Bài tập giới hạn

Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com

CHƯƠNG IV
GIỚI HẠN

www.MATHVN.com
I. Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
1 1 lim n = +¥ lim nk = +¥ (k Î ¢ + )
lim = 0 ; lim = 0 (k Î ¢ + )
n®+¥ n n®+¥ n k
lim qn = +¥ (q > 1)
lim q n = 0 ( q < 1) ; lim C = C 2. Định lí:
n®+¥ n®+¥
2. Định lí : 1
a) Nếu lim un = +¥ thì lim =0
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
· lim (un + vn) = a + b un
· lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim =0
vn
· lim (un.vn) = a.b
u c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
a
· lim n = (nếu b ¹ 0) u ì+¥ neáu a.vn > 0
vn b thì lim n = í
vn î-¥ neáu a.vn < 0
b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì a ³ 0 và lim un = a
ì+¥ neá u a > 0
thì lim(un.vn) = í
c) Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0 î-¥ neá u a < 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 ¥
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử
0 ¥
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1
1- q
( q < 1) dạng vô định.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
1 1
1+ 2 1+ - 3
n +1 n =1 n + n - 3n n
VD: a) lim = lim b) lim = lim =1
2n + 3 3 2 1 - 2n 1
2+ -2
n n
æ 4 1 ö
c) lim(n2 - 4n + 1) = lim n2 ç 1 - + ÷ = +¥
è n n2 ø
· Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
( a - b )( a + b ) = a - b; ( 3 a - 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a - b
VD: lim ( )
n2 - 3n - n = lim
( n2 - 3n - n )( n2 - 3n + n ) = lim -3n
=-
3
( n2 - 3n + n ) n2 - 3n + n 2

· Dùng định lí kẹp: Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0

www.mathvn.com Trang 1

www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng

sin n sin n 1 1 sin n
VD: a) Tính lim . Vì 0 £ £ và lim = 0 nên lim =0
n n n n n
3sin n - 4 cos n
b) Tính lim . Vì 3sin n - 4 cos n £ (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 5
2
2n + 1
3sin n - 4 cos n 5
nên 0 £ £ .
2 2
2n + 1 2n + 1
5 3sin n - 4 cos n
Mà lim = 0 nên lim =0
2
2n + 1 2n2 + 1

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ
thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất
của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Baøi 1: Tính các giới hạn sau:
2n2 - n + 3 2n + 1 3n3 + 2n2 + n
a) lim b) lim c) lim
3n2 + 2n + 1 n3 + 4n2 + 3 n3 + 4
n4 n2 + 1 2 n4 + n2 - 3
d) lim e) lim f) lim
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1) 2n 4 + n + 1 3n3 - 2n2 + 1
1 + 3n 4.3n + 7n+1 4n+1 + 6 n+2
4 + 3n 2.5n + 7n 5n + 8n
2n + 5n+1 1 + 2.3n - 7n 1 - 2.3n + 6n
1 + 5n 5n + 2.7n 2n (3n+1 - 5)
3
4 n2 + 1 + 2 n - 1 n2 + 3 - n - 4 n2 + 1 - n 6
n2 + 4n + 1 + n n2 + 2 + n n 4 + 1 + n2
4 n2 + 1 + 2 n (2n n + 1)( n + 3) n2 - 4 n - 4 n2 + 1
n2 + 4 n + 1 + n (n + 1)(n + 2) 3n2 + 1 + n
æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö
a) lim ç + + ... + ÷ b) lim ç + + ... + ÷
è 1.3 3.5 (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 2.4 n(n + 2) ø
æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 1 1 ö
c) lim ç 1 - ÷ ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ d) lim ç + + ... + ÷
è 22 ø è 32 ø è n2 ø è 1.2 2.3 n(n + 1) ø
1 + 2 + ... + n 1 + 2 + 22 + ... + 2 n
e) lim f) lim
n2 + 3n 1 + 3 + 32 + ... + 3n


