1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
I 1. (1,0 điểm) Khảo sát…
(2,0 điểm)
⎧ 3⎫
• Tập xác định: D = ⎨− ⎬ .
⎩ 2⎭
• Sự biến thiên:
−1
- Chiều biến thiên: y ' = < 0, ∀x ∈ D.
( 2 x + 3) 0,25
2
⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞
Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ và ⎜ − ; +∞ ⎟ .
⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
- Cực trị: không có.
1 1
- Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = .
x →−∞ x →+∞ 2 2
3 0,25
lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − .
⎛ 3⎞
x →⎜ − ⎟
⎛ 3⎞
x →⎜ − ⎟ 2
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
- Bảng biến thiên:
3
x −∞ − +∞
2
y' − −
1
+∞ 0,25
y 2
1
−∞ 2
• Đồ thị:
3
y
x=−
2
1
y=
2 0,25
O x
2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ±1 . 0,25
−1
Gọi toạ độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) , ta có: = ±1 ⇔ x0 = −2 hoặc x0 = −1. 0,25
(2 x0 + 3) 2
• x0 = −1 , y0 = 1 ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại). 0,25
• x0 = −2 , y0 = 0 ; phương trình tiếp tuyến y = − x − 2 (thoả mãn).
Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 2. 0,25
Trang 1/4

2. Câu Đáp án Điểm
II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
(2,0 điểm) 1
Điều kiện: sin x ≠ 1 và sin x ≠ − (*). 0,25
2
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x)
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 0,25
⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ 2 x − ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠
π π 2π
⇔ x = + k 2π hoặc x = − + k . 0,25
2 18 3
π 2π
Kết hợp (*), ta được nghiệm: x = − +k (k ∈ ) . 0,25
18 3
2. (1,0 điểm) Giải phương trình…
⎧2u + 3v = 8
Đặt u = 3 3 x − 2 và v = 6 − 5 x , v ≥ 0 (*). Ta có hệ: ⎨ 3 0,25
⎩5u + 3v = 8
2
⎧ 8 − 2u ⎧ 8 − 2u
⎪v = ⎪v =
⇔ ⎨ 3 ⇔ ⎨ 3 0,25
⎪15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0 ⎪(u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0
⎩ ⎩
⇔ u = −2 và v = 4 (thoả mãn). 0,25
Thế vào (*), ta được nghiệm: x = −2. 0,25
III Tính tích phân…
(1,0 điểm) π π
2 2
I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos 2 x dx. 0,25
0 0
π
Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = , t = 1.
2
π π
1
0,50
2 2 1
⎛ 2 1 ⎞ 8
I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ (1 − t )
2 2 2
dt = ⎜ t − t 3 + t 5 ⎟ = .
0 0 0 ⎝ 3 5 ⎠ 0 15
π π π
⎞2 π 8 π
2
12 1⎛ 1 0,25
I 2 = ∫ cos 2 x dx = ∫ (1 + cos 2 x ) dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ = . Vậy I = I1 − I 2 = − .
0
20 2⎝ 2 ⎠0 4 15 4
IV Tính thể tích khối chóp...
(1,0 điểm) S ( SIB ) ⊥ ( ABCD) và ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy ra SI ⊥ ( ABCD).
Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 60 .
0,50
A B
I
D C K
Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 2 .
3a 2 3a 2 0,25
Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng ; suy ra S ΔIBC = .
2 2
2S 3 5a 3 15a
BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ΔIBC =
2
⇒ SI = IK .tan SKI = .
BC 5 5
0,25
1 3 15a 3
Thể tích khối chóp S . ABCD : V = S ABCD .SI = .
3 5
Trang 2/4

