Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so

Nguy n Phú Khánh – à L t

Bài 2: C C TR HÀM S

2.1 TÓM T T LÝ THUY T

1. Khái ni m c c tr hàm s :
( )
Gi s hàm s f xác nh trên t p h p D D ⊂ » và x 0 ∈ D

a ) x 0 ư c g i là m t i m c c ( )
i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b
 a; b ⊂ D
 ( )
ch a i m x 0 sao cho: 
( ) { } ( )
. Khi ó f x 0 ư c
 f (x ) < f (x 0 ) ∀x ∈ a; b x 0

g i là giá tr c c i c a hàm s f .
b) x 0 ư c g i là m t i m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ( )
 a; b ⊂ D
( )

ch a i m x 0 sao cho: 
( ) { } ( )
. Khi ó f x 0 ư c
 f (x ) < f (x 0 ) ∀x ∈ a; b x 0

g i là giá tr c c ti u c a hàm s f .
Giá tr c c i và giá tr c c ti u ư c g i chung là c c tr
N u x 0 là m t i m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f t c c
tr t i i m x 0 .
Như v y : i m c c tr ph i là m t i m trong c a t p h p D D ⊂ »( )
( )
Nh n m nh : x 0 ∈ a;b ⊂ D nghĩa là x 0 là m t i m trong c a D :

Ví d : Xét hàm s f (x ) =  )
x xác nh trên 0; +∞ . Ta có f (x ) > f 0 ()

v i m i x > 0 nhưng x = 0 không ph i là i m c c ti u vì t p h p  0; +∞ )
không ch a b t kì m t lân c n nào c a i m 0 .

48

Chú ý :
• Giá tr c c i ( c c ti u) f (x 0 ) nói chung không ph i là GTLN (GTNN) c a
f trên t p h p D .
• Hàm s có th t c c i ho c c c ti u t i nhi u i m trên tâp h p D .
Hàm s cũng có th không có i m c c tr .
• x 0 là m t i m c c tr c a hàm s f thì i m x 0; f (x 0 ) ( ) ư c g i là i m
c c tr c a th hàm s f .
2. i u ki n c n hàm s t c c tr :
nh lý 1: Gi s hàm s f t c c tr t i i m x 0 . Khi ó , n u f có o hàm
t i i m x 0 thì f ' x 0 = 0 ( )
Chú ý :
• o hàm f ' có th b ng 0 t i i m x 0 nhưng hàm s f không t c c tr t i
i m x0 .
• Hàm s có th t c c tr t i m t i m mà t i ó hàm s không có o hàm
.
• Hàm s ch có th t c c tr t i m t i m mà t i ó o hàm c a hàm s
b ng 0 , ho c t i ó hàm s không có o hàm .
• Hàm s t c c tr t i x 0 và n u th hàm s có ti p tuy n t i i m

(x 0; )
f (x 0 ) thì ti p tuy n ó song song v i tr c hoành.
3
Ví d : Hàm s y = x và hàm s y = x
3. i u ki n hàm s t c c tr :
( )
nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a i m x 0 và có o

) ( )(
hàm trên các kho ng a; x 0 và x 0 ;b . Khi ó :
 f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )
 0 0
a) N u  thì hàm s t c c ti u t i i m x 0 . Nói m t
 f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )
 0 0

cách khác , n u f ' ( x ) i d u t âm sang dương khi x qua i m x 0 thì hàm s
t c c ti u t i i m x 0 .
x a x0 b

( )
f' x − 0 +

f a() ()
f b
( )
f x

( )
f x0

49


 f ' x > 0, x ∈ a; x
 ( ) ( )
0 0
b) N u  thì hàm s tc c i t i i m x 0 . Nói m t

 ( )
f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b ( )
cách khác , n u f ' x ( ) i d u t dương sang âm khi x qua i m x 0 thì hàm s
tc c i t i i m x0 .
x a x0 b
f' x( ) + 0 −

f x0 ( )
f x ( )
f a () ()
f b

nh lý 3: Gi s hàm s f có ( )
o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a i m

( )
x 0 , f ' x 0 = 0 và f có o hàm c p hai khác 0 t i i m x 0 .

( )
a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f tc c i t i i m x0 .

b) N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s
0
f t c c ti u t i i m x 0 .
Chú ý:
Không c n xét hàm s f có hay không có o hàm t i i m x = x 0 nhưng không
th b qua i u ki n " hàm s liên t c t i i m x 0 "

1 − x khi x ≤ 0
Ví d : Hàm s f (x ) =  không t c c tr t i x = 0 . Vì
x khi x > 0

hàm s không liên t c t i x = 0 .

2.1 D NG TOÁN THƯ NG G P.

D ng 1 : Tìm các i m c c tr c a hàm s .

Quy t c 1: Áp d ng nh lý 2
• Tìm f ' x ( )
(
• Tìm các i m x i i = 1, 2, 3... t i ó ) o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c
nhưng không có o hàm.

50


( )
• Xét d u c a f ' x . N u f ' x ( ) i d u khi x qua i m x 0 thì hàm s có c c
tr t i i m x 0 .
Quy t c 2: Áp d ng nh lý 3
• Tìm f ' x( )
( )
• Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . ( )
• V i m i x tính f '' ( x ) .
i i

− N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s
i
tc c i t i i m xi .

− N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s
i
t c c ti u t i i m x i .
Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s :
1. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 2. y = −x 4 + 6x 2 − 8x + 1
Gi i :
1. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có: y ' = 3x 2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm s không có c c tr .
Chú ý:
* N u y ' không i d u thì hàm s không có c c tr .
* i v i hàm b c ba thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t là i u c n và
hàm có c c tr .
2. y = −x 4 + 6x 2 − 8x + 1
* Ta có: y ' = −4x 3 + 12x − 8 = −4(x − 1)2 (x + 2)
y ' = 0 ⇔ −4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2
* B ng bi n thiên
x −∞ −2 1 +∞
y' + 0 + 0 −
25
y
−∞ −∞
V y, hàm t c c i t i x = −2 v i giá tr c c i c a hàm s là y(−2) = 25 ,
hàm s không có c c ti u.
Bài t p t luy n:
Tìm c c tr c a các hàm s :
4x 2 − 3x 4x 2 + 4x − 1
1. y = 2. y =
x −1 2x 2 + 4x + 3

51

1. y = x 4 − x 2 4. y = 2x + 1 − 2x 2 − 8
2. y = 2x − x 2 − 3 1 2 
5. y =  x − 12 − 3x 
2 
3. y = −x 3 + 3x 2
Gi i :
( )
1. y = f x = x 4 − x 2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;2 
 
4 − 2x 2
* Ta có y ' = , x ∈ −2;2 ( )
4 − x2
Hàm s không có o hàm t i các i m x = −2, x = 2 .
( )
Suy ra, trên kho ng −2;2 : y ' = 0 ⇔ x = − 2, x = 2
B ng xét d u y '
x −2 − 2 2 2
y' − 0 + 0 −
y' i d u t âm sang dương khi x qua i m − 2 thì hàm s t c c ti u t i

( )
i m x = − 2, y − 2 = −2 ;

y' i d u t dương sang âm khi x qua i m 2 thì hàm s tc c it i
i m x = 2, y ( 2) = 2 .
2. y = 2x − x 2 − 3
* Hàm s ã cho xác 
  (
nh và liên t c trên −∞; − 3  ∪  3; +∞ .

