 5,4 0x x x x x x x
5,4 9,6 0 5,4x x x hoặc 9,6x (loại)
Vậy 5,4BH cm . Từ đó 9,6HC BC BH cm .
Chú ý: Có thể tính BH như sau:
2
.AB BH BC suy ra
2 2
9
5,4
15
AB
BH cm
BC
.
A
B CH

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy 2BC a , cạnh bên bằng b b a .
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Dựng BK AC . Tính tỷ số
AK
AC
.
Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có:
2 2 2 2 2
AH AC HC b a
Suy ra 2 21 1
.
2 2ABC
S BC AH a b a
2 2
AH b a
b). Ta có
1 1
. .
2 2 ABC
BC AH BK AC S
Suy ra 2 2. 2BC AH a
BK b a
AC b
. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
AKB ta có:
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
24 b aa
AK AB BK b b a
b b
.
Suy ra
2 2
2b a
AK
b
do đó
2 2
2
2b aAK
AC b
.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh đối diện với các
đỉnh tương ứng là: , ,a b c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a
b) Chứng minh: 2 2 2
4 3a b c S
Giải:
a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác
,ABC B C là các góc nhọn. Suy ra chân
đường cao hạ từ A lên BC là điểm
H thuộc cạnh BC .
K
H
CB
A
H
C
B
A

Ta có: BC BH HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông
,AHB AHC ta có: 2 2 2 2 2 2
,AB AH HB AC AH HC
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
2 2 2 2
.c b HB HC HB HC HB HC a HB HC
2 2
c b
HB HC
a
ta cũng có:
2 2 2
2
a c b
HB HC a BH
a
. Áp dụng
định lý Pitago cho tam giác vuông
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a c b a c b a c b
AHB AH c c c
a a a
2 2
2 2
2
.
2 2 4
a c b b a c a b c a c b b a c b c a
a a a
Đặt
2p a b c thì
2
2
16
2
4
p p a p b p cp p a p b p c
AH AH
aa
.
Từ đó tính được
1
.
2
S BC AH p p a p b p c
b). Từ câu )a ta có: S p p a p b p c . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
3
3 27
p a p b p c p
p a p b p c . Suy ra
3 2
.
27 3 3
p p
S p . Hay
2
12 3
a b c
S . Mặt khác ta dễ chứng minh được:
2
2 2 2
3a b c a b c suy
ra
2 2 2
2 2 2
3
4 3
12 3
a b c
S a b c S
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam giác.
Gọi M là một điểm trên CK sao cho 0
90AMB . 1 2
, ,S S S theo thứ tự là diện tích
các tam giác ,AMB ABC và ABH . Chứng minh rằng 1 2
.S S S .

Giải:
Tam giác AMB vuông tại M có
MK AB nên 2
.MK AK BK (1).
AHK CBK vì có
0
90AKH CKB ; KAH KCB
(cùng phụ với ABC ). Suy ra
AK HK
CK BK
, do đó . .AK KB CK KH (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2
.MK CK HK nên .MK CK HK ;
1 2
1 1 1 1
. . . . . . .
2 2 2 2AMB
S AB MK AB CK HK ABCK AB HK S S .
Vậy 1 2
.S S S .
Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có 0 0
90 , 60 , 30 ,A D B CD cm CA CB .
Tính diện tích của hình thang.
Giải:
Ta có 0
60CAD ABC (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác vuông ACD ta
có 2AC AD . Theo định lý Pythagore thì: 2 2 2
AC AD DC
hay
2
2 2
2 30AD AD
Suy ra 2 2
3 900 300AD AD nên 10 3AD cm .
Kẻ CH AB . Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có 0
90A D H , suy ra
30 ; 10 3AH CD cm CH AD cm .
Tam giác ACB vuông tại C , ta có: 2
.CH HAHB , suy ra
2
2 10 3 300
10
30 30
CH
HB cm
HA
, do đó 30 10 40AB AH HB cm .
D
K
M
H
CB
A

21 1
.10 3. 40 30 350 3
2 2ABCD
S CH AB CD cm .
Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 2
350 3cm .
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Ví dụ 1. Biết
5
sin
13
. Tính cos ,tan và cot .
Giải:
Cách 1. Xét ABC vuông tại A .
Đặt B . Ta có:
5
sin
13
AC
BC
suy ra
5 13
AC BC
k , do đó
5 , 13AC k BC k . Tam giác ABC vuông tại A nên:
2 2
2 2 2 2
13 5 144AB BC AC k k k , suy ra 12AB k .
Vậy
12 12
cos
13 13
AB k
BC k
;
5 5
tan ;
12 12
AC k
AB k
12 12
cot
5 5
AB k
AC k
Cách 2. Ta có
5
sin
13
suy ra 2 25
sin
169
, mà 2 2
sin cos 1, do đó
2 2 25 144
cos 1 sin 1
169 169
, suy ra
12
cos
13
.
sin 5 12 5 13 5
tan : .
cos 13 13 13 12 12
;
cos 12 5 12 13 12
cot : .
sin 13 13 13 5 5
.
Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k
rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos ,tan ,cot . Ở
cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết
5
sin
13
để tính 2
sin rồi tính cos từ
2 2
sin cos 1. Sau đó ta tính tan và cot qua sin và cos .
α
B
C
A

