The document contains the repeated URL www.VNMATH.com across multiple lines without any other text or context provided. The URL www.VNMATH.com is listed over 25 times in the document.
The document contains the repeated URL www.VNMATH.com across multiple lines without any other text or context provided. The URL www.VNMATH.com is listed over 25 times in the document.
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...Hoàng Thái Việt
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11 (THẦY HOÀNG THÁI VIỆT)
- CHUYÊN ĐỀ BAO GỒM LÝ THUYẾT + BÀI TẬP THAM KHẢO + BÀI TẬP RÈN LUYỆN + TỔNG HỢP ĐỀ KIỂM TRA
The document provides solutions to mathematical equations and inequalities involving radicals, fractions, and variables. It contains 50 problems involving solving equations and inequalities for variables on the set of real numbers. The problems cover a range of techniques including isolating variables, combining like terms, factoring, and applying properties of radicals, fractions and inequality signs.
This document provides 30 equations and inequalities and asks the reader to solve them on the set of real numbers. It uses variables like x, square roots, exponents, and basic arithmetic operations. The problems range from simple one-variable equations to more complex expressions with multiple variables. The goal is to calculate the value(s) of the variable(s) that satisfy each equation or inequality.
This document contains solutions to various equations and inequalities involving radicals on the set of real numbers. It is divided into 6 sections, with multiple problems provided in each section ranging from simple single-term radical equations to more complex multi-term radical equations and inequalities. The document provides the step-by-step workings for solving each problem.
Những bài văn mẫu dành cho học sinh lớp 10truonghocso.com
Bài tập giới hạn
1. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
CHƯƠNG IV
GIỚI HẠN
www.MATHVN.com
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
1 1 lim n = +¥ lim nk = +¥ (k Î ¢ + )
lim = 0 ; lim = 0 (k Î ¢ + )
n®+¥ n n®+¥ n k
lim qn = +¥ (q > 1)
lim q n = 0 ( q < 1) ; lim C = C 2. Định lí:
n®+¥ n®+¥
2. Định lí : 1
a) Nếu lim un = +¥ thì lim =0
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
· lim (un + vn) = a + b un
· lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim =0
vn
· lim (un.vn) = a.b
u c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0
a
· lim n = (nếu b ¹ 0) u ì+¥ neáu a.vn > 0
vn b thì lim n = í
vn î-¥ neáu a.vn < 0
b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a
d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a
thì a ³ 0 và lim un = a
ì+¥ neá u a > 0
thì lim(un.vn) = í
c) Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0 î-¥ neá u a < 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 ¥
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử
0 ¥
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1
1- q
( q < 1) dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
1 1
1+ 2 1+ - 3
n +1 n =1 n + n - 3n n
VD: a) lim = lim b) lim = lim =1
2n + 3 3 2 1 - 2n 1
2+ -2
n n
æ 4 1 ö
c) lim(n2 - 4n + 1) = lim n2 ç 1 - + ÷ = +¥
è n n2 ø
· Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
( a - b )( a + b ) = a - b; ( 3 a - 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a - b
VD: lim ( )
n2 - 3n - n = lim
( n2 - 3n - n )( n2 - 3n + n ) = lim -3n
=-
3
( n2 - 3n + n ) n2 - 3n + n 2
· Dùng định lí kẹp: Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0
www.mathvn.com Trang 1
2. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
sin n sin n 1 1 sin n
VD: a) Tính lim . Vì 0 £ £ và lim = 0 nên lim =0
n n n n n
3sin n - 4 cos n
b) Tính lim . Vì 3sin n - 4 cos n £ (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 5
2
2n + 1
3sin n - 4 cos n 5
nên 0 £ £ .
2 2
2n + 1 2n + 1
5 3sin n - 4 cos n
Mà lim = 0 nên lim =0
2
2n + 1 2n2 + 1
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ
thừa cao nhất của tử và của mẫu.
· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất
của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Baøi 1: Tính các giới hạn sau:
2n2 - n + 3 2n + 1 3n3 + 2n2 + n
a) lim b) lim c) lim
3n2 + 2n + 1 n3 + 4n2 + 3 n3 + 4
n4 n2 + 1 2 n4 + n2 - 3
d) lim e) lim f) lim
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1) 2n 4 + n + 1 3n3 - 2n2 + 1
Baøi 2: Tính các giới hạn sau:
1 + 3n 4.3n + 7n+1 4n+1 + 6 n+2
a) lim b) lim c) lim
4 + 3n 2.5n + 7n 5n + 8n
2n + 5n+1 1 + 2.3n - 7n 1 - 2.3n + 6n
d) lim e) lim f) lim
1 + 5n 5n + 2.7n 2n (3n+1 - 5)
Baøi 3: Tính các giới hạn sau:
3
4 n2 + 1 + 2 n - 1 n2 + 3 - n - 4 n2 + 1 - n 6
a) lim b) lim c) lim
n2 + 4n + 1 + n n2 + 2 + n n 4 + 1 + n2
4 n2 + 1 + 2 n (2n n + 1)( n + 3) n2 - 4 n - 4 n2 + 1
d) lim e) lim f) lim
n2 + 4 n + 1 + n (n + 1)(n + 2) 3n2 + 1 + n
Baøi 4: Tính các giới hạn sau:
æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö
a) lim ç + + ... + ÷ b) lim ç + + ... + ÷
è 1.3 3.5 (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 2.4 n(n + 2) ø
æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 1 1 ö
c) lim ç 1 - ÷ ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ d) lim ç + + ... + ÷
è 22 ø è 32 ø è n2 ø è 1.2 2.3 n(n + 1) ø
1 + 2 + ... + n 1 + 2 + 22 + ... + 2 n
e) lim f) lim
n2 + 3n 1 + 3 + 32 + ... + 3n
Baøi 5: Tính các giới hạn sau:
Trang 2 www.mathvn.com
3. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
a) lim ( n2 + 2n - n - 1) b) lim ( n2 + n - n2 + 2 ) c) lim ( 3 2n - n3 + n - 1)
d) lim (1 + n2 - n4 + 3n + 1 ) e) lim ( ) 1
n2 - n - n f) lim
n 2 + 2 - n2 + 4
3
4 n2 + 1 - 2 n - 1 n2 + 1 - n 6 n2 - 4 n - 4 n2 + 1
g) lim h) lim i) lim
n2 + 4n + 1 - n n 4 + 1 - n2 3n2 + 1 - n
Baøi 6: Tính các giới hạn sau:
2 cos n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 2 - 2 n cos n
a) lim b) lim c) lim
n2 + 1 3n - 1 3n + 1
3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1) 3sin2 (n3 + 2) + n2 3n2 - 2n + 2
d) lim e) lim f) lim
n2 + 1 2 - 3n2 n(3 cos n + 2)
æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç 1 - ÷ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ , với " n ³ 2.
è 22 øè 32 ø è n2 ø
a) Rút gọn un. b) Tìm lim un.
1 1 1
Baøi 8: a) Chứng minh: = - ("n Î N*).
n n + 1 + (n + 1) n n n +1
1 1 1
b) Rút gọn: un = + + ... + .
1 2 +2 1 2 3 +3 2 n n + 1 + (n + 1) n
c) Tìm lim un.
ìu1 = 1
ï
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1 .
ïun+1 = un + n (n ³ 1)
î 2
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
ìu = 0; u2 = 1
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1
î2un+2 = un+1 + un , (n ³ 1)
1
a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + 1 , "n ³ 1.
2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3
II. Giới hạn của hàm số
www.mathvn.com Trang 3
4. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số) ì+¥ neá u k chaü n
x® x0 x® x0 lim xk = +¥ ; lim xk = í
x®+¥ x®-¥ î-¥ neá u k leû
2. Định lí:
c
a) Nếu lim f ( x) = L và lim g( x) = M lim c = c ; lim =0
x® x0 x® x0 x®±¥ x®±¥ xk
thì: lim [ f ( x) + g( x)] = L + M 1 1
x® x0 lim = -¥ ; lim = +¥
x®0 x
-
x®0 x
+
lim [ f ( x) - g( x)] = L - M
x® x0 1 1
lim- = lim+ = +¥
lim [ f ( x).g( x)] = L.M x®0 x x®0 x
x® x0 2. Định lí:
f ( x) L Nếu lim f ( x) = L ¹ 0 và lim g( x) = ±¥ thì:
lim = (nếu M ¹ 0) x® x0 x® x0
x® x0 g( x) M
ì+¥ neáu L vaø lim g( x) cuø ng daáu
b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f ( x) = L ï x® x0
x® x0 lim f ( x)g( x) = í
x® x0
ï-¥ neáu L vaø xlim g( x) traù i daáu
® x0
thì L ³ 0 và lim f ( x) = L î
x® x0
ì0 neá u lim g( x) = ±¥
c) Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L f ( x) ï
x® x0
x® x0 x® x0 lim = ï+¥ neá u lim g( x) = 0 vaø L.g( x) > 0
3. Giới hạn một bên: x® x0 g( x) í x® x0
ï
lim f ( x) = L Û ï-¥ neá u xlim g( x) = 0 vaø L.g( x) < 0
® x0
x® x0 î
Û lim - f ( x) = lim + f ( x) = L * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
x® x0 x® x0 0 ¥
, , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô
0 ¥
định.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
0
1. Dạng
0
P ( x)
a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x® x0 Q( x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
x3 - 8 ( x - 2)( x2 + 2 x + 4) x2 + 2 x + 4 12
VD: lim = lim = lim = =3
x2 - 4
x®2 x®2 ( x - 2)( x + 2) x®2 x+2 4
P ( x)
b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x® x0 Q( x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
2- 4- x ( 2 - 4 - x )( 2 + 4 - x ) 1 1
VD: lim = lim = lim =
x®0 x x®0 x(2 + 4 - x ) x®0 2 + 4 - x 4
P ( x)
c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
x® x0 Q( x)
Giả sử: P(x) = m u( x) - n v( x) vôù i m u( x ) = n v( x0 ) = a .