)
x 2 x2 − 3 − x
* Ta có: y ' = 2 −
x −32
=
x −32
(
, x ∈ −∞; − 3 ∪ ) ( 3; +∞ . )
Hàm s không có o hàm t i các i m x = − 3, x = 3 .
Suy ra, trên m i kho ng −∞; − 3 , ( )( )
3; +∞ : y ' = 0

⇔
 (
x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; +∞
) ( 
0 ≤ x < 3
⇔ 2
)
⇔ x = 2.
2 x − 3 = x
2
 4(x − 3) = x 2
 
Tương t trên suy ra hàm s t c c ti u t i i m x = 2, y(2) = 3 , hàm s
không có c c i.

52


3. y = −x 3 + 3x 2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên n a kho ng (−∞; 3] .
−3(x 2 − 2x )
* Ta có: y ' = , x < 3, x ≠ 0
2 −x 3 + 3x 2
Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 .
( )
Suy ra, trên m i kho ng −∞; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 2
* B ng bi n thiên:
x −∞ 0 2 3
y' − || + 0 − ||
+∞ 2
y
0 0
Hàm s tc c i t i i m x = 2, y(2) = 2 và t c c ti u t i i m
x = 0, y(0) = 0 .
Chú ý:
* bài 2 ví d 2 m c dù x = ± 3 là i m mà t i ó hàm s không có o hàm
tuy nhiên hàm s l i không xác nh trên b t kì kho ng (a; b) nào c a hai i m
này nên hai i m này không ph i là i m c c tr c a hàm s .
* Tương t v y thì x = 3 c a hàm s câu 3 cũng không ph i là i m c c tr
nhưng x = 0 l i là i m c c tr c a hàm s .
4. y = 2x + 1 − 2x 2 − 8
* Hàm s ã cho xác (
nh và liên t c trên n a kho ng −∞; −2  , 2; +∞ .
  )
2x
* Ta có: y ' = 2 −
2
( ) (
, x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ . )
2x − 8
( )(
Suy ra, trên các kho ng −∞; −2 , 2; +∞ : y ' = 0 )
 ( ) (
x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ 
0 ≤ x < 2)
⇔ ⇔ 2 ⇔x =2 2.
x = 8
2
 2x − 8 = x
 
* B ng bi n thiên:
x −∞ −2 2 2 2 +∞
y' + || || − 0 +

y

53


( ) ( )
Trên kho ng 2;2 2 : y ' < 0 , trên kho ng 2 2; +∞ : y ' > 0 i m c c ti u là

(2 2; 3 2 + 1) .

1 2 
5. y =  x − 12 − 3x 
2 
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên o n  −2;2  .
 
1 12 − 3x 2 + 3x 
* Ta có: y ' =
2
 (
 , ∀x ∈ −2;2 )
 12 − 3x 2  
(
Suy ra, trên kho ng −2;2 : y ' = 0 )
x ∈ −2;2
 (  )
−2 < x ≤ 0
⇔ ⇔ 2 ⇔ x = −1
x = 1
2
 12 − 3x = −3x
 
* B ng bi n thiên:
x −∞ −2 −1 2 +∞
y' || − 0 + ||

y

( ) ( )
Trên kho ng −2; −1 : y ' < 0 , trên kho ng −1;2 : y ' > 0 suy ra i m c c ti u

(
là −1; −2 . )
Bài t p tương t :
1. y = x + 1 + 2x 2 − 8 3. y = x + 2 x 2 + x + 1
x
2. y =
2
+ x2 + 3 (
4. y = x 16 − x 2 + x − 1 ) x

( )
1. y = f x = x

2. y = f ( x ) = x ( x + 2 )

3. y = f ( x ) = x ( x − 3 )
Gi i :
1. y = f x = x ( )
54

x khi x ≥ 0

y= .
−x khi x < 0

1 khi x > 0

* Ta có y ' = 
−1 khi x < 0

( )
Trên kho ng −∞; 0 : y ' < 0 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > 0 . ( )
* B ng bi n thiên
x −∞ 0 +∞
y' − +
y +∞ +∞
0
Hàm s t i m c c ti u t i i m x = 0, f 0 = 0 . ()
x x + 2 khi x ≥ 0
 ( )
( )
2. y = f x = x x + 2 = ( ) ( )
−x x + 2 khi x < 0

2x + 2 > 0 khi x > 0

* Ta có y ' = 
−2x − 2 khi x < 0

Hàm s liên t c t i x = 0 , không có o hàm t i x = 0 .
( )
Trên kho ng −∞; 0 : y ' = 0 ⇔ x = −1 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > 0 . ( )
* B ng bi n thiên
x −∞ −1 0 +∞
y' + 0 − +
y +∞

−∞ 0
V y hàm s tc c ( )
i t i i m x = −1, f −1 = 1 , hàm s t c c ti u t i i m

()
x = 0, f 0 = 0 .

3. y = f ( x ) = x x −3 ( )
* Hàm sã cho xác nh và liên t c trên » .
 ( )
 x x − 3 khi x ≥ 0
y=f x =( ) .
 −x x − 3 khi x < 0
 ( )

55


3 x − 1 ( )
 khi x > 0
 2 x
* Ta có y ' = 
 3 − x + −x khi x < 0
 2 −x

( ) (
Trên kho ng −∞; 0 : y ' > 0 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' = 0 ⇔ x = 1 )
* B ng bi n thiên
x −∞ 0 1 +∞
y' + − 0 +
y 0 +∞

−∞ −2
Hàm s t i mc c ()
i t i i m x = 0, f 0 = 0 , hàm s t i m c c ti u t i

()
i m x = 1, f 1 = −2 .
1. y = x + 1 + x 4. y = 2x − 4 + 2x 2 − 8
2. y = x 2 + x − x 2 − 4
5. y = x + 3 + 9x + x 2
3. y = x + 2 4 − x 2 6. y = 2 −x + 1 + x − 2 + x − x 2

Ví d 4 : Tìm c c tr c a các hàm s sau
1. y = 2 sin 2x − 3 2. y = 3 − 2 cos x − cos 2x
Gi i :
1. y = 2 sin 2x − 3
* Ta có y ' = 4 cos 2x
π π
y ' = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ » ,
4 2
y '' = −8 sin 2x
π π π 
  −8 khi k = 2n
y ''  + k  = −8 sin  + k π  = 
4 2 2  8
khi k = 2n + 1
π  π
V y hàm s tc c i t i các i m x =
+ nπ ; y  + nπ  = −1 và tc c
4 4 
π π π π
( )
i t i x = + 2n + 1 ; y  + 2n + 1  = −5
4 2 4 2
( )
56

2. y = 3 − 2 cos x − cos 2x
(
* Ta có y ' = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x )
 sin x = 0 x = k π
y' = 0 ⇔  ⇔  ,k ∈ » .
 cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π

 2 3 
 3
y '' = 2 cos x + 4 cos 2x
 2π  2π 2π
y ''  ± + k 2π  = 6 cos = −3 < 0 . Hàm s tc c it i x =± + k 2π ,
 3  3 3
 2π  1
y ± + k 2π  = 4
 3  2
( )
y '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ » . Hàm s t c c ti u t i

( ) (
x = k π , y k π = 2 1 − cos k π )
2 2
1. y = x − 2 sin x . 5. y = x − 2 sin x .
2. y = x t a n x . 6. y = x t a n x .
2 2
3. y = cos x . 7. y = cos x .
4. y = 3 cos x + 3 sin x . 8. y = 3 cos x + 3 sin x .

