1. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIÔÙI HAÏN CUÛA MOÄT HAØM
SOÁ
I. Toùm taét lyù thuyeát
1. Giôùi haïn höõu haïn
• Cho khoaûng K chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân K
hoaëc treân K{x0}. khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (
baát kyø ,xn {x0} vaø xn ,ta coù limf(xn)=L .
• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (x o;b) .
khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø x0<xn<b vaø xn , ta coù
limf(x)=L .
• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;x 0). ,
khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , a<xn<x0 vaø xn , ta coù
limf(xn)=L .
• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;+∞) . ,
khi vaø chæ khi vôùi daõy (xn) baát kyø ,xn>a vaø xn , thì limf(xn)=L
• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (-∞;a) . ,
khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø ,xn<a vaø thì
limf(xn)=L.
2. Giôùi haïn ôû voâ cöïc
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 1
WWW.ToanCapBa.Net

2. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng(a;+∞) .
, khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , xn>a
vaø ,ta coù limf(xn)=-∞ .
• Cho K laø khoaûng chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân
K hoaëc treân K{x0}. .khi vaø chæ khi vôùi moïi daõy
soá baát kyø (xn) ,xn thuoäc K{x0} vaø xn , ta coù limf(xn)=+∞ .
Chuù yù : f(x) coù giôùi haïn +∞ ,khi vaø chæ khi -f(x) coù giôùi haïn -∞
3.Caùc giôùi haïn ñaëc bieät
Vôùi k laø moät soá nguyeân döông
4. Ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn
* Ñònh lyù 1
a) Neáu vaø , thì
•
•
•
•
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 2
WWW.ToanCapBa.Net

3. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
b) Neáu f(x)≥ 0 vaø , thì L ≥ 0 vaø
Ñònh lyù 2
5. Quy taéc veà giôùi haïn voâ cöïc
a) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa tích f(x).g(x) .
+∞ +∞
L>0
-∞ -∞
+∞ -∞
L <0
-∞ +∞
b) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa thöông
Daáu cuûa
g(x)
L ±∞ Tuyø yù 0
+ +∞
L>0 0
- -∞
+ -∞
L <0 0
- +∞
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 3
WWW.ToanCapBa.Net

4. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
B. Phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa haøm soá
I. Thoâng thöôøng ta aùp duïng caùc quy taéc vaø ñònh lyù veà giôùi haïn cuûa haøm
soá laø ta tìm ñöôïc ngay giaù trò cuûa giôùi haïn .
Ví duï , Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 4
WWW.ToanCapBa.Net

5. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
II. Moät soá daïngvoâ ñònh thöôøng gaëp vaø caùch bieán ñoåi .
1. Ñeå tính . Ta laøm nhö
sau:
• Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû . Sau ñoù giaûn öôùc nhaân
töû chung :
• Neáu u(x) vaø v(x) chöùa bieán soá döôùi daáu caên ,thì coù theå nhaân
töû vaø maãu vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ,tröôùc khi phaân tích chuùng
thaønh tích ñeå giaûn öôùc .
• Moät soá bieåu thöùc lieän hôïp thöôøng duøng :
* Chuù yù : Trong (**) neáu A(x0)=B(x0)=0 ,ta laïi phaân tích tieáp chuùng
thaønh :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 5
WWW.ToanCapBa.Net

6. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
* Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caên thöùc cuøng baäc :
Ta söû duïng phöông phaùp nhaân lieân hôïp ( nhö ñaõ cho ôû treân )
Sau ñoù ruùt goïn laøm xuaát hieän thöøa soá chung .
Giaûn öôùc thöøa soá chung ,seõ maát daïng voâ ñònh
Ví duï1 . ( Baøi 4.57-tr-143-BTGT11-NC).
Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Vì , thì x+2<0 ,cho neân
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 6
WWW.ToanCapBa.Net

7. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 2 ( Baøi 4.59-tr144-BTGT11-NC)
Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 7
WWW.ToanCapBa.Net

8. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
2. Ñeå tìm giôùi haïn :(Daïng : )
Ta coù theå laøm nhö sau :
• Chia töû vaø maãu cho , vôùi n laø soá muõ cao nhaát cuûa bieán soá
n
x ( hay phaân tích töû vaø maãu thaønh tích chöùa nhaân töû x ,roài
giaûn öôùc ).
k
• Neáu u(x) vaø v(x) coù chöùa bieán x trong daáu caên thöùc ,thì ñöa x ra
ngoaøi daáu caên ( vôùi k laø soá muõ cao nhaát cuûa x trong daáu
caên ), tröôùc khi chia töû vaø maãu cho luyõ thöøa cuûa x .
• - Chuù yù ñeán caän : Khi x nghóa laø x>0 ; coøn x , nghóa laø
x<0
• - Gioáng nhö ñoái vôùi daïng , hoaëc ta phaân tích thaønh nhaân töû
,hoaëc ta nhaân lieân hôïp ,hoaëc ta ñöa x ra ngoaøi daáu caên thöùc
( phaûi chuù yù ñeán caän maø boû daáu trò tuyeät ñoái )
Ví duï 1. (Baøi 32-tr159-GT11-NC)
Tìm caùc giôùi haïn sau
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 8
WWW.ToanCapBa.Net

9. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi giaûi :
Ví duï 2. (Baøi 44-tr167-GT11NC)
Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 9
WWW.ToanCapBa.Net

10. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau :
3x(2x 2 − 1) x x +1
1. lim 2 2. lim 2
x → −∞ (5x − 1)(x + 2x) x →+∞ x + x +1
x 2 − 3x + 2x x 2 + x + 2 + 3x + 1
3 lim 4. lim
x → −∞ 3x − 1 x→±∞ 2
4x + 1 + 1 − x
ø giaûi:
 1
1. lim
3x(2x − 1)2
= lim
( 2
3 2x − 1 )= lim
3 2 − 2 ÷
 x  =6
x → −∞ (5x − 1)(x 2 + 2x) x→ −∞ ( 5x − 1) ( x + 2) x→ −∞  1 2 5
 5 − ÷ 1 + ÷
 x  x 
.
1 1
+
x x +1 x x2
2. lim = lim =0
x →+∞ x 2 + x + 1 x →+∞ 1 1
1+ + 2
x x
3 3
2 x 1− + 2x − 1− + 2
x − 3x + 2x x x 1
3 lim = lim = lim =
x → −∞ 3x − 1 x → −∞  1 x → −∞ 1 3
x  3− ÷ 3−
 x x
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 10
WWW.ToanCapBa.Net

11. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
1 2  1
2 x 1+ + 2 + x  3 + ÷  4 khi x > 0
x + x + 2 + 3x + 1 x x  x
4. lim = lim = 2
x→±∞ 2
4x + 1 + 1 − x x→±∞ 1  1   − 3 khi < 0

x 4 + 2 + x  − 1÷
x x 
Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau
3 ( x 3 + 2x 2 )2 + x 3 x 3 + 2 x 2 + x 2
3
x + 2x + x
3 2
2 lim
1. lim x → −∞ 3x 2 − 2x
x → −∞ 2x − 2
x 2 − 3x + 2x (x x + x − 1)( x + 1)
3. lim 4. lim
x →−∞ 3x − 1 x → +∞ (x + 2)(x − 1)
Baøi giaûi :
 2 
3 3
x  3 1 + + 1÷
x + 2x 2 + x x
1. lim = lim   =1
x → −∞ 2x − 2 x → −∞  1
2x  1 − ÷
 x
2
  2 2 2 
x  3  1 + ÷ + 3 1+ + 1
3
( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x 3 + 2x 2 + x 2   x

x 
 =1
2 lim = lim
x → −∞ 3x − 2x
2 x → −∞ 2
3−
x
( ) ( )
3
 x + x − 1 2
( ) ( )
3 2
(x x + x − 1)( x + 1)   x + x −1
4. lim = lim   = lim
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
(x + 2)(x − 1) x →+∞  2
x + 2 x − 1
x →+∞ x →+∞
x − x +2 x −2

 

1 1
1+ − 3
t t
= lim = 1 khi : t = x ; khix → +∞ ,t → ∞
x →+∞ 1 2 2
1− + 2 − 3
t t t
Baøi taäp töï luyeän
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 11
WWW.ToanCapBa.Net

12. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Tìm caùc giôùi haïn sau:
2x +1 x 2 +1 x x +1
a) lim b) lim c) lim
x →+∞ x −1 2
x → −∞ 1 − 3x − 5x x → +∞ x2 + x+1
2
3x(2x − 1)
d) lim 2
x → −∞ (5x − 1)(x + 2x)
3x 3 − 2x + 2 3x 3 − 2x 2 − 1 x 3 − 2x 2 − 2
e) xlim f) lim g) lim
→±∞ −2x 3 + 2x 2 − 1 x →±∞ 4 x 4 + 3x − 2 x →±∞ 3x 2 − x − 1
x 4 − 3x 2 + 1
h) lim 3
x →±∞ − x + 2 x − 2
(x − 1) 2 (7x + 2) 2 (2x − 3)2 (4x + 7)3 4x 2 + 1
i) xlim j) lim k) lim
→ ±∞ (2x + 1) 4 x → ±∞ (3x − 4) 2 (5x 2 − 1) x →∞ 3x − 1
2
l) lim x 2 − 3x + 2x 4x − 2x + 1 + 2 − x
o) lim
x →+∞ 3x − 1 x→±∞
9x 2 − 3x + 2x
x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 x x +3
p) lim q) lim
x →+∞ x 2 +1
x → ±∞
4x 2 + 1 + 2 − x
3. Ñeå tính giôùi haïn :( Daïng ∞-∞ ) .
Hoaëc
• Ta nhaân vaø chia vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ( neáu coù bieåu thöùc
chöùa bieán soá döôùi daáu caên thöùc ) hoaëc quy ñoàng ñeå ñöa veà
cuøng moät phaân thöùc ( neáu chöùa nhieàu phaân thöùc )
Daïng voâ ñònh ∞ − ∞ vaø daïng 0.∞
Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haùm soá sau
2 lim x 2 − 3x + 4
1. lim (2 x − 3x) lim ( x 2 + x − x)
3
x → ±∞ 3.
x → +∞ x →−∞
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 12
WWW.ToanCapBa.Net

13. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
5. lim ( x + 2 − x − 2)
4. lim ( x 2 − 3 x + 2 − x) x → +∞
x → +∞
6. lim ( x 2 − 4x + 3 − x 2 − 3x + 2)
x→ ± ∞
Baøi giaûi
 3
1. lim (2 x3 − 3 x) = lim x3  2 − 2 ÷ = +∞
x → +∞ x → +∞
 x 
3 4  +∞ khix → +∞
2. lim x 2 − 3x + 4 = lim x 1 − + 2 = 
x → ±∞ x → ±∞ x x  −∞ khix → −∞
2  1   1 
3. lim ( x + x − x) = lim  x 1 + − x ÷= lim − x  1 + − 1÷= +∞.0 ?
x →− ∞ x →−∞  x ÷ x →−∞  x ÷
   
x 1
⇔ lim = lim = ?
x →−∞ 2
x +x +x x →−∞ 1
− 1+ + 1
x
 3 2 
4. lim ( x 2 − 3 x + 2 − x) = lim x  1 − + 2 ÷ = +∞ do x → +∞ ⇒ x = x
x → +∞ x → +∞  x x ÷
 
4 4
5. lim ( x + 2 − x − 2) = lim = lim =0
x → +∞ x → +∞ x + 2 + x − 2 x→ +∞  2 2
x  1+ + 1− ÷
 x x
2 2 −x + 1
6. lim ( x − 4x + 3 − x − 3x + 2) = lim
x→ ± ∞ x→ ± ∞
x 2 − 4x + 3 + x 2 − 3x + 2
 1 1
− x  1− ÷
 x  2 khi x → −∞
= lim =
x→ ± ∞  4 3 3 2   − 1 khi x → +∞
x  1− + 2 + 1− + 2 ÷  2

 x x x x 
Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 13
WWW.ToanCapBa.Net

14. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi giaûi :
Ví duï 3. ( Baøi 40-tr166-GT11-NC)1
.Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 14
WWW.ToanCapBa.Net

15. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi taäp töï luyeän
Tính caùc giôùi haïn sau:
2
e) lim ( x + x − x) g) lim ( x − 3 x + 2 − x)
2
x →+ ∞ x → −∞
h) lim ( x 2 − 2x + 4 − x ) k) lim x ( x 2 + 5 + x )
x → ±∞ x → ±∞
2 2
l) lim (2x − 1 − 4x − 4x − 3) m) lim (3x + 2 − 9x + 12x − 3)
x→ ± ∞ x→ ± ∞
3 3 2
n) lim ( x − 3 x + 2 + x − 2)
2
t) lim ( x − x + x + x)
x → +∞ x →±∞
o) lim ( x 2 − 3x + 2 + x − 2) p) lim ( x − 3x + 2 + x − 1)
x →±∞
2
x→ − ∞
q) lim ( x − 3x + 1 − x + 3)
2
x → ±∞
3
r) lim ( 4 x 2 − x + 3 − 2x + 1) s) lim ( x 3 + x 2 − x)
x → ±∞ x → ±∞
2 3 3
v) lim ( x + 1 − x − 1) w) xlim ( x + 2x − 1 − x − 3x )
3 3 2
x→ + ∞ → ±∞
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 15
WWW.ToanCapBa.Net

16. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
4. Ñeå tìm giôùi haïn
Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .
• Kheùo leùo theâm vaø bôùt vaøo töû soá hay maãu soá ( coù chöùa caên
khoâng cuøng chæ soá ) moät soá hôïp lyù ( thöôøng laø theâm vaøo soá
x0)
• Taùch giôùi haïn ñaõ cho thaønh hai giôùi haïn maø sao cho moãi giôùi
haïn chæ chöùa caên thöùc coù cuøng chæ soá vaø aùp duïng caùc ñònh
lyù ,hoaëc quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát .
• Chaúng haïn ,ta tìm :
• Chuù yù : Ñoâi khi ta phaûi theâm ,bôùt moät ñaïi löôïng h(x) sao cho
h(x0)=c. Sau ñoù aùp duïng caùch phaân tích treân ñeå giaûi . ( Thoâng
qua ví duï : )
Ví duï minh hoaï
Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 16
WWW.ToanCapBa.Net

17. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau.
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 17
WWW.ToanCapBa.Net

18. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 18
WWW.ToanCapBa.Net

19. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 5. Tìm giôùi haïn sau :
Giaûi :
Ta theâm ,bôùt moät haøm soá h(x)=1+x ,vôùi h(0)=1. Khi ñoù
5 Ñeå tìm giôùi haïn :
Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .( vôùi caên
coù chæ soá cao hôn 3- töø 4 trôû ñi ).
• Ta ñoåi bieán soá baèng caùch ñaët u=
• Chuyeån giôùi haïn ñaõ cho töø bieán x trôû thaønh bieán u vôùi giôùi
haïn môùi coù theå aùp duïng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn
laø coù theå tìm ñöôïc ngay .
Ví duï1: minh hoaï ( ÑH-SP II-99).
Tìm giôùi haïn sau :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 19
WWW.ToanCapBa.Net

20. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi giaûi :
Ta coù :
• Ñaët :
• Ñaët :
• Vaäy :
Ví duï 2: Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 20
WWW.ToanCapBa.Net

21. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
6 Phaàn naâng cao . AÙp duïng giôùi haïn :
• Neáu giôùi haïn ñaõ cho chöùa caùc haøm soá löôïng giaùc , baèng
caùch bieán ñoåi löôïng giaùc ,ta bieán ñoåi haøm soá caàn tìm giôùi
haïn sao cho söû duïng ñöôïc giôùi haïn treân.
• Neáu haøm soá tìm giôùi haïn chöùa hoãn hôïp caû caèn thöùc +löôïng
giaùc ,hay ña thöùc vôùi löôïng giaùc thì ta phaûi theâm hay bôùt hoaëc
taùch giôùi haïn ñoù thaønh hai giôùi haïn sao cho hai giôùi haïn naøy
coù theå tìm ñöôïc ngay baèng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi
haïn ñaõ bieát .
Ví duï minh hoaï :
Ví duï 1. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 21
WWW.ToanCapBa.Net

22. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau.
Baøi giaûi :
Vaäy :
III.Phaàn baøi taäp töï luyeän
Baøi 1. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi 2. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi 3. Tìm caùc giôùi haïn sau
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 22
WWW.ToanCapBa.Net

23. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi 4. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi 5. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
III. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm ñeå tìm giôùi haïn cuûa haøm
soá
• Theo ñònh nghóa ñaïo haøm : "Cho haøm soá y= f(x) coù D=(a;b)x 0 laø
moät giaù trò thuoäc D . Giôùi haïn cuûa tyû soá
Goïi laø giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x 0.
• Neáu haøm soá f=f(x) toàn taïi ñaïo haøm taïi ñieåm x0 : f'(x 0)≠ 0 , thì :
• Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm caàn bieát :
Ví duï aùp duïng
Ví duï 1. (ÑH-Thuyû lôïi -KA-2001).Tìm giôùi haïn sau
Baøi giaûi :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 23
WWW.ToanCapBa.Net

24. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Vôùi :
Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 24
WWW.ToanCapBa.Net

25. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau
Baøi giaûi
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 25
WWW.ToanCapBa.Net

26. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
* Chuù yù : Coù theå söû duïng moät soá keát quaû sau ñeå tìm
giôùi haïn
Keát quaû 1. Tìm giôùi haïn sau
Töø phaân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho
neân :
Ví dụ . Tìm giới hạn sau
Baøi giaûi :
Do (1)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 26
WWW.ToanCapBa.Net

27. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau
Ví dụ 1:
Bài giải :
Ví dụ 2 :
Baøi giaûi :
Moät soá baøi taäp töï luyeän
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 27
WWW.ToanCapBa.Net

28. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Baøi 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
Baøi 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
Baøi 3. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
Baøi 4. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau
BAØI TAÄP THAM KHAÛO - ÑEÅ LUYEÄN TAÄP
.Baøi 1. Duøng ñònh nghóa, CMR:
x +1 x 2 − 3x + 2
a) lim(2x + 3) = 7 b) lim =1 c) lim = −1
x →2 x →3 2(x − 1) x →1 x −1
Baøi 2. Tìm caùc giôùi haïn sau
b) lim x − 5x + 6 c) lim x − 1
2
a) lim(x + 5x + 10x)
3 2
x →0 x →3
x →1 x−2
2x 2 + 3x + 1
d) xlim2
→− − x 2 + 4x + 2
 1 1  x2 −4 1+ x − 1− x
e) xlim1 − ÷
→  1 + x 1 − 2x 3 
f) lim 3 g) lim
x→0x − 3x + 2 x →1 x
sinx tgx
j) lim tan x + sin2x h) limπ k) limπ
x →0 cos x x→ x x→ π−x
2 4
0
Daïng voâ ñònh
0
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 28
WWW.ToanCapBa.Net

29. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
1. Tìm caùc giôùi haïn sau:
x2 −4 x 2 −1
a) lim b) lim
x →2x2 − 3x + 2 x → −1 x 2 + 3x + 2
x 2 − 5x x 2 − 2x
c) lim d) lim
x→5x2 − 25 x → 2 −2x 2 + 6x − 4
x 3 − 3x + 2 x 3 − x 2 − x +1
e) lim f) lim
x →1x 4 − 4x + 3 x →1 −x 2 + 3x − 2
g) lim 2x 3 x − 6 h) lim x 2− x − 72
2 4 2
+
x → −2 x +8 x →3 x − 2x − 3
x +1
5
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
i) xlim1 3 j) lim
→− x + 1 x→3 x 4 − 8x 2 − 9
2x 4 + 8x 3 + 7x 2 − 4x − 4
k) lim
x →1 3x 3 + 14x 2 + 20x + 8
x 3 − 3x 2 − 9x + 2  2  1
l) xlim 2 m) lim  2 −
x →1 x − 1
÷
→− x3 − x + 6  x −1
 1 3  x − 5x 5 + 4x 6
n) lim  −
x →1 1 − x 1 − x 3 ÷
o) lim 2
 x →1 (1 − x)
(x + h) 3 − x 3 x 2 − (a + 1)x + a
p) lim q) lim
h→ 0 h x →a x 3 − a3
x −a
4 4
2(x + h)3 − 2x 3
r) xlima s) lim
→ x−a h →0 h
 x+2 x−4  x +x−2
1992
t) lim  2 + ÷ u) lim 1990
x →1 x − 5x + 4 3(x − 3x + 2) 
2
 x →1 x +x−2
x n − nx + n − 1
k) lim
x →1 (x − 1) 2
2. Tìm caùc giôùi haïn sau:
4x 2 + x − 18 x 2 + x − 30
A = lim B = lim
x→2 x3 − 8 x →5 2x 2 − 9x − 5
4x 2 − 1 x +1
lim
D = x → 1 4x 3 + 2x 2 − 1 C = xlim1
2
→− x + 2x 2 − x − 2
3
x 2 − 4x + 3 2x 2 + 3x + 1
E = lim G = xlim1
x →1 x 2 + 2x − 3 →− − x 2 + 4x + 5
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 29
WWW.ToanCapBa.Net

30. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
x 4 − 16 x3 − x 2 + x −1
H = xlim2 L = lim
→− x 2 + 2x x →1 − x 2 − 5x + 6
x3 −1 x 3 − 27
I = lim J = lim
x →1 x2 − x x →3 x 2 − 4x + 3
x 3 + 2x 2 − 6x − 4
N = lim
x→2 8 − x3
x 3 + x 2 − 5x − 2 2x 2 − 5x + 2
O = lim F = lim1 4x 2 − 1
x →2 x 2 − 3x + 2 x→
2
x 3 + 4x 2 + 6x + 3 x 3 − 3x + 2
P = xlim1 Q = lim 2
→− x2 − x − 2 x →1 x − 2x + 1
x5 −1 8x 3 − 64
R = lim M = lim
x →1 x3 −1 x→2 x 2 − 5x + 6
3. Tìm caùc giôùi haïn sau:
x +1 − x2 + x +1 x −3 −2 2− x +2
a) lim b) lim c) lim
x →0 x x →7 49 − x 2 x →2 x 2 − 3x + 2
2x + 7 − 3 x + 5 − 2x + 1 2− x2 + 3
e) lim f) lim g) lim 2
x →1x3 − 4x 2 + 3 x→4 x−4 x →1 − x + 3x − 2
4x + 1 − 3 x − x +2 x +1
3
d) lim h) lim 0) xlim1
x →2 x2 − 4 x →2 x3 −8 →− 2
2x + 5x + 3
3− 5+ x 3− 8+ x
i) lim 3x − 2 − 4x − x − 2
2
j) lim k) lim
x →1 2
x − 3x + 2 x → 4 1− 5 − x x →1 2x − 5 − x
3
1− 3 1− x x− x+2 x 2 − 23 x + 1
o) lim p) lim x) lim
x →0 2x + x 2 x →2 4x + 1 − 3 x →1 (x − 1) 2
x 2 + 2 x + 6 − 4x + 1 x −1
4
m ) lim n) lim
x 3 − 2x + 1 x + x2 − 2
3
x →1 x →1
3
3
2x + 12 + x x+7−2 x +1 −1
q) xlim2 r) lim s) lim 3
→− x 2 + 2x x →1 x −1 x →0 x +1 −1
3
3
x+7 −2 3
x −1 x −1
t) lim v) lim 4 w) lim
x →1 x −1 x →1 x −1 x →1 3 4x + 4 − 2
4. Tính caùc giôùi haïn sau:
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 30
WWW.ToanCapBa.Net

31. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
3
x +1 + x + 4 − 3 x + 9 + x + 16 − 7 x +1+ x + 4 − 3
a. lim b. lim c. lim
x →0 x x →0 x x→0 x
3
x +1− 3 x +1 x + 3 − 3 3x + 5 8x + 11 − x + 7
d. lim e. lim f. lim
x→0 x x →1 x2 −1 x →1 x 2 − 3x + 2
∞
Daïng voâ ñònh
∞
1. Tìm caùc giôùi haïn sau:
2x + 1 x 2 +1 x x +1
a) xlim b) lim c) lim
→ +∞ x −1 x → −∞ 1 − 3x − 5x 2 x → +∞ x 2 + x +1
3x(2x 2 − 1)
d) xlim 2
→ −∞ (5x − 1)(x + 2x)
3x 3 − 2x + 2 3x 3 − 2x 2 − 1 x 3 − 2x 2 − 2
e) xlim f) xlim g) xlim
→±∞ −2x 3 + 2x 2 − 1 →±∞ 4x 4 + 3x − 2 →±∞ 3x 2 − x − 1
x 4 − 3x 2 + 1
h) xlim 3
→±∞ − x + 2 x − 2
(x − 1) 2 (7x + 2) 2 (2x − 3) 2 (4x + 7)3
i) xlim j) xlim
→±∞ (2x + 1) 4 →±∞ (3x − 4) 2 (5x 2 − 1)
x 2 − 3x + 2x 4x 2 + 1
l) lim k) lim
x →+∞ 3x − 1 x →∞ 3x − 1
x 2 − 3x + 2x x 2 + x + 2 + 3x + 1
m) lim n) lim
x →−∞ 3x − 1 x→±∞
4x 2 + 1 + 1 − x
4x 2 − 2x + 1 + 2 − x
o) lim
x→±∞
9x 2 − 3x + 2x
x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 x x +3
p) lim q) xlim
x → ±∞ 2
4x + 1 + 2 − x →+∞ x2 +1
3
x + 2x 2 + x
3
r) lim
x →−∞ 2x − 2
3
( x 3 + 2x 2 )2 + x 3 x 3 + 2x 2 + x 2 (x x + x − 1)( x + 1)
s) lim t) lim
x →−∞ 3x 2 − 2x x → +∞ (x + 2)(x − 1)
 Giôùi haïn moät beân
1. Tìm caùc giôùi haïn sau
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 31
WWW.ToanCapBa.Net

32. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
x 2 − 2x 3x − 1 x −1
a) lim b) xlim c) lim
x →2 −
3x + 1 →2 +
2 +
x →1 x −1
x −1 x2 +x3
d) lim e) lim+
x →1− x −1 x→0 2x
2x x 2 − 3x + 3 x 2 − 3x + 3
f) lim± g) lim− h) lim+
x→0 4x 2 + x 3 x →2 x−2 x →2 x−2
x −3 x 2 − 3x + 3
i) lim j) lim−
±
x →4 x −4 x →− 2 x2 + x − 2
x 2 − 3x + 3 x 3 − 3x + 2  1− x 
k) lim l) lim− g) lim±  x
 ÷
x →− 2+ x2 + x − 2 x →1 x 2 − 5x + 4 x→0  x ÷ 
1 + cos2x
x2 +x−2 lim
h) lim+ i) π+ π
x →1 x −1 x→ −x
2 2
2. Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi x o vaø
xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ?
 x 2 − 3x + 2
 (x > 1) 4− x 2
 2  (x < 2)
a) f (x) =  x − 1 b) f (x) =  x − 2
− x (x < 1) 1 − 2x (x > 2)
 2 

vôù x o = 2
i
vôù x o = 1
i
 1 + x −1
 x>0
c) f (x) =  3 1 + x − 1
3 / 2 x≤0

vôù x o = 0
i
3. Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi x o:
 x 3 −1
 (x < 1)
a) f (x) =  x − 1 vôùi x0 = 1
 Ax + 2 (x ≤ 1)

 x + 6 + 2x − 9
A + 3 x<3
b) f (x) =  x − 4x 2 + 3x vôùi x0 = 3
3x 2 − 2 x ≥3

Giôùi haïn haøm löôïng giaùc
1. Tính caùc giôùi haïn sau:
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 32
WWW.ToanCapBa.Net

33. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
sin5x 1 − cos2x cosx − cos7x
a) xlim0 b) xlim0 2 c) xlim0
→ 3x → x → x2
cosx − cos3x tgx − sin x  1 3 
d) xlim0 e) lim f) lim  − ÷x
→ sin 2 x x→0 x 3 x → 0  sin x sin3x 
sin2x + sin x 1 − sin x − cos2x
g) lim h) lim
x →0 3sin x x →0 sin x
D¹ng 1: x → a
Bµi 1: Thay vµo lu«n.
x2 −3  4x − 3 
5
2 x 4 + 3x + 2
1) xlim1 2) lim  3) xlim2 3
→− x3 + 2 x →3 2 x + 7
  →− x2 − x + 2
x2 5x − 1 x 2 + 5x + 3
4) lim 5) lim 6) xlim2
x →3 x3 − x − 6 x →1 2x + 7 →− 2x 3 + 2x 2 + x + 6
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
x 2 + 3 x − 10 xn − an
1) lim
x →2 3 x 2 − 5 x − 2
2) lim
x →a x−a
x n − a n − na n −1 ( x − a ) x n − nx + n − 1
3) lim 4) lim
x →a ( x − a) 2 x →1 ( x − 1) 2
 1  3  n 1 
5) lim 1 − x −  6) lim − 
x →1
 1− x 
3 x →1
1 − x
n
1− x 
( x + h) 3 − x 3
7) lim
h→0 h
x −1 x 2 + 2 x − 15
8) lim
1−
9) lim
x→1
x x →3 x −3
x + 2 x − 15
2
x 3 −1
10) lim 11) lim
x → x ( x + 5) − 6
x →−5 x +5 1
x + 3x 2 − 9 x − 2
3
x 2 + 3x − 4
12) lim 13) lim
x →2 x3 − x − 6 x →−4 x 2 + 4x
x 2 − 5x + 6 x 3 + 3x 2 + 2 x
14) x →−4
lim 2 15) lim
x − 12 x + 20 x →−2 x2 − x − 6
x4 −1 x 3 + 4x 2 + 4x
16) x →1
lim 2 17) lim
x + 2x − 3 x → −2 x2 − x − 6
Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai)
x2 + 5 − 3 4
x +9 −2 5−x
1) lim . 2) lim 3) lim
5− x
x →2 x−2 x →7 x −7 x →5
3 x − 5 −1 x
4) lim 5) lim
1 + x −1
x →2 x −2 x →0
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 33
WWW.ToanCapBa.Net

34. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
x +1 1 + x + x2 −1
6) lim 7) lim
x →−1
6 x 2 + 3 + 3x x →0 x
x + 4 −3 1 − 2 x + x 2 − (1 + x )
8) lim 9) lim
x →5 x 2 − 25 x →0 x
x −3 x 3 − 3x − 2
10) lim
2 x + 10 − 4
11) lim
x →3 x →1 x −1
1 + x −1
n
x −2 −2
12) lim (n ∈N, n ≥ 2) 13) lim
x →0 x x →6 x −6
3x − 2 − 4 x 2 − x − 2 2 x − 3x + 1
14) lim 15) lim
x →1 x 2 − 3x + 2 x→1 x 2 −1
x 3 − 3x + 58 x −1
16) lim 17) lim
x →2 x−2 x →1 x + 2x − 3
2
Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai)
5+x − 5−x 1+ x − 1− x
1) lim 2) lim
x →0 x x →0 x
2x −1 − x a+x− a
3) lim 4) lim (a > 0)
x→1 x −1 x →0 x
1+ x − x2 + x +1 3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
5) lim 6) lim
x →0 x x →1 x 2 − 3x + 2
3
3x − 2 − 4 x − x − 2
3 2
1 − 3x + x 2 − 1 + x
7) lim 10) lim
x →1 x 2 − 3x + 2 x →0 x
3
a+ x −3 a 3
x − 2 + 3 1− x + x2
8) lim 9) lim
x →0 x x →1 x2 −1
Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba)
1 + 4x −1
3 3
4x − 2
a) lim b) lim
x →0 x x →2 x −2
1 − x +1
3 x
c) lim d) lim 3
x →0 3x x →0
x +1 −1
Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu)
3− 5+x x − x +2 x2 − x
1) lim 2) lim 3) lim
x →4
1− 5 −x x→2
4 x +1 − 3 x→1
x −1
3
x +1 3
x −1 3
x −1
4) lim 5) lim 4 9) lim
x →−1
x +3 −2
2 x →1
x −1 x→1
x −1
4 − x 2 −2 7 + 2x − 5 x −8
6) lim 7) lim 8) lim
x →0
9 − x −3
2 x →9
x −3 x →64
4 −3 x
Bµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba)
2 1− x − 3 8 − x 3x − 2 − 3 4 x 2 − x − 2
1) lim (§HQG – KA 97) 2) lim
x →0 x x →1 x 2 − 3x + 2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 34
WWW.ToanCapBa.Net

35. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
5 − x3 − 3 x2 + 7
3) lim
x →1 x2 −1
3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
3
x + 7 − 5 − x2
3
4) lim 5) lim
x →1 x 2 − 3x + 2 x →1 x −1
3x + 4 − 3 8 + 5x 3
1 + 2x − 1 + 7 x
6) lim 7) lim
x→0 x x →0 x
D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn
8 + 2x − 2 2 x − 3x
1) xlim 2) lim
x +2 3 x − 2x
+ +
→−2 x →0
 3x − 1 ; x ≤ 1
4) f ( x ) = 
3x − 6 + x 2 − 4 x + 4 lim f ( x)
3) lim .
 x + 1 ;x> 1
x→1
x →2 x−2 2
 3x 2 + 2 x + 1 ; x ≥ 0

5) f ( x) =  sin x . T×m lim f ( x) ;
x→1
 ;x< 0
 x
o ;x< 0
 2
6) f ( x ) =  x ; 0 ≤ x < 1 . T×m lim f ( x) ;
x→1
lim f ( x )
x→0
 2
 − x − 2x + 1 ; x ≥ 1
 mx 2 ; x ≤ 2
7) f ( x) = 
3 ;x> 2
 x 2 − 5x + 6 ; x > 2
8) f ( x) =  . T×m m ®Ó hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2.
 mx + 4 ;x≤ 2
1 2
 5 (2 x + 3) ; x ≤ 1

9) f ( x ) =  6 − 5x ; 1 < x < 3 . T×m lim f ( x) ; lim f ( x)
x→1 x→3
x− 3 ;x≥ 3


Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 35
WWW.ToanCapBa.Net

36. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
x4 +1 lim
2x
10) xlim 11) x →0
→ −3 +
x 2 + 4x + 3 4x 2 + x 3
D¹ng 3: x → ∞: Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh: ∞ - ∞ ; 0x∞ ; . Khi ®ã chóng ta ph¶i khö: ∞
∞
Chó ý: Khi x → -∞ hoÆc x → +∞ mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu.
x 3 + 3x + 1
1) lim 2) lim  x +
 x − x

x →∞ 2 − 6x 2 − 6x 3 
x →+∞ 
3) lim
x →∞
( 2 x − 3) 20 ( 3x + 2 ) 30
( 2 x + 1) 50 → +∞
(
6) xlim x − 7 x + 1 − x − 3x + 2
2 2
)
4) xlim x x + 1 − x − 2
→ +∞
2 2
( ) 5) lim
(x − x2 −1 ) − (x +
n
x2 −1 ) n
x →+∞ xn
→ +∞
2
(
7) xlim x − 4 x + 1 − x − 9 x
2
) → +∞
2
(
8) xlim x − 2 x + 1 − x − 6 x + 3
2
)
(
9) xlim x − 4 ± x − 7 x + 2
→ +∞
2
) 15) xlim ( ( x + a )( x + b ) − x )
→ +∞
→ +∞
(
10) xlim 2 x + 1 ± 4 x + 4 x + 3
2
) 11)
 
lim  3x + 3x + 3x − 3 x 
x →+∞
 
x→∞
3 2
(
12) lim x − 2 x − x − x
3
) → +∞
3 3 2 2
(
18) xlim x + 2 x − x − 2 x )
x→ ∞
3 3 2
(
13) lim x − x + 3x − x + 1 ) 14) xlim x −1 − x
→+∞
2
( )
16)