0
Ta phân tích P(x) = ( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) .
Trang 4 www.mathvn.com
5. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
3
x +1 - 1- x æ 3 x +1 -1 1- 1- x ö
VD: lim = lim ç + ÷
x®0 x x®0 è x x ø
æ 1 1 ö 1 1 5
= lim ç + ÷= + =
x®0 ç 3
è ( x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 1 + 1 - x ÷ 3 2 6
ø
¥ P ( x)
2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
¥ x®±¥ Q( x)
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc
nhân lượng liên hợp.
5 3
2 2+ -
2 x + 5x - 3 x x2
VD: a) lim = lim =2
x®+¥ x2 + 6 x + 3 x®+¥ 6 3
1+ +
x x2
3
2-
2x - 3 x
b) lim = lim = -1
x®-¥ 2
x +1 - x x®-¥ 1
-1 - 1+
x2
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
( ( 1 + x - x )( 1 + x + x ) 1
VD: lim 1 + x - x ) = lim = lim =0
x®+¥ x®+¥ 1+ x + x x®+¥ 1+ x + x
4. Dạng 0.¥:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
x x - 2. x 0. 2
VD: lim+ ( x - 2) = lim+ = =0
x®2 2
x -4 x®2 x+2 2
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:
æ pö
2 3 2 sin ç x - ÷
1+ x + x + x 3x + 1 - x è 4ø
a) lim b) lim c) lim
x®0 1+ x x®-1 x -1 x®
p x
2
x -1 x2 - x + 1 x2 - 2 x + 3
d) lim e) lim f) lim
x®-1 x4 + x - 3 x®2 x -1 x®1 x +1
3
x+8 -3 3x2 - 4 - 3 x - 2 1
g) lim h) lim i) lim x2 sin
x®1 x-2 x®2 x +1 x®0 2
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau:
x3 - x2 - x + 1 x4 - 1 x5 + 1
a) lim b) lim c) lim
x®1 x2 - 3 x + 2 x®1 x3 - 2 x2 + 1 x®-1 x3 + 1
x3 - 5 x2 + 3 x + 9 x - 5 x5 + 4 x6 xm - 1
d) lim e) lim f) lim
x®3 x 4 - 8 x2 - 9 x®1 (1 - x)2 x®1 xn - 1
(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) - 1 x + x2 + ... + xn - n x4 - 16
g) lim h) lim i) lim
x®0 x x®1 x -1 x®-2 x3 + 2 x2
www.mathvn.com Trang 5
6. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau:
4x + 1 - 3 3
x -1 1 + x2 - 1
a) lim b) lim . c) lim
x®2 x2 - 4 x®1 3 4x + 4 - 2 x®0 x
x+2 -2 2 x + 2 - 3x + 1 x2 + 1 - 1
d) lim e) lim f) lim
x®2 x+ 7 -3 x®1 x -1 x®0
x2 + 16 - 4
1+ x -1 x + 3 - 2x x + 9 + x + 16 - 7
g) lim h) lim i) lim
x®0 3 1 +x -1 x®-3 2
x + 3x x®0 x
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau:
1+ x - 3 1+ x 3
8 x + 11 - x + 7 2 1+ x - 3 8 - x
a) lim b) lim c) lim
x®0 x x®2 x2 - 3 x + 2 x®0 x
3
1 + 4x - 3 1 + 6x 3
8 x + 11 - x + 7 5 - x3 - x2 + 7
d) lim e) lim f) lim
x®0 x2 x®2 2 x2 - 5 x + 2 x®1 x2 - 1
1 + 4 x. 1 + 6 x - 1 1 + 2 x .3 1 + 4 x - 1 3
x +1 - 1- x
g) lim h) lim i) lim
x®0 x x®0 x x®0 x
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau:
x2 + 1 2 x2 - x + 1 2 x2 + 1
a) lim b) lim c) lim