 π
Ví d 5: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos x sin x trên o n 0; .
 2
Gi i:
 π
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c o n 0; .
 2
cos x 1 − 3 sin2 x
* Ta có : y ' = − sin x sin x + . cos x = .
2 sin x 2 sin x
  π
 π x ∈  0; 

Trên kho ng  0;  : y ' = 0 ⇔   2  ⇔ sin x = 1 (*)
 2 sin2 x = 1 3

 3
1
T n t i góc β sao cho sin β = ()
, khi ó * ⇔ x = β .
3

57

4
1 6 12
V i sin β = thì cos β = và y ( β ) = cos β sin β =
3 3 3
B ng xét d u y ' :
x π
0 β
2
y' + 0 −
4
12 1
Hàm s tc c i t i x = β, y ( β ) = v i sin β = .
3
3
 π π
1. y = ( cos2x +1) sin 2x trên kho ng  − ; .
 2 2
x x
2. y = 2 cos
2
+ 3 cos
3
trên kho ng ( 0; 20π ) .
 π π
3. y = cot x + 4x trên o n  − ; .
 4 4
cos x +2 sin x + 3
4. y =
2 cos x − sin x + 4
trên kho ng ( −π ; π ) .
Ví d 6: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos3 x + sin3 x + 3 sin 2x .
Gi i:
y = cos3 x + sin3 x + 3 sin 2x = ( cos x + sin x )(1− cos x .sin x ) + 3 sin 2x
1 1
Vì 1 − cos x . sin x =
2
(2−2 cos x .sin x ) = 2 ( 2−sin 2x ) > 0
(
Nên y = cos x + sin x 1 − cos x . sin x + 3 sin 2x )
t 2 −1
t t = cos x + sin x ⇒ cos x . sin x = ,0 ≤ t ≤ 2
2
1 3 3 2 3 3
()
Khi ó y = f t = − t + t + t − , 0 ≤ t ≤ 2
2 2 2 2
3
( 2 − t − 1  > 0, ∀t ∈ 0; 2  , suy ra hàm s
)
3 2
Ta có : y ' =
2
−t 2 + 2t + 1 =
2
 

( 
 )


không có c c tr .

Ví d 7: Tính o hàm c a hàm s t i i m x = 0 và ch ng minh r ng hàm
s t c c ti u t i x = 0 , bi t r ng hàm s f (x ) xác nh b i :

58


 3 1 + x sin2 x − 1
 ,x ≠0.
f (x ) =  x
0 ,x =0

Gi i :
3
f (x ) − f (0) 1 + x sin2 x − 1
()
f ' 0 = lim
x →0 x
= lim
x →0 x2
x sin2 x
()
f ' 0 = lim
x →0  2 
( )
x 2  3 1 + x sin2 x + 3 1 + x sin2 x + 1
 
sin x 1
()
f ' 0 = lim sin x .
x →0 x
.
2
=0
3
( 2
) 3 2
1 + x sin x + 1 + x sin x + 1
M t khác x ≠ 0 , ta có :
sin2 x
( )
f x =
2
⇒f x ≥0=f 0 . ( ) ()
3
( 2 3
) 2
1 + x sin x + 1 + x sin x + 1
Vì hàm s f (x ) liên t c trên » nên hàm s f (x ) t c c ti u t i x = 0 .
 1
x 2 sin ,x ≠0
Ví d 8 : Cho hàm s f (x ) =  x . Ch ng minh r ng
0 ,x =0

f '(0) = 0 nhưng hàm s f (x ) không t c c tr t i i m 0 .
Gi i :

Ta có
( ) = x sin 1 v
f (x ) − f 0
i m i x ≠ 0.
x x

V i m i x ≠ 0 : x sin
1
≤ x và lim x = 0 nên lim
f (x ) − f 0 ()
= 0 . Do ó
x x →0 x →0 x
hàm s f (x ) có o hàm t i x = 0 và f '(0) = 0 .
1 1
L y m t dãy x n = , khi ó f (x n ) = 2
sin 2nπ = 0, ∀n .
2nπ 2nπ( )
Gi s (a;b ) là m t kho ng b t kỳ ch a i m 0 .

Vì lim x n = 0 nên v i n
x →0
( ) ()
l n x n ∈ a;b và do f (x n ) = 0 = f 0 , ∀n , theo
nh nghĩa c c tr c a hàm s , x = 0 không ph i là m t i m c c tr c a f (x ) .

59


D ng 2 : Tìm i u ki n hàm s có c c tr .
Phương pháp: S d ng nh lí 2 và nh lí 3
Chú ý:
* Hàm s f (xác nh trên D ) có c c tr ⇔ ∃x 0 ∈ D th a mãn hai i u ki n
sau:
i) T i o hàm c a hàm s t i x 0 ph i tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm
t i x0
ii) f '(x ) ph i i d u qua i m x 0 ho c f "(x 0 ) ≠ 0 .
* N u f '(x ) là m t tam th c b c hai ho c tri t tiêu và cùng d u v i m t tam
th c b c hai thì hàm có c c tr ⇔ phương trình f '(x ) có hai nghi m phân bi t
thu c t p xác nh.

Ví d 1 : V i giá tr nào c a m , hàm s
π
( )
y = 2 m 2 − 3 sin x − 2m sin 2x + 3m − 1 t c c ti u t i i m x =
3
?.
Gi i :
( )
* Ta có : y ' = 2 m 2 − 3 cos x − 4m cos 2x ,

( )
y '' = −2 m 2 − 3 sin x + 8m sin 2x .
π π 
i u ki n c n hàm s y t c c ti u t i i m x = là f '   = 0
3 3
⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 .
π π 
i u ki n hàm s y t c c ti u t i i m x = là y ''   > 0 .
3 3
π 
(
Th t v y, y ''   = − 3 m 2 − 4m − 3
3
)
π  π
+ m = −3 , ta có y ''   < 0 . Do ó hàm s tc c it i i m x = .
3 3
π  π
+ m = 1 , ta có y ''   > 0 . Do ó hàm s t c c ti u t i i m x = .
3 3
π
V y hàm s f x ( ) t c c ti u t i i m x =
3
khi và ch khi m = 1 .
1. Tìm m y = mx 3 + 3x 2 + 12x + 2 tc c i t i i mx = 2 .

60


x 2 + mx + 1
2. Xác nh giá tr tham s m hàm s y = t c c i t i x = 2.
x +m
3. Xác nh giá tr tham s m ( )
hàm s y = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m t c c
i t i x = −1.
x 2 + mx − 2
Ví d 2: Tìm m ∈ » hàm s y = có c c tr .
mx − 1
Gi i :
1
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên »  
m 
+ N u m = 0 thì y = x 2 − 2 ⇒ hàm s có m t c c tr
1
+ N u m ≠ 0 hàm s xác nh ∀x ≠
m
mx 2 − 2x + m
* Ta có y ' = . Hàm s có c c tr khi phương trình
(mx − 1)2
1
mx 2 − 2x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác
m
1 − m 2 > 0

⇔ 1 ⇔ −1 < m < 1 .
m − ≠0
 m
V y −1 < m < 1 là nh ng giá tr c n tìm.
Tìm m th c a hàm s sau có c c tr :
(
1. y = x 3 − 3mx 2 + m + 2 x + 3m + 4 ) ( )
3. y = x 4 − 2 m − 4 x 2 + 2m − 5

( )
x2 − m + 1 x − m + 2 mx 2 − (m − 2 ) x − 1
2. y = 4. y =
x −1 x +2

Ví d 3: Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m ∈ » , hàm s

y=
( )
x2 − m m + 1 x + m3 + 1
luôn có c c i và c c ti u .
x −m
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » m . { }
* Ta có:
x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( )
g x
y' = 2
= 2 ( )
, x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1
( x −m ) ( x −m )
61


( ) ( )
D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m .