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết
: 1 : 2HD HA . Chứng minh rằng . 3tgBtgC .
Giải:
Ta có: ;
AD AD
tgB tgC
BD CD
.
Suy ra
2
tan .tan
.
AD
B C
BDCD
(1)
HBD CAD (cùng phụ với ACB );
0
90HDB ADC .
Do đó BDH ADC (g.g), suy ra
DH BD
DC AD
, do đó . .BD DC DH AD (2). Từ
(1) và (2) suy ra
2
tan .tan
.
AD AD
B C
DH AD DH
(3). Theo giả thiết
1
2
HD
AH
suy ra
1
2 1
HD
AH HD
hay
1
3
HD
AD
, suy ra 3AD HD . Thay vào (3) ta được:
3
tan .tan 3
HD
B C
DH
.
Ví dụ 3. Biết
12
sin .cos
25
. Tính sin ,cos .
Giải:
Biết
12
sin .cos
25
. Để tính sin ,cos ta cần tính sin cos rồi giải phương
trình với ẩn là sin hoặc cos .
Ta có:
2
2 2 12 49
sin cos sin cos 2sin .cos 1 2.
25 25
. Suy ra
7
sin cos
5
nên
7
sin cos
5
. Từ đó ta có:
27 12 7 12
cos cos cos cos
5 25 5 25
2
25cos 35cos 12 0 5cos 5cos 4 3 5cos 4 0
5cos 4 5cos 3 0. Suy ra
4
cos
5
hoặc
3
cos
5
.
H
E
D
CB
A

+ Nếu
4
cos
5
thì
12 4 3
sin :
25 5 5
.
+ Nếu
3
cos
5
thì
12 3 4
sin :
25 5 5
.
Vậy
3
sin
5
,
4
cos
5
hoặc
4 3
sin ,cos
5 5
.
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có 16, 14AB AC và 0
60B .
a) Tính độ dài cạnh BC
b) Tính diện tích tam giác ABC .
Giải:
a). Kẻ đường cao AH .
Xét tam giác vuông ABH , ta có:
0 1
.cos .cos60 16. 8
2
BH AB B AB
0 3
.sin .sin60 16. 8 3
2
AH AB B AB .
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:
2
2 2 2 2
14 8 3 196 192 4HC AC AH . Suy ra 2HC . Vậy
2 8 10BC CH HB .
b) Cách 1.
1 1
. .10.8 3 40 3
2 2ABC
S BC AH (đvdt)
Cách 2.
1 1 3
. .sin .10.16. 40 3
2 2 2ABC
S BC BA B (đvdt)
A
B C
600
H

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết 0 0
45 , 60ABC ACB bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .
Giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng
tam
giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra
tam
giác vuông bằng cách. Dựng các đường
thẳng qua ,C B lần lượt vuông góc với
,AC AB . Gọi D là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác
vuông và 4 điểm , , ,A B C D cùng nằm trên đường tròn đường kính 2AD R .
Ta có: 0 3
.sin60 . 3
2
AB AD AD R . Kẻ đường cao AH suy ra H BC .Tức là:
BC BH CH . Tam giác AHB vuông góc tại H nên
0 2 3 2 6
.sin 45 .
2 2 2 2
AB R
AH BH AB AD . Mặt khác tam giác ACH
vuông tại H nên 2 2 2
2
R
AC AH CH CH
1 2
2
R
BC . Từ đó tính
được diện tích
2
3 3
4
R
S .
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , ,A B C và các cạnh đối diện với các đỉnh
tương ứng là: , ,a b c . Chứng minh rằng:
a) 2 2 2
2 cosa b c bc A
b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh:
2 .cos
2
A
bc
AD
b c
H
D
600
450
C B
A