x®+¥ 2 x2 - x + 1 x®±¥ x-2 x®+¥ x3 - 3 x2 + 2
x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1 4 x2 - 2 x + 1 + 2 - x x x +1
d) lim e) lim f) lim
x®±¥
4 x2 + 1 + 2 - x x®±¥
9 x2 - 3 x + 2 x x®+¥ x2 + x + 1
(2 x - 1) x2 - 3 x2 + 2 x + 3 x x2 - 5 x + 2
g) lim h) lim i) lim
x®-¥ x - 5 x2 x®+¥
4 x2 + 1 - x + 2 x®-¥ 2 x + 1
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau:
a) lim æ x2 + x - x ö
ç ÷ b) lim æ 2 x - 1 - 4 x2 - 4 x - 3 ö
ç ÷
x®+¥ è ø x®+¥ è ø
æ ö
c) lim æ x2 + 1 - x3 - 1 ö
3
ç ÷ d) lim ç x + x + x - x ÷
x®+¥ è ø x®+¥ è ø
e) lim ( 3 2 x - 1 - 3 2 x + 1) f) lim ( 3 3x3 - 1 + x2 + 2 )
x®+¥ x®-¥
æ 1 3 ö æ 1 1 ö
g) lim ç - ÷ h) lim ç + ÷
x®1 è 1 - x 1 - x3 ø x®2 è x2 - 3 x + 2 x2 - 5 x + 6 ø
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau:
x - 15 x - 15 1 + 3x - 2 x2
a) lim+ b) lim- c) lim+
x®2 x - 2 x®2 x - 2 x®3 x-3
x2 - 4 2-x 2- x
d) lim+ e) lim+ f) lim-
x®2 x-2 2
x®2 2 x - 5 x + 2 2
x®2 2 x - 5 x + 2
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
ì 1+ x -1
ï3 khi x > 0 ì 9 - x2
ï 1+ x -1 ï
a) f ( x) = í taï i x = 0 b) f ( x) = í x - 3 khi x < 3 taï i x = 3
ï 3 ï1 - x khi x ³ 3
khi x £ 0 î
ï2
î
Trang 6 www.mathvn.com
7. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
ì x2 - 2 x ì x2 - 3 x + 2
ï khi x > 2 ï khi x > 1
ï 3 ï 2
c) f ( x) = í 8 - x taï i x = 2 d) f ( x) = í x - 1 taïi x = 1
ï x4 - 16 ï- x
khi x < 2 khi x £ 1
ï x-2
î ï 2
î
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
ì x3 - 1 ì 1 3
ï khi x < 1 ï - khi x > 1
a) f ( x) = í x - 1 taïi x = 1 b) f ( x) = í x - 1 x3 - 1 taïi x = 1
ïmx + 2 khi x ³ 1
î ïm x - 3mx + 3 khi x £ 1
2 2
î
ìx + m khi x < 0
ï ìx + 3m khi x < -1
c) f ( x) = í x2 + 100 x + 3 taï i x = 0 d) f (x) = í 2 taïi x = -1
ï khi x ³ 0 îx + x + m + 3 khi x ³ -1
î x+3
www.mathvn.com Trang 7
8. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 Û lim f ( x) = f ( x0 )
x® x0
· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x) , lim - f ( x) )
x® x0 x® x0 x® x0
B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.
x® x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim+ f ( x) = f (a), lim- f ( x) = f (b)
x®a x®b
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R.
· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f ( x)
· Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0.
g( x)
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm cÎ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T
[ a; b ] [ a; b ]
Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T.