Trang 2 www.mathvn.com


a) lim ( n2 + 2n - n - 1) b) lim ( n2 + n - n2 + 2 ) c) lim ( 3 2n - n3 + n - 1)
d) lim (1 + n2 - n4 + 3n + 1 ) e) lim ( ) 1
n2 - n - n f) lim
n 2 + 2 - n2 + 4
3
4 n2 + 1 - 2 n - 1 n2 + 1 - n 6 n2 - 4 n - 4 n2 + 1
g) lim h) lim i) lim
n2 + 4n + 1 - n n 4 + 1 - n2 3n2 + 1 - n
2 cos n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 2 - 2 n cos n
n2 + 1 3n - 1 3n + 1
3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1) 3sin2 (n3 + 2) + n2 3n2 - 2n + 2
n2 + 1 2 - 3n2 n(3 cos n + 2)
æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç 1 - ÷ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ , với " n ³ 2.
è 22 øè 32 ø è n2 ø
a) Rút gọn un. b) Tìm lim un.
1 1 1
Baøi 8: a) Chứng minh: = - ("n Î N*).
n n + 1 + (n + 1) n n n +1
1 1 1
b) Rút gọn: un = + + ... + .
1 2 +2 1 2 3 +3 2 n n + 1 + (n + 1) n
c) Tìm lim un.
ìu1 = 1
ï
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1 .
ïun+1 = un + n (n ³ 1)
î 2
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
ìu = 0; u2 = 1
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1
î2un+2 = un+1 + un , (n ³ 1)
1
a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + 1 , "n ³ 1.
2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

II. Giới hạn của hàm số


Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số) ì+¥ neá u k chaü n
x® x0 x® x0 lim xk = +¥ ; lim xk = í
x®+¥ x®-¥ î-¥ neá u k leû
2. Định lí:
c
a) Nếu lim f ( x) = L và lim g( x) = M lim c = c ; lim =0
x® x0 x® x0 x®±¥ x®±¥ xk
thì: lim [ f ( x) + g( x)] = L + M 1 1
x® x0 lim = -¥ ; lim = +¥
x®0 x
-
x®0 x
+

lim [ f ( x) - g( x)] = L - M
x® x0 1 1
lim- = lim+ = +¥
lim [ f ( x).g( x)] = L.M x®0 x x®0 x
x® x0 2. Định lí:
f ( x) L Nếu lim f ( x) = L ¹ 0 và lim g( x) = ±¥ thì:
lim = (nếu M ¹ 0) x® x0 x® x0
x® x0 g( x) M
ì+¥ neáu L vaø lim g( x) cuø ng daáu
b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f ( x) = L ï x® x0
x® x0 lim f ( x)g( x) = í
x® x0
ï-¥ neáu L vaø xlim g( x) traù i daáu
® x0
thì L ³ 0 và lim f ( x) = L î
x® x0
ì0 neá u lim g( x) = ±¥
c) Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L f ( x) ï
x® x0
x® x0 x® x0 lim = ï+¥ neá u lim g( x) = 0 vaø L.g( x) > 0
3. Giới hạn một bên: x® x0 g( x) í x® x0
ï
lim f ( x) = L Û ï-¥ neá u xlim g( x) = 0 vaø L.g( x) < 0
® x0
x® x0 î
Û lim - f ( x) = lim + f ( x) = L * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
x® x0 x® x0 0 ¥
, , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô
0 ¥
định.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
0
1. Dạng
0
P ( x)
a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x® x0 Q( x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
x3 - 8 ( x - 2)( x2 + 2 x + 4) x2 + 2 x + 4 12
VD: lim = lim = lim = =3
x2 - 4
x®2 x®2 ( x - 2)( x + 2) x®2 x+2 4
P ( x)
b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x® x0 Q( x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
2- 4- x ( 2 - 4 - x )( 2 + 4 - x ) 1 1
VD: lim = lim = lim =
x®0 x x®0 x(2 + 4 - x ) x®0 2 + 4 - x 4
P ( x)
c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
x® x0 Q( x)

Giả sử: P(x) = m u( x) - n v( x) vôù i m u( x ) = n v( x0 ) = a .
0

Ta phân tích P(x) = ( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) .


