Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace
https://www.facebook.com/garmentspace.blog
My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10, mua tài liệu liên quan Toán lớp 9, liên hệ: 0976.179.282.
SlideShare now has a player specifically designed for infographics. Upload your infographics now and see them take off! Need advice on creating infographics? This presentation includes tips for producing stand-out infographics. Read more about the new SlideShare infographics player here: http://wp.me/p24NNG-2ay
This infographic was designed by Column Five: http://columnfivemedia.com/
No need to wonder how the best on SlideShare do it. The Masters of SlideShare provides storytelling, design, customization and promotion tips from 13 experts of the form. Learn what it takes to master this type of content marketing yourself.
10 Ways to Win at SlideShare SEO & Presentation OptimizationOneupweb
Thank you, SlideShare, for teaching us that PowerPoint presentations don't have to be a total bore. But in order to tap SlideShare's 60 million global users, you must optimize. Here are 10 quick tips to make your next presentation highly engaging, shareable and well worth the effort.
For more content marketing tips: http://www.oneupweb.com/blog/
Are you new to SlideShare? Are you looking to fine tune your channel plan? Are you using SlideShare but are looking for ways to enhance what you're doing? How can you use SlideShare for content marketing tactics such as lead generation, calls-to-action to other pieces of your content, or thought leadership? Read more from the CMI team in their latest SlideShare presentation on SlideShare.
Each month, join us as we highlight and discuss hot topics ranging from the future of higher education to wearable technology, best productivity hacks and secrets to hiring top talent. Upload your SlideShares, and share your expertise with the world!
Not sure what to share on SlideShare?
SlideShares that inform, inspire and educate attract the most views. Beyond that, ideas for what you can upload are limitless. We’ve selected a few popular examples to get your creative juices flowing.
How to Make Awesome SlideShares: Tips & TricksSlideShare
Turbocharge your online presence with SlideShare. We provide the best tips and tricks for succeeding on SlideShare. Get ideas for what to upload, tips for designing your deck and more.
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
1. www.VNMATH.com
SỰ QUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ
Đánh giá trên biên
Bất đẳng thức là một trong những chủ đề khó của Toán học, để giải quyết được những bài
toán hóc búa đòi hỏi chúng ta phải thông minh, sáng tạo, phải chịu khó tìm tòi phát triển và bên
cạnh đó cần phải có phương pháp rõ ràng. Bài viết này giới thiệu với độc giả một phương pháp rất
quen thuộc trong giới nghiên cứu về bất đẳng thức, đó là phương pháp: "ĐÁNH GIÁ TRÊN BIÊN",
cũng có nhiều tài liệu nói là: "NHÌN VÀO ĐIỂM MÚT". Với tư cách một người biết một chút về
Toán học, tôi đã thu thập và tham khảo ý kiến của nhiều thầy cô giáo yêu toán để viết chuyên đề
này. Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô: "Vũ Minh Thắng, Nguyễn Thế Anh - K41-ĐHSP Hà
Nội", và các thầy có bút danh: "huyclvc - thaithuanGC - chienthan - vophung".
Cám ơn sự quan tâm của các bạn! Mọi ý kiến đóng góp để giúp cho bài viết được đầy đủ và
chính xác hơn, vui lòng liên hệ qua điện thoại hoặc hòm thư: tienthuy3385@gmail.com.
1 Một số bất đẳng thức cơ bản
1) Định lý 1. Nếu f (x) là hàm số bậc nhất theo x, thì với mọi x ∈ [a, b] ta luôn có:
min{ f (a), f (b)} ≤ f (x) ≤ max{ f (a), f (b)}.
2) Định lý 2.
• Nếu f (x) là hàm lồi trên khoảng [a, b] thì ta có: f (x) ≥ min{ f (a), f (b)}.
• Nếu f (x) là hàm lõm trên khoảng [a, b] thì ta có: f (x) ≤ max{ f (a), f (b)}.
3) Định lý 3. Cho f (x) = ax2 + bx + c, (a 0). Với x ∈ [α, β] thì f (x) đạt giá trị min hoặc
−b −b
max tại x = α, x = β hoặc x = (nếu ∈ [α, β].)