( )
Do ó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1
thu c t p xác nh .
* B ng bi n thiên:
x −∞ m −1 m m +1 +∞
y' + 0 − − 0 +
+∞ +∞
y
−∞ −∞
y' i d u t dương sang âm khi x qua i m x 1 = m − 1 thì hàm s tc c i
t i i m x1 = m − 1
y' i d u t âm sang dương khi x qua i m x 2 = m + 1 thì hàm s t c c ti u
t i i m x2 = m + 1
Tìm m th c a hàm s sau có m t c c i và c c ti u :
( m − 1 ) x − ( m − 1) x + m
2 1
1. y = 2. y =
3
( ) ( )
m + 1 x 3 + m + 1 x 2 + 2m + 1
x −1

Ví d 4 : Tìm m ( )
i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s

y = −x 3 + mx 2 − 4 .
Gi i:
* Ta có y ' = −3x 2 + 2mx , y '' = −6x + 2m .
( )
i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s khi và ch khi :
y ' 2 = 0
() −12 + 4m = 0

  
m = 3
()
y '' 2 < 0 ⇔ −12 + 2m < 0 ⇔  ⇔m =3
y 2 = 0 −8 + 4m − 4 = 0 m < 6


 () 
1. Tìm m ( )
hàm s y = x 4 + m + 1 x 2 + m − 1 có i m c c ti u −1;1 . ( )
x2 + ( m − 1) x + m − 2
2. Tìm m hàm s y =
x +1
có i mc c (
i 2; −2 . )
Ví d 5 : Cho hàm s y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1 . Tìm m ∈ » :
1. Hàm s có ba c c tr .

62


2. Hàm s có c c ti u mà không có c c i.
Gi i:
* Ta có y ' = 4x 3 + 12mx 2 + 6(m + 1)x = 2x (2x 2 + 6mx + 3(m + 1))
x = 0
y' = 0 ⇔  2
 f (x ) = 2x + 6mx + 3m + 3 = 0

Nh n xét:
*N u y có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 0 , khi ó y ' s i d u khi i qua ba
i m 0, x 1, x 2 khi ó hàm có hai c c ti u và 1 c c i.
*N u y có 1 nghi m x = 0 , khi ó y ' ch i d u t − sang + khi i qua m t
i m duy nh t nên hàm ch có m t c c ti u.
* N u y có nghi m kép ho c vô nghi m thì y ' ch i d u t - sang + khi i
qua x = 0 nên hàm t c c ti u t i x = 0 .
T trên ta th y hàm s luôn có ít nh t m t c c tr .
1. Hàm s có ba c c tr khi và ch khi y có hai nghi m phân bi t khác 0

∆ ' = 3(3m 2 − 2m − 2) > 0  1− 7 1+ 7
 m < ∪m >
⇔ ⇔ 3 3 .
y(0) ≠ 0
 m ≠ −1

2. Theo nh n xét trên ta th y hàm ch có c c ti u mà không có c c i
1− 7 1+ 7
⇔ hàm s không có ba c c tr ⇔ ≤m ≤ .
3 3
Chú ý:
1) i v i hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
x = 0
Ta có y ' = 4ax 3 + 2bx = x (4ax 2 + b ) ⇒ y ' = 0 ⇔  2
 4ax + b = 0 (1)

b ≠ 0

* Hàm có ba c c tr ⇔ (1) có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔  .
ab < 0

Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có h i c c i, 1 c c
ti u khi a < 0 .
* Hàm có m t c c tr khi và ch khi (1) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có
∆ < 0 ab > 0
1 nghi m x = 0 ⇔  ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u khi a > 0
y(0) = 0
 b = 0

và ch có c c i khi a < 0 .
2) i v i hàm s b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d ,

63


x = 0
Ta có: y ' = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx ⇒ y ' = 0 ⇔  2
4ax + 3bx + 2c = 0 (2)

* Hàm s có ba c c tr khi và ch khi (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
9b 2 − 32ac > 0

⇔ . Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có
c ≠ 0

h i c c i, 1 c c ti u khi a < 0 .
* Hàm có m t c c tr khi và ch khi (2) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có
∆ < 0 9b 2 − 32ac < 0
1 nghi m x = 0 ⇔  ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u
y(0) = 0
 c = 0

khi a > 0 và ch có c c i khi a < 0 .
mx 2 + x + m
1. Tìm m hàm s y = không có c c i , c c ti u .
x +m
2. Tìm m hàm s y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1 không có c c tr .
3. Xác nh các giá tr c a tham s k th c a hàm s
4
( )2
y = kx + k − 1 x + 1 − 2k ch có m t i m c c tr .
4. Xác nh m th c a hàm s y = x 4 − mx 2 + 3 có c c ti u mà không có
c c i.
Ví d 6 : Tìm m hàm s y = −2x + 2 + m x 2 − 4x + 5 có c c i.
Gi i :
x −2 m
* Ta có y ' = −2 + m ; y" = .
2 2 3
x − 4x + 5 (x − 4x + 5)
+ N u m = 0 thì y = −2 < 0 ∀x ∈ » nên hàm s không có c c tr .
+ m ≠ 0 vì d u c a y '' ch ph thu c vào m nên hàm có c c i thì trư c
h t y " < 0 ⇔ m < 0 . Khi ó hàm s có c c i ⇔ Phương trình y ' = 0 có
nghi m (1).
Ta có: y ' = 0 ⇔ 2 (x − 2)2 + 1 = m(x − 2) (2) .
t t = x − 2 thì (2) tr thành :
 t ≤ 0
2 t ≤ 0 
mt = 2 t + 1 ⇔  2 2 ⇔2 1 ⇒ (1) có nghi m
(m − 4)t = 1
 t = 2
 m −4
⇔ m 2 − 4 > 0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ).
V y m < −2 thì hàm s có c c i.

64


D ng 3 : Tìm i u ki n các i m c c tr c a hàm s th a mãn i u
ki n cho trư c.