3
x +1 - 1- x æ 3 x +1 -1 1- 1- x ö
VD: lim = lim ç + ÷
x®0 x x®0 è x x ø
æ 1 1 ö 1 1 5
= lim ç + ÷= + =
x®0 ç 3
è ( x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 1 + 1 - x ÷ 3 2 6
ø
¥ P ( x)
2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
¥ x®±¥ Q( x)
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc
nhân lượng liên hợp.
5 3
2 2+ -
2 x + 5x - 3 x x2
VD: a) lim = lim =2
x®+¥ x2 + 6 x + 3 x®+¥ 6 3
1+ +
x x2
3
2-
2x - 3 x
b) lim = lim = -1
x®-¥ 2
x +1 - x x®-¥ 1
-1 - 1+
x2
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.

( ( 1 + x - x )( 1 + x + x ) 1
VD: lim 1 + x - x ) = lim = lim =0
x®+¥ x®+¥ 1+ x + x x®+¥ 1+ x + x
4. Dạng 0.¥:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
x x - 2. x 0. 2
VD: lim+ ( x - 2) = lim+ = =0
x®2 2
x -4 x®2 x+2 2

Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:
æ pö
2 3 2 sin ç x - ÷
1+ x + x + x 3x + 1 - x è 4ø
x®0 1+ x x®-1 x -1 x®
p x
2

x -1 x2 - x + 1 x2 - 2 x + 3
x®-1 x4 + x - 3 x®2 x -1 x®1 x +1
3
x+8 -3 3x2 - 4 - 3 x - 2 1
g) lim h) lim i) lim x2 sin
x®1 x-2 x®2 x +1 x®0 2
x3 - x2 - x + 1 x4 - 1 x5 + 1
x®1 x2 - 3 x + 2 x®1 x3 - 2 x2 + 1 x®-1 x3 + 1
x3 - 5 x2 + 3 x + 9 x - 5 x5 + 4 x6 xm - 1
x®3 x 4 - 8 x2 - 9 x®1 (1 - x)2 x®1 xn - 1
(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) - 1 x + x2 + ... + xn - n x4 - 16
x®0 x x®1 x -1 x®-2 x3 + 2 x2


4x + 1 - 3 3
x -1 1 + x2 - 1
a) lim b) lim . c) lim
x®2 x2 - 4 x®1 3 4x + 4 - 2 x®0 x

x+2 -2 2 x + 2 - 3x + 1 x2 + 1 - 1
x®2 x+ 7 -3 x®1 x -1 x®0
x2 + 16 - 4
1+ x -1 x + 3 - 2x x + 9 + x + 16 - 7
x®0 3 1 +x -1 x®-3 2
x + 3x x®0 x
1+ x - 3 1+ x 3
8 x + 11 - x + 7 2 1+ x - 3 8 - x
x®0 x x®2 x2 - 3 x + 2 x®0 x
3
1 + 4x - 3 1 + 6x 3
8 x + 11 - x + 7 5 - x3 - x2 + 7
x®0 x2 x®2 2 x2 - 5 x + 2 x®1 x2 - 1
1 + 4 x. 1 + 6 x - 1 1 + 2 x .3 1 + 4 x - 1 3
x +1 - 1- x
x®0 x x®0 x x®0 x
x2 + 1 2 x2 - x + 1 2 x2 + 1
x®+¥ 2 x2 - x + 1 x®±¥ x-2 x®+¥ x3 - 3 x2 + 2
x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1 4 x2 - 2 x + 1 + 2 - x x x +1
x®±¥
4 x2 + 1 + 2 - x x®±¥
9 x2 - 3 x + 2 x x®+¥ x2 + x + 1

