1. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
•Nếu un < vn∀n, lim vn = 0 ⇒ lim un = 0 • lim c = c
• lim un = L ⇒ lim un = L • limun = L ⇒ lim 3 un = 3 L ;
u1
• S = u1 + u1q + u1q + ... =
2
• lim un = L, un > 0∀n ⇒ L > 0, lim un = L •
1− q
1
lim un = +∞ ⇒ lim =0
un
1 1 1 lim n = +∞; lim n = +∞; lim 3 n = +∞;
lim = 0; lim = 0; lim = 0;
n n 3
n
1 lim q n = +∞ nếu q > 1 ;
lim q n = 0 nếu q < 1 lim k = 0, k ∈ N *
n lim n k = +∞, k ∈ N *
c
lim =0
nk
lim un = ±∞ , lim vn = ±∞ lim un = ±∞ , lim vn = L ≠ 0 lim un = L ≠ 0 ,
lim vn = 0
lim un lim vn lim un .vn lim un Dấu của lim un .vn Dấu của Dấu của un
lim
L L vn vn
+∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ + + +∞
+∞ −∞ −∞ +∞ − −∞ + − −∞
−∞ +∞ −∞ −∞ + −∞ − + −∞
−∞ −∞ +∞ −∞ − +∞ − − +∞
B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
2n + 1 4. n ( 2n + 1)
1. lim 7. lim
n +1 n ( 2n + 1) ( 3n + 2 )
( 6n + 1)
3
lim
−3n 2 + 4n + 1 ( 6n + 1)
3
2. lim 2 n3 + 2
2n − 3n + 7 n +1 8. lim
5. lim n +1
n3 + 4 n2 + 2 9.
3. lim 3
5n + n + 8
6. lim 2
n+4 n ( 2n + 1) ( 3n 2 + 2 )
n − 3n + 2 lim
( 6n + 1)
3
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
n2 + 1 n −2 3
n3 + 1 − 1
1. lim 4. lim ds0 6. lim
2n + 3 n + n +1 n2 + 3 − 2
2 n +1 3
n3 + n + 2 7.
2. lim ds2 5. lim ds1
n+2 +2 n+2 n 2 + 3 n3 + 1 + n n
lim
n +1 n n2 + 1 + 3
3. lim ds1
n +1
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
(
1. lim n + 1 − n ds0 ) 3. lim ( 3n 2 + 2n − 1 − 3n 2 − 4n + 8 ds )
2. lim ( n 2 + 5n + 1 − n 2 − n ds3) 3
4. lim ( )
n 2 − 4n − n ds-2
-1-

2. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
(
5. lim n − n + 3 ds0
2
) 6. lim ( n +1 + n )
7. lim ( 3
n 2 − n3 + n ds1/3 ) 9. lim
n + 3 1 − n3
n2 + 1 − n
8. lim ( 3
n − n + 1 ds0
3
)
10. lim ( 3
n3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n )
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1 − 4n 3n − 4n + 5n −3n 2 + 4n + 1
1. lim 3. lim n 5. lim
1 + 4n 3 + 4 n − 5n n 2 2n
3n − 4n +1 2n + 6n − 4n +1
2. lim n + 2 4. lim
3 + 4n 3n + 6n +1
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
sin nπ sin10n + cos10n
1. lim 2. lim
n +1 n 2 + 2n
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)  1 1 1 
1. lim ds1/3 4. lim  + + ... + ds1
3n 2 + 4 1.2 2.3 n(n + 1) 

1 + 2 + 3 + ... + n
2. lim ds1/2  1 1 1 
n2 − 3 5. lim  + + ... +
1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 