Phương pháp:
• Trư c h t ta tìm i u ki n hàm s có c c tr ,
• Bi u di n i u ki n c a bài toán thông qua t a các i m c c tr c a th
hàm s t ó ta tìm ư c i u ki n c a tham s .
Chú ý:
* N u ta g p bi u th c i x ng c a hoành các i m c c tr và hoành các
i m c c tr là nghi m c a m t tam th c b c hai thì ta s d ng nh lí Viét.
* Khi tính giá tr c c tr c a hàm s qua i m c c tr ta thư ng dùng các k t qu
sau:
( ) (
nh lí 1: Cho hàm a th c y = P x , gi s y = ax + b P’ x + h x khi ó ) ( ) ( )
n u x 0 là i m c c tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s là:
( ) ( ) ( )
y x 0 = h x 0 và y = h x g i là phương trình qu tích c a các i m c c tr .
Ch ng minh: Gi s x 0 là i m c c tr c a hàm s , vì P (x ) là hàm a th c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pcm) .
nên P ' x 0 = 0 ⇒ y x 0 = (ax 0 + b)P ' x 0 + h x 0 = h x 0
u (x )
nh lí 2: Cho hàm phân th c h u t y = khi ó n u x là i m c c
v (x )
0

u ' (x )
0
tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s : y(x 0 ) = .
v ' (x )
0

u ' (x )
Và y = là phương trình qu tích c a các i m c c tr .
v ' (x )
u ' ( x ) v ( x ) − v ' (x ) u ( x )
Ch ng minh: Ta có y ' =
2
v (x )
⇒ y ' = 0 ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − v ' ( x ) u ( x ) = 0 (*). Gi s x là i m c c tr c a
0

u ' (x ) u (x )
= y (x ) .
0 0
hàm s thì x là nghi m c a phương trình (*) ⇒ =
v ' (x ) v (x )
0 0
0 0

1 3
Ví d 1 : Tìm m th c a hàm s y =
3
(
x − mx 2 + 2m − 1 x + 2 có 2 )
i m c c tr dương.
Gi i :
65


* Ta có y ' = x 2 − 2mx + 2m − 1
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr dương ⇔ (*) có hai nghi m dương phân bi t
∆ ' = m 2 − 2m + 1 > 0 
 1
 m >
⇔ S = 2m > 0 ⇔ 2.
P = 2m − 1 > 0 m ≠ 1

 
 1
m >
V y 2 là nh ng giá tr c n tìm.
m ≠ 1

1. Tìm m ( )
th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + m + 6 x + 5 có 2 i m c c tr
dương.
2x 2 − mx + m − 2
2. Tìm m th c a hàm s y = có 2 i m c c tr âm.
mx + 1
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 2 : Tìm m th c a hàm s y = có c c i,
x −1
c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác {}
nh và liên t c trên » 1 .

mx 2 − 2mx − 5m − 1
* Ta có y ' =
(x − 1)2
y ' = 0 ⇔ mx 2 − 2mx − 5m − 1 = 0 ( x ≠ 1) ( * )
()
Hàm s có hai i m c c tr ⇔ * có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 1
m ≠ 0  1
 m < − .
⇔ m(6m + 1) > 0 ⇔ 6

−6m − 1 ≠ 0 m>0
 
Hai i m c c tr c a th hàm s n m v hai phía tr c Ox
( ) ( )
⇔ y x 1 .y x 2 < 0 .

Áp d ng k t qu ( ) ( ) ( ) (
nh lí 2 ta có: y x 1 = 2m x 1 − 1 , y x 2 = 2m x 2 − 1 )
⇒ y x 1 .y x 2 = 4m 2 x 1x 2 − x 1 + x 2
( ) ( ) ( ) + 1 = 4m ( −2m − 1) .
 

66


 1
m < − .
( ) ( )
y x 1 .y x 2 < 0 ⇔ 4m(−2m − 1) < 0 ⇔
 2
m>0

 1
m<−
V y  2 là nh ng giá tr c n tìm.

m > 0

m 1
1. Tìm m ( )
th c a hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + 3 có c c i, c c
3 2
ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox .

2. Tìm m th c a hàm s y = −
(
m +1 3 )
x − mx 2 + 3m − 1 có c c i,
3
c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Oy .
mx 2 + 3mx + 2m + 1 1
3. Cho hàm s y = , m ≠ . Tìm m hàm s có c c i,
x −1 6
c c ti u và hai i m c c tr ó n m v hai phía c a tr c hoành.
Ví d 3 : Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có
i mc c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên »
* Ta có y ' = 2(3x 2 + mx − 6) ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 + mx − 6 = 0 (2)
Vì (2) luôn có hai nghi m phân bi t nên th hàm s luôn có hai c c tr . G i
x 1, x 2 là hoành hai c c tr , hai i m c c tr cách u tr c tung
⇔ x 1 = x 2 ⇔ x 1 = −x 2 ⇔ x 1 + x 2 = 0 (vì x 1 ≠ x 2 )
−b −m
⇔S = = = 0 ⇔ m = 0.
a 3
V y m = 0 là giá tr c n tìm.
1
1. Tìm m ( )
th c a hàm s (C m ) : y = − x 3 + 2m − 3 x 2 − 2m − 3 x
3
( )
có i m c c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy .

2. Tìm m th c a hàm s (C m ) : y =
( )
x2 − m − 1 x + m + 1
có i m c c
x −1
i, c c ti u và các i m này cách u tr c Ox .
Ví d 4 : Tìm m th c a hàm s

67


( ) (
y = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai i m c c) i và c c ti u
n m v hai phía tr c tung .
Gi i :
* Hàm s cho xác nh và liên t c trên »
(
* Ta có : y ' = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2)
Hàm s có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi
phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2
()
⇔ 3.y ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2
V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 .
1. Tìm m (
th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + 2m 2 + 7m − 9 x − 1 có hai )
i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung .
2. Tìm m ( )
th c a hàm s y = −x 3 + 4m − 3 x 2 + m 2 + 7m + 10 x + 3 ( )
có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c hoành .
x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3
Ví d 5 : Tìm tham s m > 0 hàm s y = t
x
c c ti u t i x ∈ 0;2m . ( )
Gi i :
* Hàm s ã cho xác (
nh và liên t c trên kho ng 0;2m )
x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x ( )
* Ta có : y ' =
x 2
= 2 , x ≠ 0 , g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3
x
( )
Hàm s ( ) ( )
t c c ti u t i x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t
m > 0


(
x 1, x 2 x 1 < x 2 ) tho x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ()
1.g 2m > 0

 ( )

68





m > 0
m > 0  m < 1 1
   <m <1
⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔  ⇔ 2 .
m > 3 m > 3
2m 2 + 5m − 3 > 0 
  2 
 2
 m < −3
 1
 m >
 2
1 3
V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > .
2 2
1. Tìm tham s m hàm s y = x 3 − m 2x 2 − 2x + 3 t c c ti u t i
(
x ∈ m;2m . )
2. Tìm tham s m ( )
hàm s y = x 4 − m − 1 x 2 − 1 tc c i t i

(
x ∈ 1; m + 1 . )
Ví d 6 : Tìm tham s th c m th c a hàm s :
1
( )
y = mx 3 + 3mx 2 + 3m + 1 x − 2 có c c i t i x ∈ −3; 0 .
3
( )
Gi i :
* Ta có y ' = mx 2 + 6mx + 3m + 1
+ N u m = 0 thì y ' = 1 > 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn tăng ∀x ∈ » , do ó hàm
s không có c c tr .
(
+ N u m ≠ 0 , ta có ∆ ' = m 6m − 1 . )
* B ng xét d u
m −∞ 1 +∞
0
6
∆' + 0 − 0 +
1
i N u 0<m < thì y ' > 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn tăng ∀x ∈ » , do ó
6
hàm s không có c c tr .
1 1 3 1 2

6 6 2 6
( )
i N u m = thì y ' = x 2 + x + = x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn
tăng ∀x ∈ » , do ó hàm s không có c c tr .