2a 2a
2 Một số thí dụ
Bài toán 1. Cho x, y, z ∈ [0, 2]. Chứng minh rằng:
2(x + y + z) − (xy + yz + zx) ≤ 4. (1)
Hướng dẫn. Ta sẽ chuyển hết sang vế trái và coi chúng như một hàm bậc nhất theo x. Sau đó ta
áp dụng Định lý 1. và hoàn thiện chứng minh.
Lời giải. Ta có
2(x + y + z) − (xy + yz + zx) ≤ 4
⇔ 2(x + y + z) − (xy + yz + zx) − 4 ≤ 0
⇔ (2 − y − z)x + 2(y + z) − yz − 4 ≤ 0.
- Xét hàm số f (x) = (2 − y − z)x + 2(y + z) − yz − 4, xác định trên [0, 2].
- Nhận thấy f (0) = 2(y + z) − yz − 4 = −(2 − y)(2 − z) ≤ 0 và f (2) = −yz ≤ 0, áp dụng Định
lý 1, ta có f (x) ≤ max{ f (0), f (2)} ≤ 0. (đpcm)
Bài toán 2. Cho a, b, c, d ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng:
(1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d) + a + b + c + d ≥ 1. (2)
Lời giải. Ta có
(1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d) + a + b + c + d ≥ 1
⇔ [1 − (1 − b)(1 − c)(1 − d)] a + (1 − b)(1 − c)(1 − d) + b + c + d − 1 ≥ 0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 1 Ths.Nguyễn Tiến Thùy
No. 0974913435
2. www.VNMATH.com
SỰ QUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
- Xét hàm số f (a) = [1 − (1 − b)(1 − c)(1 − d)] a + (1 − b)(1 − c)(1 − d) + b + c + d − 1, xác
định trên [0, 1].
- Nhận thấy f (1) = b + c + d ≥ 0 và f (0) = (1 − b)(1 − c)(1 − d) + b + c + d − 1 = g(b) =
[1 − (1 − c)(1 − d)]b + (1 − c)(1 − d) + c + d − 1(∗).
- Xét g(1) = c + d ≥ 0, g(0) = (1 − c)(1 − d) + c + d − 1 = cd ≥ 0, theo (∗) suy ra
f (0) = g(b) ≥ min{g(0), g(1)} ≥ 0, ∀b, c, d ∈ [0, 1].
- Từ đó ta có f (a) ≥ min{ f (0), f (1)} ≥ 0, ∀a, b, c, d ∈ [0, 1]. (đpcm)
Bài toán 3. Cho a, b, c, A, B, C ≥ 0 thỏa mãn: a + A = b + B = c + C = 1. Chứng minh rằng:
aA + bB + cC ≤ 1.
Lời giải. Ta có
aB + bC + cA ≤ 1
⇔ a(1 − b) + b(1 − c) + c(1 − a) − 1 ≤ 0
⇔ a + b + c − ab − bc − ca − 1 ≤ 0
⇔ (1 − b − c)a − bc + b + c − 1 ≤ 0.
- Xét hàm số f (a) = (1 − b − c)a − bc + b + c − 1, xác định trên [0, 1].
- Nhận thấy f (0) = −bc + c + b − 1 = (1 − b)(c − 1) ≤ 0 và f (1) = −bc ≤ 0, áp dụng Định lý
1 ta có f (a) ≤ max{ f (0), f (1)} ≤ 0, ∀a, b, c ∈ [0, 1]. (đpcm)
Bài toán 4. [IMO] Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
7
xy + yz + zx − 2xyz ≤ .
27
Lời giải. Ta có
7
xy + yz + zx − 2xyz ≤
27
7
⇔ xy + yz + zx − 2xyz − ≤0
27
7
⇔ (1 − 2z)xy + z(1 − z) − ≤0
27
2
7 x+y 2 1−z
Xét hàm số f (xy) = (1 − 2z)xy + z(1 − z) − với 0 ≤ xy ≤ = . Nhận thấy
27 2 2
2 2
7 1 1 1−z 1 1 1
f (0) = −z2 + z − = −(z − )2 − < 0 và f ( )=− z− z+ ≤ 0, nên theo
27 2 108 2 2 3 6
2
1−z
Định lý 1 ta có f (xy) ≤ max{ f (0), f ( )} ≤ 0, ∀x, y, z thỏa mãn điều kiện bài toán. (đpcm)
2
Bài toán 5. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
4(x3 + y3 + z3 ) + 15xyz ≥ 1.