(2 x - 1) x2 - 3 x2 + 2 x + 3 x x2 - 5 x + 2
x®-¥ x - 5 x2 x®+¥
4 x2 + 1 - x + 2 x®-¥ 2 x + 1

a) lim æ x2 + x - x ö
ç ÷ b) lim æ 2 x - 1 - 4 x2 - 4 x - 3 ö
ç ÷
x®+¥ è ø x®+¥ è ø
æ ö
c) lim æ x2 + 1 - x3 - 1 ö
3
ç ÷ d) lim ç x + x + x - x ÷
x®+¥ è ø x®+¥ è ø
e) lim ( 3 2 x - 1 - 3 2 x + 1) f) lim ( 3 3x3 - 1 + x2 + 2 )
x®+¥ x®-¥
æ 1 3 ö æ 1 1 ö
g) lim ç - ÷ h) lim ç + ÷
x®1 è 1 - x 1 - x3 ø x®2 è x2 - 3 x + 2 x2 - 5 x + 6 ø

x - 15 x - 15 1 + 3x - 2 x2
a) lim+ b) lim- c) lim+
x®2 x - 2 x®2 x - 2 x®3 x-3
x2 - 4 2-x 2- x
d) lim+ e) lim+ f) lim-
x®2 x-2 2
x®2 2 x - 5 x + 2 2
x®2 2 x - 5 x + 2
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
ì 1+ x -1
ï3 khi x > 0 ì 9 - x2
ï 1+ x -1 ï
a) f ( x) = í taï i x = 0 b) f ( x) = í x - 3 khi x < 3 taï i x = 3
ï 3 ï1 - x khi x ³ 3
khi x £ 0 î
ï2
î


ì x2 - 2 x ì x2 - 3 x + 2
ï khi x > 2 ï khi x > 1
ï 3 ï 2
c) f ( x) = í 8 - x taï i x = 2 d) f ( x) = í x - 1 taïi x = 1
ï x4 - 16 ï- x
khi x < 2 khi x £ 1
ï x-2
î ï 2
î
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
ì x3 - 1 ì 1 3
ï khi x < 1 ï - khi x > 1
a) f ( x) = í x - 1 taïi x = 1 b) f ( x) = í x - 1 x3 - 1 taïi x = 1
ïmx + 2 khi x ³ 1
î ïm x - 3mx + 3 khi x £ 1
2 2
î
ìx + m khi x < 0
ï ìx + 3m khi x < -1
c) f ( x) = í x2 + 100 x + 3 taï i x = 0 d) f (x) = í 2 taïi x = -1
ï khi x ³ 0 îx + x + m + 3 khi x ³ -1
î x+3



III. Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 Û lim f ( x) = f ( x0 )
x® x0
· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x) , lim - f ( x) )
x® x0 x® x0 x® x0

B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.
x® x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim+ f ( x) = f (a), lim- f ( x) = f (b)
x®a x®b
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R.
· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f ( x)
· Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0.
g( x)
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm cÎ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T
[ a; b ] [ a; b ]
Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T.

Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
ì x+3 -2
ìx+3 ï khi x ¹ 1
ï khi x ¹ 1 taï i x = -1 ï
a) f ( x) = í x - 1 b) f ( x) = í x - 1 taï i x = 1
ï -1
î khi x = 1 ï1 khi x = 1
ï4
î
ì2 - 7x + 5x - x
2 3 ì x-5
ï khi x ¹ 2 taïi x = 2 d) f ( x) = ï khi x > 5
c) f (x) = í x2 - 3x + 2 í 2x -1 - 3 taïi x = 5
ï1 khi x = 2 ï( x - 5)2 + 3 khi x £ 5
î î
ì x -1
ì1 - cos x khi x £ 0 ï khi x < 1
e) f ( x) = í taï i x = 0 f) f ( x) = í 2 - x - 1 taï i x = 1
î x +1 khi x > 0 ï -2 x khi x ³ 1
î
Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
ì 2
a) f ( x) = í x khi x < 1 taïi x = 1
î 2mx - 3 khi x ³ 1
ì x3 - x2 + 2x - 2
ï khi x ¹ 1
b) f (x) = í x -1 taïi x = 1
ï3x + m
î khi x = 1