69


1
i V i m < 0 ho c m > , khi ó tam th c y ' có hai nghi m phân bi t
6
∆'
x 1,2 = −3 ±
m
(
x1 < x 2 . )
+ m < 0 . Ta có b ng xét d u
x −∞ x1 x2 +∞
y' − 0 + 0 −
D a vào b ng xét d u, suy ra x 2 là hoành c c i c a hàm s .
∆'
Theo bài toán, ta có −3 < x 2 < 0 ⇔ −3 < −3 − < 0 ⇔ ∆ ' < −3m
m
1
( )
⇔ m 6m − 1 < 9m 2 ⇔ 3m 2 + m > 0 ⇔ m < − do m < 0
3
( )
1
+ m > , tương t .
6
Bài t p t luy n:
mx 2 + x
1. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = có c c i t i
−x + 1
( )
x ∈ 0;1 và có c c ti u x ngoài kho ng ó.

2. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y =
x2 + m x + 1 ( ) có c c it i
x +2
x ∈ 0;1 và có c c ti u x
  ngoài o n ó.
3. Tìm tham s th c m ( )
th c a hàm s : y = m + 1 x 3 + mx 2 − x có m t

(
c c tr t i x ∈ −1;1 . )
Ví d 7 : Cho hàm s y =
(
x2 + m x + 1 ) , hãy tìm tham s m hàm s t
x +2
c c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 th a mãn h th c :
 1 1 
x 1 + x 2 = −6 
2 2
+ .
x x2 
 1 
Gi i :
* Hàm s ã cho xác ( ) (
nh và liên t c trên −∞; −2 ∪ −2; +∞ . )
x 2 + 4x + m
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −2
(x + 2 )
70


* hàm s tc c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 thì phương
( )
trình g x = x 2 + 4x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 khi ó
∆ = 4 − m > 0

 2 ⇔ m < 4.
( ) ( )
g −2 = −2 + 4. −2 + m ≠ 0
 ( )
x + x 2 = 12

Theo nh lý Vi-ét , ta có :  1 .
x 1.x 2 = m

 1 1  2 x + x2
x 1 + x 2 = −6 
2 2
+  ⇔ x + x − 2.x .x = −6 1
( )
x  1 2 1 2
x 1.x 2
 1 x2 
 24  m = 2
16 − 2m = m 2 − 8m + 12 = 0
 
⇔ m ⇔ ⇔  m = 6
 ⇔ m = 2.
0 ≠ m < 4  0≠m<4 0 ≠ m < 4
 

1 1
1. Tìm m ( )
th c a hàm s : y = x 3 − 3m − 1 x 2 + 2 m − 1 mx có c c
3 2
( )
i, c c ti u ng th i hoành c c i, c c ti u x 1, x 2 th a mãn h th c :
x1 = x 2 + 3 .
2

1 3 m
2. Tìm m th c a hàm s : y =
3
(
x − mx 2 + m 2 − 1 x − ) 3
có c c i,

c c ti u ng th i hoành c c i, c c ti u x 1, x 2 th a mãn h th c :

( )
x 1 = x 1. x 2 − 5 + 12 .
2

2

3. Tìm m th c a hàm s :y = x + m + 1 +
( m − 1) ; m ≠ 1 có c c i,
x −1
c c ti u ng th i hoành c c i, c c ti u x 1, x 2 th a mãn h th c :
x 1 − x 2 = mx 1 − 1 .
2

4. Tìm m < 5, m ∈ » th c a hàm s :
1 3 1
y=
3
( ) (
x − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c
3
) i, c c ti u ng th i hoành

c c i, c c ti u x 1, x 2 th a mãn h th c : 2 ≤ x 1 − x 2 < 2 7 .

71


5. Tìm m ∈ » + th c a hàm s :
2
( ) (
y = 2x 3 − 3 2m + 1 x 2 + 6m m + 1 x + m + 1 có c c ) ( ) ( )
i A x 1, y1 , c c ti u

( )
B x 2 , y2 th a mãn h th c : (y 1
− y2 )( 6 − 5m ) > m (x − x ) . 2
2 1

Ví d 8 : Tìm tham s m hàm s y = ( x − m ) ( x − 3x − m − 1) có c
2
c

i và c c ti u th a xC .xCT = 1 .

Gi i:

(
* Ta có y ' = 3x − 2 m + 3 x + 2m − 1
2
)
( )
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 2 m + 3 x + 2m − 1 = 0 (1)
Hàm s có hai i m c c tr th a mãn xC .xCT = 1 ⇔ (1) có hai nghi m x 1, x 2
∆ ' = m 2 + 7 > 0
 m = 2
th a mãn: x 1 .x 2 = 1 ⇔  c 2m − 1 ⇔  .
P = = =1 m = −1

 a 3
V y m = 2 ho c m = −1 là giá tr c n tìm.
1. Tìm tham s m hàm s y = 3x 4 − mx 2 − 2 có c c (
i A 0; −2 và c c)
m 2 + 4m − 4
ti u B,C sao cho xC .x B < .
6
2. Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 4mx 2 + 1 có c c ( )
i A 0;1 và c c ti u

B,C sao cho xC .x B > 2 m 2 + 8m + 10 . ( )
Ví d 9 : Tìm tham s m hàm s
1 1
( )
y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x +
3 3
( )
có c c i , c c ti u ng th i

hoành c c i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 .
Gi i:
(
* Ta có y ' = mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 ) ( )
Hàm s có c c i , c c ti u khi y ' i d u hai l n qua nghi m x , t c là
( ) (
phương trình mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 )
72


m ≠ 0
 
m ≠ 0
 2 ⇔ 2
( ) (
∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0
 ) −2m + 4m + 1 > 0

m ≠ 0

⇔ 2 − 6 2+ 6
 <m <
 2 2
Theo nh lý Vi – ét và yêu c u bài toán, ta có:
 
x 1 + 2x 2 = 1 ( )gt x = 3m − 4
  1 m
 ( )
2 m −1  2−m
x 1 + x 2 = ⇔ x 2 =
 m  m
 (3 m −2 )  3m − 4   2 − m  3 m − 2( )
x 1.x 2 =   =
 m  m   m  m
 2
m =
2
(
⇔ 3m − 8m + 4 = 0 m ≠ 0 ⇔
 3)
m =2

2
So v i i u ki n bài toán , v y m = ∨ m = 2 là giá tr c n tìm .
3
1. Tìm tham s m hàm s y = 3x 4 − mx 2 − 2 có c c ( )
i A 0; −2 và c c

(
ti u B,C sao cho xC − x B < 6 m 2 − m . )
2. Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 4mx 2 + 1 có c c ( )
i A 0;1 và c c ti u

(
B,C sao cho xC − x B > 2 2m − m 2 . )
2x 2 + 3x + m − 2
Ví d 10: Tìm tham s m hàm s y= có i m c c i
x +2
và c c ti u t i các i m có hoành ( )
x 1, x 2 th a mãn y x 2 − y x 1 = 8( )
Gi i :
2
2x + 3x + m − 2 m
y= = 2x − 1 +
x +2 x +2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » −2 { }