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
ì x+3 -2
ìx+3 ï khi x ¹ 1
ï khi x ¹ 1 taï i x = -1 ï
a) f ( x) = í x - 1 b) f ( x) = í x - 1 taï i x = 1
ï -1
î khi x = 1 ï1 khi x = 1
ï4
î
ì2 - 7x + 5x - x
2 3 ì x-5
ï khi x ¹ 2 taïi x = 2 d) f ( x) = ï khi x > 5
c) f (x) = í x2 - 3x + 2 í 2x -1 - 3 taïi x = 5
ï1 khi x = 2 ï( x - 5)2 + 3 khi x £ 5
î î
ì x -1
ì1 - cos x khi x £ 0 ï khi x < 1
e) f ( x) = í taï i x = 0 f) f ( x) = í 2 - x - 1 taï i x = 1
î x +1 khi x > 0 ï -2 x khi x ³ 1
î
Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
ì 2
a) f ( x) = í x khi x < 1 taïi x = 1
î 2mx - 3 khi x ³ 1
ì x3 - x2 + 2x - 2
ï khi x ¹ 1
b) f (x) = í x -1 taïi x = 1
ï3x + m
î khi x = 1
Trang 8 www.mathvn.com
9. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
ìm khi x = 0
ï 2
ïx - x-6
c) f ( x) = í khi x ¹ 0, x ¹ 3 taïi x = 0 vaø x = 3
ï x( x - 3)
ïn
î khi x = 3
ì x2 - x - 2
ï khi x ¹ 2
d) f ( x) = í x - 2 taï i x = 2
ïm
î khi x = 2
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
ì x3 + x + 2
ï 3 khi x ¹ -1 ì x2 - 3 x + 4 khi x < 2
ï x +1 ï
a) f ( x) = í b) f ( x) = í5 khi x = 2
ï4 khi x = -1
ï2 x + 1
î khi x > 2
ï3
î
ì x2 - 4 ì x2 - 2
ï khi x ¹ -2 ï khi x ¹ 2
c) f ( x) = í x + 2 d) f ( x) = í x - 2
ï -4 khi x = -2 ï
î î2 2 khi x = 2
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
ì x2 - x - 2 ì x2 + x khi x < 1
ï khi x ¹ 2 ï
a) f ( x) = í x - 2 b) f ( x) = í2 khi x = 1
ïm khi x = 2 ïmx + 1
î khi x > 1
î
ì x3 - x2 + 2 x - 2
ï ì 2
c) f ( x) = í x -1
khi x ¹ 1 d) f ( x) = í x khi x < 1
ï3 x + m khi x = 1 î2mx - 3 khi x ³ 1
î
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3 - 3 x + 1 = 0 b) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0 c) 2 x + 6 3 1 - x = 3
Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x5 - 3 x + 3 = 0 b) x5 + x - 1 = 0 c) x4 + x3 - 3 x2 + x + 1 = 0
Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: x5 - 5 x3 + 4 x - 1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m( x - 1)3 ( x - 2) + 2 x - 3 = 0 b) x4 + mx2 - 2mx - 2 = 0
c) a( x - b)( x - c) + b( x - c)( x - a) + c( x - a )( x - b) = 0 d) (1 - m2 )( x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0
e) cos x + m cos 2 x = 0 f) m(2 cos x - 2) = 2sin 5 x + 1
Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax2 + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2 + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c) x3 + ax2 + bx + c = 0
é 1ù
Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm x Î ê 0; ú với a ¹ 0
ë 3û
và 2a + 6b + 19c = 0.
www.mathvn.com Trang 9
10. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1 + 2 + 3 + ... + n æ n + 2 sin n ö n 2 + 2n
a) lim b) lim ç + ÷ c) lim
3n3 è n + 1 2n ø 3n 2 + n + 1
n2 + 2 n 25n+1 + 3 (-1)n + 4.3n
d) lim e) lim f) lim
2n2 + 3n - 1 35n+2 + 1 (-1)n+1 - 2.3n
g) lim ( n2 - 3n - n2 + 1 ) g) lim ( 3 n3 + 3n2 - n ) (
h) lim 1 + n2 - n4 + n )
l) lim ( )
2 cos n2 n 3
i) lim k) lim n 2 - 2 - n3 + 2 n
2
n +1 2
3n + 1 - n - 1 2
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
x2 - 5 x + 6 8 x2 - 1 x3 - 4 x2 + 4 x - 3
a) lim b) lim c) lim
x®3 x2 - 8 x + 15 x®
1 6 x2 - 5 x + 1 x®3 x2 - 3 x
2
2 x4 - 5 x3 + 3 x2 + 1 x3 - 3 x + 2 x3 - 2 x2 - 4 x + 8
d) lim e) lim f) lim
x®1 3 x4 - 8 x3 + 6 x2 - 1 x®1 x4 - 4x + 3 x®2 x4 - 8 x2 + 16
x3 - 2 x - 1 x+2 ( x + 2)2 - 1
g) lim h) lim i) lim
x®1 x5- 2x -1 x®-2 2 x2 + 5x + 2 x®-1 x2 - 1
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
x-2 1 + x2 - 1 x+8 -3
a) lim b) lim c) lim
x®2 3 - x+7 x®0 x x®1 x2 + 2x - 3
1+ 2x - 3 2x + 7 - 3 x2 + 1 - 1
d) lim e) lim f) lim
x®4 x -2 x®1 x+3 -2 x®0
4 - x2 + 16
3
3
x + 7 - 5 - x2 1+ x - 3 1- x 3
4x - 2
g) lim h) lim i) lim
x ®1 x -1 x®0 x x®2 x-2
3 3
x -1 1 + x2 - 1 x+2 + x+7 -5
k) lim l) lim m) lim
x®0 x -1 x®0 x 2 x®2 x-2
Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
2 x2 - 3 x + 2 x -1 3 x3 - 4 x + 1
a) lim + b) lim- c) lim +
x®-2 x+2 x®1 x2 + 3 x - 4 x®-1 x +1
2 x2 - 5x + 2 3x + 4 x+ x
d) lim- e) lim+ f) lim+
x®2 ( x - 2)2 x®3 3 - x x®0 x- x
2
8 + 2x - 2 2 x + 5x - 3 x
g) lim + h) lim - i) lim+ ( x - 2 )
2 2
x®-2 x+2 x®-3 ( x - 3) x®2 x -4
Bài 5. Tìm các giới hạn sau:
2 x3 - 3 x2 + 4 x - 1 x2 + x - 1 (2 x - 3)2 (4 x + 7)3
a) lim b) lim c) lim
x®-¥ x4 - 5 x3 + 2 x2 - x + 3 x®+¥ 2 x2 + x +1 x®+¥ (3 x3 + 1)(10 x2 + 9)
d) lim
2 x4 - x3 + x
4 2
e) lim ( x2 + 1 + x ) f) lim ( x + x2 - x + 1)
x®+¥ 3x + 2 x - 7 x®-¥ x®- ¥
Trang 10 www.mathvn.com
11. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
g) lim
x2 + 1 - x
h) lim ( x2 - x + 3 + x ) i) lim
5x + 3 1 - x
x® - ¥ 5 + 2x x®-¥ x®-¥ 1- x
k) lim
x2 + 2 x + 3 x
l) lim ( )
x2 + x - 2 x2 - 1 m) lim ( x2 + 2 x + x )
x®-¥ 2 x®-¥ x®-¥
4x + 1 - x + 2
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số:
ì1 - cos x
ì1 - x khi x £ 3 ï khi x ¹ 0
ï ï 2
a) f ( x) = í x2 - 2 x - 3 trên R b) f ( x) = í sin x tại x = 0
ï 2x - 6 khi x > 3 ï 1
î khi x = 0
ï4
î
ì 12 - 6 x ì x2
ï khi x ¹ 2 ï khi x < 0
c) f ( x) = í x2 - 7 x + 10 trên R d) f ( x) = í tại x = 0
ï2 khi x = 2 ï1 - x khi x ³ 0
î
î
Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R:
ì 2a 2 + 1
ï
ï khi x £ 1 ì x2 - 1
ï 3 ï khi x ¹ 1
a) f ( x) = í x - x + 2 x - 2
2 b) f ( x) = í x - 1
ï khi x > 1 ïx + a
ï
ï
ï
î x- 1 î khi x = 1
ì x2 + x - 2 ì x2 - 4 x + 3
ï khi x ¹ -2 ï khi x < 1
c) f ( x) = í x + 2 d) f ( x) = í x - 1
ïa
î khi x = -2 ïax + 2
î khi x ³ 1
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình:
a) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
b) m( x - 1)3 ( x2 - 4) + x4 - 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) (m2 + 1) x4 – x3 –1 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( -1; 2 ) với mọi m.
d) x3 + mx2 - 1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương.
e) x4 - 3 x2 + 5 x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
a b c
Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: + + = 0 . Chứng minh rằng
m+ 2 m+1 m
phương trình: f ( x) = ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
æ m +1 ö c2
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ¹ 0. Với c ¹ 0 thì f (0). f ç ÷=- <0
è m+ 2 ø m(m + 2)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 11