ìm khi x = 0
ï 2
ïx - x-6
c) f ( x) = í khi x ¹ 0, x ¹ 3 taïi x = 0 vaø x = 3
ï x( x - 3)
ïn
î khi x = 3
ì x2 - x - 2
ï khi x ¹ 2
d) f ( x) = í x - 2 taï i x = 2
ïm
î khi x = 2
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
ì x3 + x + 2
ï 3 khi x ¹ -1 ì x2 - 3 x + 4 khi x < 2
ï x +1 ï
a) f ( x) = í b) f ( x) = í5 khi x = 2
ï4 khi x = -1
ï2 x + 1
î khi x > 2
ï3
î
ì x2 - 4 ì x2 - 2
ï khi x ¹ -2 ï khi x ¹ 2
c) f ( x) = í x + 2 d) f ( x) = í x - 2
ï -4 khi x = -2 ï
î î2 2 khi x = 2
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
ì x2 - x - 2 ì x2 + x khi x < 1
ï khi x ¹ 2 ï
a) f ( x) = í x - 2 b) f ( x) = í2 khi x = 1
ïm khi x = 2 ïmx + 1
î khi x > 1
î
ì x3 - x2 + 2 x - 2
ï ì 2
c) f ( x) = í x -1
khi x ¹ 1 d) f ( x) = í x khi x < 1
ï3 x + m khi x = 1 î2mx - 3 khi x ³ 1
î
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3 - 3 x + 1 = 0 b) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0 c) 2 x + 6 3 1 - x = 3
Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x5 - 3 x + 3 = 0 b) x5 + x - 1 = 0 c) x4 + x3 - 3 x2 + x + 1 = 0
Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: x5 - 5 x3 + 4 x - 1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m( x - 1)3 ( x - 2) + 2 x - 3 = 0 b) x4 + mx2 - 2mx - 2 = 0
c) a( x - b)( x - c) + b( x - c)( x - a) + c( x - a )( x - b) = 0 d) (1 - m2 )( x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0
e) cos x + m cos 2 x = 0 f) m(2 cos x - 2) = 2sin 5 x + 1
Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax2 + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2 + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c) x3 + ax2 + bx + c = 0
é 1ù
Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm x Î ê 0; ú với a ¹ 0
ë 3û
và 2a + 6b + 19c = 0.



BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1 + 2 + 3 + ... + n æ n + 2 sin n ö n 2 + 2n
a) lim b) lim ç + ÷ c) lim
3n3 è n + 1 2n ø 3n 2 + n + 1
n2 + 2 n 25n+1 + 3 (-1)n + 4.3n
2n2 + 3n - 1 35n+2 + 1 (-1)n+1 - 2.3n
g) lim ( n2 - 3n - n2 + 1 ) g) lim ( 3 n3 + 3n2 - n ) (
h) lim 1 + n2 - n4 + n )
l) lim ( )
2 cos n2 n 3
i) lim k) lim n 2 - 2 - n3 + 2 n
2
n +1 2
3n + 1 - n - 1 2

x2 - 5 x + 6 8 x2 - 1 x3 - 4 x2 + 4 x - 3
x®3 x2 - 8 x + 15 x®
1 6 x2 - 5 x + 1 x®3 x2 - 3 x
2

2 x4 - 5 x3 + 3 x2 + 1 x3 - 3 x + 2 x3 - 2 x2 - 4 x + 8
x®1 3 x4 - 8 x3 + 6 x2 - 1 x®1 x4 - 4x + 3 x®2 x4 - 8 x2 + 16
x3 - 2 x - 1 x+2 ( x + 2)2 - 1
x®1 x5- 2x -1 x®-2 2 x2 + 5x + 2 x®-1 x2 - 1
x-2 1 + x2 - 1 x+8 -3
x®2 3 - x+7 x®0 x x®1 x2 + 2x - 3
1+ 2x - 3 2x + 7 - 3 x2 + 1 - 1
x®4 x -2 x®1 x+3 -2 x®0
4 - x2 + 16
3
3
x + 7 - 5 - x2 1+ x - 3 1- x 3
4x - 2
x ®1 x -1 x®0 x x®2 x-2
3 3
x -1 1 + x2 - 1 x+2 + x+7 -5
k) lim l) lim m) lim
x®0 x -1 x®0 x 2 x®2 x-2
2 x2 - 3 x + 2 x -1 3 x3 - 4 x + 1
a) lim + b) lim- c) lim +
x®-2 x+2 x®1 x2 + 3 x - 4 x®-1 x +1
2 x2 - 5x + 2 3x + 4 x+ x
d) lim- e) lim+ f) lim+
x®2 ( x - 2)2 x®3 3 - x x®0 x- x
2
8 + 2x - 2 2 x + 5x - 3 x
g) lim + h) lim - i) lim+ ( x - 2 )
2 2
x®-2 x+2 x®-3 ( x - 3) x®2 x -4
2 x3 - 3 x2 + 4 x - 1 x2 + x - 1 (2 x - 3)2 (4 x + 7)3
x®-¥ x4 - 5 x3 + 2 x2 - x + 3 x®+¥ 2 x2 + x +1 x®+¥ (3 x3 + 1)(10 x2 + 9)

d) lim
2 x4 - x3 + x
4 2
e) lim ( x2 + 1 + x ) f) lim ( x + x2 - x + 1)
x®+¥ 3x + 2 x - 7 x®-¥ x®- ¥



g) lim
x2 + 1 - x
h) lim ( x2 - x + 3 + x ) i) lim
5x + 3 1 - x
x® - ¥ 5 + 2x x®-¥ x®-¥ 1- x

k) lim
x2 + 2 x + 3 x
l) lim ( )
x2 + x - 2 x2 - 1 m) lim ( x2 + 2 x + x )
x®-¥ 2 x®-¥ x®-¥
4x + 1 - x + 2
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số:
ì1 - cos x
ì1 - x khi x £ 3 ï khi x ¹ 0
ï ï 2
a) f ( x) = í x2 - 2 x - 3 trên R b) f ( x) = í sin x tại x = 0
ï 2x - 6 khi x > 3 ï 1
î khi x = 0
ï4
î
ì 12 - 6 x ì x2
ï khi x ¹ 2 ï khi x < 0
c) f ( x) = í x2 - 7 x + 10 trên R d) f ( x) = í tại x = 0
ï2 khi x = 2 ï1 - x khi x ³ 0
î
î
Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R:
ì 2a 2 + 1
ï
ï khi x £ 1 ì x2 - 1
ï 3 ï khi x ¹ 1
a) f ( x) = í x - x + 2 x - 2
2 b) f ( x) = í x - 1
ï khi x > 1 ïx + a
ï
ï
ï
î x- 1 î khi x = 1
ì x2 + x - 2 ì x2 - 4 x + 3
ï khi x ¹ -2 ï khi x < 1
c) f ( x) = í x + 2 d) f ( x) = í x - 1
ïa
î khi x = -2 ïax + 2
î khi x ³ 1
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình:
a) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
b) m( x - 1)3 ( x2 - 4) + x4 - 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) (m2 + 1) x4 – x3 –1 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( -1; 2 ) với mọi m.
d) x3 + mx2 - 1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương.
e) x4 - 3 x2 + 5 x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
a b c
Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: + + = 0 . Chứng minh rằng
m+ 2 m+1 m
phương trình: f ( x) = ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
æ m +1 ö c2
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ¹ 0. Với c ¹ 0 thì f (0). f ç ÷=- <0
è m+ 2 ø m(m + 2)

www.MATHVN.com


Bài tập giới hạn

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Bài tập giới hạn

More from Thế Giới Tinh Hoa

Bài tập giới hạn