73


* V i x ≠ −2, m ≠ 0 , ta có
m 2(x + 2)2 − m g (x )
y' = 2− 2
= 2
= 2
, g (x ) = 2(x + 2)2 − m
(x + 2) (x + 2) (x + 2)
th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t và y ' i
d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình g x = 0 có hai nghi m ( )
2(x + 2)2 = m > 0

phân bi t khác −2 ⇔  ⇔m >0
2(−2 + 2)2 − m ≠ 0

Khi ó ta có
y x = 4x + 3
 ( )

1

( )
1
( ) ( )
⇒ y x 2 − y x 1 = (4x 2 + 3) − (4x 1 + 3) = 4 x 2 − x 1
y x 2 = 4x 2 + 3

y ( x ) − y ( x ) = 8 ⇔ 4 x − x = 8 ⇔ (x
2 1 2 1 1
+ x 2 )2 − 4x 1x 2 = 4 1()
x 1 + x 2 = −4

Mà  8−m (2)
x 1x 2 =
 2
8−m
T (1) và (2 ) suy ra (−4) 2
− 4 −4 =0⇔m =2
2 

1 3
1. Tìm tham s m hàm s y=) 3
(
x + m − 2 x 2 − 2 có i m c c
i và c c

ti u t i các i m có hoành x , x th a mãn y ( x ) − y ( x ) < 2 .
1 2 2 1

2. Tìm tham s m hàm s y = (m + 1) x − 2 (m − 1) x có 2 i m c c ti u
4 2

khác O ( 0; 0 ) và hoành x , x c a c c ti u th a mãn y ( x ) + y ( x ) > 1 .
1 2 2 1

x + ( m + 1) x + m + 1
2

Ví d 11 : Cho hàm s y = . G i A, B là hai i m
x +1
c c tr , nh m di n tích tam giác OAB b ng 2 . V i giá tr m v a tìm
ư c , tính kho ng cách t O n ư ng th ng AB .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) .
x 2 + 2x
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −1
( x +1 )

74


i V i ∀m ∈ » hàm s ã cho có i m c c (
i A −2; m − 3 và i m c c ti u)
(
B 0; m + 1 . )
i Ta có :
( )
OA −2; m − 3 ⇒ OA = m 2 − 6m + 13,OB 0; m + 1 ⇒ OB = m + 1 và ( )
.
OAOB
( )( ) (
OAOB = −2.0 + m − 3 m + 1 = m − 3 m + 1 . cos AOB =
. )( ) .
OAOB
2

⇒ sin AOB = 1 − cos2 AOB =
( .
OAOB )
2
(
.
− OAOB )
.
OAOB
2
1 1
i Di n tích dt( ∆OAB ) = OAOB. sin AOB =
2
.
2
(OAOB )
.
2
( .
− OAOB )
m = −3
dt( ∆OAB ) = ... = m + 1 ⇒ dt( ∆OAB ) = 2 ⇔ m + 1 = 2 ⇔ 
m = 1

i G i d là kho ng cách t O n ư ng th ng AB khi ó AB = 2 5 và
1 m +1
dt( ∆OAB ) = d .AB ⇒ d = .
2 5
2 5
+ m = −3 ⇒ d = .
5
2 5
+ m =1⇒d = .
5
Bài t p t luy n:
1
1. nh m
th c a hàm s y = − mx 3 + 3m − 1 x 2 − 4x − 2 có c c tr
3
( )
A, B sao cho tam giác MAB di n tích b ng 1 , bi t M 0;1 . ( )
2. nh m th c a hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có c c tr A, B,C sao cho
tam giác ABC di n tích b ng 4 .
Ví d 12 : Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có 3 i m c c tr
là 3 nh c a m t tam giác vuông cân.
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c » .
* Ta có y ' = 4x 3 − 4m 2x = 4x (x 2 − m 2 ) .
V i m ≠ 0 hàm s có ba c c tr .Khi ó t a các i m c c tr c a th hàm
s là: A(0;1), B(m;1 − m ), C (−m;1 − m ) .
4 4

75


D th y AB = AC nên tam giác ABC vuông cân ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2
⇔ 2(m 2 + m 8 ) = 4m 2 ⇔ m = ±1
V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm.
Bài t p t luy n:
1
1. Tìm tham s m ( )
hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + m có 2 i m c c tr
3
A, B sao cho ABO m t tam giác vuông cân , v i O là g c t a .
1 4 1
2. Tìm tham s m hàm s y =
4
( )
x − m − 1 x 2 + m − 2 có 3 i m c c tr
2
là 3 nh c a m t tam giác vuông.
Ví d 13: Tìm m th c a hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có c c i,
c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u.
Gi i :
(
* Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m )
x = 0
y' = 0 ⇔  2
x = m *
 ()
th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' i
()
d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình * có hai nghi m phân bi t
khác 0 ⇔ m > 0
x = 0 ⇒ A 0; m 4 + 2m
( )

B − m ; m 4 − m 2 + 2m
Khi ó : y ' = 0 ⇔ 
x = ± m ⇒  ( )
C m ; m 4 − m 2 + 2m


 
 ( )
Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác u
AB = AC

⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m
AB = BC

( )
⇔ m m3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 ( )
V y m = 3 3 là giá tr c n tìm .
Bài t p t luy n:
1 4 1
1. Tìm m th c a hàm s y =
4
( )
x − m − 1 x 2 + m − m 2 có c c
2
i,
c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u.

76


3 2 2
2. Tìm m th c a hàm s y = −x 3 +
m x có c c i A , c c ti u B
2
ng th i các i m ABC c c tr l p thành tam giác u, bi t C −2; 3 . ( )
Ví d 14: Tìm a th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) có i mc c i

và i m c c ti u c a th (C ) v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía

( )
trong và phía ngoài): C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 .
Gi i :
* Ta có : y ' = 3x 2 − 6x
x = 0 ⇒ y = 2
y' = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = −2

Cách 1:
( ) (
th hàm s có hai i m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai i m )
( ) (
A 0;2 , B 2; −2 ) v hai phía c a hai ư ng tròn (C ) khi
a

( )(
⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0
a a
)
3
⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ <a <1
5
Cách 2 :
2 2
(C ) : (x − a ) + (y − 2a )
a ( )
= 1 có tâm I a ;2a và bán kính R = 1
2 2
Ta có : IB = (a − 2 ) + (2a + 2 ) = 5a 2 + 4a + 8
2
 2 36 6
IB = 5  a +  +
5 5
≥ > 1 = R ⇒ i m B n m ngoài C a , ( )
 5
do ó i m A n m trong ư ng tròn
2 3
( ) ( )
C a ⇔ IA < 1 ⇔ a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1
5
Bài t p t luy n:
3
1. Tìm m th c a hàm s y = −x 3 + x 2 + 1 C có i m c c i và
2
( )
( )
i m c c ti u c a th C v m t phía khác nhau c a ư ng tròn (phía

trong ho c phía ngoài): (C ) : x m
2
+ y 2 + mx + 2my + m 2 − 2 = 0 .

77


2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 + mx 2 + 2m − 1 (C ) có
m
i mc c i

và i m c c ti u c a th (C )
m
v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía

( )
trong và phía ngoài): C : x 2 + y 2 = 4 .

Ví d 15 : Tìm m th c a hàm s : y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có ba c c tr .
ng th i các i m c c tr A, B, C c a th t o thành m t tam giác có bán kính
ư ng tròn ngo i ti p b ng 1 .
Gi i :
(
* Ta có : y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m )
x = 0
y' = 0 ⇔  2
x = m

V i m > 0 : y ' = 0 có ba nghi m phân bi t và y ' i d u khi x i qua các
nghi m ó.
* Khi ó ba i m c c tr c a (
th hàm s là: A 0; m − 1 , )
( ) (
B − m ; −m 2 + m − 1 , C m ; −m 2 + m − 1 . )
1
AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m và S ABC
= yB − yA . xC − x B = m 2 m
2

R=
AB.AC .BC
=1⇔
(
m4 + m 2 m )
= 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0
4S ABC 2
4m m
m = 1
⇔ 
m = 5 − 1

 2
1 4 1
Tìm m th c a hàm s : y = x − mx 2 + m + 1 có ba c c tr A, B, C
4 2
sao cho tam giác n i ti p ư c trong ư ng tròn có bán kính R = 1 .
Ví d 16: Tìm m th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có c c i,
c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua
1 5
ư ng th ng : d : y = x − .
2 2
Gi i :
Cách 1 :

78


* Ta có y ' = 3x 2 − 6x + m 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + m 2 = 0 (1) .
hàm s có c c tr ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t x1, x 2
⇔ ∆ ' = 3(3 − m 2 ) > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .
phương trình ư ng th ng d ' i qua các i m c c tr là :
2 1
y = ( m 2 − 2)x + m 2 + m ⇒ các i m c c tr là :
3 3
2 1 2 1
A(x 1;( m 2 − 2)x 1 + m 2 + 3m ), B(x 2 ;( m 2 − 2)x 2 + m 2 + 3m ) .
3 3 3 3
G i I là giao i m c a hai ư ng th ng d và d '
2m 2 + 6m + 15 11m 2 + 3m − 30
⇒ I( ; ).
15 − 4m 2 15 − 4m 2
2 2
A và B i x ng qua d thì trư c h t d ⊥ d ' ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0 khi
3
( ) ( )
ó I 1; −2 và A x 1; −2x 1 ; B x 2 ; −2x 2 ( ) ⇒ I là trung i m c a AB ⇒ A và B
i x ng nhau qua d .
Cách 2 :
* Hàm s ã cho xác nh trên » và có o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 .
Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m
phân bi t x 1, x 2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .
m2
Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 , .
x 1.x 2 =
3
( ) (
G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr c a th hàm s và I là
trung i m c a o n AB .
ư ng th ng AB có h s góc

kAB =
3 3 2 2 2
(
y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1
=
) ( )
x 2 − x1 x 2 − x1
2
(
kAB = x 1 + x 2 ) (
− x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 )
m2 2 2m 2 − 6
kAB = 4 − −6+m =
3 3
1 5 1
ư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k =
2 2
( ) 2
(
Hai i m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ) ( )
i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ( )

79


AB ⊥ ∆

khi và ch khi 
I ∈ ∆

1  2m 2 − 6 
i AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0
2  3 
i m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( )
y' = 0 ⇔  1

1

x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4
⇒ I 1; −2
( ) ( )

( )
D th y I 1; −2 ∈ ∆
V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán .
Tìm m ( ) ( )
th c a hàm s y = x 3 + m − 4 x 2 − 4 m − 1 x + 4m + 1 có c c
i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua
ư ng th ng : d : y = x .
x 2 + mx
Ví d 17: Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng
1−x
cách gi a hai i m c c tr b ng 10 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » 1 .{}
−x 2 + 2x + m
* Ta có y ' =
(1 − x )2
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2x − m = 0 (1) (x ≠ 1)
∆ ' = 1 + m > 0

th hàm s có c c tr ⇔  ⇔ m > −1 .
1 − 2 − m ≠ 0

ư ng th ng i qua các i m c c tr có phương trình y = −2x − m ⇒ các i m
c c tr là: A(x 1; −2x 1 − m ), B(x 2 ; −2x 2 − m )
⇒ AB 2 = 5(x 1 − x 2 )2 = 100 ⇔ (x 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 − 20 = 0
⇔ 4 + 4m − 20 = 0 ⇔ m = 4 .
mx 2 + x − m + 1
1. Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng cách
x −1
gi a hai i m c c tr b ng 3.

80


2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + x − 5m + 1 có c c tr và kho ng
cách gi a hai i m c c tr bé hơn 2.
x 2 + 2mx + 2
Ví d 18: Tìm giá tr c a m
x +1
có th hàm s y = f x = ( )
i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng
∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » −1 { }
x 2 + 2x + 2m − 2
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −1
( x +1 )
Hàm s có c c i , c c ti u khi f ' x ( ) i d u hai l n qua nghi m x hay

( )
phương trình g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1
∆ ' > 0
 
3 − 2m > 0 3
⇔ ⇔ ⇔m<
 ( )
g −1 ≠ 0 2m − 3 ≠ 0
 2

G i A (x ; y 1 1 ) (
= 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các i m c c tr c a ) th

hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình g x = 0, x ≠ 1 . Theo ( ) nh lý Vi
ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m
x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2
Theo yêu c u bài toán d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ) ( ) =
2 2
2 2
⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) = ( 3x 2
+ 2m + 2 )
2 2
(
⇔ 3x 1 + 2m + 2 ) − ( 3x + 2m + 2 ) = 0
2

⇔ (x 1
− x2 ) 3 (x + x ) + 4m + 4  = 0
 1 2 
1
( )
⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 (x 1
≠ x2 ) ( )
⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m =
2
1
So v i i u ki n, v y m = là giá tr c n tìm .
2
x 2 + 2mx − 3m + 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c i,
x −2
i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : 2x − y = 0
b ng nhau.
81


2. Tìm giá tr c a m ( )
th hàm s y = x 3 − 3m + 1 x 2 − 2m + 3 có i m
c c i, i m c c ti u và kho ng cách t c c i n ư ng th ng
(d ) : 2x − 3y = 0 nh hơn 11 .

x 2 + mx + 2
Ví d 19: Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c
x −1
( )
ti u n m trên Parabol P : y = x 2 + x − 4
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » 1 {}
x 2 − 2x − m − 2
* Ta có y ' =
2
,x ≠ 1 . ( )
t g x = x 2 − 2x − m − 2 .
( x − 1)
Hàm s có c c ( )
i , c c ti u khi phương trình g x = 0 có hai nghi m
∆ ' = 1 − −m − 2 > 0
 (  )
m + 3 > 0
phân bi t khác 1 ⇔  ⇔ ⇔ m > −3

 ()
g 1 = −m − 3 ≠ 0 m ≠ −3

x = 1 − m + 3 ⇒ y = m + 2 − 2 m + 3
Khi ó : y ' = 0 ⇔  1 1

x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = m + 2 + 2 m + 3

B ng xét d u :
x −∞ x1 1 x2 +∞
y' + 0 − − 0 +

(
D a vào b ng xét d u suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là )
i m c c ti u c a th hàm s .
2
( )
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ( ) +1+ m + 3 −4

⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2
So v i i u ki n bài toán, ta có m = −2 là giá tr c n tìm.
1 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = x 3 − mx 2 + 2 m − 2 x có i m
3 2
( )
5
()
c c ti u n m trên ư ng th ng d : y = x .
6

82

Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so

Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Similar to Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so

Similar to Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so (20)

Chuong[1] bai[2] - cuc tri ham so