lim  x +

x →+∞
x+ x − x− x−

x 

17) xlim x + x − x + 2
→ +∞
2
( )
19) lim
x →+∞
(
x.
1
x +1 − x −1 ) → +∞
(
20) xlim x + 2 x − 2 x + x + x
2 2
)
21) xlim ( x + 2 − 2 x − 1 + x )
→ +∞
24) xlim x. x + 4 − x − 3
→ +∞
2 2
( )
22) xlim x .( x + 3 − x − 1)
→ +∞
23) xlim x − 2 .( x + 3 − x − 1)
→ +∞
25) xlim ( 2 x + 5 − 2 x − 7 )
→ +∞ x→ ∞
3 3 2
(
26) lim x + 6 x − x )
x→ ∞
2 3 3
(
27) lim x + x + 1 − x − x + 1
3 3 2
)
sin x
D¹ng 4: lim
x
x →0
=1
sin 5 x tan 2 x sin x n
1) lim 2) x →0 3 x lim 3) x →0
lim
x →0 x sin x m
1 − cos x sin 5 x. sin 3 x. sin x
4) lim 5) lim
x →0 x2 x→0 45 x 3
sin x. sin 2 x.... sin nx tan x − sin x sin x − sin a
6) lim 7) lim 8) lim x − a
x →0 n! x n x →0 3
sin x x →a
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 36
WWW.ToanCapBa.Net

37. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
cos x − cos b 1 − 2x +1
9) lim 10) lim
x →b x −b x →0 sin 2 x
tan x − tan c 1 − cos 3 x cot x − cot c
11) lim 12) lim 13) lim
x →c x −c x →0 x sin x x →c x −c
sin 2 x − sin 2 a cos αx − cos βx
14) lim 17) lim
x →a x2 − a2 x →0 x2
sin 5 x − sin 3x πx x 3 +8
15) lim 16) lim(1 − x ) tan 18) lim
x →0 sin x x→1 2 x→ 2
− tan( x + 2)
1 − cos x. cos 2 x. cos 3 x sin ( a + 2 x ) − 2 sin ( a + x ) + sin a
19) lim 20) lim
x →0 1 − cos x x →0 x2
tan ( a + 2 x ) − 2 tan ( a + x ) + tan a sin ax + tan bx
( a + b ≠ 0)
21) lim 2 24) lim (a + b) x
x →0
x→0 x
cos ax − cos bx. cos cx sin ( a + x ) − sin ( a − x )
22) lim 23) lim tan ( a + x ) − tan ( a − x ) 25)
x →0 x2 x →0
2x + 1 − 3 x 2 + 1 1 − cos x cos(a + x) − cos( a − x)
lim (GHN’00) 26) lim 27) lim
x →0 sin x x →0 sin x x →0 x
sin x − tan x
28) lim
x →0 x3
sin x. cos x − sin x
lim 1 − 1 +sin 3 x
29) x →0
sin
x 30) lim (QG–KB 97)
x→0
1 − cos x
2
1 − cos x   π
31) lim 34) lim tan 2 x. tan 4 − x  (SPHN ‘00)
π
 
x→0
1 − cos x x→
4
tan ( a + x ). tan ( a − x ) − tan 2 a sin 2 2 x − sin x. sin 4 x
32) lim 33) lim 35)
x →0 x2 x →0 x4
1 − cos 5 x. cos 7 x
lim
x →0 sin 2 11x
sin x − sin 2 x
 1 1  lim 3
36) lim −  37) x →0  x 38) lim ( x + 2 ) sin

x →0 sin x tan x  x1 − 2 sin 2  x →∞ x
 2
1 + x 2 − cos x 1 + tan x − 1 + sin x x +3 − 2 x
39) lim (TM’99) 40) lim (HH’00)41) lim
tan( x −1)
x →0 x2 x →0 x3 x→1
(DLHP’00)
cos x
1 − cos ax sin 5 x lim
42) lim 43) lim 44) x →−
π π
x →0 x2 x →0 tan 7 x 2 x+
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 37
WWW.ToanCapBa.Net

38. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
1 + cos x 2 − 2 cos x 2 sin x − 1
lim
45) lim
x →π
( x −π ) 2 46) x→
π
4
 π
sin  x − 
50) lim 2 cos 2 x − 1
π
x→
 4 4
cos 3x − cos 5 x. cos 7 x sin x + cos x
47) lim 48) xlimπ π + 4x 49)
x →0 x2 →−
4
sin ( π6 − x )
lim
x→
π 1 − 2 sin x
6
1 tan x − sin x 1 − cos ax
lim
51) x →π cos x − tan x 52) lim 53) lim (a
2
x →0 x. tan x. sin x x →0 x2
≠0)
1 − cos ax 1 − cos 2 2 x sin( x − 1)
55) lim
x →0 1 − cos bx
56) lim 57) lim
x →0 x. sin x x →1 x 2 − 4x + 3
cos x 1 − 2 sin x
lim lim x. sin ax
58) x→
π
2 x −
π 59) x →6 π − x
π
54) lim
x →0 1 − cos ax
2 6
2 sin x − 1 1 − cos 5 x sin 7 x − sin 5 x
60) lim 4 cos 2 x − 3
π 61) lim
x →0 1 − cos 3 x
62) lim
x→
6
x →0 sin x
π 
sin  − x 
63) lim  4 
x→ 1 −
π
4
2 sin x
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 38
WWW.ToanCapBa.Net

39. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 39
WWW.ToanCapBa.Net

40. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 40
WWW.ToanCapBa.Net

41. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 41
WWW.ToanCapBa.Net

42. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42
WWW.ToanCapBa.Net

43. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42
WWW.ToanCapBa.Net

44. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42
WWW.ToanCapBa.Net

45. WWW.ToanCapBa.Net
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 42
WWW.ToanCapBa.Net