3. Câu Đáp án Điểm
V Chứng minh bất đẳng thức…
(1,0 điểm)
Đặt a = x + y, b = x + z và c = y + z.
Điều kiện x( x + y + z ) = 3 yz trở thành: c 2 = a 2 + b 2 − ab.
0,25
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện trên.
3 1
c 2 = a 2 + b 2 − ab = (a + b) 2 − 3ab ≥ (a + b) 2 − (a + b) 2 = (a + b) 2 ⇒ a + b ≤ 2c (1). 0,25
4 4
a 3 + b3 + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b)(a 2 + b 2 − ab) + 3abc ≤ 5c 3
⇔ (a + b)c 2 + 3abc ≤ 5c 3 0,25
⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 2 .
3
(1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 2 và 3ab ≤ (a + b) 2 ≤ 3c 2 ; từ đây suy ra điều phải chứng minh.
4 0,25
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c ⇔ x = y = z.
VI.a 1. (1,0 điểm) Viết phương trình AB...
(2,0 điểm)
Gọi N đối xứng với M qua I , suy ra N (11; −1) và N thuộc đường thẳng CD. 0,25
A M B E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) và NE = ( x − 11;6 − x).
I E là trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN .
IE.EN = 0 ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = 0 ⇔ x = 6 hoặc 0,25
C
D E N x = 7.
• x = 6 ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − 5 = 0. 0,25
• x = 7 ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − 4 y + 19 = 0. 0,25
2. (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm và tính bán kính…
( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = 5.
2− 4−3− 4 0,25
Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = = 3 < R; suy ra đpcm.
3
Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến,
0,25
H là hình chiếu vuông góc của I trên ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R 2 − IH 2 = 4.
⎧ x = 1 + 2t
⎪ y = 2 − 2t
⎪
Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 0,25
⎪z = 3 − t
⎪
⎩ 2 x − 2 y − z − 4 = 0.
Giải hệ, ta được H (3; 0; 2). 0,25
VII.a Tính giá trị của biểu thức…
(1,0 điểm)
Δ = −36 = 36i 2 , z1 = −1 + 3i và z2 = −1 − 3i. 0,25
| z1 | = (−1)2 + 32 = 10 và | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10. 0,50
Trang 3/4

4. Câu Đáp án Điểm
A = | z1 | 2 + | z2 | 2 = 20. 0,25
VI.b 1. (1,0 điểm) Tìm m...
(2,0 điểm)
(C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 2. 0,25
1 1
Diện tích tam giác IAB : S = IA.IB.sin AIB ≤ R 2 = 1; S lớn nhất khi và chỉ khi IA ⊥ IB. 0,25
2 2
R −2 − 2 m − 2 m + 3
Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 ⇔ =1 0,25
2 1 + m2
8
⇔ (1 − 4m ) = 1 + m 2 ⇔ m = 0 hoặc m =
2
. 0,25
15
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M ...
Δ 2 qua A(1;3; −1) và có vectơ chỉ phương u = (2;1; −2).
M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ).
0,25
⎡ ⎤
MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣ MA, u ⎦ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡ MA, u ⎤ = 3 29t 2 − 88t + 68.
⎣ ⎦
⎡ MA, u ⎤
⎣ ⎦
Khoảng cách từ M đến Δ 2 : d ( M , Δ 2 ) = = 29t 2 − 88t + 68.
u
0,25
−1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 11t − 20
Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = = .
1 + ( −2 ) + 2 3
2 2 2
11t − 20 53
29t 2 − 88t + 68 = ⇔ 35t 2 − 88t + 53 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = . 0,25
3 35
53 ⎛ 18 53 3 ⎞
t = 1 ⇒ M (0;1; −3); t = ⇒ M ⎜ ; ; ⎟. 0,25
35 ⎝ 35 35 35 ⎠
VII.b Giải hệ phương trình…
(1,0 điểm)
⎧ x 2 + y 2 = 2 xy
⎪
Với điều kiện xy > 0 (*), hệ đã cho tương đương: ⎨ 2 0,25
⎪ x − xy + y = 4
2
⎩
⎧x = y ⎧x = y
⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ 0,50
⎩y = 4 ⎩ y = ±2.
Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) và ( x; y ) = (−2; −2). 0,25
-------------Hết-------------
Trang 4/4