1 + 2 + 3 + ... + n
2 2 2 2
3. lim ds1/3
n(n + 1)(n + 2)
Bài 7 Tính các tổng sau:
1 1 3. S = 1 + 0,1 + (0,1) 2 + (0,1)3 + ....
1. S = 1 + + + ...
2 4 4. S = 2 + 0,3 + (0,3) 2 + (0,3)3 + ....
1 1 1
2. S = 1 − + − + ...
3 9 27
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1. 1,1111…. 3. 0,2222… 5. 0,23111…
2. 2,3333… 4. 0,212121….
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
lim x = x0 lim C = C lim 1 = 0 1  +∞ ,k = 2l
= 0 xlim x = +∞ lim x k = 
k
lim
 −∞ ,k = 2l + 1
x → x0 x → x0 x →±∞ x x →±∞ x k →+∞ x →−∞
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x → x0 x → x0 x → x0
lim f ( x ) lim g ( x ) lim f ( x ) .g ( x )
x → x0 x → x0 x → x0
+∞ +∞
L>0 −∞ −∞
+∞ −∞
L>0 −∞ +∞
f ( x)
lim f ( x ) lim g ( x ) Dấu của g(x) lim
x → x0 x → x0 x → x0 g ( x)
L ±∞ Tuỳ ý 0
+ +∞
L>0 −∞
-
0 −∞
+
L<0 +∞
-
-2-

3. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
x2 − 9 x2 − 9
1. lim 3. lim
x →3 x − 3 x →3 x + 4
2. lim ( x + 3 x + 1) 2x2 − 9
2
x →1 4. lim 2
x →+∞ x + 4
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1. lim x đs2 5x + 2
x →2 5. lim đs7/2
x →1 x +1
2. lim ( x + 3) đs5
x →2
x 2 + 3x − 1
3. lim ( −2 x − 3x + 5 ) đs-9
2 6. lim đs3
x →2
x →2 x −1
4. lim ( x − 3) ( x + 2 ) đs-6
x→0 7. lim
5 − 2x + x −1
đs2/3
x →2 x +1
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1. lim ( x + 2 x ) đs +∞ 3x 2 + 1
3
x →+∞ 10. lim 3 đs0
x →−∞ 2 x + 5
2. lim ( x 3 + 2 x ) đs −∞
x →−∞ x2 + 2 x + 2
11. lim đs +∞
5 x 2 + 3x + 1 x →+∞ x +1
3. lim đs5/2
x →+∞ 2x2 + 3 x2 + 2 x + 2
12. lim đs −∞
5 x 2 + 3x + 1 x →−∞ x +1
4. lim đs5/2
x →−∞ 2x2 + 3 13. xlim x + 2 x
2
đs +∞
→+∞
x4 + 5x2 + 1
5. lim đs1/2
14. xlim x + 2 x đs +∞
2
x →+∞ 2 x4 + 3 →−∞
x4 + 5x2 + 1
6. lim đs1/2 4 x2 + 1 ± 2
x →−∞ 2 x4 + 3 15. lim đs
x →±∞ 3 x − 1 3
3x + 1
7. lim 2 đs0 3x + x − 5 x 1
4
x →+∞ 2 x + 3 16. lim đs
x →±∞ 2 x 2 + 4 x − 5 2
3x + 1
8. lim 2 đs0
x →−∞ 2 x + 3 x + 3 + 4x
2
17. lim đs5 , -1
3x 2 + 1 x →±∞
4 x2 + 1 − x
9. lim 3 đs0
x →+∞ 2 x + 5
9x2 + 1 − 4x2 + 2x
18. lim đs ±1
x →±∞ x +1
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
5x + 2 5x + 2
lim
1. x →3 2 đs +∞ 4. lim đs +∞
( x − 3) x →3 x − 3
+
 2x + 3  x2 + 5x + 2
5. lim đs −∞
2. lim  − 2  đs
−∞ x → 2− x−2
x →3
 ( x − 3) 
  x2 + 5x + 2
5x + 2 6. lim đs +∞
3. lim đs −∞
x → 2+ x−2
x →3 x − 3
−
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
 2 x 2 + 3 x − 1 ,x ≥ 2
Cho hàm số : f ( x ) = 
3 x + 7 ,x < 2
Tìm các giới hạn sau:
1. lim f ( x )
x →1
2. lim f ( x )
x →3
3. lim f ( x )
x →2
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
-3-

4. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
1 − 2 x 2 ,x < 1
Cho hàm số : f ( x) = 
5 x + 4 ,x ≥ 1
Tìm các giới hạn sau:
1. lim f ( x )
x→0
2. lim f ( x )
x →3
3. lim f ( x )
x →1
0
Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng )
0
x 2 + 2 x − 15 ( x + h)
2
1. lim đs8 − x2
7. lim đs2x
x →3 x−3 h →0 h
x2 + 2x − 3 x 4 − 6 x 2 − 27
2. lim đs2 8. lim đs-36/5
x →1 x2 −1 x →−3 x 3 + 3 x 2 + x + 3
x 2 − 3x + 2 x5 + 1
3. lim 2 đs1/2 9. lim 3 đs5/3
x →2 x − 2x x →−1 x + 1
x 2 − 3x + 2 xm −1
4. lim 2 đs1/5 10. lim n đsm/n
x →2 x + x − 6 x →1 x − 1
x3 − x 2 − x + 1 4 x 6 − 5 x5 + x
5. lim 2 đs0 lim
x − 3x + 2 11. đs10
( 1− x)
x →1 x →1 2
x4 − a4
6. lim đs4a3
x →a x − a
0
Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng )
0
x −1 4 x + 1 − −3
1. lim đs1/2 4. lim đs1/6
x →1 x − 1 x →2 x2 − 4
x +1 − 2 2x + 5 − 7 + x
2. lim đs1/24 5. lim đs1/12
x →3 x2 − 9 x →2 x2 − 2 x
2− x+3 3
4x + 2
3. lim đs-1/8 6. lim đs1/3
x →1 x2 − 1 x →−2 x+2
0
Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng )
0
x −1
3 3
x −1
1. lim đs1/6 6. lim đs2/3
x →1 x 2 − 1 x →1 x −1
x− x+2 1+ x − 1− x
3
2. lim đs9/8 7. lim đs5/6
x →2 4x +1 − 3 x→0 x
1− 3 1− x x +1 + x + 4 − 3
3. lim đs1/9 8. lim
x→0 3x x→0 x
3
x +1 x + 9 + x + 16 − 7
4. lim đs-2/3 9. lim
x →−1
x +3 −2
2 x→0 x
3
x+7 −2 x − 2 x +1
3 2 3
5. lim đs1/2 10. lim
( x − 1)
x →1 2
x →1 x −1
Bài 10:Tìm caùc giôùi haïn sau
1. lim ( x + x − x)
x →+∞
2
3. lim (
x →+∞
x2 − x + 1 − x2 + x + 1 )
2. lim ( 2 x − 1 − 4 x − 4 x − 3 )
2
4. lim ( 3
x3 + 1 − x )
x →+∞ x →+∞
lim x − x 2 + 5 x
5. x→+∞( ) (Ñs:-5/2)
-4-

5. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
lim
6. x →−∞ ( x − x − x +1 ) (Ñs:1/2)
2 2
8. lim
x →+∞
( 3
x3 + 5 x 2 − 3 x3 + 8 x )
7. lim x .
x →+∞
2
( 3
x +1 − x
3
)
Bài 11:Tìm caùc giôùi haïn sau
 2 1   1 1 
1. lim  x 2 − 1 − x − 1 ÷ 3. lim  x 2 − 3x + 2 − x 2 − 5 x + 6 ÷
x →1
  x →1
 
 1 3 
2. lim  1 − x − 1 − x 3 ÷
x →1
 
BAØI 3: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
Bài 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá taïi ñieåm x0
 x2 − 9  x −2
 khi x ≠ 3  khi x ≠ 4
1. f(x) =  x − 3 tại x0=3  x +5 −3
6 7. f ( x ) =  tại x0=4
 khi x = 3 3 khi x = 4
 x 2 − 25 2

 khi x ≠ 5
2. f(x) =  x − 5 tại x0=5  x 2 +4 khi x < 2
9 khi x = 5 8. f ( x ) =  tại x0=2
 2 x + 1 khi x ≥ 2
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3  x 4 + x 2 − 1 khi x ≤ −1
 khi x ≠ 2
3. f ( x ) =  x − 3 x + 2
2 9. f ( x ) =  tại x0= -1
1 3 x + 2 khi x > −1
 khi x = 2
 x2
 khi x < 0
tạix0=2 10. f ( x) =  tại x0=0
1 − x khi x ≥ 0

x + x+2
3
 3 khi x ≠ −1  x−5
  2 x − 1 − 3 khi x > 5
4. f ( x) =  x +1 tại x0= -1 
4 11. f ( x ) =  tại x0=5
khi x = −1

3 3 khi x ≤ 5
2

1 − 2 x − 3
 khi x ≠ 2 x3 + 2 x 2 − 1
5. f ( x ) =  2 − x tại x0=2 12. f ( x ) = tại x0=2
1 x−2
 khi x = 2 4
x + x +1
 3 3x + 2 − 2 13. f(x)= x −5
tại x0 = 5
 khi x ≠ 2
 x−2
6. f ( x ) =  tại x0=2
3 khi x = 2
4

14. Chứng minh các hàm số
 x2 + 2x − 3
 khi x ≠ 1
a) f ( x ) =  x − 1 liên tục trên R
4 khi x = 1

 x3 + x + 2
 x 3 + 1 khi x ≠ −1

b) f ( x ) =  4 liên tục trên R
 khi x = −1
3

 x2 + 7 − 4
 2 khi x ≠ 3
 x − 5x + 6
c) f ( x ) =  liên tục trên R { 2}
3 khi x = 3
4

-5-

6. Trêng THPT Ng« QuyÒn GV: Hµ C«ng Th¬
15. tìm a để hàm số liên tục trên R
 x2 khi x < 1  a 2 x 2 khi x ≤ 2

1) f ( x ) =  2ax − 3 khi x ≥ 1 2) f ( x ) =  1-a x khi x > 2
 ( )

 x2 − 4
 khi x ≠ 2
3) f ( x ) =  x − 2
a khi x = 2

 x 3 + 2 x 2 − 5 khi x ≥ 0
16. Cho haøm soá f(x) = 4 x − 1 khi x < 0

Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá treân taäp xaùc ñònh cuûa noù.(Ñs:giaùn ñoïan
taïi x = 0).
17. Tìm a để hàm số liên tục tại x0
 x+3 −2  1− x − 1+ x
 khi x ≠ 1  khi x < 1
a) f ( x ) =  x − 1 tại x0=1 
f ( x) =  x −1
a+1 c) tại x0=1
 khi x = 1 a + 4 - x khi ≥ 1
 x+2 −2 
 x+2
 khi x ≠ 2  3 3x + 2 − 2
b) f(x) =  x − 4
2
tại x0=2  khi x > 2
a 
 khi x = 2 d) f ( x) =  2 − x tại x0=2
ax + 1 khi x ≤ 2

 4
18. cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
x2 − 2 x x2 − 2 x
a) f ( x) = b) f ( x) =
x x2
Có thể gán cho f ( 0 ) một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f ( x ) liên tục tại x=0
ax 2 khi x ≤ 2
19. Cho haøm soá f(x) = 3 khi x > 2

Tìm a ñeå haøm soá lieän tuïc taïi x=2, veõ ñoà thò haøm soá vôùi a tìm ñöôïc.
3 2
20. Chöùng minh raèng phöông trình x + 3x +5x-1= 0 coù ít nhaát 1 nghieäm trong
khoaûng (0;1)
3
21. Chöùng minh raèng phöông trình x -3x+1= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät.
5 4
22. Chöùng minh raèng phöông trình x -3x +5x-2= 0 coù ít nhaát 3 nghieäm phaân bieät
naèm trong khoaûng (-2 ;5 )
-6-