Giải:
a). Dựng đường cao BH của tam giác
ABC ta có:
Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC .
Ta có: AC AH HC .
Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông
,AHB BHC ta có: 2 2 2 2 2 2
,AB AH HB BC BH HC
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
2 2 2 2
.c a HA HC HA HC HA HC b HA HC
2 2
c a
HA HC
b
ta cũng có:
2 2 2
2
b c a
HA HC b AH
b
. Xét tam giác
vuông AHB ta có:
2 2 2
2 2 2
cos 2 cos
2
AH b c a
A a b c bc A
AB bc
.
Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:
2
2 2 2 2 2 2 2
2 .BC BH HC BH AC AH BH AH AC AC AH Ta có:
.cosAH CB A suy ra 2 2 2 2
2 . .cosBC BH AH AC AC CB A hay
2 2 2
2 . .cosBC BA AC AC CB A 2 2 2
2 cosa b c bc A
b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
+ sin2 2sin .cos
+
1
sin
2
S ab C
c
b
a
A
B
C
H

*) Thật vậy xét tam giác vuông 0
, 90ABC A , gọi M là trung điểm của BC , dựng
đường cao AH . Đặt 2ACB AMB .
Ta có sin sin
AH h
C
AC b
2
sin2 sin
2
AH h h
AMH
AM a a
. Từ đó ta suy ra: sin2 2sin .cos .
*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:
1 1
. .
2 2ABC
S BE AC BE b (1)
Mặt khác trong tam giác vuông AEB
ta có:sin .sin
BE
A BE c A
AB
thay vào (1)
Ta có:
1
sin
2
S ab C
Trở lại bài toán:
Ta có 1
1 1
. sin . .sin
2 2 2ABD
A
S AD AB A ADc
2
1 1
. sin . .sin
2 2 2ACD
A
S AD AC A ADb
Suy ra ABC ACD ABD
S S S
2α α
h
b
H M CB
A
21
c
b
D CB
A
E
CB
A
cos cos
AC b
C
BC a

1
sin
2 2
A
AD c b . Mặt khác
1
sin
2ABC
S bc A
2 cos
sin 2sin sin
2
sin
2
A
bc
A bc A
AD c b bc A AD
c bA
b c
Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau: 2 2
cos2 2cos 1 1 2sin .
Thật vậy xét tam giác vuông 0
, 90ABC A , gọi M là trung điểm của BC , dựng
đường cao AH . Đặt 2ACB AMB .
Ta có : cos cos
AC b
C
BC a
sin sin
AB c
C
BC a
,
2 2 2
cos2 cos
2 .
AM MB AB
AMH
AM MB
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
24 4 1 2 1 2. 2 1
2 .
2 2
a a
c
a c c a b b
a a a aa a
. Từ đó suy ra
2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
Áp dụng 2 2 2 2 2 2 2
2 cos 2 2cos 1
2
A
a b c bc A a b c bc .
2
22 2 2
2 2
2cos 1 cos
2 2 2 4
b c aA b c a A
bc bc
. Thay vào công thức đường
phân giác ta có:
2
2
22 cos
42
b c aA
bcbc bc b c a b c abcAD
c b b c b c
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
( )
2 2
b c a b c ab c
bc AD p p a với 2p a b c .
c
a
2α α
b
M CB
A

Áp dụng công thức: 2 2 2
2 cosa b c bc A. Ta cũng chứng minh được hệ thức rất
quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:
‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có:
2 2 2
. . .AB CD AC BD BC AB BD DC ’’
+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH BC
không mất tính tổng quát,
ta giả sử D nằm trong đoạn
HC . Khi đó ta có:
2 2 2 2 2
2 . .cos 2 .AB AD BD ADBD ADB AD BD DB DH (1)
Tương tự ta có: 2 2 2
2 .AC AD DC DH DC (2). Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng
thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có: 2 2 2
. . .AB CD AC BD BC AB BD DC
Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng
0 6 2
sin75
4
.
Giải:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A
với 2BC a (a là một độ dài tùy ý)
, 0
15C , suy ra 0
75B .
Gọi I là trung điểm của BC , ta có
IA IB IC a . Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân IAC nên
0
2 30AIB C . Kẻ AH BC thì 0 3
.cos 30
2
a
IH AI ; 0
.cos30
2
a
AH AI ;
2 33
2 2
aa
CH CI IH a .
Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:
2
2 2
2
2 2 2
2 3 4 4 3 3 1
4 4 4
a aa
AC CH AH
2
4 2 3
4
a
DH
CB
A
IH C
B
A

2
2 3a , suy ra 2 3AC a .
0 2 3 2 3 4 2 3
sin 75 sin
2 2 2 2
AC a
B
BC a
2
3 1 2 3 13 1 6 2
42 2 2 2 2 2. 2
.
Vậy 0 6 2
sin75
4
.
NGƯỜI TỔNG HỢP: NGUYỄN TIẾN
NGUỒN: INTERNET

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Similar to Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông (20)

More from Toán THCS

More from Toán THCS (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (17)

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông