1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK
-----------------------------------------------------------------------------
--------
TOAÙN 1 HK1 0708
„ BAØI 3: GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ (SINH VIEÂN)
„ TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (10/2007)

2. NOÄI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------
1- YÙ TÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN HAØM
SOÁ
2- ÑÒNH NGHÓA “ÑÔN GIAÛN” GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ
3- ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ GIÔÙI HAÏN HAØM
SOÁ
4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN
5- GIÔÙI HAÏN ÑAËC BIEÄT
6- QUY TAÉC LOÂPITAN
7- GIÔÙI HAÏN KEÏP
8- GIÔÙI HAÏN THEO NGOÂN NGÖÕ DAÕY. KHOÂNG GIÔÙI HAÏN

3. YÙ TÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
x0  D  f  x0  : xaùc
ñònh
Haøm y = f(x), MXÑ x0  D & f  x0  : khoâng ñònh
xaùc
D  Giaù trò
x0 VD: f(x) = lnx & x0 = ‟1
f(x0)? x0  D, f  x0  :" gaàn
nhö" xaùc
ñònh
VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 
D
Töông
töï: x , x0  0
Gtr f  x  
sin x
quanh 1  x 1
x 1
ò 0: , x0  
x
e x , x0   

4. MINH HOÏA HÌNH HOÏC
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
Ñoà thò f  x   sin x
x
haøm: laân caän
Chuù yù
x0 = 0:
f(0) khoâng xaùc
ñònh, nhöng giaù
trò f(x) laïi “raát
gaàn” 1 khi x
“raát gaàn” 0 
Ñoà thò lieân
tuïc. Coù theå xem
Caàn coâng??? xaùc ñònh giaù trò höõu haïn lim f  x 
“f(0)” = 1 cuï x  x0

5. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ ‟ ÑÒNH NGHÓA ÑÔN GIAÛN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể không
xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x  x0  Giá trị
f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu: lim f ( x)  L
x  x0
x 1
VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn lim f  x , vôùif  x   2
x 1 x 1
Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1
x<1 f(x) x>1 f(x)
Từ bảng giá
0.5 0.666667 1.5 0.400000
1.1 0.476190 trị, có thể
0.9 0.526316
1.01 0.497512 phỏng đoán:
0.99 0.502513
1.001 0.499750 x 1
0.999 0.500250 lim 2  0.5
x 1 x  1
0.999 0.500025 1.0001 0.499975

6. GIAÙ TRÒ TAÏI ÑIEÅM KHOÂNG AÛNH HÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x  1
 f  x   x  1 khi x  1

g x   x2 1
2 khi x  1

y=f(x)
y=g(x)
Giá trị f tại x0 (có hay không có) không ảnh hưởng đến lim f  x 
x  x0

7. ÑOAÙN ‟ KHOÂNG CHAÉC CHAÉN 100%!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------

Gợi ý: Tính f 1, f  , 1
1
Ví dụ: lim sin   f  , f 0.1, f 0.01
x 0 x  2  3
1 1 
f 1  f    f    f 0.1  f 0.01  0  lim sin  0 : SAI!
 2  3 x 0 x

Tuy nhiên từ đồ thị hàm y  sin cũng như giá trị hàm tại
x
2  
x    2k , k  Z
4k  1 x 2

 sin  1!
x
Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý,
tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL:
Giới hạn đang xét không !

8. ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g 
| f – g |     > 0. x “đủ gần” x0:   > 0 và xét | x – x0 | < 
ĐN: lim f  x   L    0,    0 : x  x0    f ( x)  L  
x  x0
Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để
chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn!
Minh họa hình học:
x0   x0 x0   x  L
f
f(x
L f x x
 x0 )
L  L 

9. VÍ DUÏ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
2x  2 2
VD: Cho lim  4 * Tìm  như trong đnghĩa khi  = 0.01
x 1 x 1
2x2  2
Giải: f  x   , x0  1, L  4   x  1: f  x   L  2 x  1
x 1
 = 0.01: f  x   L    x  1  0.005  Choïn  0.005

VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự: limx 2  x  2   4,   0.1
x 2
Giải: | f(x) – 4 | < 0.1  3.9 < f(x) < 4.1. Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1
1.97  x  2.03
Vaäyx  2  0.03
   0.03

10. GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG ‟ GIÔÙI HAÏN TAÏI VOÂ CUØNG
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Khi f(x)    (tức L =  ) hoặc x    (tức x0 =  ):
Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0|  Cần điều chỉnh!
Chú ý: Đại lượng A    A > M M & B  –  B < m m
lim f ( x)    M   0  x : Neáu  x0    f ( x)  M
x
x  x0
Tương tự cho trường hợp f(x)  –: Chỉ cần viết lại f(x) < m!
lim f ( x)  L     0  M  x : Neáu  M  f ( x)  L  
x
x 
lim f ( x)     M  A  x : Neáu  A  f  x   M
x
x 
lim f(x) = L khi x  – & lim f(x) =   khi x   : tương tự

11. GIÔÙI HAÏN MOÄT PHÍA
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
G. hạn trái: x  x0  x  x0 & x < x0 (tức x  x0 từ bên trái)
x  x0 x0
lim f ( x)  f  x0  : lim f ( x) Minh họa:
x  x0  x  x0 & x  x0
x  x0 & x  x0
VD: Giới hạn trái x  0  x < 0: lim  lim  x  1
x
x 0  x x 0  x
G. hạn phải: x  x0+  x  x0 & x > x0 (tức x  x0 từ bên phải)
x0 x0  x
lim f ( x)  f  x0  : lim f ( x) Minh họa:
x  x0  x  x0 & x  x0
x  x0 & x  x0
Mệnh đề:  lim f ( x)   f  x0 , f  x0  & f  x0   f  x0 
x x0
x x x
VD: Không tồn tại lim vì lim  1  lim  1
x 0 x x 0  x x 0  x

12. GIÔÙI HAÏN TOÅNG ‟ HIEÄU ‟ TÍCH ‟ THÖÔNG
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương)
giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn
khi x  a. Khi đó
1. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
xa x a xa
2. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a xa xa
3. lim [cf ( x)]  c lim f ( x)
xa xa
4. lim [ f ( x) g ( x)]  lim f ( x) lim g ( x)
xa xa xa
f ( x) lima f ( x)
5. lim  x if lim g ( x)  0
xa g ( x) lim g ( x) xa
xa

13. VÍ DUÏ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Cho đồ thị 2 hàm số
y=f(x)
y = f(x) và y = g(x)
a/ Các giới hạn sau liệu có
tồn tại hay không:
lim f  x , lim g  x 
x 2 x 1 y=g(x)
b/ Tính giá trị các giới hạn
sau nếu chúng tồn tại
f x
1 / lim  f  x   5 g  x  2 / lim f  x g  x  3 / lim
x  2 x 1 x 2 g  x 
Giải: a/ lim f  x   1; Khoâng lim g  x  b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không 

x 2 x 1

14. GIÔÙI HAÏN HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Cho n  N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:
x a
n

6. lim  f  x   lim f  x 
x a

n
7. lim c  c vaø 8. lim x  a
x a x a
9. lim x n  a n
x a
10. lim n x  n a 
(neáu : chaün, phaûi 0)
n a
x a
11. lim n f  x   n lim f  x  (neáu : chaün, f  x  phaûi 0)
n lim 
x a x a x a
Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1
công thức chứa các hàm cơ bản & a  Df  lim f  x   f a 
x a
Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)

15. VÍ DUÏ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
   0 
Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x  : lim x   
x 
0   0 
, x   0, x  
a  1 : lim a   x
0  a  1 : lim a  
x
x  
0 , x   x  
, x  
2x 1 x 3  3x 2  2
VD: Tìm các giới hạn a / lim 2 b / lim 2
x 1 x  2 x 1 x  3 x  2
1
Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):
3
b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!):
lim 2
x 3  3x 2  2
 lim
 x  1x 2  2 x  2  lim x 2  2 x  2  3
x 1 x  3 x  2 x 1  x  1 x  2 x 1 x2
1 2x 1 0 1 1 2x  1  1
VD : lim : x   : L   ; x   : L  lim
x  2  2 x 20 2 x  21 2 x  1

16. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ ‟ NGOÂN NGÖÕ DAÕY (PHOÅ THOÂNG)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------
Ngoân ngöõ  tn  :  tn  x0  f tn   a 
“daõy”:
Khoâng coù giôùi haïn taïi x0 (Thuaän tieän chöùng minh
khoâng  lim):
 t n  : lim tn  x0 &  lim f tn 
n  n 
 yn , zn  : yn , zn  x0 & lim f  yn   lim f  zn 
n  n 

VD: Chöùng minh khoâng coù a / lim sin x b / lim sin
x  x 0 x
2 yn  n   & z n    2n   b/ 2 daõy
giôùi haïn:
a/
2
daõy: xeùt: Töông töï duøng daõy con ???
Nhaän chöùng minh
Ñöøngphaân kyø
daõy nhaàm laãn vôùi ví duï sau. Chöùng
lim sin n
n 

17. GIÔÙI HAÏN ÑAËC BIEÄT: KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Löôïng sin x 1  cos x 1 tgx
lim 1 lim 2
 lim 1
x0 x x0 x 2 x 0 x
giaùc
Muõ, e x 1 a x 1 ln1  x 
lim 1 lim  ln a lim 1
x0 x x 0 x x 0 x
ln:
x
Daïng 1 : Söû duïng 1  1   lim 1  x 1 x  e
lim  
x x x0
soá e
3x2
VD: lim 2 x  2 
  Caùch 1: Duøng soá e. Caùch 2: Laáy
x  2 x  2 
ln 2 veá
  lim 1    
lim v lim v u 1
lim u 1
1  v
Kyõ v 
e x  x0
e x  x0
x  x0 x  x0
thuaät:

18. QUY TAÉC LOPITAN: KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Daïng voâ ñònh: 0/0, /,  ‟ , 0., 1 , 00  Bieán ñoåi
veà x/ñònh
Phöông phaùp: Nguyeân taéc Loâpitan, voâ cuøng beù
töông ñöông Loâpitan: Tính giôùi haïn (toàn taïi)
Nguyeân taéc
daïng 0/0, /
f ( x) f ' ( x) f "x f ( n ) ( x)
lim  lim  lim    lim ( n)
x x0 g ( x) x x0 g ' ( x ) x x0 g "  x  x x0 g ( x)
x x  sin x ax
VD : a/ lim 3 b/ lim c/ lim  a  1,   0
x 0 1  x  1  x x 0 x 3 x  x
Chuù yù : Ñôn giaûn hoaù VD: Tính lim  12  12 
x 0  sin x
 x 
bieåu thöùc
Khoâng duøng ñöôïc Loâpitan khi giôùi VD : lim x  sin x
x   x  sin x

19. GIÔÙI HAÏN KEÏP
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
 f  x   g  x   h x   x  x0  

Giôùi haïn  lim f  x   lim h x   a  lim g ( x)  a
 x x0

x  x0
keïp x  x0
0  f  x   h x   x  x0  

Heä  lim h x   0  lim f ( x)  0
 x x0

x  x0
quaû:
VD: Tìm caùc giôùi a/ lim sin  b/ lim x sin  c/ lim x sin 
x 0 x x 0 x x  x
haïn:
Giaûi: a/ Khoâng  b/ Keïp c/ b/ 0  x sin   x  0
x
Ñaëc bieät:
sin  x  sin t 
x
VD: Chöùng minh lim 1    e

1
c/ lim  lim 
x   x x  1x t 0 t