2
x+y 2 1−z
Lời giải. Đánh giá 0 ≤ xy ≤ = .
2 2
Ta có
4(x3 + y3 + z3 ) + 15xyz ≥ 1
⇔ 4 (x + y + z)((x + y + z)2 − 3xy − 3yz − 3zx) + 3xyz + 15xyz − 1 ≥ 0
⇔ 4 − 12xy − 12yz − 12zx + 27xyz − 1 ≥ 0
⇔ 3xy(9z − 4) − 12z(1 − z) + 3 ≥ 0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 2 Ths.Nguyễn Tiến Thùy
No. 0974913435
3. www.VNMATH.com
SỰ QUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
2
1−z
Xét hàm số f (xy) = 3xy(9z−4)−12z(1−z)+3, với 0 ≤ xy ≤ . Ta có f (0) = 12z2 −12z+3 =
2
2 2
1−z 1−z 3z
3(2z − 1)2 ≥ 0 và f ( )=3 (9z − 4) − 12z(1 − z) + 3 = (3z − 1)2 ≥ 0. Áp dụng
2 2 4
2
1−z
Định lý 1 ta có f (xy) ≥ min{ f (0), f ( )} ≥ 0, ∀x, y, x thỏa mãn điều kiện bài cho, đpcm.
2
Bài toán 6. Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
1
x3 + y3 + z3 + 6xyz ≥ .
4
2
x+y 2 1−z
Lời giải. Đánh giá 0 ≤ xy ≤ = .
2 2
Ta có
1
(x3 + y3 + z3 ) + 6xyz ≥
4
1
⇔ (x + y + z)((x + y + z)2 − 3xy − 3yz − 3zx) + 3xyz + 6xyz − ≥0
4
1
⇔ 1 − 3xy − 3yz − 3zx + 9xyz − ≥0
4
3
⇔ 3xy(3z − 1) − 3z(1 − z) + ≥ 0.
4
2
3 1−z 3
Xét hàm số f (xy) = 3xy(3z−1)−3z(1−z)+ , với 0 ≤ xy ≤ . Ta có f (0) = 3z2 −3z+ =
4 2 4
2 2 2
1 1−z 1−z 3 9z2 1 1
3 z− ≥ 0 và f ( )=3 (3z − 1) − 3z(1 − z) + = [(z − )2 + > 0.]
2 2 2 4 4 2 12
2
1−z
Áp dụng Định lý 1 ta có f (xy) ≥ min{ f (0), f ( )} ≥ 0, ∀x, y, x thỏa mãn điều kiện bài cho,
2
đpcm.
Bài toán 7. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
a+b+c √3 √ √ √ √ √ √
− abc ≤ max{( a − b)2 , ( b − c)2 , ( c − a)2 }.
3
Lời giải 1. Giả sử
√ √ √ √ √ √ √ √
max{( a − b)2 , ( b − c)2 , ( c − a)2 } = ( a − b)2 .
Xét biểu thức:
√ √ a+b+c √3
f (a, b, c) = V P − VT = ( a − b)2 − + abc.
3
√
Với t = ab, ta có:
√ √ a+b+c √ 3 √ √ t+t+c √ 3
f (a, b, c) − f (t, t, c) = ( a − b)2 − + abc − ( t − t)2 − + abc
3 3
√ √
2( a − b)2
= ≥ 0.
3
√
Theo định lý dồn biến ta có: f (a, b, c) − f (t, t, c) = 0, với t = abc.
3
a+b+c √ √ √
− abc ≤ ( a − c)2 .
3
Lời giải 2. Giả sử a ≤ b ≤ c. Lúc đó ta cần chứng minh:
3
a+b+c √
Xét hàm số biến b: f (b) =
3
− abc, ta có f (x) ≤ max{ f (a), f (c)}. Giả sử f (a) ≥ f (c) ta
3
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 3 Ths.Nguyễn Tiến Thùy
No. 0974913435
4. www.VNMATH.com
SỰ QUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
chứng minh
√ √
f (a) ≥ ( a − c)2
1 2 √
3 √
⇔ − a − c − a2 c + 2 ac ≤ 0
3 3
√3 √3 √3 √
18 √
Chú ý rằng: a + c + c + a2 c + a2 c + a2 c ≥ 6 a9 c9 = 6 ac. Ta sẽ có điều phải chứng minh.
Bài toán 8. Cho a, b, c ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng:
a b c
+ + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1.
b+c+1 c+a+1 a+b+1
Lời giải. Giả sử a ≥ b ≥ c, ta có:
a b c a+b+c
+ + ≤ .
b+c+1 c+a+1 a+b+1 b+c+1
Lúc đó bài toán sẽ tương đương với:
a+b+c
(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1 −
b+c+1
1−a
⇔ (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ .(∗)
b+c+1
Sau khi rút gọn (1 − a) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy thu được điều phải chứng minh.
♥ Ngoài ra chúng ta có thể dùng hàm bậc nhất để giải quyết vấn đề (∗).
Bài toán 9. Cho x, y, z, t ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng:
8
x2 y + y2 z + z2 t + t2 x − (xy2 + yz2 + zt2 + tx2 ) ≤ .
27
Lời giải. Giả sử y ≥ t (còn các trường hợp khác tương tự). Xét hàm số:
f (x, y, z, t) = (y − t)x2 + (t2 − y2 )x + y2 z + z2 t − yz2 − yt2 .
Dế thấy hàm số f (x, y, z, t) là hàm số lõm, nên ta có
f (x, y, z, t) ≤ max{ f (0, y, z, t), f (1, y, z, t)}
- Ta có f (0, y, z, t) = z(y − t)(y + t − z). Nếu y + t − z ≤ 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng, còn
nếu y + t − z > 0, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ thu được kết quả. Đẳng thức xảy ra khi
2 1
(x, y, z, t) = (0, 1, , ).
3 3
- Ta lại có: f (1, y, z, t) = (1 − z)t2 + (z2 − 1)t + t + y2 z − y2 − yz2 . Dễ thấy đây là hàm lõm trên
[0, 1] theo biến t, nên ta có:
f (1, y, z, t) ≤ max{ f (1, y, z, 0), f (1, y, z, 1)}.
Từ đó ta có điều cần chứng minh.
3 Một số bài tập đề nghị
Bài 1. Cho ba số dương a, b, c, thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + abc ≥ 4.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 4 Ths.Nguyễn Tiến Thùy
No. 0974913435
5. www.VNMATH.com
SỰ QUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 2. Cho ba số dương a, b, c, thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
7(ab + bc + ca) ≤ 2 + 9abc.
Bài 3. Cho a > 0,; a1 , a2 , · · · , an ∈ [0, a] và
n
S = (a − a1 ).(a − a2 ) · · · (a − ak−1 ).ak .(a − ak+1 ) · · · (a − an ).
k=1
Tìm giá trị lớn nhất của S .
Bài 4. Cho a, b, c, d, e ∈ [p; q], với q > p > 0. Chứng minh rằng:
2
1 1 1 1 1 p q
(a + b + c + d + e)( + + + + ) ≤ 25 + 6 − .
a b c d e q p
Bài 5. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a b c
+ + ≥ 2.
b−c c−a a−b
Bài 6. Cho xi ∈ [0, 1], với i = 1, n. Chứng minh rằng:
n
x1 + x2 + · · · + xn + x1 x2 + x2 x3 − · · · − xn x1 ≤ ].
2
Bài 7. Cho n số không âm: a1 , a2 , · · · , an . Chứng minh rằng:
a1 + a2 + · · · + an √ √ √
− n a1 a2 · · · an ≤ max ( ai − a j )2 .
n 1≤i≤ j≤n
Bài 8. Cho a, b, c, d ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng:
a + b + c + d − abcd ≤ 3.
Bài 9. Cho xi ∈ [0, 1], với i = 1, n. Chứng minh rằng:
x1 + x2 + · · · + xn − x1 x2 · · · xn ≤ n − 1.
Bài 10. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
9xyz + 1 ≥ 4(xy + yz + zx).
Bài 11. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
5(x2 + y2 + z2 ) ≤ 6(x3 + y3 + z3 ) + 1.
Bài 12. Cho n ∈ N; n ≥ 2 và a1 ; a2 ; · · · ; an ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng:
a1
+ (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · (1 − an ) ≤ 1.
cycle
a2 + a3 + · · · + an + 1
Bài 13. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
1 1 1 27
+ + ≤ .
1 − xy 1 − yz 1 − zx 8
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 5 Ths.Nguyễn Tiến Thùy
No. 0974913435